資源簡介

1.1 周期變化7種常見考法歸類
課程標準 學習目標
了解周期性的概念和幾何意義 1.了解現實生活中的周期現象，能判斷簡單的實際問題中的周期. 2.初步了解周期函數的概念，能判斷簡單的函數的周期性.
知識點01 周期函數
1．周期函數：一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得對任意的，都有且滿足，那么函數稱作周期函數，非零常數稱作這個函數的周期．
2．最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就稱作函數的最小正周期．若不加特別說明，本書所指周期均為函數的最小正周期．
注：(1)周期函數的周期不是唯一的，如果是函數的周期，那么也一定是它的周期；
(2)只有個別值或只差個別的值滿足時，都不能說是的周期．
【即學即練1】【多選】下列函數圖象中具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練2】函數滿足，那么，它是以為周期的函數嗎？
知識點02 抽象函數的周期性
函數周期性問題應牢牢把握周期函數的定義，并掌握一些常見的確定函數周期的條件。
類型 周期函數f(x)滿足的條件 周期
常見周期函數模型 |a|
f(x＋a)＝f(x－a) 2|a|
f(x＋a)＝－f(x) 2|a|
f(x＋a)＝－ 2|a|
f(x＋a)＝ 2|a|
4|a|
2|a|
奇偶性與周期性的綜合 偶函數，關于直線x＝a對稱 2|a|
偶函數，關于對稱 4|a|
奇函數，關于對稱 2|a|
奇函數，關于直線x＝a對稱 4|a|
對稱性與周期性的綜合 注：雙對稱必周期，“同二異四” 關于直線x＝a與x＝b對稱 2|b－a|
關于點(a,0)與點(b,0)對稱 2|b－a|
關于直線x＝a與點(b,0)對稱 4|b－a|
【即學即練3】設定義在R上的函數滿足，若，則
A． B． C． D．
【即學即練4】已知定義在R上的奇函數滿足，當時，，則（ ）
A． B． C．1 D．9
知識點03 周期性的應用
（1）函數周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質，則得到整個函數的性質.
（2）圖像：只要做出一個周期的函數圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行復制粘貼.
（3）單調性：由于間隔kT(k∈Z)的函數圖象相同，所以若函數y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上單調增(減),則y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上單調增(減).
注：
奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題，周期性起到轉換自變量值的作用，奇偶性起到調節符號作用。
【即學即練5】設是定義在R上的函數，對任意的實數有，又當時，，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【即學即練6】函數是在R上的周期為的奇函數，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練7】若偶函數對任意都有，且當時，，則 ．
【即學即練8】已知函數是定義在上的奇函數，且，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
題型一：周期現象及應用
例1.（2023下·高一校考課時練習）下列現象是周期現象的是（ ）
①日出日落；②潮汐；③海嘯；④地震
A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
變式1．（2023下·高一校考課時練習）下列變化中不是周期變化的是（ ）
A．春去春又回 B．太陽東升西落
C．天干地支表示年、月、日的時間順序 D．某同學每天放學回到家的時間
變式2．（2023·高一課時練習）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
變式3．【多選】（2023·高一課時練習）按照規定，奧運會每4年舉行一次.2008年夏季奧運會在北京舉辦，那么下列年份中舉辦夏季奧運會的應該是（）
A．2023 B．2024 C．2026 D．2032
變式4．（2023下·高一校考課時練習）十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下：1分鐘亮綠燈；接著10秒亮黃燈；再接著1分鐘亮紅燈；10秒亮黃燈；1分鐘亮綠燈；10秒亮黃燈， ……，則某人開始亮綠燈時，過路口，10分鐘后又到此路口，此時應該亮 燈．
變式5．（2023·高一課時練習）四個小動物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①、②、③、④號位置上(如圖)，第1次前后排動物互換位置，第2次左右列互換座位……這樣交替進行下去，那么第2023次互換座位后，小兔的位置對應的是（ ）
A．編號① B．編號②
C．編號③ D．編號④
【方法技巧與總結】
一些變化是不是周期變化，其判斷的依據是周期變化的特征，即每次都以相同的間隔出現，而且變化是無差別的重復出現．
題型二：周期函數的判斷
例2．（2023·高一課時練習）下列函數圖像中，不具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．【多選】（2023上·山東日照·高二統考開學考試）對于實數，符號表示不超過的最大整數，例如.定義函數，則（ ）
A． B．函數是周期函數
C．方程在僅有一個解 D．函數是增函數
變式1．（2023上·山西晉中·高三校考開學考試）設是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有，當時，．
(1)求證：是周期函數；
(2)當時，求的解析式；
(3)計算．
【方法技巧與總結】
判斷周期函數的方法，一般是根據定義。即對函數f(x)，如果存在常數T(T≠0)，使得當x取定義域內的每一個值時，均有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期為T的周期函數。
題型三：利用周期性求函數值
例4．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）設函數（）是以為最小正周期的周期函數，且當時，，則 ．
變式1．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知定義在上的函數滿足，則 .
變式2．（2023上·河北唐山·高三階段練習）設是定義在R上的周期為3的函數，當時，，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
變式3．（2023下·江西贛州·高一校聯考期末）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
變式4．（2024上·河北張家口·高三統考期末）已知定義在R上的函數滿足，，且，若，則（ ）
A．0 B． C．2 D．
【方法技巧與總結】
判斷函數周期性的三個常用結論
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數f(x)必為周期函數，2a是它的一個周期．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)，則函數f(x)為周期函數，2a是它的一個周期．
(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，則函數f(x)為周期函數，2a是它的一個周期．
題型四：利用函數的周期性求函數解析式
例5．（2023·全國·高三對口高考）函數的周期為，且當時，，則，的解析式為 ．
變式1．（2023·全國·高一隨堂練習）周期函數的圖象如圖．

(1)求函數的最小正周期；
(2)寫出函數的解析式．
變式2．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）已知函數是定義在上的偶函數，且的圖象關于直線對稱．
(1)證明：是周期函數．
(2)若當時，，求當時，的解析式．
例6．（2023下·河南信陽·高一信陽高中校考期末）設是定義在上的周期為的偶函數，已知時，，則時，的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023上·河北·高三校聯考階段練習）已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，，則當時，（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2023上·江西·高三寧岡中學校考期中）已知是定義域為的奇函數，且是偶函數，當時，，則當時，的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
(1)遇到周期問題，要學會區間轉移，將未知區間中的x加減整周期，轉化到已知區間，再將含x式子代入已知函數．
(2)遇到周期性＋奇偶性綜合問題，可根據條件，求出一個周期上的函數關系．
題型五：周期性與奇偶性的結合
例7．（2023·高一課時練習）已知奇函數y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，則函數f(x)的周期為 ，f(2)+f(3)+f(4)= .
