資源簡介

《§21.2解一元二次方程》單元作業設計
單元作業編制說明
單元作業性質
新授課單元作業
二、單元分析
本單元是人教版九年級數學上冊第21章第二個自然單元，前面承接了一元二次方程以及一元二次方程的根的概念，后面順接一元二次方程的實際應用，是本章內容中重要的單元之一．本單元的主要內容是用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程、根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況以及一元二次方程根與系數的關系.學生在學習一元一次方程、二元一次方程組時對解方程的基本思路降次消元和轉化思想等已比較熟悉，為本單元學習打下基礎，而用直接開方法解一元二次方程學生在之前平方根的學習中對=a已有所接觸,有一些直觀的理解.因此本單元的授課是在學生已有知識和經驗的基礎上，來系統地研究如何解一元二次方程.一元二次方程的解法是本節單元的重點內容，不僅可以對已學過實數、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識加以鞏固，還對今后學習解可化為一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函數等知識的基礎.同時也是回歸和解決實際問題的關鍵，學好這部分的主要難點是使學生理解配方法，從而能用配方法、公式法解數字系數的一元二次方程，會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等，了解一元二次方程的根與系數的關系.因此，在本單元的學習中，除了讓學生掌握以上一元二次方程解法的基礎知識外，還應通過大量一元二次方程的解法訓練，來培養學生的數感，從中感受一元二次方程的根的判別式的意義以及根與系數的關系，能通過系數表示方程的根，能用方程的根表示系數.使學生在這樣的過程中，感悟符號表達對于數學發展的作用，積累用數學符號進行一般性推理的經驗.
三、總體設計思路
關于§21.2解一元二次方程，在本單元作業設計中我主要從以下四個方面入手：
1.解一元二次方程是初中學生必備的基本技能之一，是以作業中大量方程解法的技能訓練是必要的。但除此之外學生對配方法、一元二次方程根的判別式、以及一元二次方程的根與系數的關系的理解與掌握是有一定困難的.所以除了解法訓練外，合理設計探究性問題讓學生不斷從通過用系數表示方程的根，能用方程的根表示系數.來培養學生的數感，感受一元二次方程根的判別式以及根與系數的關系；
2.本單元后續將繼續學習“實際問題與一元二次方程”，在此前學習一元二次方程概念時也通過實際問題列方程得到概念，學生有一定的根據實際問題列一元二次方程的基礎.因此，本單元中的作業設計會涉及到一些簡單的一元二次方程的應用背景，為后續的學習作鋪墊；
3.作業中應包括不同層次的練習，從易到難，滿足不同層次學生的需求，讓每個層次的學生都能有所得；設計了基礎性作業、綜合應用性作業、探究拓展性作業、綜合實踐性作業四個層次的作業，落實課程標準所設立的課程目標，重視基本知識、基本技能、基本思 想、基本活動經驗的考查，注重能力立意與素養導向；
4.設計實踐性作業（跨課時作業），培育學生創新意識、應用意識與現實情境下的綜合實踐能力，與基礎性作業、綜合應用性作業的功能形成互補，培養學生的數學核心素養，提升數學思維方法．
為此在作業中我做了如下設計：
1.在每課時作業的第一部分我設計了基礎性作業（基礎夯實），幫助學生理解概念、掌握方法、熟練技能，符合學生現有的認知水平、學習經驗和生活經驗。基礎性作業主要源于教材，滿足基礎較為薄弱的學生的學習需求，增強他們的學習信心，讓他們也能在數學學習上獲得成就感．
2.在每課時作業的第二部分我設計了綜合應用性作業（技能提升），提升學生數學核心素養，主要在基本知識技能鞏固的基礎上進行技能的疊加，側重于促進學生數學能力發展、數學思想方法形成和數學思維品質提升。但總體難度不高，學生“跳一跳，能夠得到”，幫助學生進一步理解知識鞏固技能的同時，滿足知識掌握較好的學生的學習需求，讓學習較為薄弱的學生也能有所挑戰．
3.在每課時作業的第三部分設計了探究拓展性作業（探究拓展），其主要源于教材，但又高于教材，注重作業問題的啟發性、層次性、邏輯性和適度的挑戰性。本部分設計了本課時與下課時知識鏈接的思考題，引導學生發現解法之間的聯系，為下節課課堂探究做鋪墊.探究拓展性作業以發展學生數學能力和數學思維水平為最終目的，需要學生細讀研究，注意培養學生的遷移能力，提高學生發現問題、提出問題的能力.主要用于“吃不飽”的學生進行探索和思考，讓中上學生也能有所挑戰．
