資源簡介

1.2 任意角3種常見考法歸類
課程標準 學習目標
了解任意角的概念 通過本節課的學習，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角.
知識點01角的概念推廣
1．角的概念：平面內一條射線繞著它的端點旋轉到終止位置，形成角．
2．角的分類：按逆時針方向旋轉形成的角叫正角，按順時針方向旋轉形成的角叫負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角．
注：(1)表示角時，箭頭的方向代表角的正負，因此箭頭不能丟掉；順時針旋轉形成負角常常被忽視；(2)為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記成“α”．
【即學即練1】（2024·全國·高一課堂例題）時針走過1小時50分鐘，則分針轉過的角度是__________．
【答案】
【解析】，則，時針都是順時針旋轉，時針走過小時分鐘，分針轉過的角的度數為，故答案為．
【即學即練2】（2024·全國·高一課堂例題）自行車大鏈輪有36齒，小鏈輪有24齒，當大鏈輪轉過一周時，小鏈輪轉過的角度是_____________度．
【答案】–540°
【解析】因為大鏈輪轉過一周時，小鏈輪轉36齒．而小鏈輪有24齒，故小鏈輪轉周，一周為360°，而大鏈輪和小鏈輪轉動的方向相反，故小鏈輪轉過的角度為–360°×=540°，故答案為：–540°．
知識點02象限角
在直角坐標系中研究角時，當角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
象限角 角的表示
第一象限的角 {α|k·360°<α第二象限的角 {α|k·360°+90°<α第三象限的角 {α|k·360°+180°<α第四象限的角 {α|k·360°–90°<α注：軸線角的集合表示
角的終邊位置 集合表示
軸的非負半軸
軸的非正半軸
軸上
軸非負半軸
軸非正半軸
軸上
【即學即練3】（2024·全國·高一課堂例題）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由于，而位于第二象限，故是第二象限角．故選B．
【即學即練4】（2024·全國·高一課堂例題）下列說法中正確的序號有__________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
【答案】①②③④
【解析】由題意，①是第四象限角，是正確的；②是第三象限角，是正確的；
③，其中是第二象限角，所以為第二象限角是正確的；
④，其中是第一象限角是正確的，所以正確的序號為①②③④．
【即學即練5】（2024·全國·高一課堂例題）在，，，，這五個角中，第二象限角有__________個．
【答案】4
【解析】，所以是第二象限角．是第二象限角．是第二象限角．不是第二象限角．是第二象限角，故第二象限角有個．
由①②，得α=15°，β=65°．
【即學即練6】（2024·全國·高一課堂例題）已知θ為第二象限角，那么是（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
【答案】D.
【解析】本題是通過給定角的象限情況，來判斷此角的整數倍可整分后的角的位置問題.
法一： 已知θ為第二象限角，所以有，
得到，
討論：，此時位于第一象限；
，此時位于第二象限；
，此時位于第四象限；
法二：可以用單位圓來畫分角位于的象限：
由圖可知位于一、二、四象限.
【即學即練7】（2024·全國·高一課堂例題）已知α銳角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角 B．第一象限角
C．第二象限角 D．第一或二象限角
【答案】A
【解析】∵α銳角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故選A．
知識點03 終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．
注：(1)α為任意角，“k∈Z”這一條件不能漏．
(2)k·360 °與α中間用“＋”連接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)當角的始邊相同時，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無數個，它們相差360 °的整數倍．終邊不同則表示的角一定不同．
【即學即練8】（2024·全國·高一課堂例題）下列各角中與角終邊相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以與終邊相同．故選A．
【即學即練9】（2024·全國·高一課堂例題）在集合中，屬于之間的角的集合是__________．
【答案】
【解析】由于，令，得，令，得．令取其它整數值時，得到的角不在之間，故所求角的集合為．
題型一：任意角的概念及應用
例1.（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分針撥快15分鐘，則分針轉過的角度為 .
【答案】
【分析】分針撥快15分鐘，則分針轉過的角度為，計算得到答案.
【詳解】分針撥快15分鐘，則分針轉過的角度為.
故答案為：.
變式1.（2023上·高一課時練習）如圖，射線繞頂點逆時針旋轉到位置，并在此基礎上順時針旋轉120到達位置，則 ．
【答案】．
【分析】由角的定義即可求解.
