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第一章三角函數章末十九種常考題型歸類
任意角的概念
1．（20-21高一·全國·課時練習）如圖，圓的圓周上一點以為起點按逆時針方向旋轉，轉一圈，之后從起始位置轉過的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出點逆時針方向旋轉一分鐘轉的度數再乘以即可求解.
【詳解】因為點以為起點按逆時針方向旋轉，轉一圈，
所以點逆時針方向旋轉一分鐘轉的度數為，
設之后從起始位置轉過的角為，
故選：D．
2．（21-22高一上·新疆昌吉·期末）時針走過1小時30分鐘，則分針轉過的角度是 .
【答案】
【分析】由題意分針順時針轉過1圈半，結合任意角定義寫出轉過的角度.
【詳解】時針走過1小時30分鐘，則分針順時針轉過1圈半，即轉過.
故答案為：.
3．（23-24高一上·全國·課時練習）若角α＝30°，把角α逆時針旋轉20°得到角β，則β＝ .
【答案】50°
【分析】根據任意角的概念計算可得到結果.
【詳解】因為由逆時針旋轉得到，所以.
故答案為：
4．（21-22高一·全國·課時練習）在圖中從旋轉到，，時所成的角度分別是 、 、 ．

【答案】
【分析】根據正角、負角的定義可得.
【詳解】由圖1所示的角是OA按逆時針方向繞O點旋轉至OB而成的，故所成的角；
圖2：由于角是OA按順時針繞O點旋轉至而成的，則；
由于角是OA按逆時針繞O點旋轉至而成的，則.
故答案為：；；
5．（21-22高一·全國·課時練習）求下列各式的值，并作圖說明運算的幾何意義．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)30°，圖像和幾何意義見解析；
(2)－120°，圖像和幾何意義見解析；
(3)210°，圖像和幾何意義見解析；
【分析】在平面直角坐標系中，以x軸非負半軸作始邊，沿逆時針旋轉為正角，加上一個角為終邊沿逆時針旋轉，減去一個角為終邊沿順時針旋轉.
【詳解】（1），
在平面直角坐標系中，以x軸非負半軸作始邊，沿逆時針旋轉為正角，表示90°角的終邊沿順時針旋轉60°：
（2），
在平面直角坐標系中，以x軸非負半軸作始邊，沿逆時針旋轉為正角，表示60°角的終邊沿順時針旋轉60°沿順時針旋轉180°：
（3），
在平面直角坐標系中，以x軸非負半軸作始邊，沿逆時針旋轉為正角，表示－60°角的終邊沿逆時針旋轉270°：
象限角與軸線角的概念
6．（23-24高一上·浙江臺州·期末）角是第 象限角.
【答案】二
【分析】直接由象限角的概念得答案．
【詳解】由象限角的定義可知，的角是第二象限角．
故答案為：二.
7．（多選）（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角 B．第二象限角為鈍角
C．小于的角一定為銳角 D．角與的終邊關于軸對稱
【答案】AD
【分析】根據象限角、銳角的定義判斷ABC，根據任意角的定義判斷D.
【詳解】對于A：因為銳角的范圍為，終邊落在第一象限，故銳角為第一象限角，正確；
對于B：終邊落在第二象限的角不一定是鈍角，如的角的終邊位于第二象限，但不是鈍角，錯誤；
對于C：小于的角不一定是銳角，如的角小于，但不是銳角，錯誤；
對于D：由角的定義可知，角與的終邊關于軸對稱，正確；
故選：AD
8．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習）“一個角是第二象限角”是“這個角是鈍角”的 條件.
【答案】必要不充分條件
【分析】寫出第二象限角的范圍以及鈍角的范圍，再按照充分必要條件的定義判斷.
【詳解】第二象限上的角滿足，當時，這個角不是鈍角，故不滿足充分性，
鈍角滿足，這個角必在第二象限，滿足必要性，
故“一個角在第二象限上”是“這個角為鈍角”的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分條件.
9．（21-22高一下·全國·單元測試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（ ）
A．第二象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【分析】根據給定條件，由的范圍求出的范圍，再分奇偶作答.
【詳解】因為為第二象限角，則，
因此，
而為偶數，當為奇數時，為奇數，則為第四象限角，
當為偶數時，為偶數，則為第二象限角，
所以的終邊所在的象限是第二、四象限.
故選：D
10．（2024高一上·全國·專題練習）給出下列四個命題：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】利用終邊相同的角將角轉化在范圍內確定象限即可.
【詳解】①②顯然為真命題；
③為真命題，∵角與角的終邊相同，角是第二象限角，∴角是第二象限角；
④為真命題，∵角與角的終邊相同，角是第一象限角，∴角是第一象限角．
故真命題有4個．
故選：D．
象限角與集合、終邊相同角
11．（23-24高一上·山東棗莊·期末）已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據鈍角的范圍，即可得出選項C正確，再由第二象限角的范圍，即可判斷出選項ABD的正誤，從而得出結果.
【詳解】因為鈍角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故選項C正確，
又第二象限角的范圍為，
不妨取，此時是第二象限角，但，所以選項ABD均錯誤，
故選：C.
12．（22-23高三上·重慶渝中·階段練習）已知集合，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可確定在上集合和集合的關系，然后結合角的周期性得結論．
【詳解】在范圍，集合含有，集合含有，
由角的周期性變化可知：，
故選：B.
13．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）下列各角中，與角終邊重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用終邊相同的角的集合，即可求解.
【詳解】與角終邊重合的角的集合是，
當時，.
故選：D
14．（21-22高一下·上海浦東新·期末）下列各組角中兩個角終邊不相同的一組是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】根據終邊相同的角的知識求得正確答案.
【詳解】A選項，由于，所以和終邊相同.
B選項，由于，所以和終邊相同.
C選項，由于，所以和終邊相同.
D選項，由于，所以和終邊不相同.
故選：D
15．（21-22高一上·全國·課前預習）集合，集合.
(1)求；
(2)若全集為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先變形集合，再求交集；
（2）先求補集，再求交集.
【詳解】（1）解：因為
所以 ；
（2）解：由（1)，知
故
n倍角與n分角
16．（2022高一上·全國·專題練習）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、 對應的終邊位置即可.