4.在一些課時作業的最后部分我設計了綜合實踐性作業（實踐活動），培育學生創新意識、應用意識與現實情境下的綜合實踐能力.例如第2課時配方解方程的最后，設計通過閱讀材料，讓學生明白配方不僅可以解方程、比較兩個式子的大小，還能用于求代數式的最值，第（1）（2）小題對例題進行舉一反三運用求最值，第（3）小題通過對花園面積的研究，滲透解決實際問題的思想，從簡單的矩形面積列式，利用配方求最值，滲透函數思想，為后續一元二次方程實際應用做下鋪墊.在第3課時設計了一道韋達定理探究問題，在學習完公式法后，通過問題串的形式讓學生通過解多個方程，較容易發現形式方程的兩根之和與兩根之積與系數之間的關系，再提出二次項系數不為1的情況給學生思考，讓他們去獨立探究驗證，滲透韋達定理的知識，培養計算推理能力，為日后韋達定理的理解與應用打下良好基礎.在第5課時設計一道跨課時實踐性作業，需要學生從本課時起到下一章二次函數結束的學習過程中，分步完成，并在二次函數小結時進行交流、展示.引導學生大膽猜想，思考如何由已學的知識解決未知的問題，將數學模型應用到實際生活中，最后通過后續學習的知識驗證猜想，得到結論.培養學生用數學的眼光看世界，用數學模型解決實際問題的數學思維.
單元課時作業規劃表
課時順序 課時名稱 作業目標
第1課時 直接開平方法 1.掌握用直接開平方法解形如和的一元二次方程， 2．掌握用直接開平方法解能轉化成的一元二次方程， 體會化歸的思想方法．
第2課時 配方法 1.會把方程通過配方化為的形式，體會事物間相互轉化的數學思想方法； 2.掌握用配方法解簡單數字系數的一元二次方程．
第3課時 公式法 1．體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，會用求根公式求一元二次方程的根； 2．理解求根公式的通用性和值的意義．
第4課時 因式分解法 1．掌握用因式分解法解數字系數的一元二次方程，進一步體會化歸思想方法； 2．會靈活選擇合適的因式分解方法解一元二次方程．
第5課時 一元二次方程的解法綜合 1．掌握熟練地解一元二次方程，進一步體會化歸思想方法—降次； 2．會靈活選用方法解一元二次方程.
第6課時 一元二次方程根的判別式 1．理解根的判別式的意義，會用根的判別式判斷一元二次方程根的情況； 2．會根據一元二次方程根的情況確定參數的取值范圍.
第7課時 一元二次方程根與系數的關系 1．了解一元二次方程根與系數關系和推導過程； 2．能用系數表示方程的根，能用方程的根表示系數．
第二部分 作業正文
“§21.2解一元二次方程”單元作業
說明：“§21.2解一元二次方程”是我市現用初中九年級數學人教版教材中的自然單元.本單元包括7個課時，各課時的主要內容分別為：
第1課時：直接開平方法
第2課時：配方法
第3課時：公式法
第4課時：因式分解法
第5課時：一元二次方程的解法綜合
第6課時：一元二次方程根的判別式
第7課時：一元二次方程根與系數的關系
本單元作業包括課時作業和實踐性作業（跨課時作業）.
第1課時 直接開平方法
一、作業目標
1.掌握用直接開平方法解形如和的一元二次方程，
2．掌握用直接開平方法解能轉化成的一元二次方程， 體會化歸的思想方法．
二、作業內容
【基礎夯實】
1．有下列方程：
①x2﹣2x＝0；②9x2﹣25＝0；③（2x﹣1）2＝1；④．
其中能用直接開平方法做的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
2．用直接開平方解下列一元二次方程，其中無解的方程為（　　）
A．x2+9＝0 B．﹣2x2＝0 C．x2﹣3＝0 D．（x﹣2）2＝0
3．一元二次方程x2＝4的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝±2
4．（1）一元二次方程x2﹣9＝0的解是 　 　；
（2）一元二次方程（x﹣5）2＝0的解為 　 　；
（3）一元二次方程（x﹣3）2＝8的解是 　 　．
5．解方程：
（1）4x2＝49 （2）（x﹣2）2＝16 （3）x2﹣4x+4＝0 （4）2（x+3）2﹣4＝0．
【設計意圖】：第1題根據直接開平方形式來判定是否能直接開平方，培養學生對直接開
平方法形式的判斷，作業第2-5題利用直接開平方解一元二次方程，讓學生掌握直接開平方法解方程，以及降次的思想.
