資源簡介

1.8 三角函數的簡單應用4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型． 通過本節課的學習，要求掌握常見的三角函數應用問題的處理方法，了解并掌握數學建模的方法與步驟，能處理與三角函數相結合的數學問題、物理問題及與之相關的其它學科與生產、生活有密切聯系的問題.
知識點01函數y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中各參數的物理意義
【即學即練1】【多選】（2023上·廣東東莞·高二校考期中）如圖是某質點作簡諧運動的部分圖象，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系式是（，，），則（ ）

A．該簡諧運動的初相為 B．該簡諧運動的周期為3
C．第4秒該質點的位移為 D．當時，位移隨著時間的增大而減小
【答案】BD
【分析】先根據函數圖象求出函數解析式，結合選項逐個判定即可.
【詳解】由圖可知，時，，時，，所以,;
因為，所以或；
因為時，，所以，，所以或，；
由圖可知周期滿足，即，解得，所以，此時；
解析式為，該簡諧運動的初相為，周期為，A不正確，B正確；
當時，，位移是，C不正確；
令，當時，，
結合的簡圖可得，在區間為減函數，D正確.
故選：BD.
知識點02　三角函數模型應用的步驟
三角函數模型應用即建模問題，根據題意建立三角函數模型，再求出相應的三角函數在某點處的函數值，進而使實際問題得到解決．
步驟可記為：審讀題意→建立三角函數式→根據題意求出某點的三角函數值→解決實際問題．
這里的關鍵是建立數學模型，一般先根據題意設出代表函數，再利用數據求出待定系數，然后寫出具體的三角函數解析式．
【即學即練2】（2024高一課堂練習）如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，則該函數的表達式為________．
【答案】y＝10sin(x＋)＋20
【解析】由題意可知，函數的周期T＝2×(14－6)＝16，∴ω＝＝.
又，∴，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.
∴20＝10sin(×10＋φ)＋20，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z.
又∵0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20.
【即學即練3】（2023下·貴州遵義·高二校考階段練習）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數據，那么能與這些數據擬合的振動函數的解析式為（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【分析】根據簡諧振動的解析式結合三角函數性質運算求解.
【詳解】設簡諧振動的解析式為，其中
由表格可知：振幅，周期，過點，
由周期，且，可得，
由過點，可得，即，則，
可得，
所以簡諧振動的解析式為.
故選：D.
【即學即練4】（2024高一課堂練習）下圖是某簡諧運動的圖像.試根據圖像回答下列問題：
（1）寫出這個簡諧運動的振幅 周期與頻率
（2）從點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從點算起呢？
（3）寫出這個簡諧運動的函數表達式.
【答案】(1)振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為；
(2)如果從O點算起，到曲線上D點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，到曲線上E點，表示完成了一次往復運動；
(3).
【分析】
(1)從圖像中可以直接得到振幅、計算周期和頻率；
(2) 從圖像中可以看出；
(3)設這個簡諾動的函數解析式為從圖像得到，即可得到解析式.
【詳解】
(1)從圖像中可以看出：這個簡諧運動的振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為；
(2)如果從O點算起，到曲線上D點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，到曲線上E點，表示完成了一次往復運動；
(3)設這個簡諧運動的函數解析式為由圖像可知：，又由，得：.
所以所求簡諧運動的函數解析式為.
【即學即練5】（2024高一課堂練習）在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
設，根據振幅確定，根據周期確定，根據確定，即可得出結果.
【詳解】
設位移關于時間的函數為，
根據題中條件，可得，周期，故，
由題意可知當時，取得最大值，故，則，
所以.
故選：D．
【點睛】
本題主要考查三角函數的應用，考查由三角函數的性質求參數，屬于基礎題型.
知識點03　三角函數模型的擬合應用
我們可以利用搜集到的數據，做出相應的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數據擬合，從而獲得具體的函數模型，最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題．
三角函數應用模型的三種模式：
（1）給定呈周期變化規律的三角函數模型，根據所給模型，結合三角函數的性質，解決一些實際問題；
（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數法求出函數模型，再解決其他問題；
（3）搜集一個實際問題的調查數據，根據數據作出散點圖，通過擬合函數圖象，求出可以近似表示變化規律的函數模型，進一步用函數模型來解決問題.
注：解答三角函數應用題應注意四點
(1)三角函數應用題的語言形式多為“文字語言、圖形語言、符號語言”并用，閱讀理解中要讀懂題目所要反映的實際問題的背景，領悟其中的數學本質，列出等量或不等量的關系．
(2)在建立變量關系這一關鍵步驟上，要充分運用數形結合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方式來打開思想解決問題．
(3)實際問題的背景往往比較復雜，而且需要綜合應用多門學科的知識才能完成，因此，在應用數學知識解決實際問題時，應當注意從復雜的背景中抽取基本的數學關系，還要調動相關學科知識來幫助解決問題．
(4)實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要用到計算機或計算器．
【即學即練6】（2024高一課堂練習）已知某海濱浴場的海浪高度是時間t(h)的函數，記作y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數據.
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數y＝Acosωt＋b.
（1）根據以上數據，求出函數y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數表達式；
（2）依據規定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的上午8時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？
【解析】（1）依題意，得T＝12，A＝＝0.5，b＝＝1，
∴ω＝＝，故y＝cost＋1.
（2）令y＝cost＋1>1，則2kπ－∴12k－3∴從9點到15點適合對沖浪愛好者開放，一共有6個小時．
【名師點睛】解決此類問題的關鍵在于根據已知數據確定相應的數學模型，然后根據已知條件確定函數解析式中的各個參數，最后利用模型解決實際問題．
【即學即練7】（2023·高一課時練習）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數，下表是水深數據：
（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖象.