變式1．（2023下·河南·高三階段練習）已知是周期為2的奇函數，當時，，則的值為 .
變式2．（2023下·高一校考課時練習）已知定義在上的奇函數以為周期，則 ．
變式3．（2023上·廣東梅州·高三校考階段練習）設是定義在上的奇函數，且對任意實數，恒有．當時，．
(1)求函數的最小正周期；
(2)計算．
變式4．（2023上·寧夏·高三隆德縣中學校考階段練習）已知是定義域為的奇函數，滿足，若，則（ ）
A．50 B．2 C．0 D．
變式5．【多選】（2023上·湖南衡陽·高一統考期末）奇函數滿足，則下列選項正確的是（ ）
A．的一個周期為2 B．
C．為偶函數 D．為奇函數
變式6．【多選】（2023下·安徽·高三合肥市第六中學校聯考開學考試）已知為偶函數，且恒成立．當時．則下列四個命題中，正確的是（ ）
A．的周期是 B．的圖象關于點對稱
C．當時， D．當時，
題型六：周期性與對稱性的結合
例8．（2023上·安徽·高三校聯考開學考試）已知函數的圖象關于直線對稱，且對都有當時，.則（ ）
A． B．1 C．2 D．
變式1．（2023上·四川綿陽·高三綿陽中學校考階段練習）已知定義在上的函數的圖象關于點對稱，且滿足 ，又，，則 .
題型七：周期性與單調性的結合
例9．（2024上·重慶北碚·高一統考期末）已知定義在上的函數滿足：關于中心對稱，是偶函數，且在上是增函數，則（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023下·山東青島·高二校考期末）已知函數的定義域為，且是偶函數，是奇函數，在上單調遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2．【多選】（2024上·河南開封·高一統考期末）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，且時，單調遞增，則下列結論正確的為（ ）
A．是偶函數
B．的圖象關于點中心對稱
C．
D．
一、單選題
1．（2023下·陜西寶雞·高一統考期末）下列現象不是周期現象的是（ ）
A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時轉一圈
C．“哈雷彗星”的運行時間 D．某同學每天上數學課的時間
2．（2023·高一課時練習）探索下圖所呈現的規律,判斷2 015至2 017箭頭的方向是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·高一課時練習）設鐘擺每經過1.8秒回到原來的位置，在圖中鐘擺達到最高位置A點時開始計時，經過1分鐘后，鐘擺的大致位置是（）
A．點A處
B．點B處
C．O、A之間
D．O、B之間
4．（2023·高一課時練習）若近似認為月球繞地球公轉與地球繞太陽公轉的軌道在同一平面內，且均為正圓，又知這兩種轉動同向．如圖所示，月相變化的周期為天(下圖是相繼兩次滿月時，月、地、日相對位置的示意圖)．則月球繞地球一周所用的時間為（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
5．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統考期末）定義在上的奇函數滿足，且當時，，則函數在上所有零點的和為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·重慶·高一西南大學附中校考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·云南大理·高一統考期末）已知是定義域為的奇函數，滿足，若，則（ ）
A． B．1 C．5 D．
8．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）函數的最小正周期為2，且.當時，，那么在區間上，函數的圖象與函數的圖象的交點個數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（2024·安徽淮北·統考一模）已知定義在上奇函數滿足，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函數滿足，且當時，．若函數恰有4個零點，則的值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2023上·山東菏澤·高三校考期末）定義在上的函數滿足，當時，；當時，，則
（ ）
A． B． C．0 D．
12．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學校考期末）設是定義在上的周期為的偶函數，已知當時，，則當 時，的解析式為（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，對任意，都有，當時，，則在上的零點個數為（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
二、多選題
14．（2024上·四川雅安·高一雅安中學校考階段練習）已知定義在R上的函數滿足，且當時，，則（ ）
A．是周期為2的周期函數
B．當時，
C．的圖象與的圖象有兩個公共點
D．在上單調遞增
15．（2023上·湖南·高一衡陽縣第一中學校聯考階段練習）已知定義在上的奇函數滿足：①；②當時，．下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．當時，
D．方程有個實數根
16．（2023下·吉林長春·高二長春市第十七中學校考期中）定義在上的奇函數滿足，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．時，
C．
D．函數有對稱軸
17．（2023·全國·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，函數為奇函數，為偶函數，為奇函數，的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的一個周期為6
B．函數的一個周期為8
C．若，則
D．若當時，，則當時，
18．（2024上·廣東佛山·高一統考期末）已知函數滿足：對任意的，都存，且，則（ ）
A．是奇函數 B．
C．的值域為 D．
19．（2024上·河北張家口·高一統考期末）已知定義在上的奇函數滿足，且當時，.則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．
C． D．方程有5個不等的實數根
三、填空題
20．（2023下·高一課時練習）如圖所示，變量y與時間t(s)的圖象如圖所示，則時間t至少隔 s時，y＝1會重復出現1次.
21．（2024上·重慶九龍坡·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，且，當時，，則 ．
22．（2024上·云南昆明·高一統考期末）定義在上的奇函數滿足，且，則 ．
23．（2024上·陜西西安·高一高新一中校考階段練習）已知是定義在上的函數且圖象關于點對稱，是偶函數，若當時，，則 ．
24．（2024上·云南昆明·高一統考期末）已知函數的定義域為，且，，當時，，則 .
四、解答題
25．（2023上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）函數滿足，函數的圖象關于點對稱，求的值.