【技能提升】
1.如果關于x的方程（x﹣4）2＝m﹣1可以用直接開平方法求解，那么m的取值范圍是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1
2.已知關于的一元二次方程 有一個根為0，則=_________．
3．一元二次方程的兩個實數根互為相反數，則 ；
兩根分別是 ．
4.若( x2+y2-2021 ) 2=1，則x2+y2=　 　．
5．解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【設計意圖】：第1題考查用直接開平方法的條件形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）求參數的值，鞏固直接開方法的形式；第2題與方程的解的意義結合，用直接開方法求k的值；第3題根據根互為相反數聯想到用直接開方法，沒有一次項從而解決問題；第4、5題滲透整體思想，再利用直接開方法解方程.
【探究拓展】
1.（1）在下列式子中，填上適當的數，使等式成立
①； ②；
③；④；
（2）嘗試用直接開方法解方程：
2．若一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，則＝　 　．
3.關于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均為常數，a≠0），則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．無法求解
4．在實數范圍內定義運算“ ”，其法則為：a b＝a2﹣b2，求方程（4 3） x＝24的解．
【設計意圖】：第1題意在引發學生思考不能直接直接開方的方程，要想辦法配成能開方的，為引出配方法做鋪墊；第2題根據可以直接開方的方程的特點可知兩根互為相反數，從而得到m以及根的值，代回得到的值；第3題利用換元法，再用直接開方法解方程是解決問題的關鍵，滲透整體思想；第4題考查了學生的數學應用能力和解題技能，這是典型的新定義題型，與整式加減結合，按照題中給出的計算法則進行運算，后用直接開方法求解．
第2課時 配方法
一、作業目標
1.會把方程通過配方化為的形式，體會事物間相互轉化的數學思想方法；
2.掌握用配方法解簡單數字系數的一元二次方程．
二、作業內容
【基礎夯實】
1．用配方法解方程，方程兩邊應同時（ ）
A．加上2 B．加上4 C．減去2 D．減去4
2．經過配方，方程可以變形為（ ）
A． B． C． D．
3.將一元二次方程x2+4x-5=0 化成(x+a)2=b（a,b 為常數）的形式，則a，b的值分別是( )
A. -2，-9 B. -2，9 C. 2，9 D. 2，-9
4.用配方法解方程
（1） （2）
（3） （4）
【設計意圖】：第1題讓學生掌握配方法的一般步驟；第2題培養學生掌握配方法，運用變形的思維方式來解方程；第3題設計意圖是培養學生對配方法的使用，以及類比推理的能力.第4題設計意圖是培養學生對配方法的使用，使學生體會轉化的數學思想.
【技能提升】
1．一元二次方程x2+px+q＝0在用配方法配成（x+m）2＝n時，下面正確的是（　　）
A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方
C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反數
2．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，則該三角形的周長是　 　．
3．若△ABC的三邊長a、b、c滿足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，利用所學知識判定△ABC的形狀．
【設計意圖】：第1題滲透配方思想的字母表達，為下節課做鋪墊；第2題將配方法與等腰三角形的腰和底邊關系結合，考察學生對配方法的掌握以及分類討論思想的掌握；第3題培養學生對配方法的使用以及運用整體思想和平方式的非負性解題.
【探究拓展】
運用配方法解下列方程：
（2） （3） （4）
思考：如何用配方法解一般形式的一元二次方程？
2.已知，，當時候，比較與的大小．
3．解關于的方程
【設計意圖】：第1題使得學生熟練掌握配方法解方程，也為下節課運用配方得到求根公式做鋪墊；第2題考察兩個多項式的大小比較，結合了整式加減、配方和完全平方式，利用作差法和配方比較兩個式子的大小，讓學生掌握配方的另一應用；第3題考察含參數的一元二次方程的配方，為下節課公式法的推導做個鋪墊，培養學生的符號意識.
