資源簡介

1.正比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就是成正比例的量，它們的關系就叫作成正比例關系。
2.正比例關系的判斷方法：首先判斷這兩種量是不是相關聯的量。再看這兩種量相對應的兩個數的比值是否一定，比值一定，則這兩種相關聯的量成正比例，反之，則不成正比例。
3.正比例圖像：正比例圖像是一條經過原點的直線。從圖像中可以直觀地看出兩種量的變化情況，由一種量的值可以直接找到對應的另一種量的值。
1.反比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就是成反比例的量，它們的關系就叫反比例關系。
2.反比例關系的判斷方法：(1)兩種量是相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。(2)兩種量中相對應的兩個數的積一定。
1．在外通過測量各種物體的長度及其影子的長度，然后再找出物體長度和影子的比例關系，找出其中的規律。
2．在活動過程中積累數學活動的基本經驗，仔細感受解決問題的樂趣，感受數學在實際生活中的應用。
3．以分組的形式，培養自己解決問題的能力以及團隊合作精神和創新意識。
易錯知識點01：正比例的易錯知識點
1. 混淆正比例與正數關系：
易錯點：學生可能誤以為所有正數之間的關系都是正比例關系。
原因：對正比例關系的本質理解不夠深入，只看到了數值的正負，而忽略了比值是否恒定。
解決方法：強調正比例關系的定義，即兩個量的比值恒定不變，而不僅僅是兩個量都是正數。
2. 忽視比例常數的存在：
易錯點：在解決正比例問題時，學生可能忘記或忽視比例常數的存在。
原因：對正比例關系式的理解不夠透徹，沒有意識到比例常數k在關系式中的重要性。
解決方法：在解題過程中，明確寫出比例關系式，并標注出比例常數k，以提醒學生注意。
3. 錯誤地應用正比例關系：
易錯點：學生可能在不適合的情境下錯誤地應用正比例關系。
原因：對正比例關系的適用條件理解不夠清晰，沒有準確判斷兩個量之間是否存在正比例關系。
解決方法：通過實例和練習，加深學生對正比例關系適用條件的理解，學會準確判斷兩個量之間是否存在正比例關系。
易錯知識點02：反比例的易錯知識點
1. 混淆反比例與負數關系：
易錯點：學生可能誤以為所有負數之間的關系都是反比例關系。
原因：對反比例關系的本質理解不夠深入，只看到了數值的負號，而忽略了乘積是否恒定。
解決方法：強調反比例關系的定義，即兩個量的乘積恒定不變，而不僅僅是兩個量都是負數。
2. 忽視反比例關系的圖像特征：
易錯點：在繪制反比例關系的圖像時，學生可能無法準確描繪出雙曲線的形狀。
原因：對反比例關系圖像的理解不夠深入，缺乏繪制雙曲線的經驗。
解決方法：通過實例和練習，引導學生掌握繪制反比例關系圖像的方法，并理解雙曲線的特征。
3. 錯誤地判斷反比例關系的存在：
易錯點：學生可能在不適合的情境下錯誤地判斷兩個量之間存在反比例關系。
原因：對反比例關系的適用條件理解不夠清晰，沒有準確判斷兩個量之間是否存在反比例關系。
解決方法：通過實例和練習，加深學生對反比例關系適用條件的理解，學會準確判斷兩個量之間是否存在反比例關系。同時，強調反比例關系與正比例關系的區別，避免混淆。
【考點精講一】（22-23六年級下·江蘇徐州·期末）一條生產線每3分鐘自動記錄一次生產產品的總數量，下面是生產產品情況的記錄。
時間/分 3 6 9 12 …
產品數量/個 51 102 153 204 …
（1）生產產品的時間和產品數量成（ ）比例。
（2）照這樣計算，36分鐘生產產品多少個？
【答案】（1）正；
（2）612個
【分析】（1）兩個相關聯的量，若兩個量的比值一定，兩個量成正比例關系；若兩個量的乘積一定，兩個量成反比例關系，據此判斷即可。
（2）根據表中數據先求出1分鐘生產的數量，再乘36即可。
【詳解】（1）51÷3＝ 102÷6＝ 153÷9＝ 204÷12＝17
生產產品的時間和產品數量的比值一定，所以生產產品的時間和產品數量成正比例。
（2）51÷3×36
＝17×36
＝612（個）
答：照這樣計算，36分鐘生產產品612個。
【點睛】本題考查正、反比例的意義與辨識，及正比例的應用。
【考點精講二】（23-24六年級下·廣西桂林·期末）從春蕾小學到某研學基地，不同的交通工具的速度和行駛所需時間如下。
車輛 小客車 中巴車 小轎車 大巴車
平均速度（千米/時） 80 75 90 60
時間（時） 1.5 1.6 2
（1）如果用s表示學校到研學基地的路程，用v表示車輛的平均速度，t表示駛完全程所需的時間。v與t成什么比例關系？寫出這個關系式。
（2）春蕾小學部分師生準備下周一早上8：00從學校開車去該研學基地，想在當天上午9：40前到達，開車的平均速度不能低于多少千米/時？
【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120
（2）72千米/時
【分析】（1）根據“速度×時間＝路程”可知，路程一定時，速度與時間成反比例關系，據此用字母表示出這個關系式。
（2）根據題意，從早上8：00開車出發，當天上午9：40前到達，用到達時刻減去出發時刻，求出開車的時間；根據速度×時間＝路程（一定），則車輛的平均速度和行駛時間成反比例關系，據此列出反比例方程，并求解。
【詳解】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定）
乘積一定，則車輛的平均速度與時間成反比例關系。
答：v與t成反比例關系，關系式：s＝vt或者vt＝120。
（2）9時40分－8時＝1小時40分
