資源簡介

(共24張PPT)
第十章 二元一次方程組
10.4 三元一次方程組的解法
（第2課時）
經歷運用三元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。
1．如果方程組含有______未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是____，一共有______方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組．
2．解三元一次方程組的基本思路是：通過“______”或“______”進行消元，把“_______”轉化為“_______”，使解三元一次方程組轉化為解_________________ ，進而再轉化為解一元一次方程．
三個
三個
1
三元
二元
代入
加減
二元一次方程組
在解決一些含有三個未知數的問題時，可以考慮列三元一次方程組，通過解方程組獲得問題的答案．
例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，當 x＝－1 時，y＝0；當 x＝2 時，y＝3；當 x＝5 時，y＝60．求 a，b，c 的值．
分析：把 a，b，c 看作三個未知數，分別把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一個三元一次方程組．
　　解：根據題意，得三元一次方程組
②－①，得
a＋b＝1； ④
③－①，得
4a＋b＝10． ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
解這個方程組，得
把代入①，得
c＝－5．
因此 a，b，c 的值分別為 3，－2，－5．
例2： 一個三位數，各數位上的數的和為14，百位上的數的2倍減去十位上的數的差是個位上的數的．如果把這個三位數個位上的數與百位上的數交換位置，那么所得的新數比原數小99．求這個三位數．
分析：把這個三位數各位上的數看成三個未知數，則根據題目中的三個相等關系，可以列三元一次方程組．
各數位上的數的和為14
百位上的數的2倍減去十位上的數的差是個位上的數的
如果把這個三位數個位上的數與百位上的數交換位置，那么所得的新數比原數小99
解：設這個三位數百位上的數為x，十位上的數為y，個位上的數為z． 根據題意，列得三元一次方程組
解這個方程組，得
因此這個三位數是473．
數學問題
(三元一次方程組)
實際問題
設未知數
列方程組
解方程組
代入法
加減法
數學問題的解
(三元一次方程組的解)
實際問題的答案
檢驗
利用三元一次方程組解決實際問題的基本思路。
（消元）
列三元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系．
（2）設：恰當地設未知數．
（3）列：根據（1）中的相等關系列方程組．
（4）解：正確地解方程組．
（5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意．
（6）答：答案要完整且單位統一．
【知識技能類練習】必做題：
1．在等式中，當 =0時 =1 ，當時 =0；當時，則的值為 ．
【知識技能類練習】必做題：
2．李紅在做這樣一個題目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，當x＝1時，y＝6；當x＝2時，y＝21；當x＝－1時，y＝0；當x＝－2時，y等于多少？她想：在求y值之前應先求a，b，c的值．你認為她的想法正確嗎？請你幫她求出a，b，c的值．
解：她的想法正確．根據題意，得
解得
即a，b，c的值分別為4，3，－1．
【知識技能類練習】必做題：
3．有一個三位數，十位上的數字等于個位上的數字與百位上的數字之和．如果把個位上的數字與百位上的數字交換，那么新數比原來的數大99；如果把個位上的數字移至百位上的數字之前，那么新三位數比原數大63．求原三位數．
解：設原三位數的百位上的數字為x，十位上的數字為y，個位上的數字為z．根據題意，得
解這個方程組，得所以原三位數為374．
【知識技能類練習】選做題：
4．在整式ax2＋bx＋c中，當x＝1，2，3時，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值．
解：因為在ax2＋bx＋c中，當x＝1，2，3時，整式的值依次是0，3，28，所以
解這個方程組，得
即a，b，c的值分別為11，－30，19．
【綜合拓展類練習】
5．幻方是一種中國傳統游戲，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數之和相等，圖1是一個已完成的幻方．圖2是一個未完成的幻方，其中的值為 ．
三元一次方程組
列三元一次方程組解決實際問題的一般步驟
利用三元一次方程組解決實際問題的基本思路
【知識技能類作業】必做題：
1．對于等式y＝ax2＋bx＋c，當x＝－1時，y＝0；當x＝5時，y＝60；當x＝0時，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值．
解：由題意，得
解這個方程組，得
所以a2＋2ab＋c2＝32＋2×3×(－2)＋(－5)2＝9－12＋25＝22．
【知識技能類作業】必做題：
2．仔細觀察圖，認真閱讀對話：
根據以上對話內容，可知小明買的5元郵票有（　?。?br/>A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚
B
【知識技能類作業】必做題：
3．某學校的籃球的數量比排球的2倍少3，足球與排球的數量之比是2∶3，這三種球共41個，則三種球各有多少個？
解：設籃球有x個，排球有y個，足球有z個．根據題意，得
把①代入③，得3y＋z＝44，所以z＝44－3y．④
把④代入②，得y＝12．把y＝12分別代入①④，得x＝21，z＝8．
所以這個方程組的解為
答：籃球有21個，排球有12個，足球有8個．
【知識技能類作業】選做題：
4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，試求x，y，z的值．
解：因為|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，
且|x＋2y－5|≥0，(2y＋3z－13)2≥0，(3z＋x－10)2≥0，
所以
解這個方程組，得
即x，y，z的值為1，2，3．
【綜合拓展類作業】
5．聰聰是數學愛好者，多次參加“希望之星競賽”活動．有一天聰聰和媽媽去商場購物，購A，B，C三樣商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨購A，B，C三樣商品各5件、3件、1件，共付款480元，聰聰想了想，說：“我能算出購A，B，C三樣商品各1件共多少錢．”請你用所學的知識算一算，相信你一定能算出來