【實踐活動】
先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：
例題：求代數式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代數式m2+m+4的最小值；
（2）求代數式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設AB＝x（m），請問：當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？
【設計意圖】：通過閱讀材料，讓學生明白配方不僅可以解方程、比較兩個式子的大小，還能用于求代數式的最值，（1）（2）小題對例題進行舉一反三運用，第（3）小題通過對花園面積的研究，滲透解決實際問題的思想，從簡單的矩形面積列式，利用配方求最值，滲透函數思想.
公式法
一、作業目標
1．體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，會用求根公式求一元二次方程的根；
2．理解求根公式的通用性和值的意義．
二、作業內容
【基礎夯實】
1.一元二次方程ax +bx+c=0(a，b，c都是常數，且a≠0)的求根公式是__________________，
用求根公式的前提條件是_______________.
2．用公式法解x2+3x＝1時，先求出a、b、c的值，則a、b、c依次為（　　）
A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，1
在方程2x2+4x=3中，b2-4ac 的值為（ ）
A.40 B.-40 C.8 D.-8
4．用公式法解方程：
（1） （2） （3）
【設計意圖】：第1題熟知一元二次方程求根公式，通過求根公式滲透特殊到一般的數學思想；第2題使用求根公式前將方程化為一般式，確定 a，b，c 的值，培養學生的類比推理能力；第3題判斷b2-4ac≥0 之后使用求根公式解一元二次方程，培養學生運用公式以及類比推理能力；第4題考察學生用公式法解一元二次方程的一般步驟以及求根公式的使用.
【技能提升】
1．觀察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一個解x所在的范圍是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9
2．x是下列哪個一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
5．已知關于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系數滿足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，則該方程的根是 　 　．
4．已知a，b滿足|b﹣2|0，則關于x的方程（1﹣a）x2+bx＝2﹣4a的解是 　 　．
5.用公式法解方程：（1） （2）2x2x+1＝0
【設計意圖】：第1、3題觀察系數滿足的等式，考察學生對的根的理解；第2題根據公式法的公式，對應找到字母的值，寫出一般式，學會辨析求根公式，培養學生的逆向思維；第4題技能疊加先利用絕對值和算術平方根的非負性得到a、b的值，再利用公式法解方程；第5題用公式法解系數較復雜的一元二次方程鞏固一般步驟以及求根公式的使用.
【探究拓展】
1.（1）若，則 或 ；
（2）一元二次方程可化為兩個一次方程為 和 ，由此得方程的解是 ．
（3）利用以上方法解方程：① ② ③
2．閱讀下面例題：解方程．
解：設，原方程化為：, 解得：
當時，，解得：
當時，，即
，∴這個方程沒有實數根．
∴原方程的根是3和-2．
請參照例題解方程：．
3.關于x的一元二次方程為（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m為何整數時，此方程的兩個根都為正整數？
【設計意圖】：第1題通過閱讀材料引導學生發現因式分解解方程的便利，為下節課做鋪墊；第2題利用換元法和公式法解方程，滲透整體思想；第3題考察用公式法解帶參數的一元二次方程，再根據根是正整數求出m的值，提升學生的符號表達能力.
【實踐活動】
解下列方程，將得到的根填入下面的表格中：
方程
（1）你能從上表觀察到，與系數之間的關系嗎？
（2）方程的兩根為和，將方程化為的形式，你能看出，與，之間的關系嗎
（3）若兩根為和，是否滿足以上關系呢？不滿足的話，你能找到，與系數之間的關系嗎？
（4）你能猜想一元二次方程 的兩根為和與各系數，，之間的關系嗎？
【設計意圖】：這是一道韋達定理探究問題，在學習完公式法后，通過問題串的形式讓學生通過解多個方程，較容易發現形式方程的兩根之和與兩根之積與系數之間的關系，再提出二次項系數不為1的情況給學生思考，讓他們去獨立探究驗證，滲透韋達定理的知識，培養計算推理能力，為日后韋達定理的理解與應用打下良好基礎.