1小時40分＝小時
解：設開車的平均速度不能低于千米/時。
＝80×1.5
＝120
＝120÷
＝120×
＝72
答：開車的平均速度不能低于72千米/時。
【考點精講三】（23-24六年級下·山西大同·期末）某公司積分兌換話費活動開始了，兌換比例是60∶1（60積分兌換1元話費）。王叔叔兌換了50元話費，他花了多少積分？（用比例知識解答）
【答案】3000積分
【分析】根據題意知道，積分和兌換的話費的比值一定，即積分和兌換的話費成正比例，由此列式解答即可。
【詳解】解：他花了x積分。
x∶50＝60∶1
x＝50×60
x＝3000
答：他花了3000積分。
【點睛】解答此題的關鍵是先判斷題中的兩種相關聯的量成何比例，然后找準對應量，列式解答即可。
【考點精講四】（23-24六年級下·全國·期末）學校用方磚鋪會議室的地面。原來打算用面積0.25平方米的方磚，需要540塊。現在改用面積0.36平方米的方磚，需要多少塊？
【答案】375塊
【分析】由題意可知：每塊方磚的面積×方磚的塊數＝會議室的面積（一定），所以每塊方磚的面積和方磚的塊數成反比例關系，設改用面積是0.36平方米的方磚來鋪，需要x塊，根據每塊方磚的面積和方磚的塊數成反比例關系列出比例求解即可。
【詳解】解：設改用面積是0.36平方米的方磚來鋪，需要x塊。
0.25×540＝0.36x
0.36x＝135
0.36x÷0.36＝135÷0.36
x＝375
答：需要375塊。
一、解答題
1．（23-24六年級下·甘肅平涼·期末）一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行72千米，4小時可以到達。從乙地返回甲地，每小時行48千米，需要多少小時到達？（用比例解）
【答案】6小時
【分析】根據題意可知，甲地與乙地的距離一定；根據速度×時間＝路程（一定），乘積一定，則汽車的速度和行駛的時間成反比例關系，據此列出反比例方程，并求解。
【詳解】解：設需要小時到達。
答：需要6小時到達。
2．（23-24六年級下·河南開封·期末）為了綠水藍天，倡導低碳生活。“共享單車”成為大家的出行工具，李老師從家去圖書館，平均每分鐘騎行360米，15分鐘可以到達。返回時，由于家中有事，加快了騎行速度，結果提前3分鐘到家。李老師返回時平均每分鐘騎行多少米？
【答案】450米
【分析】根據題意可知，李老師家與圖書館的距離一定，即速度×時間＝路程（一定），乘積一定，則速度和時間成反比例關系；據此列出反比例方程，并求解。
【詳解】解：設李老師返回時平均每分鐘騎行米。
（15－3）＝360×15
12＝5400
＝5400÷12
＝450
答：李老師返回時平均每分鐘騎行450米。
3．（23-24六年級下·河南三門峽·期末）農具廠生產一批農具，原計劃每天生產80臺，20天可完成任務。如果每天比原計劃多生產25%，需多少天能完成任務？（用比例知識解答）
【答案】16天
【分析】根據題意可知，生產這批農具的臺數一定，每天生產的臺數與生產的天數成反比例，把原計劃每天生產的臺數看作單位“1”，實際生產臺數是原計劃（1＋25%），用原計劃每天生產的臺數×（1＋25%），求出實際每天生產的臺數，設需x天完成任務，原計劃每天生產的臺數×天數＝實際每天生產的臺數×需要的天數，列方程：（1＋25%）×80×x＝80×20，解方程，即可解答。
【詳解】解：設需x天能完成任務。
（1＋25%）×80×x＝80×20
1.25×80×x＝1600
100x＝1600
x＝1600÷100
x＝16
答：需16天能完成任務。
4．（23-24六年級下·山西長治·期末）體育王老師要從學校去商場購買4個籃球。他以180米/分的速度從學校騎自行車去A商場，需要15分鐘；如果路線不變，他騎電動車去A商場只需要9分鐘。他騎電動車的平均速度是多少？（用比例的方法解答）
【答案】300米/分
【分析】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系；
如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。
根據題意，先設他騎電動車的平均速度是x，結合速度×時間＝路程（一定），可知王老師的速度與時間成反比例關系，列出比例式為9x＝180×15，求出x即可。
【詳解】解：設他騎電動車的平均速度是x。
9x＝180×15
9x÷9＝2700÷9
x＝300
答：他騎電動車的平均速度是300米/分。
5．（23-24六年級下·廣東云浮·期末）一個房間鋪地磚，如果用面積為16平方分米的方磚鋪至少需150塊。如果改用邊長為5分米的方磚鋪，至少需多少塊？（用比例知識解答）
【答案】96塊
【分析】設至少需x塊，根據每塊方磚的面積×相應塊數＝房間面積（一定），列出反比例算式解答即可。
【詳解】解：設至少需x塊。
5×5×x＝16×150
25x＝2400
25x÷25＝2400÷25
x＝96
答：至少需96塊。
6．（23-24六年級下·四川涼山·期末）某工程隊鋪一段路，原計劃每天鋪9.6千米，15天鋪完，實際每天鋪12千米，實際鋪了多少天？（用比例解答）
【答案】12天
【分析】設實際鋪了x天，根據每天鋪的長度×鋪的天數＝總長度（一定），列出反比例算式解答即可。
【詳解】解：設實際鋪了x天。
12x＝15×9.6
12x＝144
12x÷12＝144÷12
x＝12
答：實際鋪了12天。
7．（23-24六年級下·北京東城·期末）3月12日植樹節，春光小學組織同學們到實踐基地種植一批樹苗。如果每行種18棵，恰好可以種40行。如果每行種15棵，這些樹苗要種多少行？（用比例的方法解答）