【詳解】由角的定義可得．
故答案為：
變式2.（2023上·高一校考課時練習）已知集合A={| 為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（ ）
A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D
【答案】D
【分析】根據題意，將各個集合化簡，即可得到結果.
【詳解】因為A={| 為銳角}，
D={|為小于的正角}，
對于集合，小于的角包括零角與負角，
對于集合，C={|為第一象限角}，
所以A=D，
故選：D
【方法技巧與總結】
與角的概念有關問題的解決方法
正確解答角的概念問題，關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小．另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可．
題型二：終邊相同的角
例2.（2023上·安徽·高二校聯考期中）在平面直角坐標系中，下列與角 終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用終邊相同的角的定義計算即可.
【詳解】由題意可知，所以與 終邊相同.
故選：B
變式1.（2023上·廣東東莞·高一校考期中）請寫出與終邊相同的最小正角： .
【答案】
【分析】利用終邊相同的角的定義可得出結果.
【詳解】因為，故與終邊相同的最小正角為.
故答案為：.
變式2.（2023·全國·高一隨堂練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根據終邊相同角的定義可寫出滿足條件的角的集合，然后解不等式，求出滿足條件的整數的值，即可得出滿足條件的元素.
【詳解】（1）解：與終邊相同的角的集合為，
由，可得，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，適合不等式的元素為、、.
（2）解：因為，
所以，與終邊相同的角的集合為，
由，可得，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，適合不等式的元素為、、.
（3）解：因為，
所以，與終邊相同的角的集合為，
由，可得、、，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，適合不等式的元素為、、.
（4）解：因為，
所以，與終邊相同的角的集合為，
由，可得，
當時，，
當時，，
當時，.
所以，適合不等式的元素為、、.
變式3.（2024·全國·高一課堂例題）終邊在第二、四象限的角平分線上的角可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用角所在射線分別求解終邊相同角，然后得到結果．
【詳解】
解：角的終邊在第二象限的角平分線上，可表示為：，，
角的終邊在第四象限的角平分線上，可表示為：
，．
故當角的終邊在第二、四象限的角平分線上時，可表示為：，．
故選：．
變式4.（2024·全國·高一課堂例題）若角，，（，），則角與的終邊的位置關系是（ ）
A．重合 B．關于原點對稱
C．關于軸對稱 D．關于軸對稱
【答案】D
【解析】，所以與終邊相同，，所以與終邊相同，又，即終邊關于軸對稱，與終邊關于軸對稱，故選D．
【方法技巧與總結】
(1)寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟
①寫出在[0°，360°)內相應的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③根據條件能合并一定合并，使結果簡潔．
(2)終邊相同角常用的三個結論
①終邊相同的角之間相差360°的整數倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍．
題型三：象限角與區域角的表示
象限角的判定
例3.（2024·全國·高一課堂例題）的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】應用終邊相同的角即可求解.
【詳解】的終邊與相同，則終邊在第一象限.
故選：A．
變式1.（2023·全國·高一課堂例題）在區間內找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)280°，第四象限角
(2)160°，第二象限角
(3)，第三象限角
【分析】通過角的終邊所成角為，分別對各個小問進行化簡，并在區間內找出與之終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．
【詳解】（1）因為，所以在區間內，與角終邊相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因為，所以在區間內，與1600°角終邊相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因為，所以在區間內，與角終邊相同的角是，它是第三象限角．
變式2.（2024·全國·高一課堂例題）若，，則所在象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A
【分析】對進行賦值即可判斷.
【詳解】當時，為第一象限角，當時，為第三象限角，
故選：A.
變式3.（2024·全國·高一課堂例題）若α是第四象限角，則180°－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】
根據與的對稱性，以及與的對稱性，即可求出結論.
【詳解】
因為與關于軸對稱
而是第四象限角，所以是第一象限角，
又與關于原點對稱，
所以是第三象限角.
故選：C.
例4.（2023上·天津河東·高三校考階段練習）若是第二象限角，則是 象限
【答案】第一或第三
【分析】先求出在第二象限時的表示，再求出的表示，最后討論偶數和奇數的情況，即可得出結論.