因式分解法
一、作業目標
1．掌握用因式分解法解數字系數的一元二次方程，進一步體會化歸思想方法；
2．會靈活選擇合適的因式分解方法解一元二次方程．
二、作業內容
【基礎夯實】
1.用因式分解法解一元二次方程（2x+4)(x-1)=0，將它轉化為兩個一元二次方程是（ ）
A. 2x-4=0，x-1=0 B. 2x-4=0，x+1=0
C. 2x+4=0，x-1=0 D. 2x+4=0，x+1=0
2．方程（x﹣2）（x+1）＝0的解是（　　）
A．2和﹣1 B．﹣2和1 C．﹣2和﹣1 D．2和1
3．方程x（x﹣2）＝3x的解為（　　）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5
4．若關于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩個根為3，﹣6，則二次三項式x2+px+q可分解為（　　）
A．（x﹣3）（x﹣6） B．（x﹣3）（x+6） C．（x+3）（x﹣6） D．（x+3）（x+6）
5.解方程：（1） （2）
（3） （4）
【設計意圖】：第1題根據乘法性質得至少有一個因式等于0，并求出一元一次方程得解，讓學生知道因式分解的本質是降次的思想；第2題根據乘法性質得至少有一個因式等于0，并求出一元一次方程得解.培養學生轉化思想，將一元二次方程轉化為一元一次方程.第3、5題利用因式分解法轉換為幾個整式的乘積的形式，學會用因式分解法解一元二次方程. 第4題利用因式分解法求根的過程可知，可將一般式方程寫成根的乘積式，培養逆向思維.
【技能提升】
1．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5 B．x1＝5，x2＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝2
2．用因式分解法解一元二次方程（3x﹣4）2﹣25＝0時，要轉化成兩個一元一次方程求解，其中的一個方程是3x﹣4+5＝0，則另一個方程是 　 　．
3．已知方程x2+kx+5＝0的一個根是﹣1，則k＝　 　，另一個根為　 　．
4．如果等腰三角形的兩邊長分別是方程x2﹣10x+21＝0的兩根，那么它的周長為 　 　．
5.已知方程（x2-x）2-4（x2-x）=-4 在實數范圍內有解，求代數式 2x2-2x+1的值.
【設計意圖】：第1、2題根據因式分解解一元二次方程，第3題根據方程根的定義得出原方程，利用因式分解求得一元二次方程得解，培養學生對因式分解法的使用.第4題根據因式分解解一元二次方程，在等腰三角形求周長時需要分類討論，滲透分類討論思想.第5題運用整體換元和因式分解法解一元二次方程，培養學生對因式分解法的使用，以及整體思想的運用.
【探究拓展】
1．已知斜邊為13的直角三角形的兩條直角邊長分別為x，x＋7，求x的值．
2．把小圓形場地的半徑增加5 m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍．求小圓形場地的半徑．
【設計意圖】：第1題結合直角三角形勾股定理，第2題結合圓形面積，根據簡單的應用背景列方程，讓學生體會用因式分解法解方程更簡便，滲透數形結合思想和培養解決問題的能力.
一元二次方程的解法綜合
一、作業目標
1．掌握熟練地解一元二次方程，進一步體會化歸思想方法—降次；
2．會靈活選用方法解一元二次方程.
二、作業內容
【基礎夯實】
1．已知是方程的一個解，則的值是（ ）
A．0 B．－2 C．2 D．4
2．方程的解是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不正確
3．用配方法解方程，方程兩邊同時（ ）
A．加上2 B．加上4 C．減去2 D．減去4
4．方程的解是
5． 選擇合適的方法解下列方程：　
（1）3＝2 （2）
（3） （4）
（5）＋5＝ （6）
【設計意圖】：第1題考察一元二次方程根的意義以及代數式求值，培養觀察能力；第2-4題復習回顧因式分解、配方法解一元二次方程的易錯點，鞏固解法的掌握，第5題使學生能觀察方程特點，靈活選擇合適的解法來解一元二次方程.
【技能提升】
是一元二次方程的一個根，則 ．
解方程：（1） （2）
（3） （4）
【設計意圖】：第1題考察一元二次方程根的意義，并能利用因式分解法得到式子的值；第2題考察十字相乘法、整體因式分解，以及先化簡后再用公式法解方程，滲透整體思想，培養學生靈活選擇方法的能力.
【探究拓展】
閱讀下面的例題：
解方程：
解：（1）當時，原方程化為。
解得(不合題意，舍去)
（2）當時，原方程化為，
解得(不合題意，舍去) ．
綜合（1）（2）得原方程的根是．
請參照例題解方程：
【設計意圖】：本題是一道材料閱讀題，結合因式分解法和絕對值的意義進行考察，要求學生能根據材料步驟類比完成練習，培養學生類比推理能力和分類討論思想.