【詳解】∵角的終邊在第一象限，
∴，，則，，
當時，此時的終邊落在第一象限，
當時，此時的終邊落在第二象限，
當時，此時的終邊落在第三象限，
綜上，角的終邊不可能落在第四象限，
故選：D.
17．（2021高一下·上海·專題練習）已知為第三象限角，則是第 象限角，是 的角．
【答案】 二、四 第一、二象限或軸的非負半軸上
【分析】求出，，即得解.
【詳解】是第三象限角，即，
，
當為偶數時，為第二象限角；當為奇數時，為第四象限角；
而的終邊落在第一、二象限或軸的非負半軸上.
故答案為：二、四；第一、二象限或軸的非負半軸上.
18．（22-23高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根據象限角的表示方法，得到和的表示，進而判定其象限，得到答案.
【詳解】因為是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．
又由 ，
當時，，此時是第一象限角；
當時，，此時是第二象限角；
當時，，此時是第四象限角．
綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
19．（多選）（21-22高一上·安徽阜陽·期末）若是第二象限角，則（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由與關于x軸對稱，判斷A選項；
由已知得，，再根據不等式的性質可判斷B選項；
由是第一象限角判斷C選項；
由不等式的性質可得，，由此可判斷D選項．
【詳解】解：因為與關于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項正確；
因為是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項正確；
因為是第二象限角，所以是第一象限角，故 C選項錯誤；
因為是第二象限角，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負半軸上，故D選項錯誤．
故選：AB.
20．（多選）（21-22高一上·山東·階段練習）下列結論中不正確的是（ ）
A．終邊經過點的角的集合是
B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是
C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角
D．，，則
【答案】BC
【分析】根據角的終邊位置判斷A，根據角的定義判斷B，利用特殊值判斷C，根據集合間的包含關系判斷D．
【詳解】對于選項A：終邊經過點的角在第二和第四象限的角平分線上，故角的集合是， 正確；
對于選項B：將表的分針撥快10分鐘，按順時針方向旋轉圓周角的六分之一，則分針轉過的角的弧度數是， 錯誤；
對于選項C：若，不是第一象限角，錯誤；
對于選項D： 而表示的奇數倍，
，而表示 的整數倍，所以，正確．
故選：BC
由圖形寫出角的范圍
21. （22-23高一下·廣西欽州·階段練習）集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】當取偶數時，確定角的終邊所在的象限；當取奇數時，確定角的終邊所在的象限，再根據選項即可確定結果．
【詳解】集合中，
當為偶數時，此集合與表示終邊相同的角，位于第一象限；
當為奇數時，此集合與表示終邊相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范圍為選項B中陰影所示.
故選：B.
22. （21-22高一·全國·課時練習）如圖所示，終邊落在陰影部分的角的取值集合為 ．
【答案】
【分析】由已知，分別表示出射線OA和射線OB終邊所表示的角度，然后根據題意表示陰影部分的范圍即可.
【詳解】終邊落在射線OA上的角的集合是，終邊落在射線OB上的角的集合是，所以終邊落在陰影部分(含射線OA，不含射線OB)的角的集合是.
故答案為：.
23. （21-22高一·全國·課后作業）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：
【答案】
【分析】將角度化為弧度，結合任意角概念表示出來即可.
【詳解】因為，，
結合圖像可看作范圍內的角，結合任意角的概念可表示為
.
故答案為:.
24. （21-22高一·全國·課時練習）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根據實線表示的邊界可取，虛線表示的邊界不可取，且按逆時針方向旋轉時角度變大分析即可.
【詳解】（1）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.
（2）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為 .
25. （21-22高一·全國·課時練習）若角的終邊與函數的圖象相交，則角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】只有當角的終邊與在直線上時，與函數的圖象無交點，其余情況一直有交點，結合選項可得答案．
【詳解】當角的終邊與直線重合時，角的終邊與函數的圖象無交點.又因為角的終邊為射線，
所以，.
故選：C
弧度制與角度制
26. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】化簡為，根據終邊相同的角的表示，即可判斷答案.
【詳解】，則與終邊相同，為第二象限角，
故選：B
27. （23-24高一下·安徽淮北·階段練習）時間經過五個小時，時針轉過的角為 .
【答案】/
【分析】先確定時針旋轉得到的是負角，且每過一個小時轉過的角的大小為，計算即得.
【詳解】時針旋轉是順時針轉，根據規定得到的是負角，每個小時時針轉過的角的弧度大小為，故時間經過五個小時，時針轉過的角為.
故答案為：.
28. （22-23高一下·山東·階段練習）若，，則終邊所在象限為（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】直接作出其終邊所經過的象限圖形即可.
【詳解】經過第三象限，則反向延長其終邊射線經過第一象限，
故經過一三象限，
故選：B.
29. （22-23高一下·湖北·階段練習）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】選取不同的值，求出交集.
【詳解】當時，，當時，或，
當取其他整數時，均不在內，
故.
故選：C
30. （22-23高一下·遼寧撫順·期中）“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應角的弧度數為 ．
【答案】
【分析】根據已知條件，結合“密位制”的定義，即可求解．
【詳解】一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，
則350密位的對應角的弧度數為．
故答案為：．
弧長與扇形面積
31. （多選）（23-24高一下·江西九江·階段練習）已知扇形的周長是，面積也是，則扇形的中心角的弧度數可能是（ ）
A． B． C．4 D．或
【答案】AC
【分析】利用扇形的弧長與面積公式建立方程組求解，再利用圓心角公式即可求解.
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，面積為，圓心角為，則
，解得，或，則或1．
故選：AC．
32. （2024高一下·上海·專題練習）如圖，已知長為 ，寬為的長方體木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被小木塊擋住，此時長方體木塊底面與桌面所成的角為，求點走過的路程為

【答案】
【分析】根據旋轉的定義得到第一次是以為旋轉中心，以為半徑旋轉，第二次是以為旋轉中心，以為半徑旋轉，第三次是以為旋轉中心，以為半徑旋轉，根據弧長公式計算后相加即可．
【詳解】
第一次是以為旋轉中心，以為半徑旋轉，
此次點走過的路徑是，
第二次是以為旋轉中心，以為半徑旋轉，
此次點走過的路徑是，
第三次是以為旋轉中心，以為半徑旋轉，
此次點走過的路徑是，
點三次共走過的路徑是，
故答案為：．
33. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習）用一根長度為的繩子圍成一個扇形，當扇形面積最大時，其圓心角的弧度數為 ．
【答案】
【分析】根據已知條件及基本不等式，利用弧長公式及扇形的面積公式即可求解.