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知函數是定義在上的奇函數，且．
(1)求的函數值；
(2)證明：為周期函數．
27．（2024上·江蘇淮安·高一統考期末）已知是定義在R上的函數，滿足：，，且當時，．
(1)求的值；
(2)當時，求的表達式；
(3)若函數在區間（）上的值域為，求的值．
28．（2023·全國·高一隨堂練習）函數是周期為2的周期函數，且，．
(1)畫出函數在區間上的圖象，并求其單調區間、零點、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在區間上的解析式，其中．
29．（2023上·上海·高一華師大二附中校考期中）已知定義在全體實數上的函數滿足：①是偶函數；②不是常值函數；③對于任何實數，都有．
(1)求和的值；
(2)證明：對于任何實數，都有；
(3)若還滿足對有，求的值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.1 周期變化7種常見考法歸類
課程標準 學習目標
了解周期性的概念和幾何意義 1.了解現實生活中的周期現象，能判斷簡單的實際問題中的周期. 2.初步了解周期函數的概念，能判斷簡單的函數的周期性.
知識點01 周期函數
1．周期函數：一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得對任意的，都有且滿足，那么函數稱作周期函數，非零常數稱作這個函數的周期．
2．最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就稱作函數的最小正周期．若不加特別說明，本書所指周期均為函數的最小正周期．
注：(1)周期函數的周期不是唯一的，如果是函數的周期，那么也一定是它的周期；
(2)只有個別值或只差個別的值滿足時，都不能說是的周期．
【即學即練1】【多選】下列函數圖象中具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由周期性的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】抓住周期變化的特點，重復性，可知A、B、D為周期函數.
對于C，圖象不重復出現，故不合題意.
故選：ABD.
【即學即練2】函數滿足，那么，它是以為周期的函數嗎？
【答案】不是
【分析】根據函數周期性的定義可得出結論.
【詳解】解：根據題意，函數滿足，
但對于且，，
故函數不是以為周期的函數.
知識點02 抽象函數的周期性
函數周期性問題應牢牢把握周期函數的定義，并掌握一些常見的確定函數周期的條件。
類型 周期函數f(x)滿足的條件 周期
常見周期函數模型 |a|
f(x＋a)＝f(x－a) 2|a|
f(x＋a)＝－f(x) 2|a|
f(x＋a)＝－ 2|a|
f(x＋a)＝ 2|a|
4|a|
2|a|
奇偶性與周期性的綜合 偶函數，關于直線x＝a對稱 2|a|
偶函數，關于對稱 4|a|
奇函數，關于對稱 2|a|
奇函數，關于直線x＝a對稱 4|a|
對稱性與周期性的綜合 注：雙對稱必周期，“同二異四” 關于直線x＝a與x＝b對稱 2|b－a|
關于點(a,0)與點(b,0)對稱 2|b－a|
關于直線x＝a與點(b,0)對稱 4|b－a|
【即學即練3】設定義在R上的函數滿足，若，則
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由題意推出函數為周期函數且周期為4，則有，然后由和解得，即可得出答案.
【詳解】由題意定義在R上的函數滿足，則有，聯立解得，則得函數為周期函數且周期為4，則有；又因，則由解得，所以可得.
故選：A.
【點睛】本題考查了函數周期性的判斷與求解，考查了函數周期性的應用，屬于一般難度的題.
【即學即練4】已知定義在R上的奇函數滿足，當時，，則（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】B
【分析】利用奇函數定義及給定的等式，探求出函數的周期，再利用函數性質及給定函數式求值即得.
【詳解】由R上的奇函數滿足，得，
于是，即函數是以4為周期的周期函數，而當時，，
所以.
故選：B
知識點03 周期性的應用
（1）函數周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質，則得到整個函數的性質.
（2）圖像：只要做出一個周期的函數圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行復制粘貼.
（3）單調性：由于間隔kT(k∈Z)的函數圖象相同，所以若函數y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上單調增(減),則y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上單調增(減).
注：
奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題，周期性起到轉換自變量值的作用，奇偶性起到調節符號作用。
【即學即練5】設是定義在R上的函數，對任意的實數有，又當時，，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由已知得函數的最小正周期為T=6，再由時，，代入可求得答案.
【詳解】因為，所以函數的最小正周期為T=6，所以，
又當時，，所以，所以，
故選：C.
【即學即練6】函數是在R上的周期為的奇函數，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函數奇偶性和周期性的概念可得即可得解.
【詳解】函數是在R上的周期為的奇函數，
.
故選：C.
【即學即練7】若偶函數對任意都有，且當時，，則 ．
【答案】/0.125
【分析】由題設可得偶函數的周期為6，利用周期性求函數值即可.
【詳解】由題設，即偶函數的周期為6，
所以.
故答案為：
【即學即練8】已知函數是定義在上的奇函數，且，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出函數的周期，再結合函數的奇偶性求值即得.
【詳解】定義在上的奇函數，由，得，
則函數是以4為周期的周期函數，又當時，，
所以.
故選：D
題型一：周期現象及應用
例1.（2023下·高一校考課時練習）下列現象是周期現象的是（ ）
①日出日落；②潮汐；③海嘯；④地震
A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【答案】A
【分析】對四種自然現象一一分析，即可得到答案.
【詳解】①每天日出日落，周期為一天；②潮汐是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產生的周期性運動；而③海嘯和④地震是隨機現象.
故選：A
變式1．（2023下·高一校考課時練習）下列變化中不是周期變化的是（ ）
A．春去春又回 B．太陽東升西落
C．天干地支表示年、月、日的時間順序 D．某同學每天放學回到家的時間
【答案】D
【分析】根據周期性的規律直接進行判斷.
【詳解】對于A、B、C都是周期性變化.
對于D，某同學每天放學回到家的時間受各種因素的影響，一般會有少許差別，故D不是周期變化．
故選：D.
變式2．（2023·高一課時練習）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】B
【分析】根據，結合今天為星期三，即可得結果.
【詳解】由，所以天后的那一天是星期四.
故選：B
變式3．【多選】（2023·高一課時練習）按照規定，奧運會每4年舉行一次.2008年夏季奧運會在北京舉辦，那么下列年份中舉辦夏季奧運會的應該是（）
A．2023 B．2024 C．2026 D．2032
【答案】BD
【分析】根據周期性求得正確答案.
【詳解】2023=2008+4×2+3，2026=2008+4×4+2.
顯然2023，2026不是4的倍數.
2024=2008+4×4，2032=2008+4×6，
顯然2024與2032是4的倍數.