【實踐活動】
2022年體育中考，增設了考生進入考點需進行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況，調查了一所學校某天上午考生進入考點的累計人數y（人）與時間x（分鐘）的變化情況，數據如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
時間x（分鐘） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人數y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
（1）根據這15分鐘內考生進入考點的累計人數與時間的變化規律，你能猜想出y與x之間的關系式嗎？
（2）如果考生一進考點就開始測量體溫，體溫檢測點有2個，每個檢測點每分鐘檢測20人，考生排隊測量體溫，求排隊人數最多時有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？
（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內讓全部考生完成體溫檢測，從一開始就應該至少增加幾個檢測點？
（4）學習完下一章二次函數后，請你根據所學知識求出y與x之間的函數關系式，驗證你的猜想是否正確.
【設計意圖】：本道題是跨課時實踐性作業，需要學生從本課時起到下一章二次函數結束的學習過程中，分步完成，并在二次函數小結時進行交流、展示.本道題一方面滲透社會主義核心價值觀，另一方面體現數學與生活實際的密切聯系，將數學模型應用到實際生活中，培養學生用數學的眼光看世界，用數學模型解決實際問題的數學思維.
一元二次方程根的判別式
一、作業目標
1．理解根的判別式的意義，會用根的判別式判斷一元二次方程根的情況；
2．會根據一元二次方程根的情況確定參數的取值范圍.
二、作業內容
【基礎夯實】
1．一元二次方程x2+2020＝0根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．無實數根
2．關于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的實數根有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
3．已知關于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　　）
A．k B．k C．k D．k
4．一元二次方程（x﹣1）2＝﹣3x+1的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．只有一根為﹣1
5.不解方程，判斷下列方程根的情況
（1） （2）
【設計意圖】：第1題考查一元二次方程根的判別式，熟練計算根的判別式，并且由根的判別式判斷根的情況；第2題考查用判別式判斷一元二次方程的根的情況；第3題根據判別式大于0和已知條件得到不等式求解，會根據方程的根的情況確定方程中字母系數的取值范圍.第4題先將方程轉化為標準形式，在判斷△的正負，判斷根的情況，培養學生的計算能力，并能運用判別式判別方程根的情況.第5題不解方程判斷方程根的情況，先將方程轉化為標準形式，在判斷△的正負.使學生熟練運用判別式判別方程根的情況.
【技能提升】
1．關于x的一元二次方程x2+p＝0無實數根，則p的取值范圍是（　　）
A．p為一切實數 B．p＞0
C．p＜0 D．p＝0
2．關于x的方程kx2﹣4x+4＝0有實數根，k的取值范圍是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1
3．關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有兩個實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數，求此方程的根．
4．已知：關于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）試說明無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若k＝5，請解此方程．
【設計意圖】：第1題考察用根的判別式或完全平方的非負性來得到參數的值；第2題題干是關于x的方程，所以“二次項系數可能為零”進行分類討論，再求出k的取值范圍，在探索一元二次方程根的情況與根的判別式的關系中體會分類討論的思想.第3題根據一元二次方程的定義和根的判別式得到 m≠0，且△≥0，再進行求解，讓學生學會利用根的判別式確定一元二次方程中待定字母的取值范圍或值，并會求方程的整數解問題.第4題應用根的判別式證明方程根的情況，利用配方法和根的判別式來確定根的情況，提高學生解題的綜合能力.
【探究拓展】
1.已知：關于x的方程：x2﹣2（k+1）x+k2+4＝0
（1）當k取何值時，方程有兩個實數根？
（2）若△ABC是等腰三角形，BC＝4，AB、AC的長是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
2．已知關于x的方程.
（1）若b＝2，且2是此方程的根，求a的值；
（2）若此方程有實數根，當-3＜a＜-1，求b的取值范圍.
【設計意圖】：第1題考查了根的判別式，三角形三邊關系、等腰三角形的性質以及三角形的周長，解題的關鍵是：牢記“當△≥0時，方程有兩個實數根”；以及等腰分BC為腰和BC為底兩種情況考慮．培養學生對含參數方程求根的判別式解決問題的能力，滲透分類討論思想.第2題利用一元二次方程根的定義和b代進去即可解決第（1）小題，第（2）小題考察判別式的意義和非負數的性質得到a、b的關系式，再根據不等式的性質求解.