【答案】48行
【分析】根據題意可得：每行樹苗的棵數×行數＝這批樹苗的總棵數（一定），每行樹苗的棵數和行數的積一定，則每行樹苗的棵數和行數成反比例關系。據此設這些樹苗要種x行，列方程為：15x＝18×40，解出方程即可。
【詳解】解：設這些樹苗要種x行。
15x＝18×40
15x＝720
15x÷15＝720÷15
x＝48
答：這些樹苗要種48行。
8．（23-24六年級下·湖南岳陽·期末）小聰讀一本童話書，如果每天讀24頁，10天可以讀完。小聰想提前2天讀完，那么平均每天要讀多少頁？（用比例解）
【答案】30頁
【分析】根據題意知道一本書的總頁數一定，每天讀的頁數×讀書的天數＝一本書的總頁數（一定），所以每天讀的頁數與讀的天數成反比例，由此設出未知數，列出比例解答即可。
【詳解】解：設平均每天要讀x頁。
（10－2）x＝24×10
8x＝240
8x÷8＝240÷8
x＝30
答：平均每天要讀30頁。
9．（23-24六年級下·江西南昌·期末）王阿姨一家四口打算從長沙來南昌游玩。如果乘高鐵來南昌，1.2小時到達。如果選擇自駕游來南昌，需要5小時才能到達。王阿姨自駕游時的平均車速是多少？
出行方式 平均速度 時間
乘高鐵 300千米/時 1.2小時
自駕游 ？千米/時 5小時
【答案】72千米/時
【分析】長沙到南昌的路程是不變的，速度與時間的乘積是一定的，即速度與時間這兩種量成反比例，由此設王阿姨自駕游時的平均車速是x千米/時，列出比例式解答即可。
【詳解】解：設王阿姨自駕游時的平均車速是x千米/時。
答：王阿姨自駕游時的平均車速是72千米/時。
10．（23-24六年級下·湖北黃岡·期末）甲乙兩個工程隊合修一條公路，計劃每天修60米，30天修完，實際每天多修20%，實際多少天可以修完？（用比例解）
【答案】25天
【分析】將計劃每天修的長度看作單位“1”，實際每天修的是計劃的（1＋20%），計劃每天修的長度×實際每天修的對應百分率＝實際每天修的長度，設實際x天可以修完，根據每天修的長度×相應天數＝總長度（一定），列出反比例算式解答即可。
【詳解】解：設實際x天可以修完。
60×（1＋20%）×x＝60×30
60×1.2×x＝1800
72x＝1800
72x÷72＝1800÷72
x＝25
答：實際25天可以修完。
11．（23-24六年級下·湖北十堰·期末）一輛火車從甲地開往乙地，每小時行200千米，4.8小時可以到達。如果速度提高，可以提前幾個小時到達？（用比例解）
【答案】0.8小時
【分析】根據題意知兩地間的路程一定，根據路程一定，速度和時間成反比例，據此可列出比例式進行解答。
【詳解】解：設可以提前x個小時到達。
200×（1＋）×（4.8－x）＝200×4.8
200××（4.8－x）＝960
240×（4.8－x）＝960
4.8－x＝960÷240
4.8－x＝4
x＝4.8－4
x＝0.8
答：可以提前0.8個小時到達。
12．（23-24六年級下·四川綿陽·期末）爸爸開車從甲地到乙地一共用了3小時，每小時行50千米。原路返回時每小時快了10千米，返回時用了多長時間？（用比例知識解答）
【答案】2.5小時
【分析】根據題意，總路程一定，所以速度乘時間的乘積相等，所以用去時的速度乘上去時用的時間等于返回的速度乘返回用的時間。設返回用時x小時，則返回的速度是（50＋10）千米/時，即要用返回的速度（50＋10）乘上返回的時間x，等于去時的速度乘上去時用的時間，列式解答即可。
【詳解】解：設返回時用了x小時的時間。
（50＋10）x＝50×3
60x＝150
60x÷60＝150÷60
x＝2.5
答：返回用了2.5小時。
13．（23-24六年級下·四川瀘州·期末）如圖，機器上有一對互相咬合的齒輪，大齒輪有20個齒，每分轉75轉；小齒輪有10個，每分轉多少轉？（用比例解）
【答案】150轉
【分析】因為兩個互相咬合的齒輪，在同一時間內轉動時，它們轉過的齒數是相同的，所以大齒輪的齒數×大齒輪的轉速＝小齒輪的齒數×小齒輪的轉速，設小齒輪每分鐘轉x轉，然后列比例，解出比例，據此解答。
兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，如果這兩個量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩個量就叫做成反比例的量。
【詳解】解：設小齒輪每分轉x轉。
10x＝20×75
10x＝1500
x＝1500÷10
x＝150
答：每分轉150轉。
14．（23-24六年級下·河南信陽·期末）辦公室買進一包白紙，計劃每天用30張，可以用20天。由于注意了節約用紙，實際每天少用5張，實際比計劃多用多少天？（用比例解）
【答案】4天
【分析】根據題意可知，這包白紙的總張數不變，即每天用紙的張數×用的天數＝這包白紙的總張數（一定），乘積一定，則每天用紙的張數與用的天數成反比例關系，據此列出反比例方程，并求出實際用的天數；最后用計劃用的天數減去實際用的天數，即是實際比計劃多用的天數。
【詳解】解：設實際可以用x天。
（30－5）x＝30×20
25x＝600
x＝600÷25
x＝24
24－20＝4（天）
答：實際比計劃多用4天。
15．（23-24六年級下·湖北十堰·期末）張叔叔加工一批零件，計劃每小時加工25個，6小時完成，實際工作效率提高20%，實際多少小時可以完成？（用比例知識解答）
【答案】5小時
【分析】已知計劃每小時加工25個，實際工作效率提高20%，把計劃工作效率看作單位“1”，則實際工作效率是計劃的（1＋20%），單位“1”已知，用計劃工作效率乘（1＋20%），即是實際工作效率；