【詳解】由題可知，第二象限角，
所以，
所以，
當為偶數時，在第一象限；
當為奇數時，在第三象限.
故答案為：第一或第三
變式1，（2024·全國·高一課堂例題）已知角的終邊與300°角的終邊重合，則的終邊不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先求得的表達式，進而可得的表達式，對k賦值，分析即可得答案
【詳解】
因為角的終邊與300°角的終邊重合，
所以，所以，
令，，終邊位于第二象限；
令，，終邊位于第三象限，
令，，終邊位于第四象限，
令，，終邊位于第二象限
所以的終邊不可能在第一象限，
故選：A
區域角的表示
例5.（2023下·四川眉山·高一校考期中）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

【解析】（1）①
；
②．
變式1.（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學校考階段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 ．

【答案】．
【分析】寫出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.
【詳解】由圖，陰影部分下側終邊相同的角為，上側終邊相同的角為且，
所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.
故答案為：
變式2.（2024·全國·高一課堂例題）寫出終邊在圖中陰影區域(包括邊界)內的角的集合.
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】
寫出終邊在邊界上的角，結合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內的角.
【詳解】
（1）終邊在邊界上的角為，，
終邊在陰影部分的角滿足：，
所求角的集合為
（2）終邊落在邊界上的角為，，終邊落在坐標軸上的角，，
終邊落在陰影區域內的角為，
故所求角的集合為，
（3）終邊落在邊界上的角為，，，
終邊在陰影部分的角滿足：，
故所求角的集合為
【點睛】
本題主要考查了終邊在指定區域的角的表示，終邊相同的角，屬于中檔題.
變式3.（2023上·高一課時練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據圖形先求出終邊在角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在角的終邊所在直線上的角的集合，從而可求出角的取值范圍，進而可求得的取值范圍
【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
因此終邊在題圖中的陰影區域內的角的取值范圍是，
所以角的取值范圍是，
故答案為：
【方法技巧與總結】
區域角是指終邊落在坐標系的某個區域內的角．其寫法可分為三步：
(1)按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界；
(2)由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°到360°范圍內的角α和β，并將該范圍內的區域角表示為{x|α(3)起始、終止邊界對應角α、β再加上360°的整數倍，即得區域角的范圍．
一、單選題
1．（2024上·全國·高一專題練習）給出下列四個命題：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】利用終邊相同的角將角轉化在范圍內確定象限即可.
【詳解】①②顯然為真命題；
③為真命題，∵角與角的終邊相同，角是第二象限角，∴角是第二象限角；
④為真命題，∵角與角的終邊相同，角是第一象限角，∴角是第一象限角．
故真命題有4個．
故選：D．
2．（2023上·福建泉州·高一福建省德化第一中學校聯考階段練習）若角與角的終邊相同，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用終邊相同的角的特征即可得解.
【詳解】因為角與角的終邊相同，
所以，則.
故選：B.
3．（2023上·上海·高一上海市建平中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】結合任意角的概念分析即可.
【詳解】因為銳角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；
因為鈍角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；
若兩個角的終邊不重合，則這兩個角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故選：B.
4．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯考期末）若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則的終邊落在（　　）
A．軸的非負半軸 B．第一象限
C．軸的非負半軸 D．第三象限
【答案】A
【分析】由對稱可知，得終邊所在位置.
【詳解】角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則角的終邊與角的終邊相同，
得，則有，
所以的終邊落在軸的非負半軸．
故選：A．
5．（2024上·山西太原·高一統考期末）與角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由終邊相同的角的定義計算即可得.
【詳解】與角終邊相同的角為，
當時，有，D正確，其他選項檢驗均不成立.
故選：D.
6．（2024上·河南商丘·高一統考期末）下列與角終邊相同的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據終邊相同的角的定義列式逐項檢驗即可.
【詳解】與角終邊相同的角為，
對于選項A：令，解得，故A錯誤；
對于選項B：令，解得，故B錯誤；
對于選項C：令，解得，故C錯誤；
對于選項D：令，解得，故D正確；
故選：D.
7．（2023上·江蘇連云港·高一校考階段練習）如果是第三象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【分析】根據得到，討論的奇偶性得到答案.
【詳解】是第三象限角，則，
故，
當為偶數時，在第三象限；當為奇數時，在第一象限；
故選：C.