【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，則，，
則，當且僅當時，等號成立，
所以扇形面積，
當時，扇形面積取得最大為.
所以圓心角的弧度數為.
故答案為:.
34. （23-24高一上·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班某數學興趣小組在探究扇形時，發現如下現象：如圖所示，⊙B向⊙A靠近的過程，就像月亮被磨彎一樣.已知在某一時刻，圓A和圓B處于圖1的狀態，簡化后如圖2，， ，.則S陰影= .
【答案】
【分析】陰影部分的面積為的半圓面積減去中圓心角為的弓形面積，利用已知數據計算即可.
【詳解】，則為⊙A的直徑，連接，如圖所示，
，，則為等邊三角形，，
的半徑為2，的半徑為4，
陰影部分的面積為的半圓面積減去中圓心角為的弓形面積，
則陰影部分的面積為.
故答案為：
35. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數千年來始終以其獨特的內涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米.

(1)若厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊的長度；
(2)若.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.
【答案】(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】（1）由題可得弧與弧的長度關系，結合條件可解；
（2）利用扇形的面積公式，大扇形面積減去小扇形面積，利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）設弧的長度為厘米，弧的長度為厘米.
因為，所以，所以.
因為厘米，所以厘米.
因為該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米，所以，
所以，解得，即弧的長度為160厘米.
（2）因為，所以，所以，
則扇形的面積，扇形的面積，
故該扇形玉雕壁畫的扇面面積.
因為該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米，所以
所以，
則，從而，當且僅當時，等號成立，
故，即該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值為6400平方厘米.
三角函數的定義
36. （23-24高一下·河北保定·開學考試）已知角的終邊經過點，則角的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的值，即可得出角的取值.
【詳解】由題意得，所以，，故角的值可能為．
故選：A.
37. （2024高一上·全國·專題練習）隨著智能手機的普及，手機攝影越來越得到人們的喜愛，要得到美觀的照片，構圖是很重要的，用“黃金分割構圖法”可以讓照片感覺更自然、更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構圖的一種形式，是指把畫面橫、豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用A，B，C，D表示黃金分割點，若照片長、寬比例為8：5，設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，結合三角函數的定義，求得的值，代入即可求解.
【詳解】根據題意，可得所以，
由三角函數的定義，可得，，，
所以.
故選：B.
38. （23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）把一條線段分割為兩部分，使較長部分的長度與全長的比值等于較短與較長部分的長度的比值，這個比值稱為黃金分割比(簡稱黃金比).黃金比在建筑、藝術和科學等領域中都有廣泛應用.我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形，它滿足較短邊與較長邊的長度之比等于黃金比.由上述信息可求得 .
【答案】
【分析】先根據題意計算黃金比，再利用等腰三角形的性質和三角函數的概念即可求解.
【詳解】設把一條長度為線段分割為兩部分，較長部分的長度為，較短部分的長度為，
由題意得，即，
令，則，整理得，解得，
又，所以，于是黃金分割比為.
等腰三角形中，，如圖：
由題意可得，，又，
所以.
故答案為：.
39. （23-24高一上·福建莆田·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第1804次相遇時，點的坐標是 .
【答案】
【分析】計算相遇時間，再確定轉過的角度，得到坐標.
【詳解】相遇時間為秒，
故轉過的角度為，
故對應坐標為，即.
故答案為：
40. （23-24高一上·上海·期末）若角的終邊上有一點，，則的值是 .
【答案】
【分析】利用三角函數的定義求解.
【詳解】解：因為角的終邊上有一點，
所以，，
所以，
故答案為：
利用象限角判斷象限與符號
41. （23-24高一下·江西·階段練習）已知角的終邊經過點，若，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據三角函數定義得到不等式，求出答案.
【詳解】由三角函數定義可得在第四象限，
，解得，
故的取值范圍是.
故選：B
42. （2024高一·上海·專題練習）已知角是第四象限角，則下列各式中一定為正的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
舉反例排除A；利用三角函數在第四象限的正負情況判斷BCD.
【詳解】因為角是第四象限角，所以，
對于A，取，則，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，則，故D錯誤.
故選：C.
43. （23-24高一上·陜西榆林·階段練習）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
【答案】B
【分析】由三角函數值的符號結合題意即可得出答案.
【詳解】因為，所以同為正或同為負，
所以角是第一或第三象限角.
故選：B.
44. （22-23高一上·陜西西安·期末）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】求出且時所在象限，再根據充分必要條件的概念判斷．
【詳解】因為且，由任意角的三角函數可知，為第四象限角，
所以“且”是“為第三象限角”的既不充分也不必要條件，
故選：D.
45. （多選）（2024高一上·全國·專題練習）下列函數值中，符號為負的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】先判斷象限，再確定符號.
【詳解】∵，∴是第二象限角，則；
∵是第四象限角，∴；
∵是第二象限角，∴，∴；
∵，∴2是第二象限角，∴．
故選：CD．
利用誘導公式求值
46. （23-24高一下·湖北武漢·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用誘導公式及特殊值即可求解.
【詳解】.
故選：B.
47. （23-24高一下·廣西南寧·開學考試）已知函數，則（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】依題意可得，再倒序相加即可得解.
【詳解】因為，
所以
，
所以
．
所以．
故選：D
48. （23-24高一下·上海閔行·階段練習）化簡： .
【答案】
【分析】
利用誘導公式進行求解即可.
【詳解】
.
故答案為：
49. （23-24高一下·江西·開學考試）在平面直角坐標系中，角的終邊經過點.
(1)求，的值
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用任意角的三角函數的定義即可求解；
（2）利用誘導公式化簡即可.