根據題意可知，加工這批零件的工作總量不變，即工作效率×工作時間＝工作總量（一定），乘積一定，則工作效率與工作時間成反比例關系，據此列出反比例方程，并求解。
【詳解】解：實際x小時可以完成。
25×（1＋20%）×x＝25×6
25×1.2×x＝150
30x＝150
x＝150÷30
x＝5
答：實際5小時可以完成。
16．（23-24六年級下·貴州黔南·期末）隨著村民收入水平提高，福福家搬了新家。裝修其中一間臥室時，如果用邊長30厘米的正方形地磚鋪地，需要200塊。如果改用邊長0.6米的正方形地磚鋪地，需要多少塊？（用比例解決問題）
【答案】50塊
【分析】根據題意可知，每塊地磚的面積×塊數＝總面積（一定），每塊地磚的面積和塊數成反比例，先統一單位，據此設如果改用邊長0.6米的正方形地磚鋪地，需要塊，列方程為，然后解出方程即可。
【詳解】0.6米＝60厘米
解：設如果改用邊長0.6米的正方形地磚鋪地，需要塊。

答：需要50塊。
17．（23-24六年級下·山東濟寧·期末）水果蘿卜是濰坊特產，為了方便挑選優質蘿卜，商家準備建造選蘿卜倉庫。如果用邊長是8分米的方磚給倉庫鋪地，需要250塊，如果改用邊長是10分米的方磚，需要多少塊？
【答案】160塊
【分析】根據題意可知，每塊方磚的面積×塊數＝倉庫地面的面積（一定），乘積一定，則每塊方磚的面積與塊數成反比例關系，據此列出反比例方程，并求解。
【詳解】解：設需要塊。
（10×10）＝8×8×250
100＝16000
＝16000÷100
＝160
答：需要160塊。
18．（23-24六年級下·新疆烏魯木齊·期末）小亮半小時能打900個字，照這樣的速度，往電腦里輸入一篇1500字的文章，小亮需要多長時間？（用比例解題）
【答案】50分鐘
【分析】打字速度＝文章字的數量÷打字時間，打字速度不變，則文章字數與打字時間的比值不變，文章字數與打字時間成正比例，據此列出比例方程進行解答即可。
【詳解】解：設小亮需要x分鐘。
半小時＝30分鐘
900∶30＝1500∶x
900x＝1500×30
900x＝45000
900x÷900＝45000÷900
x＝50
答：小亮需要50分鐘。
19．（23-24六年級下·河南駐馬店·期末）公路隊修一條長900千米的公路，8天修了360千米，照這樣的速度，還要多少天才能修完？（用比例解）
【答案】12天
【分析】根據題意知道工作效率一定，工作量和工作時間成正比例，由此列出比例解決問題。
【詳解】解：設還要x天才能修完。
（900－360）∶x＝360∶8
540∶x＝360∶8
360x＝540×8
360x＝4320
x＝4320÷360
x＝12
答：還要12天才能修完。
20．（23-24六年級下·河南商丘·期末）淘氣身高1.4米，測得影長2.1米，同一時刻、同一地點測得一棟樓的影長22.5米，這棟樓的高度是多少米？（用比例解答）
【答案】15米
【分析】物體的高度和它的影長的比值是一定的。即物體的高度和它的影長成正比例。設這棟樓的高度是x米。淘氣身高與影長的比為1.4∶2.1，樓的高度與影長的比為x∶22.5，可列出比例：1.4∶2.1＝x∶22.5。再解比例即可。
【詳解】解：設這棟樓的高度是x米
1.4∶2.1＝x∶22.5
2.1x＝1.4×22.5
2.1x÷2.1＝31.5÷2.1
x＝31.5÷2.1
x＝15
答：這棟樓的高度是15米。
21．（2024·河南開封·小升初真題）一種蜂蜜水由蜂蜜和水按2∶9的質量比調制而成。如果用280毫升蜂蜜調制這種蜂蜜水，需要準備多少毫升水？（用解比例的方法解決。）
【答案】1260毫升
【分析】將需要準備的水設為未知數，再根據蜂蜜和水的比是2∶9列出比例。將比例改寫成一般方程，再將等式兩邊同時除以2，求出未知數，即需要準備多少毫升水。
【詳解】解：設需要準備x毫升水。
280∶x＝2∶9
2x＝280×9
2x＝2520
2x÷2＝2520÷2
x＝1260
答：需要準備1260毫升水。
22．（22-23六年級下·江蘇淮安·期末）只列算式，不計算。
某公司接到一批機器生產定單，原計劃每天生產50臺，12天完成任務。實際每天生產60臺，實際多少天完成任務？
【答案】50×12÷60
【分析】根據題意可知，原計劃每天生產的臺數×天數＝計劃生產臺數（一定）；原計劃每天生產的臺數與生產天數成反比例；再用計劃生產的臺數÷實際每天生產的臺數，即可求出實際用的天數。
【詳解】50×12÷60
＝600÷60
＝10（天）
答：實際10天完成任務。
23．（23-24六年級下·江蘇蘇州·期末）運輸隊運送一批救災物資到汶川災區。原計劃每小時行60千米，5小時可以到達。由于道路受損嚴重，實際平均每小時比原計劃少行20千米。實際到達災區需要多少小時？
【答案】7.5小時
【分析】根據路程＝速度×時間；由于路程不變；行駛的速度和時間成反比例；設實際到達災區需要x小時；列比例：（60－20）x＝60×5，解比例，即可解答。
【詳解】解：設設實際到達災區需要x小時。
（60－20）x＝60×5
40x＝300
x＝300÷40
x＝7.5
答：實際到達災區需要7.5小時。
24．（23-24六年級下·河南平頂山·期末）李叔叔想開車去武漢旅游，他從某導航軟件左下角看到該地圖的比例尺是，量得地圖上從家到武漢的距離是7.5厘米。已知李叔叔的汽車每行駛100千米耗油7.5升，按這個耗油量，他出發前加滿40升汽油，去的途中還需要加油嗎？請說說你的理由。（用比例解答）
【答案】不用加油