(1)試根據數據表和曲線，求出的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）
【答案】(1)
(2)16小時.
【分析】（1）根據圖象的最高點和最低點可以求出，由兩個最高點的之間的距離可以求出，從而可求函數的表達式；
（2）在當的前提下，解不等式即可.
【詳解】（1）根據數據，，
，，，
，
函數的表達式為；
（2）由題意，水深，
即，
，
，，1，
或；
所以，該船在至或至能安全進港，
若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時.
題型一：三角函數模型在物理中的應用
例1.（2024高一課堂練習）電流強度I（單位：安）隨時間t（單位：秒）變化的函數I=Asin（ωt＋φ）的圖象如圖所示，則當t=秒時，電流強度是（ ）
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
【答案】A
【解析】由題圖可知A=10，=－，即T=，所以ω==100π，函數圖象過點（0，5）且0<φ<，所以φ=，所以函數為I=10sin，當t=秒時，I=－5安．故選A．
變式1.（2024高一課堂練習）某彈簧振子做簡諧振動，其位移函數為，其中表示振動的時間，表示振動的位移，當時，該振子剛好經過平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過程中該振子有（ ）次離平衡位置的距離最遠．
A．3 B．2 C．5 D．5或6
【答案】D
【分析】根據題意畫出函數的草圖，根據函數的圖像，得出該振子離平衡位置的距離最遠的次數.
【詳解】根據題意，畫出草圖，由圖可知，時，該振子離平衡位置的距離最遠的次數共5或6次，
故選：D．
變式2.（2023上·江蘇南京·高三統考階段練習）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為噪音的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，
則，周期為，則，初相位為，，
所以噪聲的聲波曲線的解析式為，
所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．故選：A.
變式3.（2023上·江蘇南京·高三統考階段練習）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度單位：由關系式確定以為橫坐標，為縱坐標，下列說法錯誤的是（ ）
A．小球在開始振動即時的位置在
B．小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為
C．小球往復運動一次所需時間為
D．每秒鐘小球能往復振動次
【答案】D
【解析】對于A,由題意可得當時，，
故小球在開始振動時的位置在；故A正確；
對于B,由解析式可得振幅,故小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為；
故B正確；
對于C,可得函數的周期為，故小球往復運動一次需；故C正確；
對于D,由C可知，，可得頻率為（），
即每秒鐘小球能往復振動次，故D不正確.故選：D．
變式4.（2024高一課堂練習）彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間t(s)內離開平衡位置(靜止時的位置)的距離h(cm)由下面的函數關系式表示：.
（1）求小球開始振動的位置；
（2）求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置；
（3）經過多長時間小球往返振動一次
（4）每秒內小球能往返振動多少次
【解析】（1）令t=0，得，所以開始振動的位置為(0，).
（2）由題意知，當h=3時，，即最高點為;
當h= 3時，t=，即最低點為.
（3）≈3.14，即每經過約3.14 s小球往返振動一次.
（4），即每秒內小球往返振動約0.318次.
【名師點睛】解決此類問題的關鍵在于明確各個參數的物理意義，易出現的問題是混淆彼此之間的對應關系導致錯解.
【方法技巧與總結】
處理物理學問題的策略
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題．
題型二：三角函數在生活中的應用
例2.（2024高一課堂練習）如圖，某海港一天從的水位高度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數．
（1）求該函數的解析式；
（2）若該海港在水位高度不低于時為輪船最佳進港時間，那么該海港在，輪船最佳進港時間總共多少小時？
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）由圖可得，，，再由周期公式可求出，再把將，代入可求出的值，從而可求得函數的解析式；
（2）由可求出結果
【詳解】
（1）由圖可知，，．
∵，∴，解得，
∴．
將，代入上式，解得，，
∵，∴，
故該曲線的函數解析式為，．
（2）由題意得，即，解得，，即，．
∵，∴當時，即，
∴該海港在的輪船最佳進港時間總共為．
變式1.【多選】（2023上·湖北恩施·高三校考期中）車流量被定義為單位時間內通過十字路口的車輛數單位：輛上班高峰期某十字路口的車流量由函數給出，的單位是，則下列時間段中車流量是增加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由正弦函數的單調區間結合復合函數單調性逐一代入檢驗即可得解.
【詳解】對于A，當時，，由復合函數單調性可知此時車流量函數單調遞增，符合題意；
對于B，當時，，而當時，由復合函數單調性可知此時車流量函數單調遞減，不符合題意；
對于C，當時，，由復合函數單調性可知此時車流量函數單調遞增，符合題意；
對于D，當時，，而當時，由復合函數單調性可知此時車流量函數單調遞減，不符合題意.
故選：AC.
變式2.【多選】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）血壓(blood pressure，BP)是指血液在血管內流動時作用于單位面積血管壁的側壓力，它是推動血液在血管內流動的動力．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓．在未使用抗高血壓藥的前提下，18歲以上成人的收縮壓≥140 mmHg或舒張壓≥90 mmHg，則說明該成人有高血壓．設從未使用抗高血壓藥的陳華今年45歲，從某天早晨6點開始計算(即早晨6點時，t=0)，他的血壓p（t）(mmHg)與經過的時間t（h）滿足關系式，則（ ）
A．當天早晨6~7點，陳華的血壓逐漸上升
B．當天早晨9點時陳華的血壓為125 mmHg
C．當天陳華沒有高血壓
D．當天陳華的收縮壓與舒張壓之差為40 mmHg
【答案】ABD
【解析】由已知，選項A，當天早晨6~7點，則t∈[0，1]，t+∈[]，
所以函數p（t）在[0，1]上單調遞增，陳華的血壓逐漸上升，故該選項正確；
選項B，當t=3時，p（t）=115+20sin=125，
所以當天早晨9點時陳華的血壓為125 mmHg，故該選項正確；
選項C、選項D，因為p（t）的最大值為115+20=135，最小值為115-20=95≥90，
所以陳華的收縮壓為135 mmHg，舒張壓為95 mmHg，
因此陳華有高血壓，故選項C錯誤
且他的收縮壓與舒張壓之差為40 mmHg，故選項D正確.
故選：ABD.
變式3.（2024高一課堂練習）心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數120/80 mmHg為標準值．設某人的血壓滿足函數式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：
（1）求函數p(t)的周期；
（2）求此人每分鐘心跳的次數；
（3）畫出函數p(t)的草圖；
（4）求出此人的血壓在血壓計上的讀數．
【解析】（1）由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函數p(t)的周期為min．
（2）每分鐘心跳的次數即為函數的頻率f＝＝80(次)．
（3）列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描點、連線并向左右擴展得到函數p(t)的簡圖如圖所示：
（4）由圖可知此人的收縮壓為140 mmHg，舒張壓為90 mmHg．
變式4.【多選】（2023上·江蘇南京·高二統考期中）聲音是由物體的振動產生的聲波，一個聲音可以是純音或復合音，復合音由純音合成，純音的函數解析式為.設聲音的函數為,音的響度與的最大值有關，最大值越大，響度越大；音調與的最小正周期有關，最小正周期越大聲音越低沉．假設復合音甲的函數解析式是，純音乙的函數解析式是，則下列說法正確的有（ ）
A．純音乙的響度與ω無關
B．純音乙的音調與ω無關
C．若復合音甲的音調比純音乙的音調低沉，則
D．復合音甲的響度與純音乙的響度一樣大
【答案】AC
【分析】對于A，判斷純音乙函數的最大值是否為定值即可；對于B，判斷純音乙函數的周期是否為定值即可；對于C，只需復合音甲函數的周期更大即可，列出不等式計算并判斷；對于D，可以發現，但不能取等，由此即可判斷.
【詳解】由題意，
設的最小正周期為，則，
所以，故，故，
當時，有，從而的最小正周期為，
對于A，由于純音乙的最大值，即其最大值不變，所以純音乙的響度與ω無關，故A正確；
對于B，對于純音乙函數而言，其周期滿足，所以純音乙的音調與ω有關，故B錯誤；
對于C，若復合音甲的音調比純音乙的音調低沉，則復合音甲函數的周期要更大，即，解得，故C正確；
對于D，，但不能同時取等，
所以，即，所以復合音甲的響度比純音乙的響度小，故D錯誤.
故選：AC.
變式5.（2023上·河北衡水·高三校考階段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于山東省濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點時距離地面145米，勻速轉動一周大約需要30分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中），則 （m）．
【答案】52
【分析】建立適當的坐標系，結合題意求出相應的參數即可得函數表達式，進一步代入求值即可.
【詳解】以摩天輪輪盤圓心為原點，互相垂直的水平、豎直方向分別為軸建立直角坐標系，如圖所示：
點為輪盤上距離地面最近的位置，
當時，游客甲坐上摩天輪的座艙，即，所以滿足題意,
因為輪盤直徑為124，所以，
因為最高點距離地面145米，所以，解得，
而勻速轉動一周大約需要30分鐘，所以，
所以，.
故答案為：52.
題型三：三角函數在幾何中的應用
例3.（2024高一課堂練習）如圖所示，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，－），角速度為1，那么點P到x軸的距離d關于時間t的函數圖象大致為（ ）
【答案】C
【解析】因為P0（，－），所以∠P0Ox=－．因為角速度為1，所以按逆時針旋轉時間t后，得∠POP0=t，所以∠POx=t－．由三角函數定義，知點P的縱坐標為2sin，因此d=2．令t=0，則d=2=．當t=時，d=0．故選C．
變式1.（2024高一課堂練習）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角，C是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.
【答案】時，矩形的面積，最大面積為
【分析】
由題意可得，，從而可得矩形的面積為，再由可得，由此可得時，取得最大值
【詳解】
在中，，，
在中，，
所以，
所以，
設矩形的面積為，則
，
由，得，所以當，即時，
，
因此，當時，矩形的面積，最大面積為，
【點睛】
關鍵點點睛：此題考查三角函數的應用，解題的關鍵是將四邊形的面積表示為，再利用三角函數的性質可求得其最大值，屬于中檔題
變式2.（2023上·福建福州·高三福建省福州華僑中學校考階段練習）如圖所示，是一聲邊長為米的正方形地皮，其中是一半徑為米的扇形草地，是弧上一點，其余部分都是空地，現開發商想在空地上建造一個有兩邊分別落在和上的長方形停車場．
(1)設，長方形的面積為S，試建立S關于的函數關系式；
(2)當為多少時，S最大，并求最大值．
【答案】(1)，．
(2)時，面積最大為
【分析】（1）利用三角函數定義，結合圖形直接表示即可；
（2）令換元，然后由二次函數性質可解.
【詳解】（1）延長交于，設，
則，，
，．
，．
（2）設，
，知，，，
．
當，即時，有最大值．
答：長方形停車場面積的最大值為平方米．
題型四：利用數據建立擬合函數模型
例4.（2023·高一課時練習）海水受日月的引力，在一定的時候發生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數關系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（ ）（要考慮船只駛出港口需要一定時間）
時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A．至 B．至
C．至 D．至
【答案】C
【分析】根據題意，求出函數的表達式為，即可得解.
【詳解】由題意得，函數的周期為，振幅，所以，
又因為達到最大值，
所以由，可得，
所以，所以函數的表達式為，
令，解得，所以在可安全離港，
故選：C
變式1.（2023下·四川雅安·高一雅安中學校考階段練習）某企業一天中不同時刻的用電量（萬千瓦時）關于時間（小時）的函數近似滿足（，，）．如圖是函數的部分圖象對應凌晨0點）．
(1)根據圖象，求，，，的值；
(2)由于當地冬季霧霾嚴重，從環保的角度，既要控制火力發電廠的排放量，電力供應有限，又要控制企業的排放量，于是需要對各企業實行分時拉閘限電措施．已知該企業某日前半日能分配到的供電量（萬千瓦時）與時間（小時）的關系可用線性函數模型（）擬合．當供電量小于該企業的用電量時，企業就必須停產．初步預計這一時刻處在中午11點到12點間，為保證該企業即可提前準備應對停產，又可盡量減少停產時間，請從這個初步預計的時間段開始，用二分法將這一時刻所處的時間段精確到15分鐘．
【答案】(1),,,
(2)
【分析】（1）根據函數圖象，結合函數的周期，以及最值即可求得參數；
（2）由（1）可得函數解析式，令，判斷其單調性，結合零點存在定理，即可判斷停產時刻的范圍，利用二分法即可求得答案.
【詳解】（1）由函數圖象知，∴，
，
，代入，得，
則,又,
綜上，,,, .
（2）由（1）知,
令，
設，則為該企業的停產時間．
當時，，則在上單調遞增，
而（）為減函數，
故在上是單調遞增函數．
由，
又，
則，即11點到11點30分之間（大于15分鐘），
又，
則，即11點15分到1點30分之間（正好15分鐘），
故估計在11點15分到11點30分之間的時間段停產．
變式2.（2023下·江西景德鎮·高一統考期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數學興趣小組進行潮水漲落與時間的關系的數學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關系，經過多次測量篩選，最后得到下表數據：
t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現有知識儲備，再依據上述數據描成曲線，經擬合，該曲線可近似地看成函數圖象．
(1)試根據數據表和曲線，求出近似函數的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數據，結合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．
【答案】(1)；
(2)請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的.
【分析】（1）根據數據,畫出散點圖、連線，結合正弦型函數的性質進行求解即可；
（2）根據正弦型函數的單調性進行求解即可.
【詳解】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：
設，根據最大值13，最小值7，可列方程為：，
再由，得，
；
（2）．
∵，
∴，
∴，或
解得，或，
所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．
變式3.（2023上·福建福州·高一）下表是某地一年中10天測量得白晝時間統計表（時間近似0.1小時，一年按365天計）．
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序號 1 59 80 117 126 172 225 268 298 355
白晝時間（小時） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365一天中得位置序號為橫坐標，白晝時間為縱坐標，在給定的坐標中，試選用一個形如的函數來近似描述一年中，白晝時間與日期位置序號之間的函數關系；
（2）用（1）中的函數模型估計該地一年中大約有多少天白晝時間大于15.9小時．
【答案】（1），，；（2）121（或122）天
【解析】（1）由散點圖知白晝時間與日期序號之間的
函數關系式近似，
由圖形知函數的最大值為19.4，最小值為5.4，即，，
所以，，又，所以，
當時， ，所以，
所以，，．
（2）因為，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以該地區有121（或122）天白晝時間．
【方法技巧與總結】
在處理曲線擬合和預測的問題時，通常需以下幾個步驟
(1)根據原始數據，繪出散點圖；
(2)通過散點圖，做出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；
(3)根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式；
(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據．
一、單選題
1．（2023上·全國·高一專題練習）甲、乙兩人從直徑為的圓形水池的一條直徑的兩端同時按逆時針方向沿水池做勻速圓周運動，已知甲的速度是乙的速度的兩倍，乙繞水池一周停止運動，若用表示乙在某時刻旋轉角的弧度數，表示甲、乙兩人的直線距離，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意分析，當時兩人相遇，再根據距離一定非負，即可得到答案.
【詳解】甲的速度是乙的速度的兩倍，
由題意知當時，兩人相遇，排除A，C，兩人的直線距離大于等于零，排除D.
故選：B.
2．（2024上·全國·高一專題練習）某同學用“五點法”畫函數y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）在一個周期內簡圖時，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
則有（　　）
A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－
【答案】C
【分析】利用函數的最值確定A，利用函數的周期確定ω的值，利用函數的特殊點確定φ的值．
【詳解】由表格得，，
∴.∴．
當x＝時，，∴．
故選：C.
3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高級中學校考開學考試）健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90~139mmhg和60~89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為120/80mmhg為標準值．設某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結論：
①此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg ②此人的血壓在健康范圍內
③此人的血壓已超過標準值 ④此人的心跳為80次/分
其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據所給函數解析式及正弦函數的性質求出的取值范圍，即可得到此人的血壓在血壓計上的讀數，從而判斷①②③，再計算出最小正周期，即可判斷④.
【詳解】因為某人的血壓滿足函數式，
又因為，所以，即，
即此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg，故①正確；
因為收縮壓為mmhg，舒張壓為mmhg，均超過健康范圍，
即此人的血壓不在健康范圍內，故②錯誤，③正確；
對于函數，其最小正周期（min），
則此人的心跳為次/分，故④正確；
故選：C
4．（2023上·江蘇泰州·高三泰州中學校考階段練習）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉動，每3秒轉一圈，且當水輪上點P從水中浮現時（圖中點）開始計算時間．如圖所示，建立直角坐標系，將點P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數，記，則（ ）