【詳解】（1）由于角的終邊經過點，則，所以，；
（2）由誘導公式化簡得：
50. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）如圖所示，以軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用點在圓上以及三角函數的定義計算即可；
（2）利用誘導公式化簡，然后轉化為用表示，代入的值計算即可.
【詳解】（1）在單位圓上，且點在第二象限
，
解得．
由三角函數定義可知，
（2）
正余弦函數的定義域與不等式
51. （23-24高一下·湖南長沙·開學考試）已知的定義域是，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函數的定義域，可得出關于的不等式，解之即可.
【詳解】因為的定義域是，
對于函數，有，可得，
解得，
因此，函數的定義域為.
故選：D.
52. （23-24高一下·河北承德·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據給定的函數，列出不等式，再解三角不等式即得.
【詳解】函數的意義，則，即，解得，
所以函數的定義域為.
故選：B
53. （23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知函數.
(1)填寫下表，用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象；
0 2 0 0
(2)解不等式.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據“五點法”作圖的步驟求解即可；
（2）由轉化為，由正弦函數圖象與性質列出不等式求解即可.
【詳解】（1）列表
0
0 2 0 0
描點、連線得到圖象如下
（2）由可得，
即，所以，
所以或，，
即或，，
故不等式的解集為.
54. （23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數．
(1)用“五點法”作出函數在上的圖象；
(2)解不等式．
【答案】(1)圖象見解析
(2)
【分析】（1）利用“五點作圖法”即可得解；
（2）利用整體代入法，結合正弦函數的性質即可得解.
【詳解】（1）列表
0
0 1 0 0
又當時，，當時，，
描點作圖，如圖所示：
（2）因為，
所以，，
解得，，
故不等式的解集為.
55. （21-22高一下·陜西咸陽·階段練習）已知函數．
(1)求函數圖象的對稱中心；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據圖象的對稱中心求出圖象的對稱中心；
（2）將不等式化簡為，對分類討論求解不等式.
【詳解】（1）易知圖象的對稱中心為，
圖象的對稱中心為．
圖象的對稱中心為．
（2）不等式，即為．
，即．
當時，顯然有（不能同時取等號）恒成立；
當時，由三角函數的單調性知單調遞減，
又的解集是；
當時，顯然有無解；
當時，由三角函數的單調性知單調遞增，
又的解集是．
不等式的解集為．
正余弦函數的奇偶性與參數
56. （23-24高一下·遼寧阜新·階段練習）已知函數是奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦型函數的性質，求出的表達式，再利用誘導公式計算即得.
【詳解】由函數是奇函數，得，
則，所以當時，.
故選：B
57. （23-24高一下·上海·階段練習）已知函數為奇函數，則 .
【答案】
【分析】
根據奇函數的性質，即可求解.
【詳解】
由奇函數的性質，可知得 .經檢驗滿足題意
故答案為：
58. （23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函數的最大值為，最小值為，則 .
【答案】2
【分析】構造函數利用其奇偶性計算即可.
【詳解】易知，
令，
易知定義域為R，且，
即是奇函數，
顯然，，
由奇函數的對稱性質易知.
故答案為：
59. （2024高一上·全國·專題練習）已知函數，為奇函數，則
【答案】或
【分析】根據題意得到，解出再對賦值即可.
【詳解】由題意知，
即.
∵，
∴當時，；
當時，.
故答案為：或.
60. （23-24高一下·上海·階段練習）函數是奇函數，則實數 .
【答案】/
【分析】根據函數的奇偶性，即可求得，結合，即得答案.
【詳解】由題意知函數是奇函數，
則，結合，可得，
故答案為：
三角函數的單調性與比較大小
61. （23-24高二上·甘肅武威·階段練習）已知函數，則在上的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由正弦函數的單調性以及復合函數單調性即可求解.
【詳解】當時，，
所以當，即時，函數單調遞增．
故選：B.
62. （多選）（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）下列式子成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據正弦函數、余弦函數的單調性，再結合誘導公式逐項判斷即可求解.
【詳解】A．由，，又因為，所以，
所以，故A正確；
B．，，因為，
所以，故B錯誤；
C．由，又因為，所以，故C錯誤；
D．因為，所以，因為，所以，
所以，故D正確.
故選：AD.
63. （2024高一下·上海·專題練習）設，，，則，，的大小關系為 按由小到大順序排列
【答案】
【分析】
利用正弦函數的單調性，即可判斷，，的大小．
【詳解】
由，
，，
當時，單調遞增，且，，
則，故．
故答案為．
64. （23-24高一上·廣東清遠·期末）寫出函數在上的一個減區間： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用余弦函數的單調性求解即可.
【詳解】函數的減區間為的增區間，即，
據此只需寫內的任何一個非空子集，例如.
故答案為：（答案不唯一）
65. （2023高一上·全國·專題練習）利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小．
(1)與；
(2)與；
(3)與.
【答案】(1).
(2).
(3).
【分析】（1）利用正弦函數的單調性，比較正弦值的大小；
（2）由誘導公式有，，利用正弦函數的單調性比較大小；
（3）利用誘導公式和余弦函數的單調性比較大小
【詳解】（1）由，函數在上單調遞增，
所以.
（2），，
由，有，
從而，即.
（3），
，且在上是減函數，
則，即.
三角函數的最值與取值范圍
66. （23-24高一下·北京延慶·階段練習）定義運算則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依據定義寫出的解析式，再由周期性轉化為研究一個周期上的值域，先分段求出每段上函數的值域，再求并集即可.
【詳解】由題：，
因為都是以為周期的函數，所以也是以為周期的函數，
取研究：
當時，；
當時，；
所以函數的值域為.
故選：B.
67. （22-23高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數在上的最小值為，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據余弦函數的圖象性質判斷即可.
【詳解】因為，所以．
由于函數在上的最小值為，
則在上的最小值為，又
所以，解得．
故選：C.
68. （23-24高一上·寧夏吳忠·期末）函數的最小值為 ．
【答案】
【分析】配方后根據求最小值即可.
【詳解】因為 ，，
所以當時，，故函數的最小值為．
故答案為：
69. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數，若在上恒成立，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據解析式作出函數圖象，根據性質找出的值，結合圖象即可得解.