【分析】根據比例尺可知，圖上1厘米的距離表示實際距離60千米，據此用60乘7.5即可求出李叔叔從家到武漢的實際距離。根據題意，汽車行駛的路程÷耗油量＝每升汽油可以顯示的路程（一定），則汽車行駛的路程和耗油量的商一定，則汽車行駛的路程和耗油量成正比例關系。設汽車行駛450千米耗油x升，根據比例關系可列出比例：100∶7.5＝450∶x，解出比例求出李叔叔從家到武漢需要多少升汽油，據此判斷中途是否需要加油。
【詳解】60×7.5＝450（千米）
解：設汽車行駛450千米耗油x升。
100∶7.5＝450∶x
100x＝7.5×450
100x＝3375
100x÷100＝3375÷100
x＝33.75
40＞33.75
答：去的途中不用加油。
25．（23-24六年級下·天津南開·期末）客車和貨車分別從甲乙兩地相向而行，客車3小時后到達甲乙兩地中點，繼續行駛，又過了一個小時，貨車到達甲乙兩地中點，這時貨車開始提速，速度比原來提高了20%，當客車到達乙地時，貨車行駛了全程的幾分之幾？
【答案】
【分析】由題意可知，客車3小時后到兩地中點，貨車小時后到兩地中點，根據路程相同，時間和速度成反比，則可知客車和貨車原來的速度比是，因貨車到達兩地中點后，速度比原來提高了20%，則可計算客車和貨車后來的速度比是，當客車到達乙地時，可知客車又走了兩地路程的，可根據時間相同，路程和速度成正比，利用客車和貨車后來的速度比計算貨車提速后走了全程的分率，再加上提速前的，即可得解。
【詳解】客車和貨車原來的速度比：
客車和貨車后來的速度比：
答：當客車到達乙地時，貨車行駛了全程的。
【點睛】此題關鍵根據路程相同，時間和速度成反比，求出客車和貨車之前及之后的速度比，再根據時間相同，路程和速度成正比，求出貨車后來走了全程的分率，再加上之前的。
26．（2024·河南鄭州·小升初真題）A、B兩地相距2400米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，兩人在途中某處相遇后，甲又繼續行進18分鐘到達B地，乙又繼續行進50分鐘到達A地，請問：甲比乙每分鐘多走多少米？
【答案】20米
【分析】根據題意，設甲、乙從出發到相遇花了分鐘。因為甲分鐘走的路程與乙花50分鐘走的路程相同，甲18分鐘走的路程與乙花分鐘走的路程相同，根據路程相同時，速度與時間成反比，所以甲、乙的速度比是50∶和∶18，據此列出比例方程，并求出兩人的相遇時間。
已知A、B兩地相距2400米，甲、乙從出發到相遇用了30分鐘，根據速度和＝總路程÷相遇時間，求出甲、乙的速度之和。
由前面可知甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3，即甲、乙的速度分別占甲乙速度和的、，根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，求出甲、乙的速度，再相減，即可求出甲比乙每分鐘多走的米數。
【詳解】解：設甲、乙從出發到相遇花了分鐘。
50∶＝∶18
2＝50×18
2＝900
＝30
甲、乙的速度和：2400÷30＝80（米/分）
甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3；
甲的速度：
80×
＝80×
＝50（米/分）
乙的速度：
80×
＝80×
＝30（米/分）
甲比乙每分鐘多走：50－30＝20（米）
答：甲比乙每分鐘多走20米。
【點睛】先利用路程相同時，速度與時間成反比，得出甲、乙的速度比，列出比例方程，求出相遇時間；然后根據速度、時間、路程之間的關系，求出兩人的速度和；再根據按比分配的解題方法，把比轉化成分數，根據分數乘法的意義分別求出甲、乙的速度是解題的關鍵。
27．（23-24六年級下·湖南常德·期末）一個兒童玩具組裝車間要完成一批兒童玩具組裝任務，每天組裝玩具的個數與需要的天數如下表。
每天組裝數量/個 600 750 900 1200 1500
組裝天數/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天組裝數量用p表示，組裝天數用t表示，組裝玩具總數用s表示，請你用式子表示出三者之間的關系。
（2）如果這批組裝任務需要在8天內完成，每天要組裝多少個玩具？（用比例解答）
【答案】（1）
（2）2250個
【分析】（1）根據總數量一定，每天組裝的數量×需要的天數＝總數量，表示出p、t和組裝玩具總數s之間的關系即可。（2）這批任務的數量是一定的，所以p和t成反比例；設每天組裝x個玩具，根據每天組裝的數量×需要的天數＝總數量，列出反比例方程解答即可。
【詳解】（1）p、t和組裝玩具總數s之間的關系式：。
（2）解：設每天組裝x個玩具。
答：每天要組裝2250個玩具。
28．（23-24六年級下·福建龍巖·期末）小麗做一種手工絹花，完成的數量與時間關系如圖所示。
（1）小麗做手工絹花的數量與時間成什么比例？請說明理由。
（2）小麗5小時可以做多少個手工絹花？（用比例解）
【答案】（1）正比例；理由見詳解
（2）25個
【分析】（1）判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。根據題意可知，每小時做絹花的數量不變，小麗做手工絹花的數量和時間成正比例；
（2）設小麗5小時可以做x個手工絹花，2小時做10個絹花，小麗做手工絹花的數量和時間成正比例，列比例：10∶2＝x∶5，解比例，即可解答。
【詳解】10÷2＝20÷4＝30÷6＝5（一定）
答：小麗做手工絹花的數量與時間成正比例。做的數量和做的時間成正比例關系。
（2）解：設小麗5小時做x個手工絹花。
10∶2＝x∶5
2x＝10×5
2x＝50
x＝50÷2
x＝25
答：小麗5小時可以做25個手工絹花。
