資源簡介

1.6 函數y＝A sin (ωx＋φ)的性質與圖象4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
結合具體實例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數ω，φ，A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響． 通過本節課的學習，要求會畫函數的圖象，會結合圖象解決與函數有關的性質問題，會求函數的解析式，掌握函數圖象的變換規律.
知識點01“五點法”作圖
(1)利用“五點法”作函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實質是利用函數的三個零點，兩個最值點畫出函數在一個周期內的圖象．
(2)用“五點法”作函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐標系中描出各點．
第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖象．
【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖像.

【即學即練2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．在用“五點法”作函數的圖象時，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐標系中畫出函數在區間上的圖象；

【即學即練3】（2023上·江西贛州·高一統考期末）設函數.
（1）在給定的平面直角坐標系中，用“五點法”畫出函數在區間上的簡圖(請先列表，再描點連線)；
（2）若，求的值.
知識點02 對函數的圖象的影響1．對函數的圖象的影響
（其中φ≠0）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向右（當φ<0時）或向左（當φ>0時）平行移動個單位長度而得到的.
2．對函數的圖象的影響
函數（其中ω>0)的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（當0<ω<1時）或縮短（當ω>1時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到的.
3．對函數的圖象的影響
函數（其中A>0）的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當04．函數到函數(其中)的圖象變換
將函數的圖象變換得到函數（其中）的圖象的過程為:
（1）作出函數在長度為2π的某閉區間上的簡圖;
（2）將圖象沿x軸向左或向右平移個單位長度，得到函數的簡圖；
（3）把曲線上各點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍，得到函數的簡圖;
（4）把曲線上各點的縱坐標伸長或縮短到原來的A倍，得到函數的簡圖;
（5）沿x軸擴展得到函數，的簡圖.
由y＝sin x變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：
（1）先平移后伸縮：
（2）先伸縮后平移：
注：(1)A越大，函數圖象的最大值越大，最大值與A是正比例關系．
(2)ω越大，函數圖象的周期越小，ω越小，周期越大，周期與ω為反比例關系 .
(3)φ大于0時，函數圖象向左平移，φ小于0時，函數圖象向右平移，即“左加右減”．
(4)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的圖象變換稱為相位變換；由y＝sin x到y＝sin ωx的圖象變換稱為周期變換；由y＝sin x到y＝A sin x的圖象變換稱為振幅變換．
【即學即練4】（2024高一課堂練習）要得到函數y＝sin的圖象，只需將函數y＝sin 4x的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
【即學即練5】（2023上·云南紅河·高二校考期末）把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A．-1 B． C． D．
【即學即練6】（2023上·四川遂寧·高一校考期末）要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
【即學即練7】已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ為常數，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是________．
知識點03函數（A>0,ω>0）的性質
函數（A>0,ω>0）的性質
奇偶性： 時，函數為奇函數； 時，函數為偶函數．
周期性： 存在周期性，其最小正周期為T=
單調性： 根據y=sint和t=的單調性來研究
由得單調增區間； 由得單調減區間
對稱性： 對稱軸 對稱中心
函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱軸方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸方程為x＝(k∈Z)． 函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點(k∈Z)成中心對稱．
【即學即練8】【多選】（2024秋·廣東廣州·高一華南師大附中校考期末）設函數（，是常數，，），若在區間上具有單調性，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為
B．的單調遞減區間為
C．的對稱軸為
D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到
【即學即練9】（2024秋·天津和平·高一統考期末）已知函數的圖象的一個對稱中心為，則下列說法不正確的是（ ）
A．直線是函數的圖象的一條對稱軸
B．函數在上單調遞減
C．函數的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象
D．函數在上的最小值為
題型一：“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
例1.（2024·全國·高一期末）某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
0
0 5 -5 0
（1）根據表中數據，求函數的解析式；
（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求的最小值；
（3）在（2）條件下，求在上的增區間.
變式1.（2024秋·湖北武漢·高一華中師大一附中校考期末）已知函數
(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
x 0
(2)將的圖象向下平移1個單位，橫坐標擴大為原來的4倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的對稱中心．
變式2.（2024秋·廣東廣州·高一執信中學校考期末）設函數（），將該函數的圖像向左平移個單位長度后得到函數的圖像，函數的圖像關于y軸對稱.
(1)求的值；
(2)在給定的坐標系內，用“五點法”列表、畫出函數在一個周期內的圖像；
(3)設關于x的方程在區間上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍.