解：設A，B，C三樣商品的單價分別是x，y，z元，則
，
得，
購A，B，C三樣商品各一件共150元．中小學教育資源及組卷應用平臺
同步探究學案
課題 10.4 三元一次方程組的解法（第2課時） 單元 第十章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 經歷運用三元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。
重點 分析實際問題中的相等關系，利用三元一方程組解決實際問題。
難點 從實際背景中提取數學信息，并轉化成數學語言，明確未知數，建立方程組解決實際問題。
探究過程
導入新課 【引入思考】 1．如果方程組含有______未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是____，一共有______方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組． 2．解三元一次方程組的基本思路是：通過“______”或“______”進行消元，把“_______”轉化為“_______”，使解三元一次方程組轉化為解_________________ ，進而再轉化為解一元一次方程．
新知探究 本節課來研究： 本節我們借助三元一次方程組，解決含有三個未知數的問題。 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，當 x＝－1 時，y＝0；當 x＝2 時，y＝3；當 x＝5 時，y＝60．求 a，b，c 的值． 例2： 一個三位數，各數位上的數的和為14，百位上的數的2倍減去十位上的數的差是個位上的數的．如果把這個三位數個位上的數與百位上的數交換位置，那么所得的新數比原數小99．求這個三位數． 歸納：利用三元一次方程組解決實際問題的基本思路。 列三元一次方程組解決實際問題的一般步驟： （1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系． （2）設：恰當地設未知數． （3）列：根據（1）中的相等關系列方程組． （4）解：正確地解方程組． （5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意． （6）答：答案要完整且單位統一．
課堂練習 【知識技能類練習】 1．在等式中，當 =0時 =1 ，當時 =0；當時，則的值為 ． 2．李紅在做這樣一個題目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，當x＝1時，y＝6；當x＝2時，y＝21；當x＝－1時，y＝0；當x＝－2時，y等于多少？她想：在求y值之前應先求a，b，c的值．你認為她的想法正確嗎？請你幫她求出a，b，c的值． 3．有一個三位數，十位上的數字等于個位上的數字與百位上的數字之和．如果把個位上的數字與百位上的數字交換，那么新數比原來的數大99；如果把個位上的數字移至百位上的數字之前，那么新三位數比原數大63．求原三位數． 選做題： 4．在整式ax2＋bx＋c中，當x＝1，2，3時，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 【綜合拓展類練習】 5．幻方是一種中國傳統游戲，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數之和相等，圖1是一個已完成的幻方．圖2是一個未完成的幻方，其中的值為 ．
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．對于等式y＝ax2＋bx＋c，當x＝－1時，y＝0；當x＝5時，y＝60；當x＝0時，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 2．仔細觀察圖，認真閱讀對話： 根據以上對話內容，可知小明買的5元郵票有（　?。?A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 3．某學校的籃球的數量比排球的2倍少3，足球與排球的數量之比是2∶3，這三種球共41個，則三種球各有多少個？ 選做題： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，試求x，y，z的值． 【綜合拓展類作業】 5．聰聰是數學愛好者，多次參加“希望之星競賽”活動．有一天聰聰和媽媽去商場購物，購A，B，C三樣商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨購A，B，C三樣商品各5件、3件、1件，共付款480元，聰聰想了想，說：“我能算出購A，B，C三樣商品各1件共多少錢．”請你用所學的知識算一算，相信你一定能算出來
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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分課時教學設計
第十一課時《10.4 三元一次方程組的解法（第2課時）》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節內容是探究實際問題與三元一次方程組，通過學生在實際問題中進行分析，從而提高將實際問題轉化為數學模型的能力；在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識。
學習者分析 學性已掌握了三元一次方程組的解法，能夠利用二元一次方程組解決實際問題。然而，對于三元一次方程組的認識和解題能力尚需進一步加強。
教學目標 經歷運用三元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。
教學重點 分析實際問題中的相等關系，利用三元一方程組解決實際問題。