故選：BD
變式4．（2023下·高一校考課時練習）十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下：1分鐘亮綠燈；接著10秒亮黃燈；再接著1分鐘亮紅燈；10秒亮黃燈；1分鐘亮綠燈；10秒亮黃燈， ……，則某人開始亮綠燈時，過路口，10分鐘后又到此路口，此時應該亮 燈．
【答案】綠
【分析】得到紅綠燈的亮滅以秒為一個周期求解.
【詳解】解：由題意知：紅綠燈的亮滅以秒為一個周期，
因為 ，
所以是綠燈．
故答案為：綠
變式5．（2023·高一課時練習）四個小動物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①、②、③、④號位置上(如圖)，第1次前后排動物互換位置，第2次左右列互換座位……這樣交替進行下去，那么第2023次互換座位后，小兔的位置對應的是（ ）
A．編號① B．編號②
C．編號③ D．編號④
【答案】C
【分析】由題目得出小兔的位置4次一個循環，即可得出第2023次互換座位后，小兔的位置．
【詳解】由已知和題圖得，小兔自第1次交換位置后座位的編號依次為④→③→①→②→④…，得到每4次一個循環，
因為的余數為2，所以第2023次交換位置后，小兔的位置和第2次交換的位置相同，即編號為③，
故選：C．
【方法技巧與總結】
一些變化是不是周期變化，其判斷的依據是周期變化的特征，即每次都以相同的間隔出現，而且變化是無差別的重復出現．
題型二：周期函數的判斷
例2．（2023·高一課時練習）下列函數圖像中，不具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據周期函數圖像的特點，即圖像具有重復性，即可判斷出答案．
【詳解】因為C選項中之間的圖像在前后都沒有重復出現，
所以C選項的函數圖像不具有周期性，
故選：C．
例3．【多選】（2023上·山東日照·高二統考開學考試）對于實數，符號表示不超過的最大整數，例如.定義函數，則（ ）
A． B．函數是周期函數
C．方程在僅有一個解 D．函數是增函數
【答案】BC
【分析】根據定義判斷A，利用分段函數形式表示，根據題意畫出函數的圖像，再依次判斷選項B，C，D即可.
【詳解】由題意知，畫出分段函數的圖象，
對選項A，定義可得，故A不正確；
對選項B，由圖知函數為周期函數，故B正確；
對選項C，函數與函數在有一個交點，
即方程在僅有一個解，故C正確；
對選項D，由圖象可知，所以函數不是增函數，故D不正確.
故選：BC.
變式1．（2023上·山西晉中·高三校考開學考試）設是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有，當時，．
(1)求證：是周期函數；
(2)當時，求的解析式；
(3)計算．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據已知等式，利用賦值法進行證明即可；
（2）根據函數的周期性，結合奇函數的性質進行求解即可；
（3）根據函數的周期性進行求解即可.
【詳解】（1），
所以：是以為周期的周期函數；
（2）當時，因為函數是定義在R上的奇函數，
所以，
當時，；
（3），
因為函數的周期為，
所以.
【方法技巧與總結】
判斷周期函數的方法，一般是根據定義。即對函數f(x)，如果存在常數T(T≠0)，使得當x取定義域內的每一個值時，均有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期為T的周期函數。
題型三：利用周期性求函數值
例4．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）設函數（）是以為最小正周期的周期函數，且當時，，則 ．
【答案】
【分析】利用函數的周期,將自變量的值轉化為解析式要求的自變量范圍內即可求得.
【詳解】因函數的周期為2，故
故答案為：.
變式1．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知定義在上的函數滿足，則 .
【答案】
【分析】由函數滿足，推得函數是以4為周期的周期函數，結合函數的周期，即可求解.
【詳解】因為在R上的函數滿足，且，
令，有，
又，
所以函數是以4為周期的周期函數，
所以.
故答案為：．
變式2．（2023上·河北唐山·高三階段練習）設是定義在R上的周期為3的函數，當時，，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由函數是周期為3的周期函數，得到，結合解析式，即可求解.
【詳解】由題意，函數當時，
因為函數是周期為3的周期函數，
所以
故選：D.
變式3．（2023下·江西贛州·高一校聯考期末）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】通過對已知條件的轉化，得出函數是周期函數.利用函數周期性轉化求值即可.
【詳解】因為，所以，且，
則，又可得，，
故，所以函數是周期的周期函數，
．
故選：D．
變式4．（2024上·河北張家口·高三統考期末）已知定義在R上的函數滿足，，且，若，則（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據題目條件得到是以4為周期的周期函數，并得到，，根據函數的周期求出.
【詳解】由，，得，即，
所以，所以，故是以4為周期的周期函數．
又，所以，．
又，所以，
所以，故．
又，所以．
故選：B．
【方法技巧與總結】
判斷函數周期性的三個常用結論
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數f(x)必為周期函數，2a是它的一個周期．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)，則函數f(x)為周期函數，2a是它的一個周期．
(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，則函數f(x)為周期函數，2a是它的一個周期．
題型四：利用函數的周期性求函數解析式
例5．（2023·全國·高三對口高考）函數的周期為，且當時，，則，的解析式為 ．
【答案】/
【分析】由求出的取值范圍，再結合函數的周期性可求得在上的解析式.
【詳解】因為函數的周期為，當時，，
且，當時，則，
故當時，.
故答案為：.
變式1．（2023·全國·高一隨堂練習）周期函數的圖象如圖．

(1)求函數的最小正周期；
(2)寫出函數的解析式．
【答案】(1)
(2)，，.
【分析】（1）由圖象可得出函數的最小正周期；
（2）求出函數在上的解析式，再結合函數周期性的定義可求得函數的解析式.
【詳解】（1）解：由圖可知，函數的最小正周期為.
（2）解：當時，設，則，即；
當時，設，則，可得，即.
故當時，，
因為函數是以為最小正周期的周期函數，故對任意的，，
對任意的，當時，，
則.
因此，函數的解析式為，，.
變式2．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）已知函數是定義在上的偶函數，且的圖象關于直線對稱．
(1)證明：是周期函數．
(2)若當時，，求當時，的解析式．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【分析】（1）根據對稱性與奇偶性得到，即可得證；
（2）當，則，且，即可得解.
【詳解】（1）由函數的圖象關于直線對稱，
所以，即有，
又函數是定義在上的偶函數，有，
所以，
即是周期為的周期函數；
（2）當時，，又是周期為的周期函數，
當，則，
所以，
所以，.