8．（2024上·河北唐山·高一統考期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】，再根據終邊相同的角的集合，判斷是第幾象限角，即可求出結果.
【詳解】因為，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故選：C.
9．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意，根據角的定義和象限角的概念可判斷各個選項.
【詳解】因為是第一象限角，所以是第四象限角，
則是第一象限角，故A錯誤；是第二象限角，故B錯誤；
是第四象限角，故C正確；是第一象限角，故D錯誤.
故選：C.
10．（2024上·山東棗莊·高一統考期末）已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據鈍角的范圍，即可得出選項C正確，再由第二象限角的范圍，即可判斷出選項ABD的正誤，從而得出結果.
【詳解】因為鈍角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故選項C正確，
又第二象限角的范圍為，
不妨取，此時是第二象限角，但，所以選項ABD均錯誤，
故選：C.
11．（2023上·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學校考階段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據角的終邊在直線上，利用終邊相同的角的寫法，考慮角的終邊的位置的兩種情況，即可求出角的集合.
【詳解】由題意知角的終邊在直線上，
故或，
即或，
故角的取值集合為，
故選：D
二、多選題
12．（2023下·湖南株洲·高一統考開學考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】CD
【分析】求出給定的各個角與到間終邊相同的角，即可作答.
【詳解】對于①，，而是第三象限角，①不是；
對于②，角的終邊為x軸非正半軸，②不是；
對于③，，是第二象限角，③是；
對于④，，是第二象限角，④是.
故選：CD
13．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知是第二象限角，則可以是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【分析】根據是第二象限角，寫出的取值范圍，再求的取值范圍，即可得出是第幾象限角.
【詳解】因為是第二象限角，即，，
所以，，
當k為偶數時，是第一象限角，
當k為奇數時，是第三象限角．
故選：AC．
14．（2022上·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考階段練習）如果角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，那么的可能值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由已知，表示出，再判斷各選項．
【詳解】角與角的終邊相同，，
角與角的終邊相同，,
∴，
即與角終邊相同，選項AC符合題意.
故選：AC．
15．（2018下·遼寧營口·高一大石橋市第二高級中學階段練習）與角終邊相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據終邊相同的角的定義直接求解即可.
【詳解】與終邊相同的角可寫為：，
，，，
與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.
故選：AC.
16．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯考期中）設為第二象限角，則可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】CD
【分析】為第二象限角，得到，得到答案.
【詳解】為第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或軸的負半軸.
故選：CD
三、填空題
17．（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學校考階段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 ．

【答案】．
【分析】寫出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.
【詳解】由圖，陰影部分下側終邊相同的角為，上側終邊相同的角為且，
所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.
故答案為：
18．（2023·全國·高一隨堂練習）在范圍內，與角終邊相同的是 ，是第 象限角．
【答案】 一
【分析】根據終邊相同的角的定義以及象限角的定義可得出結果.
【詳解】因為，
所以，在范圍內，與角終邊相同的是，它是第一象限角.
故答案為：；一.
19．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）時針走過1小時30分鐘，則分鐘轉過的角度是 .
【答案】
【分析】由題意分針順時針轉過1圈半，結合任意角定義寫出轉過的角度.
【詳解】時針走過1小時30分鐘，則分針順時針轉過1圈半，即轉過.
故答案為：.
20．（2024上·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學校考期末）2024°角的終邊在第 象限.
【答案】三
【分析】根據終邊相同的角判斷即可.
【詳解】且角是第三象限角，
角的終邊在第三象限.
故答案為：三.
21．（2023上·高一課時練習）如圖，射線繞頂點逆時針旋轉到位置，并在此基礎上順時針旋轉120到達位置，則 ．
【答案】．
【分析】由角的定義即可求解.
【詳解】由角的定義可得．
故答案為：
22．（2023·全國·高一課堂例題）下列所示圖形中，的是 ；的是 ．

【答案】 ①④ ②③
【分析】根據角的終邊與始邊的位置依次去判斷即可.
【詳解】在①中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；
在②中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；
在③中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；
在④中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以.
的是①④；的是②③.
故答案為：①④；②③.