【方法技巧與總結】
五點法作函數y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)圖象的步驟
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相應的(x，y)值．
(2)描點．
(3)連線得函數在一個周期內的圖象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的圖象．
題型二：三角函數的圖象變換
例2.（2024秋·江蘇南通·高一江蘇省如皋中學校考期末）將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024春·廣西南寧·高一南寧三中校考期末）把的圖象向左平移個單位，再把所有的點的橫坐標變為原來的2倍所得到的函數y＝g(x)的解析式為（ ）
A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D．
變式2.（2024秋·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學校考期末）將函數的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則（ ）
A． B．
C． D．
例3.（2024·全國·高一專題練習）把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024·全國·高一專題練習）函數的圖像向右平移個單位長度后，與函數的圖像重合，則________．
例4.【多選】（2024春·廣西桂林·高一統考期末）要得到函數到的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
B．向右平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
C．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移單位長度
D．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移單位長度
變式1.【多選】（2024秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）要得到函數的圖象，只需將圖象上的所有點（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位
B．橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位
C．向左平移個單位，再把橫坐標伸長到原來的2倍
D．向右平移個單位，再把橫坐標縮短到原來的
變式2.【多選】（2024秋·福建漳州·高一統考期末）記函數的圖象為，函數的圖象為，則（ ）
A．把上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到
B．把上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到
C．把向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到
D．把向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，得到
變式3.（2024春·遼寧大連·高一統考期末）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2024春·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向右平移個單位
【方法技巧與總結】
解決三角函數圖象變換問題的關鍵是明確左右平移的方向和平移量以及橫縱坐標伸縮的量，在變換中平移變換與伸縮變換的順序不同得到的解析式也不同，這點應特別注意，否則就會出錯．
題型三：求函數y＝Asin (ωx＋φ)的解析式
例5.（2024秋·陜西榆林·高一校考期末）已知函數（，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得函數圖象的解析式為______．
變式1.（2024秋·江蘇泰州·高一靖江高級中學校考期末）已知函數在一個周期內的圖象如圖所示：
(1)求函數的解析式，并寫出它是由的圖象經過怎樣的變換而得到的函數圖象所對應的函數；
(2)若存在使得關于的不等式成立，求實數的最小值.
變式2.（2024秋·河南開封·高一統考期末）函數（，）在一個周期內的圖象如圖所示，為了得到正弦曲線，只需把圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
B．向右平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
D．向右平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
變式3.（2024上·湖北·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式
(2)若函數在上有兩個零點，求實數m的取值范圍．
變式4.【多選】（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的3倍，縱坐標變為原來的2倍，然后向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A．
B．的解析式為
C．是圖象的一個對稱中心
D．的單調遞減區間是，
【方法技巧與總結】
根據三角函數的圖象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
(1)A：一般可由圖象上的最高點、最低點的縱坐標來確定|A|.
(2)ω：因為T＝，所以往往通過求周期T來確定ω.圖象上相鄰的兩個對稱中心間的距離為，相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，相鄰的對稱軸與對稱中心之間距離為.
(3)φ：①把圖象上的一個已知點的坐標代入來求．②尋找“五點作圖法”中的某一點來求，具體如下：利用“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時，令ωx ＋φ＝0；利用“第二點”(即圖象的“峰點”)時，令ωx ＋φ＝；利用“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點時，令ωx ＋φ＝π；利用“第四點”(即圖象的“谷點”)時，令ωx ＋φ＝；利用“第五點”時，令ωx ＋φ＝2π.注意：要觀察題目所給圖象是否適合用“五點作圖法”．
題型四：函數y＝A sin (ωx＋φ)性質的應用
例6.（2024·全國·高一專題練習）若將函數的圖象向右平移個單位長度后，與函數的圖象重合，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知函數的最小正周期為，且圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則的對稱中心為（ ）
A． B．
C． D．
變式2.【多選】（2024秋·廣東深圳·高一統考期末）將函數的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再把它向右平移個單位，得到函數的圖像，則下列是對稱軸的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3.（2024春·山東淄博·高一統考期末）已知函數是奇函數，為了得到函數的圖象，可把函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
變式4.（2024·全國·高一專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象． 若在上單調遞減，則的取值范圍是_____．
變式5.【多選】（2024秋·黑龍江哈爾濱·高一校考期末）將函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，得到偶函數的圖象，則下列結論中正確的有（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于對稱