例6．（2023下·河南信陽·高一信陽高中校考期末）設是定義在上的周期為的偶函數，已知時，，則時，的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據已知函數的奇偶性和周期性，結合時，，分別討論和的兩種情況下對應的解析式，綜合可得答案.
【詳解】是定義在上的周期為的偶函數，時，，
時，， ，
此時，
當時，，，
此時，
所以，
綜上可得：時，
故選：C.
變式1．（2023上·河北·高三校聯考階段練習）已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，，則當時，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的奇偶性求出時的解析式，再求出函數的周期為4，故得到時，
【詳解】由題意知，則，
所以函數是以4為周期的周期函數，又當時，，且是定義在上的奇函數，
所以時，，，
所以當時，，.
故選：B.
變式2．（2023上·江西·高三寧岡中學校考期中）已知是定義域為的奇函數，且是偶函數，當時，，則當時，的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，先分析函數的周期，由此可得，結合已知函數的解析式計算可得答案．
【詳解】因為是定義在上的奇函數，為偶函數，
所以，，即，
所以，
所以，可得，
所以的最小正周期為，
又當時，，
當時，則，所以，
又由是周期為的奇函數，
則，
故，.
故選：D．
【方法技巧與總結】
(1)遇到周期問題，要學會區間轉移，將未知區間中的x加減整周期，轉化到已知區間，再將含x式子代入已知函數．
(2)遇到周期性＋奇偶性綜合問題，可根據條件，求出一個周期上的函數關系．
題型五：周期性與奇偶性的結合
例7．（2023·高一課時練習）已知奇函數y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，則函數f(x)的周期為 ，f(2)+f(3)+f(4)= .
【答案】 4
【分析】根據函數的周期性、奇偶性求得正確答案.
【詳解】由于的定義域是，且，
所以的周期為.
由于是定義在上的奇函數，所以，
所以，
，
，
由于，所以，
所以.
故答案為：；
變式1．（2023下·河南·高三階段練習）已知是周期為2的奇函數，當時，，則的值為 .
【答案】
【詳解】試題分析：.
考點：函數的周期性與奇偶性.
【思路點晴】本題的主要思路就是將要求的中的轉換到區間內，因為已知條件是當時，.由于是周期為的周期函數，故也是周期為的周期函數，所以就有，這樣就變成了的形式，在根據是奇函數，有即可就得結果.
變式2．（2023下·高一校考課時練習）已知定義在上的奇函數以為周期，則 ．
【答案】0
【分析】根據奇函數的性質以及周期性，求出即可得到結果.
【詳解】∵是上的奇函數，
∴且，
又∵是以為周期的周期函數，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
故答案為：0.
變式3．（2023上·廣東梅州·高三校考階段練習）設是定義在上的奇函數，且對任意實數，恒有．當時，．
(1)求函數的最小正周期；
(2)計算．
【答案】(1)4
(2)0
【分析】（1）根據周期性的定義求得結果結合函數為奇函數以及上的圖象即可得函數最小正周期；
（2）利用賦值法并結合函數的周期性求得結果.
【詳解】（1），，
是周期為4的周期函數．
又當時，，是定義在上的奇函數，
所以當時，，所以
函數在上的圖象如圖所示：

由圖可得函數在上不具有周期性，
故函數的最小正周期為；
（2）．
又是周期為4的周期函數，
．
．
變式4．（2023上·寧夏·高三隆德縣中學校考階段練習）已知是定義域為的奇函數，滿足，若，則（ ）
A．50 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】由奇函數和得出函數為周期函數，周期為4，，然后計算出后可得結論．
【詳解】由函數是定義域為的奇函數，所以，且，
又由，即，
進而可得，所以函數是以4為周期的周期函數，
又由，可得，
,,
則，
所以.
故選：C.
變式5．【多選】（2023上·湖南衡陽·高一統考期末）奇函數滿足，則下列選項正確的是（ ）
A．的一個周期為2 B．
C．為偶函數 D．為奇函數
【答案】ACD
【分析】由得的對稱軸為，結合的奇函數性質對選項逐一辨析即可.
【詳解】，的對稱軸為，
，∴，A正確；
，故，，
關于時稱，故，B錯誤；
，偶函數，C正確；
，為奇函數，D正確，
故選：ACD.
變式6．【多選】（2023下·安徽·高三合肥市第六中學校聯考開學考試）已知為偶函數，且恒成立．當時．則下列四個命題中，正確的是（ ）
A．的周期是 B．的圖象關于點對稱
C．當時， D．當時，
【答案】ACD
【分析】由可以得出函數的周期，判斷選項A；由于又是偶函數，可以推出函數的對稱性，判斷選項B；是偶函數及周期性，判斷選項C，D.
【詳解】由得，，所以的周期是．A正確．
因為是偶函數，所以就是，即，所以的圖象關于直線對稱．B不正確．
根據偶函數的對稱性，C顯然正確．
當時，，則，即；
當時，，則，即．
所以D正確．
故選：ACD．
題型六：周期性與對稱性的結合
例8．（2023上·安徽·高三校聯考開學考試）已知函數的圖象關于直線對稱，且對都有當時，.則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】由已知可得，由此證明函數的周期性，確定其周期，再利用周期性的性質確定.
【詳解】函數的圖象關于直線對稱，
函數的圖象關于直線對稱，
，
取可得，
∴
又對有，
取可得，
所以.，，
，
，即，
的周期.
故選：D.
變式1．（2023上·四川綿陽·高三綿陽中學校考階段練習）已知定義在上的函數的圖象關于點對稱，且滿足 ，又，，則 .
【答案】1
【分析】由可得的周期，進而可得、，結合的圖象關于點對稱與可得關于對稱，進而可求得，從而運用周期性求值即可.
【詳解】因為，所以，
所以，即是以3為周期的函數.
所以，，
又的圖象關于點對稱，所以，
又已知，所以，
所以關于對稱，即為偶函數，則，
所以，
所以.
故答案為：1.
題型七：周期性與單調性的結合
例9．（2024上·重慶北碚·高一統考期末）已知定義在上的函數滿足：關于中心對稱，是偶函數，且在上是增函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函數平移得到是奇函數，再利用對稱性和奇偶性得到的周期為8，且在上是增函數，從而利用的性質即可得解.