一元二次方程根與系數的關系
一、作業目標
1．了解一元二次方程根與系數關系和推導過程；
2．能用系數表示方程的根，能用方程的根表示系數．
二、作業內容
【基礎夯實】
1．方程2x2+6x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩根，則x1 x2的值為（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
3．關于x的一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的兩根之和為4，則a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
4．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的一個實數根為1，求m的值及方程的另一個根．
【設計意圖】：第1-3題考查一元二次方程根與系數關系，體驗不解方程也能求出一元二次方程兩根之和以及兩根之積，讓學生了解利用一元二次方程根與系數關系，求解各項系數，進一步了解一元二次方程的根與系數有密不可分的聯系.第4題第（1）小題復習根的判別式的意義，第（2）小題讓學生明白當已知方程一根時，可以利用一元二次方程根與系數關系求解另一個根和參數的值.
【技能提升】
1．已知方程的兩根為、，則
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．（5） ；
2．若m、n是關于x的方程x2+2x﹣3＝0的兩個根，則的值為（　　）
A． B． C． D．
3．關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同學由于看錯了二次項系數，誤求得兩根為2和4，那么　 　．
4．若等腰三角形的底邊長為4，另兩邊長分別是關于x的方程x2﹣kx+9＝0的兩個根，則k的值為（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．
【設計意圖】：第1題根據韋達定理得到兩根之積與兩根之和，從而計算出其他式子的值，讓學生感受韋達定理在代數式求值中的運用，為第2題做鋪墊，第2題將分式化簡后運用韋達定理計算即可；第3題利用根與系數的關系求未知字母的值或范圍，讓學生了解利用一元二次方程根與系數關系，求解各項系數，進一步了解一元二次方程的根與系數有密不可分的聯系.第3題考查等腰三角形與方程根之間的關系，進一步了解韋達定理的在幾何問題中應用，讓學生體會數形結
合思想.
【探究拓展】
1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，則x12+x2的值為（　　）
A．0 B．2 C．1 D．﹣1
2.關于x的方程＋bx＋1＝0的兩根為＝1，＝2，則方程＋b(x＋1)＋1＝0的兩根之和為 ．
3.已知關于x的一元二次方程的兩個實數根為，．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若 且，試比較與的大小，并說明理由．
【設計意圖】：第1題根據韋達定理計算出和后，根據根的意義將代入當成得到的式子，幾個式子進行加減變形即可得出結果，讓學生體會韋達定理在代數求值中的應用；第2題利用換元法和韋達定理綜合以下就可以求解，滲透整體換元思想；第3題運用韋達定理表示和后代入用k表示y，再利用作差法比較兩個式子的值的大小，培養學生計算推理能力.
第三部分 參考答案
第1課時 直接開平方法
【基礎夯實】
1．C 2．A 3．D 4．（1）；（2）；（3）．
5．（1） （2） （3） （4）．
【技能提升】
1.D 2. 3．， 4.2020或2022 5．
【探究拓展】
1.（1）①25，5； ②；③36，6；④9，3；（2）
2．4 3.C 4．
第2課時 配方法
【基礎夯實】
B 2．D 3.C 4.（1） （2）無實根
（3） （4）
【技能提升】
A 2．7
3．解：∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形．
【探究拓展】
（1） （2） （3） （4）
當時，
3．
【實踐活動】
解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
則m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
則4﹣x2+2x的最大值為5；
（3）由題意，得花園的面積是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此時x＝5，
則當x＝5m時，花園的面積最大，最大面積是50m2．
第3課時 公式法
【基礎夯實】
， 2．B 3.A
4．（1） （2） （3）
【技能提升】
1．B 2．A 3． 4．
5.（1） （2）
【探究拓展】
1.（1）=0或=0；（2）或，
（3）① ② ③
2．令 得到
解得，即
解得
3.解：（1）根據題意，得m≠1．
∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，
則x1，
x2＝1；
（2）由（1）知，x11，
∵方程的兩個根都為正整數，
∴是正整數，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，
解得m＝2或3．即m為2或3時，此方程的兩個根都為正整數．
【實踐活動】
解下列方程，將得到的根填入下面的表格中：