C．在上的值域為 D．在上單調遞減
【方法技巧與總結】
1．與正弦、余弦函數有關的單調區間的求解技巧
(1)結合正弦、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)確定函數y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)單調區間的方法：采用“換元”法整體代換，將ωx＋φ看作一個整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出函數的單調區間．若ω<0，則可利用誘導公式先將x的系數轉變為正數，再求單調區間．
2．求三角函數值域的常用方法
(1)求解形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)的函數的最值或值域問題時，利用正、余弦函數的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函數取最值時相應自變量x的集合時，要注意考慮三角函數的周期性．
(2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函數的值域或最值時，通過換元，令t＝sin x(或cos x)，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域、最值即可．求解過程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
一、單選題
1．（2024上·天津寧河·高一統考期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點的（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
2．（2024·云南昭通·統考模擬預測）函數向左平移個單位得到，若是偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·全國·高三校聯考階段練習）已知是函數的一條對稱軸，且，則（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2024上·浙江寧波·高三統考期末）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖南長沙·統考一模）下圖是函數的部分圖象，則該函數的解析式可以是（ ）

A． B．
C． D．
6．（2024上·江蘇常州·高一統考期末）已知函數，為了得到的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位
C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位
7．（2023·全國·高三校聯考專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，則（ ）
A． B．是圖象的一條對稱軸，
C．是圖象的一個對稱中心 D．在上的最大值為
8．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．
C．函數為奇函數
D．函數在區間上單調遞減
10．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）已知是圖象的兩條相鄰對稱軸，將的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象.若在上有唯一的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，則（ ）
A．
B．在上單調遞減
C．是圖象的一個對稱中心
D．在上的最大值為
12．（2024上·江蘇南通·高一統考期末）設函數的最小正周期為. 若，且對任意，恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2024·河南信陽·統考二模）已知函數的圖象如圖所示，，是直線與曲線的兩個交點，且，則下列選項正確的是（ ）
A．的值為3 B．的值為2C．的值可以為D．的值可以為
14．（2023上·河南駐馬店·高三統考期末）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得的圖象關于軸對稱，得到函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．的圖象關于點對稱
B．在上的值域為
C．為偶函數
D．在上單調遞增
15．（2024·全國·模擬預測）函數與函數的圖象關于點對稱，，則（ ）
A．函數的圖象可由函數向右平移個單位長度得到
B．函數的圖象向右平移個單位長度為偶函數的圖象
C．函數的圖象關于直線對稱
D．的所有實根之和為2
16．（2024上·山西運城·高一統考期末）已知（其中）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．的最小正周期為
C．不等式的解集為
D．將的圖象向右平移個單位長度變為偶函數，則的最小值是
17．（2024上·江西·高三校聯考期末）已知函數（，，），若的圖象過，，三點，其中點B為函數圖象的最高點（如圖所示），將圖象上的每個點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的倍，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）

A． B．
C．的圖象關于直線對稱 D．在上單調遞減
18．（2024上·湖南衡陽·高一統考期末）將函數的圖象向右平移m個單位，得到函數圖象關于y軸對稱，則m的最小值為 ．
19．（2024上·貴州畢節·高二校考期末）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的最小值為 ．
20．（2024上·河南洛陽·高一統考期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象向 平行移動 個單位．
21．（2024上·山西太原·高一統考期末）已知函數在上恰有兩個零點，則實數的取值范圍為 .
22．（2024上·河北·高三校聯考期末）已知函數，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數的圖象關于原點對稱，且在上單調遞減，則 ．
23．（2024上·云南昆明·高一統考期末）函數在上單調遞增，且的圖象向左平移個單位后與原來的圖象重合．若方程在上的解為，則 ．
24．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知方程，則當時，該方程所有實根的和為 ．
25．（2024上·福建泉州·高一統考期末）將函數圖象所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象. 若對于任意，總存在唯一的. 使得 ，則的取值范圍為 .
四、解答題
26．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函數．

(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
x 0
1 0
(2)將的圖象橫坐標擴大為原來的2倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的對稱中心．
27．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）已知函數．
(1)求函數的對稱中心和單調遞減區間；
(2)若將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值．
28．（2023上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，且．
(1)求函數的對稱軸方程；
(2)不畫圖，說明函數的圖象可由的圖象經過怎樣變化得到．
29．（2024上·江蘇鎮江·高一統考期末）已知函數（其中，）的最小正周期為，且___________.
①點在函數的圖象上；
②函數的一個零點為；
③的一個增區間為.