【詳解】因為關于中心對稱，
所以對稱中心是，故，即是奇函數，
因為是偶函數，所以，則，
所以，因此的周期為8，
所以，，
因為在上是增函數且是奇函數，所以在上是增函數，
所以，則.
故選：C.
變式1．（2023下·山東青島·高二校考期末）已知函數的定義域為，且是偶函數，是奇函數，在上單調遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通過周期性奇偶性找到周期性，再由單調性確定函數值大小.
【詳解】是偶函數,得，即，
是奇函數，得，即，
，得
由是奇函數，得，
因為在上單調遞增，所以
，
所以，
故選：B
【點睛】是函數的對稱軸，
是函數 的對稱中心.
變式2．【多選】（2024上·河南開封·高一統考期末）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，且時，單調遞增，則下列結論正確的為（ ）
A．是偶函數
B．的圖象關于點中心對稱
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根據奇偶函數的性質可推出函數的周期，利用替換的思想，結合偶函數的定義可判斷A，得出根據中心對稱的性質判斷B，由為奇函數可得，利用周期，再由函數單調性判斷C，根據函數性質轉化為判斷的符號，利用單調性即可判斷D.
【詳解】因為為奇函數，
所以，所以，即，
因為為偶函數，所以，
所以，故，即周期為，
由，可得，故函數是偶函數，故A正確；
由可得，因為是偶函數，
所以，所以函數關于成中心對稱，故B正確；
由周期可得，而由為奇函數知，即，
又時，單調遞增，所以，故C錯誤；
因為，
且時，單調遞增，所以，即，
故D正確.
故選：ABD
一、單選題
1．（2023下·陜西寶雞·高一統考期末）下列現象不是周期現象的是（ ）
A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時轉一圈
C．“哈雷彗星”的運行時間 D．某同學每天上數學課的時間
【答案】D
【分析】根據周期現象的定義逐一判斷四個選項的正誤即可得符合題意的選項.,
【詳解】對于A：每隔一年，春天就重復一次，因此“春去春又回”是周期現象；
對于B：分針每隔一小時轉一圈，是周期現象；
對于C：天體的運行具有周期性，所以“哈雷彗星”的運行時間是周期現象；
對于D：某同學每天上數學課的時間不固定，并不是隔一段時間就會重復一次，因此不是周期現象，
故選：D.
2．（2023·高一課時練習）探索下圖所呈現的規律,判斷2 015至2 017箭頭的方向是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據探索圖所呈現的規律，找出探索圖的周期，進而即得.
【詳解】觀察題圖可知每增加4個數字就重復相同的位置，而，
則2 015 至2 017箭頭的方向與3至5箭頭的方向是相同的.
故選：D.
3．（2023下·高一課時練習）設鐘擺每經過1.8秒回到原來的位置，在圖中鐘擺達到最高位置A點時開始計時，經過1分鐘后，鐘擺的大致位置是（）
A．點A處
B．點B處
C．O、A之間
D．O、B之間
【答案】D
【分析】根據周期性求得正確答案.
【詳解】鐘擺的周期T＝1.8秒，1分鐘＝(33×1.8＋0.6)秒，
又，所以經過1分鐘后，鐘擺在O、B之間.
故選：D
4．（2023·高一課時練習）若近似認為月球繞地球公轉與地球繞太陽公轉的軌道在同一平面內，且均為正圓，又知這兩種轉動同向．如圖所示，月相變化的周期為天(下圖是相繼兩次滿月時，月、地、日相對位置的示意圖)．則月球繞地球一周所用的時間為（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【分析】根據所給信息分析即可.
【詳解】由題圖知，地球從到用時天，月球從月地日一條線重新回到月地日一條線，完成一個周期．
故選：B
5．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統考期末）定義在上的奇函數滿足，且當時，，則函數在上所有零點的和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推導出函數是周期為的周期函數，且函數的圖象關于點對稱，作出函數在上的圖象以及函數的圖象，數形結合可得出結果.
【詳解】因為定義在上的奇函數滿足，
則，所以，函數是周期為的周期函數，
則，故函數的圖象關于點對稱，
當時，，
作出函數在上的圖象以及函數的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數在上的圖象與函數的圖象共有個交點，
且這個交點有三對點關于點對稱，
因此，函數在上所有零點的和為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是通過其對稱性和奇偶性得到其周期性，再作出兩函數圖象則得到交點個數.
6．（2024上·重慶·高一西南大學附中校考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由周期函數轉換然后代入表達式求解即可.
【詳解】由題意當時，，此時是以4為周期的周期函數，
所以.
故選：C.
7．（2024上·云南大理·高一統考期末）已知是定義域為的奇函數，滿足，若，則（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【分析】根據已知條件分析出是周期為的周期函數，然后利用周期性可得，結合已知函數值可求結果.
【詳解】因為，所以，
又因為是定義域為的奇函數，所以，且,
所以，所以，
所以，所以是周期為的周期函數，
所以，，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
故選：B.
8．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）函數的最小正周期為2，且.當時，，那么在區間上，函數的圖象與函數的圖象的交點個數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】結合函數的性質，在同一個坐標系中作出兩個函數的圖象，即可判斷.
【詳解】解：由題意可知，函數周期為2，且為偶函數，函數為偶函數，
在同一個坐標系中作出它們在[-3,4]上的圖象如下，可得交點個數為6，
故選：C.
9．（2024·安徽淮北·統考一模）已知定義在上奇函數滿足，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據已知推導出函數的周期， 的范圍，利用已知和推導出的關系將所求轉化為內求解.
【詳解】因為為奇函數且滿足.
所以，即，
所以，
所以是周期為4的周期函數.
因為,所以
所以
.
故選：B
10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函數滿足，且當時，．若函數恰有4個零點，則的值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由已知得出函數的圖象關于對稱，且是周期為2的周期函數，將函數恰有4個零點，轉化為函數與函數的圖象有4個交點，畫出圖象，結合圖象即可得出函數的圖象經過點，代入求解即可得出答案.
【詳解】函數滿足，
函數的圖象關于對稱，
又函數是偶函數，
，
函數是周期為2的周期函數，
且當時，，
函數恰有4個零點，
則函數與函數的圖象有4個交點，
作出函數與函數的圖象如下：
結合圖象可得函數的圖象經過點，
即，解得，
故選：A.