29．（2024·四川成都·小升初真題）金字塔是埃及的著名建筑，其中以現高136.5米的胡夫金字塔最為著名，第一個精確測得其高度的人是數學家泰勒。原來他就是利用了我們這學期學習的比例知識（如圖）。小芳和小麗也準備運用這種方法來測量學校旗桿的高度，小芳先測得小麗身高為1.6米，在陽光下影子長度為2.4米，她立刻去測量學校旗桿的影長，測得旗桿影長為12米，那么這根旗桿的實際高度是多少米？
【答案】8米
【分析】根據題意可知，同一時刻，物體的實際高度與影長的比值一定，那么物體的實際高度與影長成正比例關系，據此列出正比例方程，并求解。
【詳解】解：設這根旗桿的實際高度是米。
1.6∶2.4＝∶12
2.4＝1.6×12
2.4＝19.2
＝19.2÷2.4
＝8
答：這根旗桿的實際高度是8米。
30．（2022·安徽合肥·小升初真題）84消毒液在生活中廣泛應用。下面是某品牌84消毒液說明書。
【藥品名稱】84消毒液
【規格型號】500mL
【用法用量】見下表
消毒對象 稀釋比例（消毒液：水） 消毒時間（分鐘） 使用方法
一般物品表面 1∶100 20 浸泡或擦拭
餐飲具 1∶200 20 浸泡或擦拭
白色衣物清洗 1∶250 30 浸泡
……
學校要配制消毒水對班級的課桌面進行消毒，用200mL的消毒液需要用多少L水來配？
【答案】20L
【分析】根據統計表可知，學校要配制消毒液對班級課桌面進行消毒，需要稀釋的比例是1∶100；即消毒液與水比成正比例；設用200mL的消毒液需要用水xmL水來配；列比例：1∶100＝200∶x；解比例，即可解答。
【詳解】解：設用200mL的消毒液需要用xmL水來配。
1∶100＝200∶x
x＝100×200
x＝20000
20000mL＝20L
答：用200mL的消毒液需要用20L水來配。
【點睛】解答本題的關系判斷出消毒液與水成什么比；再根據判斷的比例，設出未知數，找出相關的量，列比例，解比例，注意單位名數的換算。1.正比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就是成正比例的量，它們的關系就叫作成正比例關系。
2.正比例關系的判斷方法：首先判斷這兩種量是不是相關聯的量。再看這兩種量相對應的兩個數的比值是否一定，比值一定，則這兩種相關聯的量成正比例，反之，則不成正比例。
3.正比例圖像：正比例圖像是一條經過原點的直線。從圖像中可以直觀地看出兩種量的變化情況，由一種量的值可以直接找到對應的另一種量的值。
1.反比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就是成反比例的量，它們的關系就叫反比例關系。
2.反比例關系的判斷方法：(1)兩種量是相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。(2)兩種量中相對應的兩個數的積一定。
1．在外通過測量各種物體的長度及其影子的長度，然后再找出物體長度和影子的比例關系，找出其中的規律。
2．在活動過程中積累數學活動的基本經驗，仔細感受解決問題的樂趣，感受數學在實際生活中的應用。
3．以分組的形式，培養自己解決問題的能力以及團隊合作精神和創新意識。
易錯知識點01：正比例的易錯知識點
1. 混淆正比例與正數關系：
易錯點：學生可能誤以為所有正數之間的關系都是正比例關系。
原因：對正比例關系的本質理解不夠深入，只看到了數值的正負，而忽略了比值是否恒定。
解決方法：強調正比例關系的定義，即兩個量的比值恒定不變，而不僅僅是兩個量都是正數。
2. 忽視比例常數的存在：
易錯點：在解決正比例問題時，學生可能忘記或忽視比例常數的存在。
原因：對正比例關系式的理解不夠透徹，沒有意識到比例常數k在關系式中的重要性。
解決方法：在解題過程中，明確寫出比例關系式，并標注出比例常數k，以提醒學生注意。
3. 錯誤地應用正比例關系：
易錯點：學生可能在不適合的情境下錯誤地應用正比例關系。
原因：對正比例關系的適用條件理解不夠清晰，沒有準確判斷兩個量之間是否存在正比例關系。
解決方法：通過實例和練習，加深學生對正比例關系適用條件的理解，學會準確判斷兩個量之間是否存在正比例關系。
易錯知識點02：反比例的易錯知識點
1. 混淆反比例與負數關系：
易錯點：學生可能誤以為所有負數之間的關系都是反比例關系。
原因：對反比例關系的本質理解不夠深入，只看到了數值的負號，而忽略了乘積是否恒定。
解決方法：強調反比例關系的定義，即兩個量的乘積恒定不變，而不僅僅是兩個量都是負數。
2. 忽視反比例關系的圖像特征：
易錯點：在繪制反比例關系的圖像時，學生可能無法準確描繪出雙曲線的形狀。
原因：對反比例關系圖像的理解不夠深入，缺乏繪制雙曲線的經驗。
解決方法：通過實例和練習，引導學生掌握繪制反比例關系圖像的方法，并理解雙曲線的特征。
3. 錯誤地判斷反比例關系的存在：
易錯點：學生可能在不適合的情境下錯誤地判斷兩個量之間存在反比例關系。
原因：對反比例關系的適用條件理解不夠清晰，沒有準確判斷兩個量之間是否存在反比例關系。
解決方法：通過實例和練習，加深學生對反比例關系適用條件的理解，學會準確判斷兩個量之間是否存在反比例關系。同時，強調反比例關系與正比例關系的區別，避免混淆。
【考點精講一】（22-23六年級下·江蘇徐州·期末）一條生產線每3分鐘自動記錄一次生產產品的總數量，下面是生產產品情況的記錄。
時間/分 3 6 9 12 …
產品數量/個 51 102 153 204 …
（1）生產產品的時間和產品數量成（ ）比例。
（2）照這樣計算，36分鐘生產產品多少個？
【答案】（1）正；
（2）612個