請你從以上三個條件選擇一個（如果選擇多個，則按選擇的第一個給分），補充完整題目，并求解下列問題：
(1)求的解析式；
(2)用“五點作圖法”畫出函數一個周期內的圖象.
30．（2024上·福建三明·高一統考期末）某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式，并求函數的單調遞增區間；
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數的圖象．當時，關于的方程恰有兩個實數根，求實數的取值范圍．
31．（2024上·福建廈門·高一統考期末）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，求在區間上的最大值和最小值.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.6 函數y＝A sin (ωx＋φ)的性質與圖象4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
結合具體實例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數ω，φ，A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響． 通過本節課的學習，要求會畫函數的圖象，會結合圖象解決與函數有關的性質問題，會求函數的解析式，掌握函數圖象的變換規律.
知識點01“五點法”作圖
(1)利用“五點法”作函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實質是利用函數的三個零點，兩個最值點畫出函數在一個周期內的圖象．
(2)用“五點法”作函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐標系中描出各點．
第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖象．
【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖像.

【答案】答案見解析
【分析】根據函數解析式按照“五點法”的步驟，列表、描點、連線即可作出的圖象.
【詳解】列表：
0
1 2 0 0 1
描點，連線，畫出在上的大致圖像如圖：
【即學即練2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．在用“五點法”作函數的圖象時，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐標系中畫出函數在區間上的圖象；

【答案】填表見解析；作圖見解析
【分析】由五點作圖法的步驟：列表（此題找特殊點），描點，連線（用一條光滑的曲線連接）.
【詳解】由題意列出以下表格：
0
x 0
0 2 0
函數圖象如圖所示：

【即學即練3】（2023上·江西贛州·高一統考期末）設函數.
（1）在給定的平面直角坐標系中，用“五點法”畫出函數在區間上的簡圖(請先列表，再描點連線)；
（2）若，求的值.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【解析】（1）先列表取出五點，再在直角坐標系中描點，然后連線即可完成；
（2）由題可得，再由誘導公式可求得，即可得解.
【詳解】解：（1）列表如下：
0
2 0 -2 0 2
（2）解：由，得，
由，
得，
由，
得，
則.
【點睛】本題考查“五點法”畫函數圖像，考查已知三角函數值求三角函數值，解題的關鍵是正確進行角的拼湊，利用誘導公式求解.
知識點02 對函數的圖象的影響
1．對函數的圖象的影響
（其中φ≠0）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向右（當φ<0時）或向左（當φ>0時）平行移動個單位長度而得到的.
2．對函數的圖象的影響
函數（其中ω>0)的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（當0<ω<1時）或縮短（當ω>1時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到的.
3．對函數的圖象的影響
函數（其中A>0）的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當04．函數到函數(其中)的圖象變換
將函數的圖象變換得到函數（其中）的圖象的過程為:
（1）作出函數在長度為2π的某閉區間上的簡圖;
（2）將圖象沿x軸向左或向右平移個單位長度，得到函數的簡圖；
（3）把曲線上各點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍，得到函數的簡圖;
（4）把曲線上各點的縱坐標伸長或縮短到原來的A倍，得到函數的簡圖;
（5）沿x軸擴展得到函數，的簡圖.
由y＝sin x變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：
（1）先平移后伸縮：
（2）先伸縮后平移：
注：(1)A越大，函數圖象的最大值越大，最大值與A是正比例關系．
(2)ω越大，函數圖象的周期越小，ω越小，周期越大，周期與ω為反比例關系 .
(3)φ大于0時，函數圖象向左平移，φ小于0時，函數圖象向右平移，即“左加右減”．
(4)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的圖象變換稱為相位變換；由y＝sin x到y＝sin ωx的圖象變換稱為周期變換；由y＝sin x到y＝A sin x的圖象變換稱為振幅變換．
【即學即練4】（2024高一課堂練習）要得到函數y＝sin的圖象，只需將函數y＝sin 4x的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】B
【解析】因為y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]，所以要得到y＝sin[4(x－)]的圖象，只需將函數y＝sin 4x的圖象向右平移個單位．故選B．
【即學即練5】（2023上·云南紅河·高二校考期末）把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由逆推出的解析式，再代入即可得.
【詳解】把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的一半，縱坐標不變，
再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數，
即把的圖象向左平移個單位長度，
再把圖象上所有點的橫坐標變為原來的兩倍得到，
則，
則，
故選：C.