A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】設，由三角函數的性質求解．
【分析】由題意設，則，，則，
當時，，取，
故，，，
故選：C
5．（2024·全國·模擬預測）半徑為2m的圓盤邊緣上有一個質點M，它的初始位置為．圓盤按逆時針方向做勻速圓周運動，其角速度為．如圖，以圓盤圓心O為原點，建立平面直角坐標系，且，則點M的橫坐標x關于時間t（單位：s）的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設點M的橫坐標x關于時間 （單位： 的函數關系式為，求出的值，時，射線OM可視角的終邊，結合三角函數的定義可得出函數解析式．
【詳解】設點M的縱坐標關于時間 （單位：的函數關系式為，
由題意可得，，
時，射線可視角的終邊，則．
故選：D．
6．（2024上·北京密云·高一統考期末）如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它每過相同的間隔振幅就變化一次，且過點，其對應的方程為（，其中為不超過的最大整數，）.若該葫蘆曲線上一點到軸的距離為，則點到軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將代入解析式得到，得到解析式，代入求出答案.
【詳解】將代入中得，
，即，
因為，所以，所以，解得，
故，
當時，.
故選：D
7．（2024上·湖北恩施·高二利川市第一中學校聯考期末）如圖，這是一半徑為的水輪示意圖，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時針轉動一圈，若當水輪上點從水中浮出時（圖中點）開始計時，則（ ）
A．點距離水面的高度與之間的函數關系式為
B．點第一次到達最高點需要
C．在水輪轉動的一圈內，有的時間，點距離水面的高度不低于
D．當水輪轉動時，點在水面下方，距離水面
【答案】D
【分析】根據條件，寫出點的高度和時間的關系式，再逐項判斷對錯.
【詳解】因為從開始計時，所以水輪的高度和時間的函數關系式為：.
當第一次到達最高點，由，即第一次到達最高點需要；
由，，.
即水輪轉動的一圈內，有的時間，點距離水面的高低不低于.
當時，.
故選：D
8．（2024上·安徽阜陽·高一統考期末）如圖是杭州第19屆亞運會的會徽“潮涌”，將其視為一扇面，若的長為的長為，則扇面的面積為（ ）