【分析】（1）兩個相關聯的量，若兩個量的比值一定，兩個量成正比例關系；若兩個量的乘積一定，兩個量成反比例關系，據此判斷即可。
（2）根據表中數據先求出1分鐘生產的數量，再乘36即可。
【詳解】（1）51÷3＝ 102÷6＝ 153÷9＝ 204÷12＝17
生產產品的時間和產品數量的比值一定，所以生產產品的時間和產品數量成正比例。
（2）51÷3×36
＝17×36
＝612（個）
答：照這樣計算，36分鐘生產產品612個。
【點睛】本題考查正、反比例的意義與辨識，及正比例的應用。
【考點精講二】（23-24六年級下·廣西桂林·期末）從春蕾小學到某研學基地，不同的交通工具的速度和行駛所需時間如下。
車輛 小客車 中巴車 小轎車 大巴車
平均速度（千米/時） 80 75 90 60
時間（時） 1.5 1.6 2
（1）如果用s表示學校到研學基地的路程，用v表示車輛的平均速度，t表示駛完全程所需的時間。v與t成什么比例關系？寫出這個關系式。
（2）春蕾小學部分師生準備下周一早上8：00從學校開車去該研學基地，想在當天上午9：40前到達，開車的平均速度不能低于多少千米/時？
【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120
（2）72千米/時
【分析】（1）根據“速度×時間＝路程”可知，路程一定時，速度與時間成反比例關系，據此用字母表示出這個關系式。
（2）根據題意，從早上8：00開車出發，當天上午9：40前到達，用到達時刻減去出發時刻，求出開車的時間；根據速度×時間＝路程（一定），則車輛的平均速度和行駛時間成反比例關系，據此列出反比例方程，并求解。
【詳解】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定）
乘積一定，則車輛的平均速度與時間成反比例關系。
答：v與t成反比例關系，關系式：s＝vt或者vt＝120。
（2）9時40分－8時＝1小時40分
1小時40分＝小時
解：設開車的平均速度不能低于千米/時。
＝80×1.5
＝120
＝120÷
＝120×
＝72
答：開車的平均速度不能低于72千米/時。
【考點精講三】（23-24六年級下·山西大同·期末）某公司積分兌換話費活動開始了，兌換比例是60∶1（60積分兌換1元話費）。王叔叔兌換了50元話費，他花了多少積分？（用比例知識解答）
【答案】3000積分
【分析】根據題意知道，積分和兌換的話費的比值一定，即積分和兌換的話費成正比例，由此列式解答即可。
【詳解】解：他花了x積分。
x∶50＝60∶1
x＝50×60
x＝3000
答：他花了3000積分。
【點睛】解答此題的關鍵是先判斷題中的兩種相關聯的量成何比例，然后找準對應量，列式解答即可。
【考點精講四】（23-24六年級下·全國·期末）學校用方磚鋪會議室的地面。原來打算用面積0.25平方米的方磚，需要540塊。現在改用面積0.36平方米的方磚，需要多少塊？
【答案】375塊
【分析】由題意可知：每塊方磚的面積×方磚的塊數＝會議室的面積（一定），所以每塊方磚的面積和方磚的塊數成反比例關系，設改用面積是0.36平方米的方磚來鋪，需要x塊，根據每塊方磚的面積和方磚的塊數成反比例關系列出比例求解即可。
【詳解】解：設改用面積是0.36平方米的方磚來鋪，需要x塊。
0.25×540＝0.36x
0.36x＝135
0.36x÷0.36＝135÷0.36
x＝375
答：需要375塊。
一、解答題
1．（23-24六年級下·甘肅平涼·期末）一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行72千米，4小時可以到達。從乙地返回甲地，每小時行48千米，需要多少小時到達？（用比例解）
2．（23-24六年級下·河南開封·期末）為了綠水藍天，倡導低碳生活。“共享單車”成為大家的出行工具，李老師從家去圖書館，平均每分鐘騎行360米，15分鐘可以到達。返回時，由于家中有事，加快了騎行速度，結果提前3分鐘到家。李老師返回時平均每分鐘騎行多少米？
3．（23-24六年級下·河南三門峽·期末）農具廠生產一批農具，原計劃每天生產80臺，20天可完成任務。如果每天比原計劃多生產25%，需多少天能完成任務？（用比例知識解答）
4．（23-24六年級下·山西長治·期末）體育王老師要從學校去商場購買4個籃球。他以180米/分的速度從學校騎自行車去A商場，需要15分鐘；如果路線不變，他騎電動車去A商場只需要9分鐘。他騎電動車的平均速度是多少？（用比例的方法解答）
5．（23-24六年級下·廣東云浮·期末）一個房間鋪地磚，如果用面積為16平方分米的方磚鋪至少需150塊。如果改用邊長為5分米的方磚鋪，至少需多少塊？（用比例知識解答）
6．（23-24六年級下·四川涼山·期末）某工程隊鋪一段路，原計劃每天鋪9.6千米，15天鋪完，實際每天鋪12千米，實際鋪了多少天？（用比例解答）
7．（23-24六年級下·北京東城·期末）3月12日植樹節，春光小學組織同學們到實踐基地種植一批樹苗。如果每行種18棵，恰好可以種40行。如果每行種15棵，這些樹苗要種多少行？（用比例的方法解答）
8．（23-24六年級下·湖南岳陽·期末）小聰讀一本童話書，如果每天讀24頁，10天可以讀完。小聰想提前2天讀完，那么平均每天要讀多少頁？（用比例解）
9．（23-24六年級下·江西南昌·期末）王阿姨一家四口打算從長沙來南昌游玩。如果乘高鐵來南昌，1.2小時到達。如果選擇自駕游來南昌，需要5小時才能到達。王阿姨自駕游時的平均車速是多少？
出行方式 平均速度 時間
乘高鐵 300千米/時 1.2小時
自駕游 ？千米/時 5小時