【詳解】大致圖象如圖：
，，．
當時，或．
如上圖所示，當時，恒成立．
所以的取值范圍為．
故答案為：
70. （23-24高一下·廣西·開學考試）已知函數.
(1)求的單調遞增區間；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）解不等式可求得所求函數的單調遞增區間；
（2）先求的取值范圍，再結合正弦函數的圖象和性質求函數的值域.
【詳解】（1）令，
解得，
則的單調遞增區間為.
（2）因為，所以，所以.
又因為函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以：當，即時，
取得最小值；
當，即時，
取得最大值.
故在上的值域為.
由圖像確定正弦型函數的解析式
71. （23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數在一個周期內的圖象如圖所示，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函數最值求出，由周期求出，由最大值點求出.
【詳解】由圖象可知，，
，函數最小正周期，則有，
，則，
又，得.
故選：B
72. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數的圖象如圖，軸，軸，四邊形的面積為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據函數的圖象和條件，分別求出的值，即得解.
【詳解】設函數最小正周期為T，根據函數的部分圖象知，，
又，解得，
又，又 ；
綜上，．
故選：B．
73. （23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知函數的一段圖象過點，如圖所示，則函數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通過三個連續零點的值可以求出函數的周期，根據最小正周期公式可以求出的值，將特殊點代入解析式中，可以求出，的值，進而確定函數解析式.
【詳解】由圖知，，則.
由圖知，在取得最大值，且圖象經過，故，
所以，故，
又因為，所以，
函數又經過，故，得.
所以函數的表達式為．
故選：D .
74. （多選）（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．圖象的對稱中心為，
D．直線是圖象的一條對稱軸
【答案】BC
【分析】利用部分圖象，求出的解析式，結合三角函數的性質即可求解.
【詳解】對于A，由圖象可知，，
又圖象過，則，又，則，A錯誤；
對于B，又圖象過，則，故，B正確；
對于C，所以的解析式為，
由，得，
所以圖象的對稱中心為，，C正確，
對于D，，
所以直線不是圖象的一條對稱軸，D錯誤.
故選：BC.
75. （23-24高一下·四川眉山·階段練習）已知函數 的部分函數圖象如圖．

(1)求函數的解析式，
(2)求最小正周期、對稱中心以及對稱軸；
(3)求的最大值和最小值及取的最值時的集合.
【答案】(1)；
(2)最小正周期；對稱中心；對稱軸；
(3)最大值，；最小值，.
【分析】（1）利用圖象求，然后可得，再代點求即可得解析式；
（2）（3）根據正弦函數性質，利用整體代入法求解可得.
【詳解】（1）由題意知，，故 ，則，
因為圖象過點，所以，
得，即.
因為，所以.
所以.
（2）最小值周期，
由得，
所以，函數的對稱中心為.
由得的對稱軸為.
（3）函數的最大值和最小值分別為2和.
令，得，
令，得，
所以，當的最大值時的集合為，
當的最小值時的集合為.
正弦型函數的平移與伸縮變換
76. （23-24高一下·江西九江·階段練習）將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移2個單位長度，得到函數的圖象，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據三角函數的變換規律，即可判斷選項.
【詳解】的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數，
再將所得圖象向左平移2個單位長度，得到函數.
故選：B
77. （21-22高一下·全國·期末）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據給定的變換過程，利用逆變換依次求出對應函數解析式即得.
【詳解】依題意，，
將向右平移個單位長度，得到，
再將圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象.
故選：A
78. （多選）（23-24高一下·河北張家口·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，函數圖像關于y軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．可能等于3 B．的周期可以是
C．一定為奇函數 D．在上單調遞減
【答案】BC
【分析】根據已知條件平移后的圖像為偶函數，確定的取值，利用 判斷A、B兩個選項；求出解析式，利用奇函數定義判斷函數的奇偶性進而判斷C選項；利用換元法令，利用函數 的單調性，判斷 的單調性進而判斷D選項.
【詳解】函數的圖象向左平移個單位得：
，因為圖像關于y軸對稱，
所以為偶函數，所以 解得 ；
若，則，解得，因為，所以不成立，A錯誤；
若的周期可以是，則，解得，又因為，
即，解得符合，B正確；
，
因為 ，所以
，
令，，
所以，所以一定為奇函數，C正確；
令，則因為，則，所以化為
，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上不單調，D錯誤.
故選：BC
79. （23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）已知函數，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關于y軸對稱，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據題意寫出平移后解析式且關于軸對稱，則，，從而可求解.
【詳解】由題意得將向左平移個單位后
得，且關于軸對稱，
所以，，得，，
又因為，所以當時，有最小值.
故答案為：.
80. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，且函數在上單調遞增，則函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函數圖象的平移變換以及函數圖象的對稱性，可得，由函數在上單調遞增，推出，求得范圍，即可求得的值，進而求得函數周期.
【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度后，
得到函數的圖象，該圖象關于軸對稱，
故，即，
由函數在上單調遞增，且，
故，解得，故，
結合，可得，
故函數的最小正周期為，
故選：B
正切函數的性質
81. （多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習）下列關于函數的說法不正確的是（ ）
A．定義域為 B．最小正周期是
C．圖象關于成中心對稱 D．在定義域上單調遞增
【答案】ABD
【分析】根據正切函數的周期公式、定義域、對稱中心、單調性可判斷出答案.
【詳解】函數的定義域為，A錯誤；
最小正周期，B錯誤；
解得，
所以圖象的對稱中心為點，當時，對稱中心為點，C正確；
當時，，當時，，
因為，，
所以由單調性的定義可知，D錯誤．
綜上，ABD符合題意.
故選：ABD.
82. （23-24高一下·陜西·階段練習）已知函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則 ．
【答案】2
【分析】借助正切函數的對稱性與周期計算即可得.
【詳解】由題意可得，即，則.
故答案為：2.
83. （23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）函數的最小正周期是 .
【答案】/
【分析】由正切函數的圖象與性質知，翻折變換后，正切型函數的周期不變，利用最小正周期公式即可算得.