A．190 B．192 C．380 D．384
【答案】D
【分析】根據題意設，構造方程組，求出，進而求出扇形面積.
【詳解】如圖，設，由題意可知解得，扇面的面積為.
故選：D.

9．（2024上·江蘇連云港·高一統考期末）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少.若某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（單位：），為時間（單位：），則此人每分鐘心跳的次數為（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
【答案】B
【分析】根據頻率公式進行計算.
【詳解】由題意得，此人每分鐘心跳的次數為.
故選：B
10．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）水車是古老黃河的文化符號，是我國勞動人民智慧的結晶，是最早的自動灌溉系統．黃河邊上的一架水車直徑為16米，入水深度4米，為了計算水車的旋轉速度，某人給剛出水面的一個水斗（圖中點A）做上記號，經過60秒該水斗到達水車最頂端（圖中點B），再經過11分20秒，做記號的水斗與水面的距離為n米，則n所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解題意，可列出時間x（分鐘）后距離水面高度y滿足關系，從而可將代入即可得出結論.
【詳解】以水面與水車的交線為x軸，過水車軸垂直水面的直線為y軸建立平面直角坐標系，水斗從A轉到B，則轉過的角為，從點B開始，記水斗經過時間x（分鐘）后距離水面高度y滿足關系；，又當分鐘時，．
故選：B．
11．（2023上·江蘇淮安·高三校聯考期中）如圖，是輪子外邊沿上的一點，輪子的半徑為0.5（單位：）.若輪子從圖中位置向右勻速無滑動滾動，設當滾動的水平距離為（單位：）時，點距離地面的高度為（單位：），則下列說法中正確的是（ ）
A．當時，點恰好位于輪子的最高點
B．，其中
C．當時，點距離地面的高度在下降
D．若，，則的最小值為
【答案】B
【分析】根據條件，求出，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.
【詳解】如圖，過分別作地平線的垂線，垂足分別為，過作于，記，
又輪子的半徑為0.5，則有，得到，
在中，，所以，
故，
對于選項A，當時，，所以選項A錯誤；
對于選項B，，所以選項B正確；
對于選項C，當時，，又，所以在區間上先減后增，故選項C錯誤；
對于選項D，由，得到，
由，得到或，，
又，當，時，滿足，此時，故選項D錯誤，
故選：B.
12．（2023·江蘇·高一專題練習）如圖，質點在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當時，動點的縱坐標關于（單位：）的函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依題意可根據圓周運動規律求出動點的縱坐標關于（單位：）的函數，再由整體代換法即可求出單調增區間的表達式.
【詳解】根據題意可設，
因為在單位圓上的角速度大小為，起點為射線與的交點，
所以，
所以動點的縱坐標關于（單位：）的函數，
由，得，
又因為，
所以，，，
所以該函數的單調遞增區間是，，，.
故選：B
13．（2023上·山東煙臺·高一校考期末）如圖，直線與單位圓相切于點，射線從出發繞著點逆時針旋轉，在此過程中，記，射線經過的單位圓內陰影部分的面積為，則對函數說法正確的是（ ）
A．當時，
B．，使得
C．對，都有
D．對，都有
【答案】D
【分析】根據題設可得且，結合圖分析各項的正誤.
【詳解】如下圖(OD與OP重合)，則陰影部分面積，且，
所以，A錯；
由圖知在旋轉過程中陰影面積不斷變大，不存在使得，B錯；
當，則，C錯；
，D對.
故選：D
14．（2024上·陜西榆林·高一統考期末）如圖，一個大風車的半徑是，每旋轉一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標系，結合解直角三角形以及角速度求得P離地面的距離h與時間t之間的函數關系.
【詳解】以最低點的切線作為 x軸，最低點作為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．
風車上翼片端點P所在位置可由函數，來刻畫，而且，
又設P的初始位置在最低點，即，
在中，，所以，
又，，，
則.
故選：A.
二、多選題
15．（2023上·湖北襄陽·高一校考期末）科學研究已經證實：人的智力、情緒和體力分別以33天、28天和23天為周期，均可按進行變化.記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，則（ ）
A．第35天時情緒曲線處于最高點
B．第322天時，情緒曲線E與體力曲線P都處于上升期
C．第46天到第50天時，體力曲線處于上升期
D．情緒曲線E與體力曲線都關于對稱
【答案】ACD
【分析】設人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線的解析式分別用表示，根據周期求出對應的解析式，然后利用正弦函數的最值、周期性、單調性及對稱性可判斷各選項.
【詳解】設人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線的解析式分別用表示，
所以 ，
A項：第天時，，故處于最高點，故A正確；
B項：322除以28余14，322除以23余0，此時情緒曲線處于周期處，所以出于下降期，體力曲線剛好位于起點處，處于上升期，故B錯誤；
C項：因為，所以，
因為，所以根據正弦函數的性質可得此時單調遞增，故處于上升期，故C正確；
D項：因為，，
所以情緒曲線與體力曲線都關于對稱，故D正確．
故選：ACD.
16．（2024上·陜西西安·高一統考期末）如圖，天津永樂摩天輪有著“天津之眼”的美譽，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉動）的轉動時間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數關系式為，，，且開始轉動5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉動10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（ ）
A．
B．該摩天輪轉動一圈所用的時間為30分鐘
C．
D．該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米
【答案】BCD
【分析】由即可求出，結合周期，即可求解.
【詳解】依題知，則，
因為，所以，A錯誤；
由，則周期為，
則該摩天輪轉動一周需30分鐘，B正確；
，由，
可得，故座艙距離地面的最大高度為，CD正確.
故選：BCD
17．（2024上·福建泉州·高一統考期末）生物研究小組觀察發現，某地區一昆蟲種群數量在8月份隨時間（單位：日，）的變化近似地滿足函數，且在8月1日達到最低數量700，此后逐日增長并在8月7日達到最高數量900，則（ ）
A．
B．
C．8月17日至23日，該地區此昆蟲種群數量逐日減少
D．8月份中，該地區此昆蟲種群數量不少于850的天數為13天
【答案】AD
【分析】根據題意可得函數最小正周期，即可求得，判斷A；結合函數的最值可確定的值，判斷B；結合函數的單調性以及周期，可判斷C；根據函數最小值求出，可得函數解析式，由題意列出不等式，求得t的范圍，結合k的取值，即可判斷D.
【詳解】不妨設8月1日時為，則設T為最小正周期，則，
即，A正確；
又，B錯誤；
因為函數的最小正周期為12，所以種群數量從8月13日至19日逐漸增加，
從8月19日至25日逐漸減少，C錯誤；
由以上分析可知，
當時，y取到最小值100，即，
故，
則，
令，則，
則，即，
故或或，共13天，D正確，
故選：AD
18．（2024上·吉林·高一統考期末）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．已知某港口水深（單位：）與時間（單位：）從時的關系可近似地用函數來表示，函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數的圖象關于點對稱
C．當時，水深度達到
D．已知函數的定義域為，有個零點，則
【答案】ACD
【分析】根據圖象的最值求出，再根據圖象得到其周期則得到，代入最高點求出，則得到三角函數解析式，則判斷A，再結合其對稱性即可判斷B，代入計算即可判斷C，利用整體法和其對稱性即可判斷D.
【詳解】對A，由圖知，，，；
的最小正周期，；
，，解得：，
又，，，故A正確；
對B，令，，解得，，當時，，
則，則函數的圖象關于點對稱，故B錯誤；
對C，，故C正確；
對D，，則，令，
則，令，則根據圖象知兩零點關于直線，
則，即，則，則，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角函數模型結合圖象求出其解析式，再根據其對稱性等性質逐項分析即可.
三、填空題
19．（2023下·黑龍江·高一富錦市第一中學校考階段練習）水車（如圖1）是一種圓形灌溉工具，它是古代中國勞動人民充分利用水力發展出來的一種運轉機械.根據文獻記載，水車大約出現于東漢時期.水車作為中國農耕文化的重要組成部分，體現了中華民族的創造力，為水利研究史提供了見證.圖2是一個水車的示意圖，它的半徑為2m，其中心（即圓心）O距水面1m.如果水車每60s逆時針轉1圈，在水車輪邊緣上取一點P，我們知道在水車勻速轉動時，P點距水面的高度h（單位：m）是一個變量，它是關于時間t（單位：s）的函數.為了方便，不妨從P點位于水車與水面交點Q時開始計時，則我們可以建立函數關系式（其中，，）來反映h隨t變化的周期規律.