23．（2024上·全國·高一專題練習）若角的終邊與角的終邊相同，則終邊與角的終邊相同的鈍角為 ．
【答案】
【分析】根據終邊相同角的表示方法，求得，結合，列出不等式，求得的值，即可求解.
【詳解】因為角的終邊與角的終邊相同，可得，
則，令，
即，則，
又因為，所以，
所以終邊與角的終邊相同的鈍角為．
故答案為：.
四、解答題
24．（2023·全國·高一隨堂練習）在平面直角坐標系中，判斷下列各命題的真假：
(1)銳角是第一象限角；
(2)第一象限的角一定是銳角；
(3)鈍角是第二象限角；
(4)第二象限的角一定是鈍角；
(5)終邊相同的角一定相等；
(6)相等的角終邊一定相同；
(7)小于的角一定是銳角；
(8)終邊與直線重合的角表示為，．
【答案】(1)真
(2)假
(3)真
(4)假
(5)假
(6)真
(7)假
(8)假
【分析】（1）（2）（3）（4）根據象限角的定義判斷可得出結論；
（5）（6）（7）（8）根據終邊相同的角的定義判斷可得出結論.
【詳解】（1）解：銳角是第一象限角，該命題為真命題.
（2）解：為第一象限角，但不是銳角，故原命題為假命題.
（3）解：鈍角是第二象限角，該命題為真命題.
（4）解：為第二象限角，但不是鈍角，故原命題為假命題.
（5）解：和的終邊相同，但這兩個角不相等，故原命題為假命題.
（6）解：相等的角終邊一定相同，故原命題為真命題.
（7）解：不是銳角，故原命題為假命題.
（8）解：若角的終邊在射線上，則該角可表示為，，
若角的終邊在射線上，則該角可表示為，，
所以，終邊與直線重合的角表示為，，
故原命題為假命題.
25．（2023·全國·高一課堂例題）在區間內找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)280°，第四象限角
(2)160°，第二象限角
(3)，第三象限角
【分析】通過角的終邊所成角為，分別對各個小問進行化簡，并在區間內找出與之終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．
【詳解】（1）因為，所以在區間內，與角終邊相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因為，所以在區間內，與1600°角終邊相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因為，所以在區間內，與角終邊相同的角是，它是第三象限角．
26．（2023上·全國·高一專題練習）已知角的頂點與原點重合， 角的始邊與x軸的非負半軸重合，請作出下列各角，并指出它們各是哪個象限的角？
(1)420 ；
(2)－75 ；
(3)855 ；
(4)－510
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】根據任意角在坐標系中的畫法畫圖即可，（畫圖標準為：角的頂點在原點，始邊在軸正半軸，正角逆時針旋轉，負角順時針旋轉）進而可判斷角所在象限.
【詳解】解：
27．（2024上·全國·高一專題練習）（1）寫出終邊在直線上的角的集合．
（2）寫出終邊在射線（）與（）上的角的集合．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）終邊在直線上的角是與角終邊相同角的集合和角終邊相同角的集合的并集，求并集得結果；（2）終邊在射線（）上的角即與角終邊相同角的集合，終邊在射線（）上的角即與角終邊相同角的集合.
【詳解】（1）如圖，在范圍內，終邊在直線上的角為和，因此終邊在直線上的角的集合為
.
∴終邊在直線上的角的集合為．
（2）終邊在射線（）上的角即與角終邊相同，集合為，
終邊在射線（）上的角即與角終邊相同，集合為．
28．（2023·全國·高一隨堂練習）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)的終邊在第二或第四象限
(2)的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負半軸上
(3)的終邊在第二 第三或第四象限
(4)的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負半軸上
【分析】由為第四象限角可知，根據不等式的性質可得，，，角終邊所在區域，對分類討論可得角終邊所在的位置.
【詳解】（1）由于為第四象限角，所以，
所以，
當時，，終邊在第二象限，
當時，，終邊在第四象限，
所以的終邊在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負半軸上.
（3）由（1）得，
當時，，終邊在第二象限，
當時，，終邊在第三象限，
當時，，終邊在第四象限，
所以的終邊在第二 第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負半軸上.
29．（2019·高一課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】寫出終邊在邊界上的角，結合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內的角，注意邊界的虛實.