【即學即練6】（2023上·四川遂寧·高一校考期末）要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】D
【分析】利用三角函數的圖象變換關系求解.
【詳解】,
所以要得到函數的圖象，
只需將的圖象向右平移個單位，
故選:D.
【即學即練7】已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ為常數，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是________．
【答案】
【解析】由圖可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2．
又函數圖象經過點(，0)，所以2×＋φ＝π，則φ＝，
故函數的解析式為f(x)＝sin(2x＋)，
所以f(0)＝sin＝．
【名師點睛】根據函數圖象確定函數解析式，關鍵是準確把握解析式中的各個參數在圖象中的特征體現．
確定φ一般采用函數圖象上的最值點的坐標來處理，也可用五點作圖法中的五點來解決，這樣避免產生增解．
知識點03函數（A>0,ω>0）的性質
函數（A>0,ω>0）的性質
奇偶性： 時，函數為奇函數； 時，函數為偶函數．
周期性： 存在周期性，其最小正周期為T=
單調性： 根據y=sint和t=的單調性來研究
由得單調增區間； 由得單調減區間
對稱性： 對稱軸 對稱中心
函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱軸方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸方程為x＝(k∈Z)． 函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點(k∈Z)成中心對稱．
【即學即練8】【多選】（2024秋·廣東廣州·高一華南師大附中校考期末）設函數（，是常數，，），若在區間上具有單調性，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為
B．的單調遞減區間為
C．的對稱軸為
D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到
【答案】ABD
【分析】由單調性和函數值分析周期，得出相鄰的對稱軸和對稱中心，求得周期后得，然后由得值，最后利用余弦函數性質確定減區間，對稱軸，并利用圖象變換判斷各選項．
【詳解】由在區間上具有單調性知，的周期T滿足，所以，又因為，所以，在同一個周期內且，故的一條對稱軸為，又由知的一個對稱中心為，且所求得的對稱軸與對稱中心是相鄰的，所以，得，即，A正確．
又因為的一個對稱中心為，所以，，由知，，故.
，解得，，B正確；
，，，C錯誤；
的圖象向左平移個單位得，D正確．
故選：ABD．
【即學即練9】（2024秋·天津和平·高一統考期末）已知函數的圖象的一個對稱中心為，則下列說法不正確的是（ ）
A．直線是函數的圖象的一條對稱軸
B．函數在上單調遞減
C．函數的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象
D．函數在上的最小值為
【答案】C
【分析】先求得的值，然后根據三角函數的對稱性、單調性、圖象變換、最值等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，
由于，所以，
所以，
，所以A選項說法正確.
，所以函數在上單調遞減，B選項說法正確.
函數的圖象向右平移個單位長度得到，
所以C選項說法錯誤.
，所以當時，
取得最小值為，D選項說法正確.
故選：C
題型一：“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
例1.（2024·全國·高一期末）某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
0
0 5 -5 0
（1）根據表中數據，求函數的解析式；
（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求的最小值；
（3）在（2）條件下，求在上的增區間.
【答案】（1）；（2）最小值為；（3），.
【分析】（1）直接利用五點法的應用求出相應的值．
（2）利用函數的圖象的平移變換和伸縮變換的應用求出函數的關系式．
（3）利用整體思想，求出函數的單調區間．
【詳解】（1）由表可知，①，②，
聯立①②解得，，
0
0 5 0 -5 0
.
（2）∵向左平行移動個單位后可得：，
再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變）可得：，
令，，∴，，
∴當時，此時最小值為；
（3）因為，
令，，
所以，，
又，∴或，
∴增區間為，.
變式1.（2024秋·湖北武漢·高一華中師大一附中校考期末）已知函數
(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
x 0
(2)將的圖象向下平移1個單位，橫坐標擴大為原來的4倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的對稱中心．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）用“五點法”填表并畫出在上的圖象即可；
（2）根據三角函數圖象平移規律可得的圖象，再求的對稱中心可得答案．
【詳解】（1）
x 0
0 0
（2）將的圖象向下平移1個單位，得到的圖象，
再橫坐標擴大為原來的4倍，得到的圖象，
再向左平移個單位后，得到的圖象，由得，
所以的對稱中心為．
變式2.（2024秋·廣東廣州·高一執信中學校考期末）設函數（），將該函數的圖像向左平移個單位長度后得到函數的圖像，函數的圖像關于y軸對稱.