則 .
【答案】
【分析】根據題意結合正弦函數的性質運算求解.
【詳解】由題意可知：點P距水面的高度h的最大值為3，最小值為，
則，解得；
又因為，即，
且，可得；
又因為旋轉一周用時秒，即的最小正周期為，
且，可得，所以.
故答案為：.
20．（2024·安徽池州·池州市第一中學校聯考模擬預測）筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
【答案】3
【分析】由題意得，，，又時，，代入求值，得到，求出函數解析式，求出答案.
【詳解】由題意得，又，故，
且，解得，
故，
當時，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案為：3
21．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變 質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系，若函數在區間上的最大值為，最小值為，則的最小值為 .

【答案】
【分析】根據題意求得，由區間的區間長度個周期，分區間在同一個單調區間和不同一個單調區間，兩種情況討論，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】由函數的圖象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因為，所以，所以，
由區間的區間長度為，即區間長度為個周期，
當區間在同一個單調區間時，不妨設，可得
則，
因為，可得，當或時，取最小值；
當區間在不同一個單調區間時，不妨設，可得，
此時函數在上先增后減，此時，
不妨設，則
，
.
綜上可得，最小值為.
故答案為：.
22．（2023上·江蘇淮安·高一統考期末）近年來，淮安市依托地方資源優勢，用風能等清潔能源替代傳統能源，因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經濟效益的同時，助力了本地農戶增收致富．目前利用風能發電的主要手段是風車發電．如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現有一座風車，塔高90米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉動，并且每6秒旋轉一圈，風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點（此時P離地面50米）．設點P轉動t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關于t的函數關系式為 ，葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于70米的時長為 秒．

【答案】 4
【分析】（1）由題意，根據物理意義，結合三角函數定義得，待定系數即可；
（2）解不等式即得.
【詳解】（1）由題意，塔高即風車中心距地面的高度，風車半徑，
風車轉動一圈為秒，則角速度，
如圖，以風車中心為坐標原點，以與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系，
設時，風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點，設，
以為始邊，為終邊的角不妨取，
那么經過（秒）后，運動到點，
于是，以為始邊，為終邊的角為，
由三角函數定義知，
則，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
當時，，
所以葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于70米的時長為4秒.
故答案為：；.

四、解答題
23．（2021·高一課時練習）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在ts時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關系式確定．以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出這個函數在一個周期的閉區間上的圖象，并回答下列問題：

(1)小球在開始振動（即）時的位置在哪里？
(2)小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？
(3)經過多少時間小球往復運動一次？
(4)每秒鐘小球能往復振動多少次？
【答案】(1)平衡位置上方處
(2)；
(3)秒
(4)次.
【分析】（1）根據函數的解析式，即可作出其一個周期上的圖象，令，即可求得小球在開始振動（即）時的位置在哪里.
（2）根據函數的最大值和最小值，即可求得答案；
（3）求出函數的周期，即得答案；
（4）根據函數的頻率為周期的倒數，即得答案.
【詳解】（1）作出函數在一個周期的閉區間上的圖象如圖，

當時，即小球在開始振動（即）時的位置在處，即平衡位置上方處；
（2）的最大值為2，最小值為，
則小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是；
（3）由于，故經過小球往復運動一次；
（4）每秒鐘小球能往復振動次.
24．（2023·全國·高一隨堂練習）某地為發展旅游業，在旅游手冊中給出了當地一年每個月的月平均氣溫表，根據圖中提供的數據，試用近似地擬合出月平均氣溫y（單位：℃）與時間t（單位：月）的函數關系，并求出其周期和振幅，以及氣溫達到最大值和最小值的時間．（答案不唯一）