11．（2023上·山東菏澤·高三校考期末）定義在上的函數滿足，當時，；當時，，則
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根據題意，得到函數的一個周期為，得到，結合題意，即可求解.
【詳解】由定義在上的函數滿足，可得是周期為的周期函數，
又由時，；時，，
則.
故選：D.
12．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學校考期末）設是定義在上的周期為的偶函數，已知當時，，則當 時，的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】當時，由可得出的表達式；當時，由函數的周期性和奇偶性可得出.綜合可得結果.
【詳解】當時，，，
當時，，，
因為函數為偶函數，則，
綜上所述，當時，.
故選：C.
13．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，對任意，都有，當時，，則在上的零點個數為（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
【答案】D
【分析】根據條件，得到函數的周期為，再根據條件得出時，，從而得出，再利用周期性及圖像即可求出結果.
【詳解】因為，令，得到，
所以，從而有，又函數是定義在上的奇函數，
所以，即，所以函數的周期為，
令，則，又當時，，
所以，得到，
故，又，所以在上的圖像如圖，
又當時，由，得到，當，由，得到，即，
又，所以，
，，
又由，得到，即，
所以，
再結合圖像知，在上的零點個數為21個，
故選：D.
二、多選題
14．（2024上·四川雅安·高一雅安中學校考階段練習）已知定義在R上的函數滿足，且當時，，則（ ）
A．是周期為2的周期函數
B．當時，
C．的圖象與的圖象有兩個公共點
D．在上單調遞增
【答案】ACD
【分析】根據已知可得，即可得出A項；根據已知求出時的解析式，進而根據周期性，得出函數在上的解析式，即可判斷B項；根據A、B的結論作出函數的圖象以及的圖象，結合端點處的函數值，結合圖象，即可判斷C項；先根據解析式，判斷得出函數在上單調遞增，即可根據周期性，得出D項.
【詳解】對于A項，由已知可得，
所以，是周期為2的周期函數，故A正確；
對于B項，，則.
由已知可得，.
又，
所以，.
又的周期為2，所以.
，則，，
所以，.故B錯誤；
對于C項，由A、B可知，當時，；
當時，，且的周期為2.
作出函數以及的圖象，
顯然，當時，的圖象與的圖象沒有交點.
又，，，
由圖象可知，的圖象與的圖象有兩個公共點，故C項正確；
對于D項，，則，.
又的周期為2，所以在上單調遞增.
當時，，顯然在上單調遞增.
且，
所以，在上單調遞增.
根據函數的周期性可知，在上單調遞增.故D正確.
故選：ACD.
15．（2023上·湖南·高一衡陽縣第一中學校聯考階段練習）已知定義在上的奇函數滿足：①；②當時，．下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．當時，
D．方程有個實數根
【答案】ACD
【分析】推導出函數的周期為，結合周期性可判斷AB選項；利用周期性和對稱性求出函數在上的解析式，可判斷C選項；數形結合可判斷D選項.
【詳解】對AB，因為函數在上為奇函數，故，
因為，即，則，
故，故的周期為，故，故A正確，B錯誤；
對C，因為是奇函數，所以當時，，
故，則，
當時，，，
故當時，，故C正確；
對D，，即，如下圖所示：
由圖可知，直線與函數的圖象共有個交點，故D正確．
故選：ACD．
16．（2023下·吉林長春·高二長春市第十七中學校考期中）定義在上的奇函數滿足，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．時，
C．
D．函數有對稱軸
【答案】ACD
【分析】根據函數的性質推導可判斷A；結合周期性由時的解析式即可得時的解析式，從而可判斷B；根據函數周期性與對稱性即可判斷C、D.
【詳解】因為，所以，
則，所以，故A正確；
又當時，，
則當時，，，故B不正確；
由，可得函數的周期為6，
可得，
又函數是上的奇函數，則，
所以，即，
所以，故C正確；
由A選項知，，又，
則，所以函數有對稱軸，故D正確.
故選：ACD.
17．（2023·全國·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，函數為奇函數，為偶函數，為奇函數，的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的一個周期為6
B．函數的一個周期為8
C．若，則
D．若當時，，則當時，
【答案】BCD
【分析】A選項：為奇函數，得到，結合因為為偶函數，得到，故的最小正周期為12，A不正確
B選項：關于直線對稱，得到，又是奇函數，所以，故，得到的一個周期為8，所以B正確；
C選項：由A選項得，賦值后得到，由為R上的奇函數，得到，結合，得，結合和的最小正周期得到，所以C正確；
D選項：根據的最小正周期和得到，從而求出時的函數解析式．
【詳解】A選項：因為為奇函數，所以，
令，得，則．
因為為偶函數，所以，
令，得，所以，
所以，故，
所以函數的周期為12，所以A不正確；
B選項：因為的圖象關于直線對稱，所以，所以．
又是奇函數，所以，
所以，所以函數的周期為8，所以B正確；
C選項：由A選項得，得，
令，則，所以．
因為為R上的奇函數，所以，
則由，得，
所以，所以C正確．
D選項：因為當時，，所以當時，，
所以．
所以當時，，所以D正確．
故選：BCD.
【點睛】設函數，，，．
（1）若，則函數的周期為2a；
（2）若，則函數的周期為2a；
（3）若，則函數的周期為2a；
（4）若，則函數的周期為2a；
（5）若，則函數的周期為；
（6）若函數的圖象關于直線與對稱，則函數的周期為；
（7）若函數的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；
（8）若函數的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；
（9）若函數是偶函數，且其圖象關于直線對稱，則的周期為2a；
（10）若函數是奇函數，且其圖象關于直線對稱，則的周期為4a．
18．（2024上·廣東佛山·高一統考期末）已知函數滿足：對任意的，都存，且，則（ ）
A．是奇函數 B．
C．的值域為 D．
【答案】BD
【分析】由題意可得函數是奇函數，且的圖象關于對稱，進而可求出函數的周期，再逐一分析即可得解.