【詳解】（1）在范圍內，圖中終邊在第二象限的區域邊界線所對應的角為，終邊在第四象限的區域邊界線所對應的角為，
因此，陰影部分區域所表示的集合為；
（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區域表示的角的集合為，
圖中從第二象限到第三象限陰影部分區域所表示的角的集合為
，
因此，陰影部分區域所表示角的集合為
.
30．（2023下·河南駐馬店·高一校考階段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）
【分析】根據給定的圖形，直接寫出角的集合表示作答.
【詳解】（1）；
（2）
.
31．（2024上·全國·高一專題練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影部分內，試指出角組成的集合．
【答案】
【分析】先寫出邊界角，按逆時針方向旋轉即可.
【詳解】終邊在射線OB上的角的集合為，終邊在射線OA上的角的集合為，所以角組成的集合為．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.2 任意角3種常見考法歸類
課程標準 學習目標
了解任意角的概念 通過本節課的學習，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角.
知識點01角的概念推廣
1．角的概念：平面內一條射線繞著它的端點旋轉到終止位置，形成角．
2．角的分類：按逆時針方向旋轉形成的角叫正角，按順時針方向旋轉形成的角叫負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角．
注：(1)表示角時，箭頭的方向代表角的正負，因此箭頭不能丟掉；順時針旋轉形成負角常常被忽視；(2)為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記成“α”．
【即學即練1】（2024·全國·高一課堂例題）時針走過1小時50分鐘，則分針轉過的角度是__________．
【即學即練2】（2024·全國·高一課堂例題）自行車大鏈輪有36齒，小鏈輪有24齒，當大鏈輪轉過一周時，小鏈輪轉過的角度是_____________度．
知識點02象限角
在直角坐標系中研究角時，當角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
象限角 角的表示
第一象限的角 {α|k·360°<α第二象限的角 {α|k·360°+90°<α第三象限的角 {α|k·360°+180°<α第四象限的角 {α|k·360°–90°<α注：軸線角的集合表示
角的終邊位置 集合表示
軸的非負半軸
軸的非正半軸
軸上
軸非負半軸
軸非正半軸
軸上
【即學即練3】（2024·全國·高一課堂例題）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【即學即練4】（2024·全國·高一課堂例題）下列說法中正確的序號有__________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
【即學即練5】（2024·全國·高一課堂例題）在，，，，這五個角中，第二象限角有__________個．
【即學即練6】（2024·全國·高一課堂例題）已知θ為第二象限角，那么是（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
【即學即練7】（2024·全國·高一課堂例題）已知α銳角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角 B．第一象限角
C．第二象限角 D．第一或二象限角
知識點03 終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．
注：(1)α為任意角，“k∈Z”這一條件不能漏．
(2)k·360 °與α中間用“＋”連接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)當角的始邊相同時，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無數個，它們相差360 °的整數倍．終邊不同則表示的角一定不同．
【即學即練8】（2024·全國·高一課堂例題）下列各角中與角終邊相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練9】（2024·全國·高一課堂例題）在集合中，屬于之間的角的集合是__________．
題型一：任意角的概念及應用
例1.（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分針撥快15分鐘，則分針轉過的角度為 .
變式1.（2023上·高一課時練習）如圖，射線繞頂點逆時針旋轉到位置，并在此基礎上順時針旋轉120到達位置，則 ．
變式2.（2023上·高一校考課時練習）已知集合A={| 為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（ ）
A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D
【方法技巧與總結】
與角的概念有關問題的解決方法
正確解答角的概念問題，關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小．另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可．
題型二：終邊相同的角
例2.（2023上·安徽·高二校聯考期中）在平面直角坐標系中，下列與角 終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023上·廣東東莞·高一校考期中）請寫出與終邊相同的最小正角： .