【答案】見詳解.
【分析】根據三角函數的圖象與性質計算即可.
【詳解】不妨設，由圖象可知時，，當時，，
結合圖象可知，，，
又當時，，
不妨令，
故，周期為14，振幅為6，1月取得最小值15，8月取得最大值27.
25．（2024上·海南海口·高一海南中學校考期末）深圳別稱“鵬城”，“深圳之光”摩天輪是中國之眼．游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，摩天輪最高點距離地面高度為120米，轉盤直徑為110米，當游客坐上“深圳之光”摩天輪的座艙開始計時．開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30分鐘．開始轉動t分鐘后距離地面的高度為米．
(1)經過t分鐘后游客距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足（其中，，），求摩天輪轉動一周的解析式；
(2)若游客在距離地面至少92.5米的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪在運行一周的過程中，游客能有多長時間有最佳視覺效果？
【答案】(1)
(2)分鐘
【分析】（1）根據最高、最低點距離地面高度計算出，根據轉一周的時間計算出，再結合初始位置計算出，由此可求；
（2）化簡，根據，求解出的范圍，由此可知結果.
【詳解】（1）由題意可知：摩天輪最高點距離地面，最低點距離地面，所以，所以，
又因為轉一周大約需要，所以，
所以，
又因為，所以且，所以，
所以；
（2）因為，
令，則，
又因為，所以，
所以，且分鐘，
故摩天輪在運行一周的過程中，游客能有分鐘最佳視覺效果.
26．（2023·全國·高一隨堂練習）某昆蟲種群數量1月1日低到700只，其數量隨著時間變化逐漸增加，到當年7月1日高達900只，其數量在這兩個值之間按正弦曲線規律改變．
(1)求出這種昆蟲種群數量y（單位：只）關于時間t（單位：月）的函數解析式；
(2)畫出這個函數的圖象．
【答案】(1)
(2)圖象見解析
【分析】（1）設函數表達式，結合三角函數的最值、最小正周期及特殊點代入即可得解；
（2）根據解析式列表作圖即可.
【詳解】（1）設，
由題意，解得，且，解得，
又因為當時，取最小值，
所以，即，
可取，所以；
（2）列表：
t 0 1 4 7 10 12
0
y 700 800 900 800
作出函數圖象如下：

27．（2024上·廣東·高一校聯考期末）如圖，一個半徑為5米的筒車按逆時針每分鐘轉2圈，筒車的軸心距離水面的高度為2.5米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下為負數），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：秒）之間的關系為.
(1)求的值；
(2)5分鐘內，盛水筒在水面下的時間累計為多少秒？
【答案】(1)
(2)100
【分析】（1）根據最大值與最小值求出求的值，根據周期求出得值，根據特殊點求出的值；
（2）由（1）得，解三角不等式，即可求得5分鐘內，盛水筒在水面下的時間.
【詳解】（1）由圖可知，的最大值為的最小值為，
則，
.
因為筒車按逆時針每分鐘轉2圈，所以，
所以.
當時，，所以，則，
因為，所以.
（2）由（1）得，
令，則，得，
則，
解得，
5分鐘秒，則令，得，
故5分鐘內，盛水筒在水面下的時間累計為秒.
28．（2023·全國·高一課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個時刻的水深.
時刻 水深/m 時刻 水深/m 時刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似數值；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？
(3)若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
【答案】(1)，答案見解析
(2)該船在0:24至5:36和12:24至17:36期間可以進港
(3)6:42時，該船必須停止卸貨，駛向較深的水域.
【分析】（1）考察數據，可選用正弦函數，再利用待定系數法求解；
（2）在涉及三角不等式時，可利用圖象求解；
（3）表示出x時刻的吃水深度，結合題意得，利用圖像，數形結合，即可求得答案.
【詳解】（1）以時間為橫坐標，以水深為縱坐標，在平面直角坐標系中作出對應的各點，
根據圖象可考慮用函數近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，

則由已知數據結合圖象可得，，，，
故.
由表中數據可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等時刻的水深分別是
5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m；
在整點時的水深近似為；1:00，5:00，13:00，17:00為6.3m；
2:00，4:00，14:00，16:00為7.2m；
7:00，11:00，19:00，23:00為3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00為2.8m.
（2）由，得，
畫出的圖象（如圖），

由圖象可得或.
故該船在0:24至5:36和12:24至17:36期間可以進港.
（3）若，x時刻的吃水深度為，
由，得.
畫出和的圖象（如上圖），
由圖象可知當時，即6:42時，該船必須停止卸貨，駛向較深的水域.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.8 三角函數的簡單應用4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型． 通過本節課的學習，要求掌握常見的三角函數應用問題的處理方法，了解并掌握數學建模的方法與步驟，能處理與三角函數相結合的數學問題、物理問題及與之相關的其它學科與生產、生活有密切聯系的問題.
知識點01函數y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中各參數的物理意義
【即學即練1】【多選】（2023上·廣東東莞·高二校考期中）如圖是某質點作簡諧運動的部分圖象，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系式是（，，），則（ ）

A．該簡諧運動的初相為 B．該簡諧運動的周期為3
C．第4秒該質點的位移為 D．當時，位移隨著時間的增大而減小
知識點02　三角函數模型應用的步驟
三角函數模型應用即建模問題，根據題意建立三角函數模型，再求出相應的三角函數在某點處的函數值，進而使實際問題得到解決．
步驟可記為：審讀題意→建立三角函數式→根據題意求出某點的三角函數值→解決實際問題．
這里的關鍵是建立數學模型，一般先根據題意設出代表函數，再利用數據求出待定系數，然后寫出具體的三角函數解析式．
【即學即練2】（2024高一課堂練習）如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，則該函數的表達式為________．
【即學即練3】（2023下·貴州遵義·高二校考階段練習）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數據，那么能與這些數據擬合的振動函數的解析式為（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1
A．， B．
C． D．，
【即學即練4】（2024高一課堂練習）下圖是某簡諧運動的圖像.試根據圖像回答下列問題：
（1）寫出這個簡諧運動的振幅 周期與頻率
（2）從點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從點算起呢？
（3）寫出這個簡諧運動的函數表達式.
【即學即練5】（2024高一課堂練習）在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
知識點03　三角函數模型的擬合應用
我們可以利用搜集到的數據，做出相應的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數據擬合，從而獲得具體的函數模型，最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題．
三角函數應用模型的三種模式：
（1）給定呈周期變化規律的三角函數模型，根據所給模型，結合三角函數的性質，解決一些實際問題；
（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數法求出函數模型，再解決其他問題；
（3）搜集一個實際問題的調查數據，根據數據作出散點圖，通過擬合函數圖象，求出可以近似表示變化規律的函數模型，進一步用函數模型來解決問題.
注：解答三角函數應用題應注意四點
(1)三角函數應用題的語言形式多為“文字語言、圖形語言、符號語言”并用，閱讀理解中要讀懂題目所要反映的實際問題的背景，領悟其中的數學本質，列出等量或不等量的關系．
(2)在建立變量關系這一關鍵步驟上，要充分運用數形結合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方式來打開思想解決問題．
(3)實際問題的背景往往比較復雜，而且需要綜合應用多門學科的知識才能完成，因此，在應用數學知識解決實際問題時，應當注意從復雜的背景中抽取基本的數學關系，還要調動相關學科知識來幫助解決問題．
(4)實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要用到計算機或計算器．
【即學即練6】（2024高一課堂練習）已知某海濱浴場的海浪高度是時間t(h)的函數，記作y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數據.
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數y＝Acosωt＋b.
（1）根據以上數據，求出函數y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數表達式；
（2）依據規定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的上午8時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？
【即學即練7】（2023·高一課時練習）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數，下表是水深數據：
（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖象.