10．（23-24六年級下·湖北黃岡·期末）甲乙兩個工程隊合修一條公路，計劃每天修60米，30天修完，實際每天多修20%，實際多少天可以修完？（用比例解）
11．（23-24六年級下·湖北十堰·期末）一輛火車從甲地開往乙地，每小時行200千米，4.8小時可以到達。如果速度提高，可以提前幾個小時到達？（用比例解）
12．（23-24六年級下·四川綿陽·期末）爸爸開車從甲地到乙地一共用了3小時，每小時行50千米。原路返回時每小時快了10千米，返回時用了多長時間？（用比例知識解答）
13．（23-24六年級下·四川瀘州·期末）如圖，機器上有一對互相咬合的齒輪，大齒輪有20個齒，每分轉75轉；小齒輪有10個，每分轉多少轉？（用比例解）
14．（23-24六年級下·河南信陽·期末）辦公室買進一包白紙，計劃每天用30張，可以用20天。由于注意了節約用紙，實際每天少用5張，實際比計劃多用多少天？（用比例解）
15．（23-24六年級下·湖北十堰·期末）張叔叔加工一批零件，計劃每小時加工25個，6小時完成，實際工作效率提高20%，實際多少小時可以完成？（用比例知識解答）
16．（23-24六年級下·貴州黔南·期末）隨著村民收入水平提高，福福家搬了新家。裝修其中一間臥室時，如果用邊長30厘米的正方形地磚鋪地，需要200塊。如果改用邊長0.6米的正方形地磚鋪地，需要多少塊？（用比例解決問題）
17．（23-24六年級下·山東濟寧·期末）水果蘿卜是濰坊特產，為了方便挑選優質蘿卜，商家準備建造選蘿卜倉庫。如果用邊長是8分米的方磚給倉庫鋪地，需要250塊，如果改用邊長是10分米的方磚，需要多少塊？
18．（23-24六年級下·新疆烏魯木齊·期末）小亮半小時能打900個字，照這樣的速度，往電腦里輸入一篇1500字的文章，小亮需要多長時間？（用比例解題）
19．（23-24六年級下·河南駐馬店·期末）公路隊修一條長900千米的公路，8天修了360千米，照這樣的速度，還要多少天才能修完？（用比例解）
20．（23-24六年級下·河南商丘·期末）淘氣身高1.4米，測得影長2.1米，同一時刻、同一地點測得一棟樓的影長22.5米，這棟樓的高度是多少米？（用比例解答）
21．（2024·河南開封·小升初真題）一種蜂蜜水由蜂蜜和水按2∶9的質量比調制而成。如果用280毫升蜂蜜調制這種蜂蜜水，需要準備多少毫升水？（用解比例的方法解決。）
22．（22-23六年級下·江蘇淮安·期末）只列算式，不計算。
某公司接到一批機器生產定單，原計劃每天生產50臺，12天完成任務。實際每天生產60臺，實際多少天完成任務？
23．（23-24六年級下·江蘇蘇州·期末）運輸隊運送一批救災物資到汶川災區。原計劃每小時行60千米，5小時可以到達。由于道路受損嚴重，實際平均每小時比原計劃少行20千米。實際到達災區需要多少小時？
24．（23-24六年級下·河南平頂山·期末）李叔叔想開車去武漢旅游，他從某導航軟件左下角看到該地圖的比例尺是，量得地圖上從家到武漢的距離是7.5厘米。已知李叔叔的汽車每行駛100千米耗油7.5升，按這個耗油量，他出發前加滿40升汽油，去的途中還需要加油嗎？請說說你的理由。（用比例解答）
25．（23-24六年級下·天津南開·期末）客車和貨車分別從甲乙兩地相向而行，客車3小時后到達甲乙兩地中點，繼續行駛，又過了一個小時，貨車到達甲乙兩地中點，這時貨車開始提速，速度比原來提高了20%，當客車到達乙地時，貨車行駛了全程的幾分之幾？
26．（2024·河南鄭州·小升初真題）A、B兩地相距2400米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，兩人在途中某處相遇后，甲又繼續行進18分鐘到達B地，乙又繼續行進50分鐘到達A地，請問：甲比乙每分鐘多走多少米？
27．（23-24六年級下·湖南常德·期末）一個兒童玩具組裝車間要完成一批兒童玩具組裝任務，每天組裝玩具的個數與需要的天數如下表。
每天組裝數量/個 600 750 900 1200 1500
組裝天數/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天組裝數量用p表示，組裝天數用t表示，組裝玩具總數用s表示，請你用式子表示出三者之間的關系。
（2）如果這批組裝任務需要在8天內完成，每天要組裝多少個玩具？（用比例解答）
28．（23-24六年級下·福建龍巖·期末）小麗做一種手工絹花，完成的數量與時間關系如圖所示。
（1）小麗做手工絹花的數量與時間成什么比例？請說明理由。
（2）小麗5小時可以做多少個手工絹花？（用比例解）
29．（2024·四川成都·小升初真題）金字塔是埃及的著名建筑，其中以現高136.5米的胡夫金字塔最為著名，第一個精確測得其高度的人是數學家泰勒。原來他就是利用了我們這學期學習的比例知識（如圖）。小芳和小麗也準備運用這種方法來測量學校旗桿的高度，小芳先測得小麗身高為1.6米，在陽光下影子長度為2.4米，她立刻去測量學校旗桿的影長，測得旗桿影長為12米，那么這根旗桿的實際高度是多少米？
30．（2022·安徽合肥·小升初真題）84消毒液在生活中廣泛應用。下面是某品牌84消毒液說明書。
【藥品名稱】84消毒液
【規格型號】500mL
【用法用量】見下表
消毒對象 稀釋比例（消毒液：水） 消毒時間（分鐘） 使用方法
一般物品表面 1∶100 20 浸泡或擦拭
餐飲具 1∶200 20 浸泡或擦拭
白色衣物清洗 1∶250 30 浸泡
……
學校要配制消毒水對班級的課桌面進行消毒，用200mL的消毒液需要用多少L水來配？

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