方程
0 2 2 0
1 -4 -3 -4
2 3 5 6
中=，=；
的，
第4課時 因式分解法
【基礎夯實】
1.C 2.A 3．B 4． B
5.（1） （2） （3） （4）
【技能提升】
1．B 2．3x﹣4-5＝0 3．k＝6，另一個根為-5．4．17
5.，解得
代入得到
【探究拓展】
2．
第5課時 一元二次方程的解法綜合
【基礎夯實】
1.D 2．C 3．B 4．
5． （1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【技能提升】
1 4.（1） （2）
（3） （4）
【探究拓展】
當x≥3時，原方程化為x2﹣x＝0，
即x（x﹣1）＝0，
解得：x1＝0（不符合題意，舍去），x2＝1（不符合題意，舍去）；
當x＜3時，原方程化為x2+x﹣6＝0，
即（x+3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2，
∴原方程的根為x1＝﹣3，x2＝2．
【實踐活動】
解：（1）由表格中數據的變化趨勢可知，
①當0≤x≤9時，y是x的二次函數，
∵當x＝0時，y＝0，
∴二次函數的關系式可設為：y＝ax2+bx，
由題意可得：，
解得：，
∴二次函數關系式為：y＝﹣10x2+180x，
②當9＜x≤15時，y＝810，
∴y與x之間的函數關系式為：y；
（2）設第x分鐘時的排隊人數為w人，
由題意可得：w＝y﹣40x，
①當0≤x≤9時，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴當x＝7時，w的最大值＝490，
②當9＜x≤15時，w＝810﹣40x，w隨x的增大而減小，
∴210≤w＜450，
∴排隊人數最多時是490人，
要全部考生都完成體溫檢測，根據題意得：810﹣40x＝0，
解得：x＝20.25，
答：排隊人數最多時有490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘；
（3）設從一開始就應該增加m個檢測點，由題意得：12×20（m+2）≥810，
解得m，
∵m是整數，
∴m的最小整數是2，
∴一開始就應該至少增加2個檢測點．
第6課時 一元二次方程根的判別式
【基礎夯實】
1．D 2．C 3．A 4．C 5.（1）有兩個不等實根 （2）無實根
【技能提升】
1．B 2．D
3．（1）根據題意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m（m﹣1）≥0，
解得m且m≠0；
（2）∵m為正整數，
∴m＝1，
∴原方程變形為x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
4．解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0，
∴無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）當k＝5時，原方程為：2x2+5x+2＝0，
∴（2x+1）（x+2）＝0，
∴，x2＝﹣2．
【探究拓展】
1.解：（1）∵方程有兩個實數根，
∴Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+4）＝8k﹣12≥0，
∴k；
（2）①當BC為腰時，將x＝4代入原方程得：16﹣8（k+1）+k2+4＝0，
解得：k＝2或k＝6．
當k＝2時，原方程為x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
∵2、4、4能組成三角形，
∴C△ABC＝2+4+4＝10；
當k＝6時，原方程為x2﹣14x+40＝（x﹣4）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝4，x2＝10．
∵4、4、10不能組成三角形，
∴k＝6舍去；
②當BC為底時，方程x2﹣2（k+1）x+k2+4＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+4）＝8k﹣12＝0，
解得：k．
將k代入原方程得：x2﹣5x（x）2＝0，
解得：x1＝x2．
∵、、4能組成三角形，
∴C△ABC4＝9．
綜上所述：△ABC的周長為9或10．
2．解：（1）把b＝2，x＝2代入方程得4（a2+1）﹣4（a+2）+4+1＝0，解得a1＝a2＝，
即a的值為；
（2）根據題意得Δ＝4（a+b）2﹣4（a2+1）（b2+1）≥0，
∴（ab）2﹣2ab+1≤0，即（ab﹣1）2≤0，
∴ab﹣1＝0，
∴a＝，
∵﹣3＜a＜﹣1
∴﹣1＜b＜﹣．
第7課時 一元二次方程根與系數的關系
【基礎夯實】
1．D 2．A 3．D
4．解：（1）由題意Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得m≤2．
（2）將x＝1代入原方程可知：1﹣6+4m+1＝0，
∴m＝1，
將m＝1代入方程可得：x2﹣6x+5＝0，
∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，
∴x＝1或x＝5．
即方程的另一個根為5．
【技能提升】
1．（1）-2；（2）-1；（3）6；
（4）14．（5）；
2．C 3． 4．A
【探究拓展】
1．B 2.1
3.

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