(1)試根據數據表和曲線，求出的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）
題型一：三角函數模型在物理中的應用
例1.（2024高一課堂練習）電流強度I（單位：安）隨時間t（單位：秒）變化的函數I=Asin（ωt＋φ）的圖象如圖所示，則當t=秒時，電流強度是（ ）
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
變式1.（2024高一課堂練習）某彈簧振子做簡諧振動，其位移函數為，其中表示振動的時間，表示振動的位移，當時，該振子剛好經過平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過程中該振子有（ ）次離平衡位置的距離最遠．
A．3 B．2 C．5 D．5或6
變式2.（2023上·江蘇南京·高三統考階段練習）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
變式3.（2023上·江蘇南京·高三統考階段練習）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度單位：由關系式確定以為橫坐標，為縱坐標，下列說法錯誤的是（ ）
A．小球在開始振動即時的位置在
B．小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為
C．小球往復運動一次所需時間為
D．每秒鐘小球能往復振動次
變式4.（2024高一課堂練習）彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間t(s)內離開平衡位置(靜止時的位置)的距離h(cm)由下面的函數關系式表示：.
（1）求小球開始振動的位置；
（2）求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置；
（3）經過多長時間小球往返振動一次
（4）每秒內小球能往返振動多少次
【方法技巧與總結】
處理物理學問題的策略
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題．
題型二：三角函數在生活中的應用
例2.（2024高一課堂練習）如圖，某海港一天從的水位高度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數．
（1）求該函數的解析式；
（2）若該海港在水位高度不低于時為輪船最佳進港時間，那么該海港在，輪船最佳進港時間總共多少小時？
變式1.【多選】（2023上·湖北恩施·高三校考期中）車流量被定義為單位時間內通過十字路口的車輛數單位：輛上班高峰期某十字路口的車流量由函數給出，的單位是，則下列時間段中車流量是增加的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.【多選】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）血壓(blood pressure，BP)是指血液在血管內流動時作用于單位面積血管壁的側壓力，它是推動血液在血管內流動的動力．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓．在未使用抗高血壓藥的前提下，18歲以上成人的收縮壓≥140 mmHg或舒張壓≥90 mmHg，則說明該成人有高血壓．設從未使用抗高血壓藥的陳華今年45歲，從某天早晨6點開始計算(即早晨6點時，t=0)，他的血壓p（t）(mmHg)與經過的時間t（h）滿足關系式，則（ ）
A．當天早晨6~7點，陳華的血壓逐漸上升
B．當天早晨9點時陳華的血壓為125 mmHg
C．當天陳華沒有高血壓
D．當天陳華的收縮壓與舒張壓之差為40 mmHg
變式3.（2024高一課堂練習）心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數120/80 mmHg為標準值．設某人的血壓滿足函數式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：
（1）求函數p(t)的周期；
（2）求此人每分鐘心跳的次數；
（3）畫出函數p(t)的草圖；
（4）求出此人的血壓在血壓計上的讀數．
變式4.【多選】（2023上·江蘇南京·高二統考期中）聲音是由物體的振動產生的聲波，一個聲音可以是純音或復合音，復合音由純音合成，純音的函數解析式為.設聲音的函數為,音的響度與的最大值有關，最大值越大，響度越大；音調與的最小正周期有關，最小正周期越大聲音越低沉．假設復合音甲的函數解析式是，純音乙的函數解析式是，則下列說法正確的有（ ）
A．純音乙的響度與ω無關
B．純音乙的音調與ω無關
C．若復合音甲的音調比純音乙的音調低沉，則
D．復合音甲的響度與純音乙的響度一樣大
變式5.（2023上·河北衡水·高三校考階段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于山東省濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點時距離地面145米，勻速轉動一周大約需要30分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中），則 （m）．
題型三：三角函數在幾何中的應用
例3.（2024高一課堂練習）如圖所示，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，－），角速度為1，那么點P到x軸的距離d關于時間t的函數圖象大致為（ ）
變式1.（2024高一課堂練習）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角，C是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.
變式2.（2023上·福建福州·高三福建省福州華僑中學校考階段練習）如圖所示，是一聲邊長為米的正方形地皮，其中是一半徑為米的扇形草地，是弧上一點，其余部分都是空地，現開發商想在空地上建造一個有兩邊分別落在和上的長方形停車場．
(1)設，長方形的面積為S，試建立S關于的函數關系式；
(2)當為多少時，S最大，并求最大值．
題型四：利用數據建立擬合函數模型
例4.（2023·高一課時練習）海水受日月的引力，在一定的時候發生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數關系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（ ）（要考慮船只駛出港口需要一定時間）
時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A．至 B．至
C．至 D．至
變式1.（2023下·四川雅安·高一雅安中學校考階段練習）某企業一天中不同時刻的用電量（萬千瓦時）關于時間（小時）的函數近似滿足（，，）．如圖是函數的部分圖象對應凌晨0點）．
(1)根據圖象，求，，，的值；
(2)由于當地冬季霧霾嚴重，從環保的角度，既要控制火力發電廠的排放量，電力供應有限，又要控制企業的排放量，于是需要對各企業實行分時拉閘限電措施．已知該企業某日前半日能分配到的供電量（萬千瓦時）與時間（小時）的關系可用線性函數模型（）擬合．當供電量小于該企業的用電量時，企業就必須停產．初步預計這一時刻處在中午11點到12點間，為保證該企業即可提前準備應對停產，又可盡量減少停產時間，請從這個初步預計的時間段開始，用二分法將這一時刻所處的時間段精確到15分鐘．
變式2.（2023下·江西景德鎮·高一統考期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數學興趣小組進行潮水漲落與時間的關系的數學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關系，經過多次測量篩選，最后得到下表數據：
t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現有知識儲備，再依據上述數據描成曲線，經擬合，該曲線可近似地看成函數圖象．
(1)試根據數據表和曲線，求出近似函數的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數據，結合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．
變式3.（2023上·福建福州·高一）下表是某地一年中10天測量得白晝時間統計表（時間近似0.1小時，一年按365天計）．
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序號 1 59 80 117 126 172 225 268 298 355
白晝時間（小時） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365一天中得位置序號為橫坐標，白晝時間為縱坐標，在給定的坐標中，試選用一個形如的函數來近似描述一年中，白晝時間與日期位置序號之間的函數關系；
（2）用（1）中的函數模型估計該地一年中大約有多少天白晝時間大于15.9小時．
【方法技巧與總結】
在處理曲線擬合和預測的問題時，通常需以下幾個步驟
(1)根據原始數據，繪出散點圖；
(2)通過散點圖，做出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；
(3)根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式；
(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據．
一、單選題
1．（2023上·全國·高一專題練習）甲、乙兩人從直徑為的圓形水池的一條直徑的兩端同時按逆時針方向沿水池做勻速圓周運動，已知甲的速度是乙的速度的兩倍，乙繞水池一周停止運動，若用表示乙在某時刻旋轉角的弧度數，表示甲、乙兩人的直線距離，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·全國·高一專題練習）某同學用“五點法”畫函數y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）在一個周期內簡圖時，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
則有（　　）
A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－
3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高級中學校考開學考試）健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90~139mmhg和60~89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為120/80mmhg為標準值．設某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結論：
①此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg ②此人的血壓在健康范圍內
③此人的血壓已超過標準值 ④此人的心跳為80次/分
其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023上·江蘇泰州·高三泰州中學校考階段練習）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉動，每3秒轉一圈，且當水輪上點P從水中浮現時（圖中點）開始計算時間．如圖所示，建立直角坐標系，將點P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數，記，則（ ）