教學難點 從實際背景中提取數學信息，并轉化成數學語言，明確未知數，建立方程組解決實際問題。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 經歷運用三元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 問題：1．如果方程組含有______未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是____，一共有______方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組． 2．解三元一次方程組的基本思路是：通過“______”或“______”進行消元，把“_______”轉化為“_______”，使解三元一次方程組轉化為解_________________ ，進而再轉化為解一元一次方程． 答案：1．三個，1，三個 2．代入，加減，三元，二元，二元一次方程組 導入：在解決一些含有三個未知數的問題時，可以考慮列三元一次方程組，通過解方程組獲得問題的答案．學生活動2： 學生積極主動回答問題活動意圖說明： 通過復習三元一次方程組的相關知識，為探究列方程組解決實際問題做好知識上的鋪墊環節三：新知講解教師活動3： 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，當 x＝－1 時，y＝0；當 x＝2 時，y＝3；當 x＝5 時，y＝60．求 a，b，c 的值． 分析：把 a，b，c 看作三個未知數，分別把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一個三元一次方程組． 解：根據題意，得三元一次方程組 ②－①，得 a＋b＝1； ④ ③－①，得 4a＋b＝10． ⑤ ④與⑤組成二元一次方程組 解這個方程組，得 把代入①，得 c＝－5． 因此 a，b，c 的值分別為 3，－2，－5． 例2： 一個三位數，各數位上的數的和為14，百位上的數的2倍減去十位上的數的差是個位上的數的．如果把這個三位數個位上的數與百位上的數交換位置，那么所得的新數比原數小99．求這個三位數． 分析：把這個三位數各位上的數看成三個未知數，則根據題目中的三個相等關系，可以列三元一次方程組． 解：設這個三位數百位上的數為x，十位上的數為y，個位上的數為z． 根據題意，列得三元一次方程組 解這個方程組，得 因此這個三位數是473． 歸納：利用三元一次方程組解決實際問題的基本思路。 列三元一次方程組解決實際問題的一般步驟： （1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系． （2）設：恰當地設未知數． （3）列：根據（1）中的相等關系列方程組． （4）解：正確地解方程組． （5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意． （6）答：答案要完整且單位統一．學生活動3： 學生認真讀題、理解題意后小組合作探究，班內交流匯報活動意圖說明： 通過對例題的探究，讓學生體會三元一次方程組解決實際問題的基本思路、數學建模思想，掌握列方程組解決實際問題的一般步驟，提高學生的應用能力。環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：10.4 三元一次方程組的解法（第2課時） 一、利用三元一次方程組解決實際問題的基本思路 二、列三元一次方程組解決實際問題的一般步驟教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．在等式中，當 =0時 =1 ，當時 =0；當時，則的值為 ． 答案： 2．李紅在做這樣一個題目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，當x＝1時，y＝6；當x＝2時，y＝21；當x＝－1時，y＝0；當x＝－2時，y等于多少？她想：在求y值之前應先求a，b，c的值．你認為她的想法正確嗎？請你幫她求出a，b，c的值． 解：她的想法正確． 根據題意，得 解得 即a，b，c的值分別為4，3，－1． 3．有一個三位數，十位上的數字等于個位上的數字與百位上的數字之和．如果把個位上的數字與百位上的數字交換，那么新數比原來的數大99；如果把個位上的數字移至百位上的數字之前，那么新三位數比原數大63．求原三位數． 解：設原三位數的百位上的數字為x，十位上的數字為y，個位上的數字為z． 根據題意，得 解這個方程組，得 所以原三位數為374． 選做題： 4．在整式ax2＋bx＋c中，當x＝1，2，3時，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 解：因為在ax2＋bx＋c中，當x＝1，2，3時，整式的值依次是0，3，28， 所以 解這個方程組，得 即a，b，c的值分別為11，－30，19． 【綜合拓展類練習】 5．幻方是一種中國傳統游戲，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數之和相等，圖1是一個已完成的幻方．圖2是一個未完成的幻方，其中的值為 ． 答案：
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．對于等式y＝ax2＋bx＋c，當x＝－1時，y＝0；當x＝5時，y＝60；當x＝0時，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 解：由題意，得 解這個方程組，得 所以a2＋2ab＋c2＝32＋2×3×(－2)＋(－5)2＝9－12＋25＝22． 2．仔細觀察圖，認真閱讀對話： 根據以上對話內容，可知小明買的5元郵票有（　?。?A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 答案：B 3．某學校的籃球的數量比排球的2倍少3，足球與排球的數量之比是2∶3，這三種球共41個，則三種球各有多少個？ 解：設籃球有x個，排球有y個，足球有z個． 根據題意，得 把①代入③，得3y＋z＝44， 所以z＝44－3y．④ 把④代入②，得y＝12． 把y＝12分別代入①④，得x＝21，z＝8． 所以這個方程組的解為 答：籃球有21個，排球有12個，足球有8個． 選做題： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，試求x，y，z的值． 解：因為|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，且|x＋2y－5|≥0，(2y＋3z－13)2≥0，(3z＋x－10)2≥0， 所以 解這個方程組，得 即x，y，z的值為1，2，3． 【綜合拓展類作業】 5．聰聰是數學愛好者，多次參加“希望之星競賽”活動．有一天聰聰和媽媽去商場購物，購A，B，C三樣商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨購A，B，C三樣商品各5件、3件、1件，共付款480元，聰聰想了想，說：“我能算出購A，B，C三樣商品各1件共多少錢．”請你用所學的知識算一算，相信你一定能算出來 解：設A，B，C三樣商品的單價分別是x，y，z元，則 ， 得， 購A，B，C三樣商品各一件共150元．
教學反思 本課教學采用啟發式教學，強調學生的獨思考、探索與合作探究，以提高學生的分析與解決問題的能力，并進一步體會了數學建模的思想。
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