【詳解】由正切函數的圖象與性質知：與的最小周期均為，
與的圖象如圖所示，
所以函數與最小正周期也一樣，
函數的最小正周期是，
的最小正周期也是．
故答案為：.
84. （23-24高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為 ．
【答案】
【分析】首先確定的范圍，結合二次函數值域的求法可求得結果.
【詳解】當時，，
，
當時，；當時，；
，的值域為.
故答案為：.
85. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）設函數.
(1)求函數的定義域、最小正周期、漸近線及對稱中心；
(2)解不等式.
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）根據正切函數的性質，采用整體代換的方法，即可求得答案；
（2）結合正切函數的單調性，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知函數，
令，則，
故的定義域為，最小正周期為;
令，即，
故漸近線為；
令，
故對稱中心為；
（2）由，得，
故，
即不等式的解集為
三角函數的零點問題
86. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）函數的所有零點之和為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】設，轉化為與在上交點的橫坐標，作出與在的圖象，結合圖象的對稱性，即可求解.
【詳解】設，可得，其中，
可得，
則函數的零點，即為與在上交點的橫坐標，
畫出函數與在的圖象，
可得兩函數的圖象共有7個公共點，且關于原點對稱，所以7個零點之和為0，
即，
可得，
可得.
即原函數所有零點之和為.
故選：C.

87. （23-24高一下·江西撫州·階段練習）設函數的最小正周期為，且在內恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據周期求出，結合的范圍及，得到，把看做一個整體，研究在的零點，結合的零點個數，最終列出關于的不等式組，求得的取值范圍
【詳解】因為，所以，
由，即，得，
當時，，又，則，
因為在的零點為，
且在內恰有3個零點，所以或，
解得，
故選：D
88. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）已知函數在上有兩個零點，則t的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將問題轉化為與的交點個數問題，數形結合解決問題.
【詳解】由題意可知方程在上有兩個根，
作出在上的圖像，
由圖可知，從而.
故答案為：
89. （23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知函數在區間內沒有零點，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意分析可知方程在區間內沒有實根，分類討論的符號，結合正弦函數的性質分析求解.
【詳解】令，可得，
可知方程在區間內沒有實根，
因為，則，
若，則，則，符合題意；
若，則，
由題意可得，解得；
若，則，
由題意可得，解得；
綜上所述：實數的取值范圍是.
故答案為：.
90. （23-24高一下·安徽淮北·階段練習）已知函數，.
(1)若，求實數的值；
(2)若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，計算求值，即得答案；
（2）令，則可得，即，求出，結合以及正弦函數的單調性，討論t的取值范圍，確定解的個數，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知，
故，
∴，∴.
（2）令，因為，故，
則，
由得，
∵在上是增函數，在上是減函數，
且，，，
∴時，有兩個值；或時，有一個值，
∴時，，（-1不合題意），函數只有1個零點，
時，，要有2個零點，需有，∴，
時，，要有2個零點，需有，∴，
綜上，有兩個零點時，的取值范圍是.
三角函數的實際應用
91. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱為“鎮樓神器”．某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續三次位移為的時間分別為，，，且，，則在一個周期內阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于的總時間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函數的對稱軸與周期的關系知函數的周期為，進而求出，令，解不等式即可得出答案.
【詳解】由題意得，．
故函數的周期為，，
可得，位移的大小即，故令，
得，
所以，或，
解得，或，．
故總時間為：
．
綜上在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移的大小小于的總時間為．
故選：D．
92. （多選）（23-24高一下·四川內江·階段練習）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用.如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關系為.則以下說法正確的有（ ）

A．
B．
C．
D．盛水筒出水后到達最高點的最小時間為
【答案】AD
【分析】由已知可得、、、的值，得到函數解析式，取求得的值，從而得解．
【詳解】筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，，
則，故B錯誤；
振幅為筒車的半徑，即，，故A正確；
由題意，時，，，即，
，，故C錯誤；
，
由，得，，
，，得，．
當時，取最小值為，故D正確．
故選：AD.
93. （多選）（23-24高一下·湖南長沙·開學考試）某摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1～12（可視為點）．現4號座艙位于圓周最上端，從此時開始計時，旋轉時間為分鐘．假設1號座艙與地面的距離與時間的函數關系為，1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為米，則（ ）
A．當時，
B．當時，
C．，
D．若在這段時間內，恰有三次取得最大值，則的取值范圍為
【答案】ACD
【分析】
設函數關系的解析式為，根據題意可求得參數，即可得解析式，判斷C；將代入，即可判斷A，B；求出的表達式，求得其取最大值時，結合題意列出不等式，即可求得范圍，判斷D.
【詳解】設1號座艙與地面的距離與時間的函數關系的解析式為（，，），
則，，所以（），
依題意，所以，
當時且在0附近為增函數，所以，故（），
則當時，，A，C正確；
當時，，B錯誤；
對于D：依題意，，
所以
，
今，，解得，，
所以當，時取得最大值，
由于在這段時間內，恰有三次取得最大值，
故，解得，
所以．故D正確．
故選：ACD．
94. （23-24高一下·全國·課后作業）水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，工作示意圖如圖．設水車（即圓周）的直徑為3m，其中心（即圓心）O到水面的距離，逆時針勻速旋轉一圈的時間是，水車邊緣上一點P距水面的高度為h（單位：m）．
(1)求h與旋轉時間t（單位：s）的函數解析式，并畫出這個函數的圖象；
(2)當雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數解析式中的參數將會發生哪些變化？若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？
【答案】(1)，圖象見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據給定條件，設出h與t的函數關系式，列表，結合五點法作圖；
（2）根據題意結合函數解析式分析判斷.