A．0 B．1 C．3 D．4
5．（2024·全國·模擬預測）半徑為2m的圓盤邊緣上有一個質點M，它的初始位置為．圓盤按逆時針方向做勻速圓周運動，其角速度為．如圖，以圓盤圓心O為原點，建立平面直角坐標系，且，則點M的橫坐標x關于時間t（單位：s）的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024上·北京密云·高一統考期末）如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它每過相同的間隔振幅就變化一次，且過點，其對應的方程為（，其中為不超過的最大整數，）.若該葫蘆曲線上一點到軸的距離為，則點到軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·湖北恩施·高二利川市第一中學校聯考期末）如圖，這是一半徑為的水輪示意圖，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時針轉動一圈，若當水輪上點從水中浮出時（圖中點）開始計時，則（ ）
A．點距離水面的高度與之間的函數關系式為
B．點第一次到達最高點需要
C．在水輪轉動的一圈內，有的時間，點距離水面的高度不低于
D．當水輪轉動時，點在水面下方，距離水面
8．（2024上·安徽阜陽·高一統考期末）如圖是杭州第19屆亞運會的會徽“潮涌”，將其視為一扇面，若的長為的長為，則扇面的面積為（ ）

A．190 B．192 C．380 D．384
9．（2024上·江蘇連云港·高一統考期末）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少.若某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（單位：），為時間（單位：），則此人每分鐘心跳的次數為（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
10．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）水車是古老黃河的文化符號，是我國勞動人民智慧的結晶，是最早的自動灌溉系統．黃河邊上的一架水車直徑為16米，入水深度4米，為了計算水車的旋轉速度，某人給剛出水面的一個水斗（圖中點A）做上記號，經過60秒該水斗到達水車最頂端（圖中點B），再經過11分20秒，做記號的水斗與水面的距離為n米，則n所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·江蘇淮安·高三校聯考期中）如圖，是輪子外邊沿上的一點，輪子的半徑為0.5（單位：）.若輪子從圖中位置向右勻速無滑動滾動，設當滾動的水平距離為（單位：）時，點距離地面的高度為（單位：），則下列說法中正確的是（ ）
A．當時，點恰好位于輪子的最高點
B．，其中
C．當時，點距離地面的高度在下降
D．若，，則的最小值為
12．（2023·江蘇·高一專題練習）如圖，質點在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當時，動點的縱坐標關于（單位：）的函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·山東煙臺·高一校考期末）如圖，直線與單位圓相切于點，射線從出發繞著點逆時針旋轉，在此過程中，記，射線經過的單位圓內陰影部分的面積為，則對函數說法正確的是（ ）
A．當時，
B．，使得
C．對，都有
D．對，都有
14．（2024上·陜西榆林·高一統考期末）如圖，一個大風車的半徑是，每旋轉一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數關系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
15．（2023上·湖北襄陽·高一校考期末）科學研究已經證實：人的智力、情緒和體力分別以33天、28天和23天為周期，均可按進行變化.記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，則（ ）
A．第35天時情緒曲線處于最高點
B．第322天時，情緒曲線E與體力曲線P都處于上升期
C．第46天到第50天時，體力曲線處于上升期
D．情緒曲線E與體力曲線都關于對稱
16．（2024上·陜西西安·高一統考期末）如圖，天津永樂摩天輪有著“天津之眼”的美譽，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉動）的轉動時間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數關系式為，，，且開始轉動5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉動10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（ ）
A．
B．該摩天輪轉動一圈所用的時間為30分鐘
C．
D．該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米
17．（2024上·福建泉州·高一統考期末）生物研究小組觀察發現，某地區一昆蟲種群數量在8月份隨時間（單位：日，）的變化近似地滿足函數，且在8月1日達到最低數量700，此后逐日增長并在8月7日達到最高數量900，則（ ）
A．
B．
C．8月17日至23日，該地區此昆蟲種群數量逐日減少
D．8月份中，該地區此昆蟲種群數量不少于850的天數為13天
18．（2024上·吉林·高一統考期末）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．已知某港口水深（單位：）與時間（單位：）從時的關系可近似地用函數來表示，函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數的圖象關于點對稱
C．當時，水深度達到
D．已知函數的定義域為，有個零點，則
三、填空題
19．（2023下·黑龍江·高一富錦市第一中學校考階段練習）水車（如圖1）是一種圓形灌溉工具，它是古代中國勞動人民充分利用水力發展出來的一種運轉機械.根據文獻記載，水車大約出現于東漢時期.水車作為中國農耕文化的重要組成部分，體現了中華民族的創造力，為水利研究史提供了見證.圖2是一個水車的示意圖，它的半徑為2m，其中心（即圓心）O距水面1m.如果水車每60s逆時針轉1圈，在水車輪邊緣上取一點P，我們知道在水車勻速轉動時，P點距水面的高度h（單位：m）是一個變量，它是關于時間t（單位：s）的函數.為了方便，不妨從P點位于水車與水面交點Q時開始計時，則我們可以建立函數關系式（其中，，）來反映h隨t變化的周期規律.

則 .
20．（2024·安徽池州·池州市第一中學校聯考模擬預測）筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
21．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變 質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系，若函數在區間上的最大值為，最小值為，則的最小值為 .

22．（2023上·江蘇淮安·高一統考期末）近年來，淮安市依托地方資源優勢，用風能等清潔能源替代傳統能源，因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經濟效益的同時，助力了本地農戶增收致富．目前利用風能發電的主要手段是風車發電．如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現有一座風車，塔高90米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉動，并且每6秒旋轉一圈，風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點（此時P離地面50米）．設點P轉動t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關于t的函數關系式為 ，葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于70米的時長為 秒．

四、解答題
23．（2021·高一課時練習）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在ts時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關系式確定．以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出這個函數在一個周期的閉區間上的圖象，并回答下列問題：

(1)小球在開始振動（即）時的位置在哪里？
(2)小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？
(3)經過多少時間小球往復運動一次？
(4)每秒鐘小球能往復振動多少次？
24．（2023·全國·高一隨堂練習）某地為發展旅游業，在旅游手冊中給出了當地一年每個月的月平均氣溫表，根據圖中提供的數據，試用近似地擬合出月平均氣溫y（單位：℃）與時間t（單位：月）的函數關系，并求出其周期和振幅，以及氣溫達到最大值和最小值的時間．（答案不唯一）

25．（2024上·海南海口·高一海南中學校考期末）深圳別稱“鵬城”，“深圳之光”摩天輪是中國之眼．游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，摩天輪最高點距離地面高度為120米，轉盤直徑為110米，當游客坐上“深圳之光”摩天輪的座艙開始計時．開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30分鐘．開始轉動t分鐘后距離地面的高度為米．
(1)經過t分鐘后游客距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足（其中，，），求摩天輪轉動一周的解析式；
(2)若游客在距離地面至少92.5米的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪在運行一周的過程中，游客能有多長時間有最佳視覺效果？
26．（2023·全國·高一隨堂練習）某昆蟲種群數量1月1日低到700只，其數量隨著時間變化逐漸增加，到當年7月1日高達900只，其數量在這兩個值之間按正弦曲線規律改變．
(1)求出這種昆蟲種群數量y（單位：只）關于時間t（單位：月）的函數解析式；
(2)畫出這個函數的圖象．
27．（2024上·廣東·高一校聯考期末）如圖，一個半徑為5米的筒車按逆時針每分鐘轉2圈，筒車的軸心距離水面的高度為2.5米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下為負數），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：秒）之間的關系為.
(1)求的值；
(2)5分鐘內，盛水筒在水面下的時間累計為多少秒？
28．（2023·全國·高一課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個時刻的水深.
時刻 水深/m 時刻 水深/m 時刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似數值；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？
(3)若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
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