【詳解】因為，所以函數是奇函數，
因為，所以函數的圖象關于對稱，
對于A，若是奇函數，則，
故，與題意矛盾，所以不是奇函數，故A錯誤；
對于B，由，得，
所以，所以，故B正確；
對于C，根據題意不能得出函數的單調性，所以無法確定函數的值域，故C錯誤；
對于D，由B選項可得，所以函數是以為周期的周期函數，
因為是奇函數，所以，則，，
由，可得，
所以，
則，故D正確.
故選：BD.
19．（2024上·河北張家口·高一統考期末）已知定義在上的奇函數滿足，且當時，.則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．
C． D．方程有5個不等的實數根
【答案】ABD
【分析】根據題意，利用函數的對稱性，結合圖像逐項判斷即可.
【詳解】對于A，令，，則，可知函數滿足當時，，即函數的圖象關于直線對稱，故A正確；
對于BC，方法如下
利用函數圖象既關于原點對稱又關于直線對稱，且當時，.可以將圖象拓展如圖所示
由圖象規律可知B正確；，故C錯誤；
對于D，的解的個數問題可轉化為曲線與圖象的交點個數問題如圖所示：
所以D正確；
故選：ABD.
三、填空題
20．（2023下·高一課時練習）如圖所示，變量y與時間t(s)的圖象如圖所示，則時間t至少隔 s時，y＝1會重復出現1次.
【答案】2
【分析】根據圖象即可求解.
【詳解】由圖象可知：，所以至少隔2時，會重復出現1次，
故答案為：2.
21．（2024上·重慶九龍坡·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，且，當時，，則 ．
【答案】/
【分析】先判斷出的周期，然后得到，再根據奇偶性得到，結合已知函數解析式求解出，則的值可知.
【詳解】因為，所以是周期為的周期函數，
所以，
又因為是定義在上的奇函數，
所以，
所以，
故答案為：.
22．（2024上·云南昆明·高一統考期末）定義在上的奇函數滿足，且，則 ．
【答案】3
【分析】根據函數的周期性以及奇偶性即可求解.
【詳解】由可得為周期函數，且周期為4，
又為上的奇函數，所以，
，
故答案為：3
23．（2024上·陜西西安·高一高新一中校考階段練習）已知是定義在上的函數且圖象關于點對稱，是偶函數，若當時，，則 ．
【答案】
【分析】由函數的對稱性和奇偶性，得函數的奇偶性和周期性，得函數在時的解析式，求得的值.
【詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以函數的圖象關于點對稱，所以是定義在上的奇函數，，
又因為函數是偶函數，所以函數的圖象關于直線對稱，，
所以，函數是一個周期為4的周期函數，
因為時，，所以，，
.
故答案為：-1.
【點睛】函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，可通過代換得到函數的周期性.
24．（2024上·云南昆明·高一統考期末）已知函數的定義域為，且，，當時，，則 .
【答案】
【分析】依題意可得為偶函數且是周期為的周期函數，根據周期性及所給解析式計算可得.
【詳解】因為函數的定義域為，且，，
所以為偶函數且是周期為的周期函數，
又當時，，
所以.
故答案為：
四、解答題
25．（2023上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）函數滿足，函數的圖象關于點對稱，求的值.
【答案】0
【分析】由條件可得函數是周期為12的周期函數，由周期性得，再由圖象平移關系可得的對稱性，結合對稱性與周期性賦值得與的兩個等式，解出即可.
【詳解】根據題意，由，
知，
兩式相減，得，即是周期為12的周期函數，
由，.
又由的圖象關于點對稱，
且的圖象是由的圖象向左平移一個單位長度得到的，
則的圖象關于點對稱，即是奇函數.
由周期為，可得，
而為奇函數，則，所以，
故.
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知函數是定義在上的奇函數，且．
(1)求的函數值；
(2)證明：為周期函數．
【答案】(1)0
(2)證明見解析
【分析】（1）根據函數是定義在上的奇函數，得到，再由，利用賦值法求解；
（2）由函數是定義在上的奇函數，得到，再由，利用周期函數的定義求解.
【詳解】（1）解：因為函數是定義在上的奇函數，
所以，
又因為，
所以，
則；
（2）因為函數是定義在上的奇函數，
所以，又，
所以，即，
則，
所以是以4為周期的周期函數.
27．（2024上·江蘇淮安·高一統考期末）已知是定義在R上的函數，滿足：，，且當時，．
(1)求的值；
(2)當時，求的表達式；
(3)若函數在區間（）上的值域為，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或.
【分析】（1）根據抽象函數的對稱性和周期性計算即可；
（2）根據奇函數的定義與性質計算即可；
（3）根據二次函數的單調性先確定，再分類討論計算即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，
故是奇函數，且為其一個周期，且關于軸對稱，
所以；
（2）結合（1）的結論可令，則，
所以；
（3）由（1）（2）可知，
由二次函數單調性可知在上單調遞增，且，
所以，則，
若，則，此時，
若，則，此時，
若，則，此時.
故的值為或或.
28．（2023·全國·高一隨堂練習）函數是周期為2的周期函數，且，．
(1)畫出函數在區間上的圖象，并求其單調區間、零點、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在區間上的解析式，其中．
【答案】(1)答案見解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根據周期性及已知區間解析式畫出函數圖象，數形結合確定單調區間、零點、最值；
（2）利用周期性求函數值即可；
（3）由，代入已知解析式，根據周期性即可得解析式.
【詳解】（1）由的周期性及上解析式，得區間上的圖象如下：

由上圖知：增區間為，減區間為；
零點為共3個；最大值為1，最小值為0.
（2）由題設.
（3）令且，則，
又，則，即，
綜上，在區間上，.
29．（2023上·上海·高一華師大二附中校考期中）已知定義在全體實數上的函數滿足：①是偶函數；②不是常值函數；③對于任何實數，都有．
(1)求和的值；
(2)證明：對于任何實數，都有；
(3)若還滿足對有，求的值．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）取，代入計算得到，取得到，得到答案.
（2）取，結合函數為偶函數得到，變換得到，得到證明.
（3）根據函數的周期性和奇偶性計算，取和取，得到，根據周期性得到，計算得到答案.
【詳解】（1）
取，得到，即；
取得到，
不是常值函數，故；
（2），
取得到，
是偶函數，故，即，
.
（3），為偶函數，
取，則，即；
取，則，即；
故，
，，，
故，
取得到，
取，得到，
，，解得，
.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