【詳解】（1）設點P在水面上時高度h為0，當點P旋轉到水面以下時，點P距水面的高度為負值．
過點P向水面作垂線，交水面于點M，PM的長度為點P的高度h，
過水車中心O作PM的垂線，交PM于點N，
設Q為水車與水面交點，．
由已知可知：水車的半徑，水車中心到水面的距離，
水車旋轉一圈所需的時間為，轉速為．
不妨從水車與水面交點Q時開始計時（）．旋轉ts水車轉動的角的大小為α，
即．
從圖中不難看出：
．①
因為，所以．
因此，②
這就是點P距水面的高度h關于時間t的函數解析式．
列表如下：
11.8 31.8 51.8 71.8 91.8
0
1.2 2.7 1.2 1.2
畫出函數在區間上的圖象（如圖）：
（2）雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面距離的改變，導致函數解析式中的參數b發生變化．水面上漲時參數b減小；水面回落時參數b增大．
如果水車轉速加快，將使周期T減小，轉速減慢則使周期T增大．
95. （22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處．

(1)已知在時刻t（單位：min）時點P距離地面的高度（其中，，，求函數解析式及5min時點P距離地面的高度；
(2)當點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園的全貌？
【答案】(1)，70m
(2)0.5min
【分析】（1）根據題意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函數解析式，求出；
（2）在（1）的基礎上，得到，解不等式，求出，，從而求出答案.
【詳解】（1）依題意，，，，則，
所以，
由可得，，，
因為，所以．
故在時刻t時點P距離地面的離度，
因此，
故5min時點P距離地面的高度為70m；
（2）由（1）知 ，其中．
依題意，令，
即，所以，
解得，，
則，，
由，
可知轉一圈中有0.5min可以看到公園全貌．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第一章三角函數章末十九種常考題型歸類
任意角的概念
1．（20-21高一·全國·課時練習）如圖，圓的圓周上一點以為起點按逆時針方向旋轉，轉一圈，之后從起始位置轉過的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高一上·新疆昌吉·期末）時針走過1小時30分鐘，則分針轉過的角度是 .
3．（23-24高一上·全國·課時練習）若角α＝30°，把角α逆時針旋轉20°得到角β，則β＝ .
4．（21-22高一·全國·課時練習）在圖中從旋轉到，，時所成的角度分別是 、 、 ．

5．（21-22高一·全國·課時練習）求下列各式的值，并作圖說明運算的幾何意義．
(1)；
(2)；
(3)．
象限角與軸線角的概念
6．（23-24高一上·浙江臺州·期末）角是第 象限角.
7．（多選）（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角 B．第二象限角為鈍角
C．小于的角一定為銳角 D．角與的終邊關于軸對稱
8．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習）“一個角是第二象限角”是“這個角是鈍角”的 條件.
9．（21-22高一下·全國·單元測試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（ ）
A．第二象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
10．（2024高一上·全國·專題練習）給出下列四個命題：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
象限角與集合、終邊相同角
11．（23-24高一上·山東棗莊·期末）已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（22-23高三上·重慶渝中·階段練習）已知集合，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）下列各角中，與角終邊重合的是（ ）
A． B． C． D．
14．（21-22高一下·上海浦東新·期末）下列各組角中兩個角終邊不相同的一組是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
15．（21-22高一上·全國·課前預習）集合，集合.
(1)求；
(2)若全集為，求.
n倍角與n分角
16．（2022高一上·全國·專題練習）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．（2021高一下·上海·專題練習）已知為第三象限角，則是第 象限角，是 的角．
18．（22-23高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
19．（多選）（21-22高一上·安徽阜陽·期末）若是第二象限角，則（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
20．（多選）（21-22高一上·山東·階段練習）下列結論中不正確的是（ ）
A．終邊經過點的角的集合是
B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是
C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角
D．，，則
由圖形寫出角的范圍
21. （22-23高一下·廣西欽州·階段練習）集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（ ）
A． B．
C． D．
22. （21-22高一·全國·課時練習）如圖所示，終邊落在陰影部分的角的取值集合為 ．
23. （21-22高一·全國·課后作業）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：
24. （21-22高一·全國·課時練習）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.
(1)
(2)
25. （21-22高一·全國·課時練習）若角的終邊與函數的圖象相交，則角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
弧度制與角度制
26. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
27. （23-24高一下·安徽淮北·階段練習）時間經過五個小時，時針轉過的角為 .
28. （22-23高一下·山東·階段練習）若，，則終邊所在象限為（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
29. （22-23高一下·湖北·階段練習）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
30. （22-23高一下·遼寧撫順·期中）“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應角的弧度數為 ．
弧長與扇形面積
31. （多選）（23-24高一下·江西九江·階段練習）已知扇形的周長是，面積也是，則扇形的中心角的弧度數可能是（ ）
A． B． C．4 D．或
32. （2024高一下·上海·專題練習）如圖，已知長為 ，寬為的長方體木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被小木塊擋住，此時長方體木塊底面與桌面所成的角為，求點走過的路程為

33. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習）用一根長度為的繩子圍成一個扇形，當扇形面積最大時，其圓心角的弧度數為 ．
34. （23-24高一上·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班某數學興趣小組在探究扇形時，發現如下現象：如圖所示，⊙B向⊙A靠近的過程，就像月亮被磨彎一樣.已知在某一時刻，圓A和圓B處于圖1的狀態，簡化后如圖2，， ，.則S陰影= .
35. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數千年來始終以其獨特的內涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米.

(1)若厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊的長度；
(2)若.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.
三角函數的定義
36. （23-24高一下·河北保定·開學考試）已知角的終邊經過點，則角的值可能為（ ）
A． B． C． D．
37. （2024高一上·全國·專題練習）隨著智能手機的普及，手機攝影越來越得到人們的喜愛，要得到美觀的照片，構圖是很重要的，用“黃金分割構圖法”可以讓照片感覺更自然、更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構圖的一種形式，是指把畫面橫、豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用A，B，C，D表示黃金分割點，若照片長、寬比例為8：5，設，則（ ）
A． B． C． D．
38. （23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）把一條線段分割為兩部分，使較長部分的長度與全長的比值等于較短與較長部分的長度的比值，這個比值稱為黃金分割比(簡稱黃金比).黃金比在建筑、藝術和科學等領域中都有廣泛應用.我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形，它滿足較短邊與較長邊的長度之比等于黃金比.由上述信息可求得 .
39. （23-24高一上·福建莆田·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第1804次相遇時，點的坐標是 .
40. （23-24高一上·上海·期末）若角的終邊上有一點，，則的值是 .