變式2.（2023·全國·高一隨堂練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式3.（2024·全國·高一課堂例題）終邊在第二、四象限的角平分線上的角可表示為（ ）
A． B．
C． D．
變式4.（2024·全國·高一課堂例題）若角，，（，），則角與的終邊的位置關系是（ ）
A．重合 B．關于原點對稱
C．關于軸對稱 D．關于軸對稱
【方法技巧與總結】
(1)寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟
①寫出在[0°，360°)內相應的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③根據條件能合并一定合并，使結果簡潔．
(2)終邊相同角常用的三個結論
①終邊相同的角之間相差360°的整數倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍．
題型三：象限角與區域角的表示
象限角的判定
例3.（2024·全國·高一課堂例題）的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
變式1.（2023·全國·高一課堂例題）在區間內找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
變式2.（2024·全國·高一課堂例題）若，，則所在象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
變式3.（2024·全國·高一課堂例題）若α是第四象限角，則180°－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例4.（2023上·天津河東·高三校考階段練習）若是第二象限角，則是 象限
變式1，（2024·全國·高一課堂例題）已知角的終邊與300°角的終邊重合，則的終邊不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
區域角的表示
例5.（2023下·四川眉山·高一校考期中）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

變式1.（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學校考階段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 ．

變式2.（2024·全國·高一課堂例題）寫出終邊在圖中陰影區域(包括邊界)內的角的集合.
變式3.（2023上·高一課時練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角的取值范圍是 ．
【方法技巧與總結】
1.“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以是大于360°的角，還可以是負角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負角．
2.區域角是指終邊落在坐標系的某個區域內的角．其寫法可分為三步：
(1)按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界；
(2)由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°到360°范圍內的角α和β，并將該范圍內的區域角表示為{x|α(3)起始、終止邊界對應角α、β再加上360°的整數倍，即得區域角的范圍．
一、單選題
1．（2024上·全國·高一專題練習）給出下列四個命題：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2023上·福建泉州·高一福建省德化第一中學校聯考階段練習）若角與角的終邊相同，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·上海·高一上海市建平中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯考期末）若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則的終邊落在（　　）
A．軸的非負半軸 B．第一象限
C．軸的非負半軸 D．第三象限
5．（2024上·山西太原·高一統考期末）與角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·河南商丘·高一統考期末）下列與角終邊相同的角為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江蘇連云港·高一校考階段練習）如果是第三象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
8．（2024上·河北唐山·高一統考期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
9．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·山東棗莊·高一統考期末）已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學校考階段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
12．（2023下·湖南株洲·高一統考開學考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
13．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知是第二象限角，則可以是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
14．（2022上·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考階段練習）如果角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，那么的可能值為（ ）
A． B． C． D．
15．（2018下·遼寧營口·高一大石橋市第二高級中學階段練習）與角終邊相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯考期中）設為第二象限角，則可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
三、填空題
17．（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學校考階段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 ．

18．（2023·全國·高一隨堂練習）在范圍內，與角終邊相同的是 ，是第 象限角．
19．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）時針走過1小時30分鐘，則分鐘轉過的角度是 .
20．（2024上·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學校考期末）2024°角的終邊在第 象限.
21．（2023上·高一課時練習）如圖，射線繞頂點逆時針旋轉到位置，并在此基礎上順時針旋轉120到達位置，則 ．
22．（2023·全國·高一課堂例題）下列所示圖形中，的是 ；的是 ．

23．（2024上·全國·高一專題練習）若角的終邊與角的終邊相同，則終邊與角的終邊相同的鈍角為 ．
四、解答題
24．（2023·全國·高一隨堂練習）在平面直角坐標系中，判斷下列各命題的真假：
(1)銳角是第一象限角；
(2)第一象限的角一定是銳角；
(3)鈍角是第二象限角；
(4)第二象限的角一定是鈍角；
(5)終邊相同的角一定相等；
(6)相等的角終邊一定相同；
(7)小于的角一定是銳角；
(8)終邊與直線重合的角表示為，．
25．（2023·全國·高一課堂例題）在區間內找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
26．（2023上·全國·高一專題練習）已知角的頂點與原點重合， 角的始邊與x軸的非負半軸重合，請作出下列各角，并指出它們各是哪個象限的角？
(1)420 ；
(2)－75 ；
(3)855 ；
(4)－510
27．（2024上·全國·高一專題練習）（1）寫出終邊在直線上的角的集合．
（2）寫出終邊在射線（）與（）上的角的集合．
28．（2023·全國·高一隨堂練習）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
29．（2019·高一課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．
(1)
(2)
30．（2023下·河南駐馬店·高一校考階段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合.

31．（2024上·全國·高一專題練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影部分內，試指出角組成的集合．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