利用象限角判斷象限與符號
41. （23-24高一下·江西·階段練習）已知角的終邊經過點，若，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
42. （2024高一·上海·專題練習）已知角是第四象限角，則下列各式中一定為正的是（ ）
A． B．
C． D．
43. （23-24高一上·陜西榆林·階段練習）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
44. （22-23高一上·陜西西安·期末）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
45. （多選）（2024高一上·全國·專題練習）下列函數值中，符號為負的為（ ）
A． B．
C． D．
利用誘導公式求值
46. （23-24高一下·湖北武漢·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
47. （23-24高一下·廣西南寧·開學考試）已知函數，則（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
48. （23-24高一下·上海閔行·階段練習）化簡： .
49. （23-24高一下·江西·開學考試）在平面直角坐標系中，角的終邊經過點.
(1)求，的值
(2)求的值.
50. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）如圖所示，以軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
正余弦函數的定義域與不等式
51. （23-24高一下·湖南長沙·開學考試）已知的定義域是，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
52. （23-24高一下·河北承德·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
53. （23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知函數.
(1)填寫下表，用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象；
0 2 0 0
(2)解不等式.
54. （23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數．
(1)用“五點法”作出函數在上的圖象；
(2)解不等式．
55. （21-22高一下·陜西咸陽·階段練習）已知函數．
(1)求函數圖象的對稱中心；
(2)若，求不等式的解集．
正余弦函數的奇偶性與參數
56. （23-24高一下·遼寧阜新·階段練習）已知函數是奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
57. （23-24高一下·上海·階段練習）已知函數為奇函數，則 .
58. （23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函數的最大值為，最小值為，則 .
59. （2024高一上·全國·專題練習）已知函數，為奇函數，則
60. （23-24高一下·上海·階段練習）函數是奇函數，則實數 .
三角函數的單調性與比較大小
61. （23-24高二上·甘肅武威·階段練習）已知函數，則在上的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
62. （多選）（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）下列式子成立的有（ ）
A． B．
C． D．
63. （2024高一下·上海·專題練習）設，，，則，，的大小關系為 按由小到大順序排列
64. （23-24高一上·廣東清遠·期末）寫出函數在上的一個減區間： .
65. （2023高一上·全國·專題練習）利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小．
(1)與；
(2)與；
(3)與.
三角函數的最值與取值范圍
66. （23-24高一下·北京延慶·階段練習）定義運算則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
67. （22-23高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數在上的最小值為，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
68. （23-24高一上·寧夏吳忠·期末）函數的最小值為 ．
69. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數，若在上恒成立，則的取值范圍為 ．
70. （23-24高一下·廣西·開學考試）已知函數.
(1)求的單調遞增區間；
(2)求在上的值域.
由圖像確定正弦型函數的解析式
71. （23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數在一個周期內的圖象如圖所示，則的值為（ ）

A． B． C． D．
72. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數的圖象如圖，軸，軸，四邊形的面積為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
73. （23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知函數的一段圖象過點，如圖所示，則函數（ ）
A． B．
C． D．
74. （多選）（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．圖象的對稱中心為，
D．直線是圖象的一條對稱軸
75. （23-24高一下·四川眉山·階段練習）已知函數 的部分函數圖象如圖．

(1)求函數的解析式，
(2)求最小正周期、對稱中心以及對稱軸；
(3)求的最大值和最小值及取的最值時的集合.
正弦型函數的平移與伸縮變換
76. （23-24高一下·江西九江·階段練習）將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移2個單位長度，得到函數的圖象，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
77. （21-22高一下·全國·期末）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
78. （多選）（23-24高一下·河北張家口·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，函數圖像關于y軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．可能等于3 B．的周期可以是
C．一定為奇函數 D．在上單調遞減
79. （23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）已知函數，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關于y軸對稱，則的最小值為 .
80. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，且函數在上單調遞增，則函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
正切函數的性質
81. （多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習）下列關于函數的說法不正確的是（ ）
A．定義域為 B．最小正周期是
C．圖象關于成中心對稱 D．在定義域上單調遞增
82. （23-24高一下·陜西·階段練習）已知函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則 ．
83. （23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）函數的最小正周期是 .
84. （23-24高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為 ．
85. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）設函數.
(1)求函數的定義域、最小正周期、漸近線及對稱中心；
(2)解不等式.
三角函數的零點問題
86. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）函數的所有零點之和為（ ）
A．0 B． C． D．
87. （23-24高一下·江西撫州·階段練習）設函數的最小正周期為，且在內恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
88. （23-24高一下·江西南昌·階段練習）已知函數在上有兩個零點，則t的取值范圍是 .
89. （23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知函數在區間內沒有零點，則實數的取值范圍是 ．
90. （23-24高一下·安徽淮北·階段練習）已知函數，.
(1)若，求實數的值；
(2)若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.
三角函數的實際應用
91. （23-24高一下·河南南陽·階段練習）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱為“鎮樓神器”．某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續三次位移為的時間分別為，，，且，，則在一個周期內阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于的總時間為（ ）
A． B． C． D．
92. （多選）（23-24高一下·四川內江·階段練習）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用.如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關系為.則以下說法正確的有（ ）

A．
B．
C．
D．盛水筒出水后到達最高點的最小時間為
93. （多選）（23-24高一下·湖南長沙·開學考試）某摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1～12（可視為點）．現4號座艙位于圓周最上端，從此時開始計時，旋轉時間為分鐘．假設1號座艙與地面的距離與時間的函數關系為，1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為米，則（ ）
A．當時，
B．當時，
C．，
D．若在這段時間內，恰有三次取得最大值，則的取值范圍為
94. （23-24高一下·全國·課后作業）水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，工作示意圖如圖．設水車（即圓周）的直徑為3m，其中心（即圓心）O到水面的距離，逆時針勻速旋轉一圈的時間是，水車邊緣上一點P距水面的高度為h（單位：m）．
(1)求h與旋轉時間t（單位：s）的函數解析式，并畫出這個函數的圖象；
(2)當雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數解析式中的參數將會發生哪些變化？若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？
95. （22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處．

(1)已知在時刻t（單位：min）時點P距離地面的高度（其中，，，求函數解析式及5min時點P距離地面的高度；
(2)當點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園的全貌？
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