(1)求的值；
(2)在給定的坐標系內，用“五點法”列表、畫出函數在一個周期內的圖像；
(3)設關于x的方程在區間上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)圖像見解析
(3)
【分析】（1）先對 作恒等變換，再求出 解析式，根據條件求出 ；
（2）用整體代入法取5點作圖；
（3）將原方程轉化為一元二次方程求解.
【詳解】（1）
，
，是偶函數，并且 ；
（2）由（1）的結論得 ，
取5點得下表：
0 0 0
作下圖：
（3）由（1）得 ，原方程為： ，
， …①，
令 ， ，則t關于x的函數圖像如下圖：
由圖可知：當 時，任意一個t對于2個x，當 時 ，任意一個t對應1個x，并且 ；
變為： ，即 ，
即不論m為何值， 總是原方程的一個解，∴欲使得原方程有2個解，必須是 ，
；
綜上， ， .
【方法技巧與總結】
五點法作函數y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)圖象的步驟
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相應的(x，y)值．
(2)描點．
(3)連線得函數在一個周期內的圖象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的圖象．
題型二：三角函數的圖象變換
例2.（2024秋·江蘇南通·高一江蘇省如皋中學校考期末）將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數圖象平移規律可得答案.
【詳解】將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，
再將圖象向左平移，得到的圖象，
故選：A.
變式1.（2024春·廣西南寧·高一南寧三中校考期末）把的圖象向左平移個單位，再把所有的點的橫坐標變為原來的2倍所得到的函數y＝g(x)的解析式為（ ）
A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D．
【答案】B
【分析】根據三角函數的圖象變換即可求解.
【詳解】解：把的圖象向左平移個單位，
可得函數，
然后再把所有的點的橫坐標變為原來的2倍，可得函數y＝g(x)的解析式為g(x)＝cosx，
故選：B.
變式2.（2024秋·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學校考期末）將函數的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據三角函數圖象變換的知識求得正確答案.
【詳解】函數的圖象向左平移個單位后得到.
故選：B
例3.（2024·全國·高一專題練習）把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圖象平移可得，應用換元法、誘導公式化簡求解析式.
【詳解】由題設，，
令，則，
所以，
即.
故選：D
變式1.（2024·全國·高一專題練習）函數的圖像向右平移個單位長度后，與函數的圖像重合，則________．
【答案】
【解析】根據三角函數圖象變換法則可得,由于圖像重合,可得,進而求解即可
【詳解】函數的圖像向右平移個單位長度后所得圖像的函數是,
則,故,
因為,所以當時,,
故答案為：
例4.【多選】（2024春·廣西桂林·高一統考期末）要得到函數到的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
B．向右平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的
C．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移單位長度
D．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移單位長度
【答案】AD
【分析】根據圖象的兩種變換方式即可求解;先平移再伸縮可判斷A,B,先伸縮再平移可判斷C,D.
【詳解】方式一：（先平移再伸縮）；將先向左平移單位長度得到，然后將圖像上每個點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變得到，故A對，
方式二：（先伸縮再平移）；將圖像上每個點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變得到，再將向左平移單位長度得到，故D對，
故選：AD
變式1.【多選】（2024秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）要得到函數的圖象，只需將圖象上的所有點（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位
B．橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位
C．向左平移個單位，再把橫坐標伸長到原來的2倍
D．向右平移個單位，再把橫坐標縮短到原來的
【答案】AC
【分析】首先根據題意，先分清楚，平移前和平移后的函數，然后根據選項描述的順序，進行平移和伸縮變換驗證即可得到答案.
【詳解】由題意可知，平移伸縮變換前函數是，平移伸縮變換后的函數是，
選項A和選項B，“橫坐標伸長到原來的2倍”變為，要想得到 的圖像，只需將的圖像向左平移即可得到，故選項A正確，如果向左平移個單位，則變成，不滿足，故選項B錯誤；
選項C，“向左平移個單位”變為，“把橫坐標伸長到原來的2倍”，變為 ，故選項C正確；
選項D，“向左平移個單位”變為，“把橫坐標伸長到原來的2倍”，變為 ，故選項D錯誤；
故選：AC.
變式2.【多選】（2024秋·福建漳州·高一統考期末）記函數的圖象為，函數的圖象為，則（ ）
A．把上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到
B．把上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到
C．把向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到
D．把向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，得到
【答案】BC
【分析】根據三角函數圖象變換的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】A選項，把上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍得到，不符合題意，A選項錯誤.
B選項，把上所有點的橫坐標縮短到原來的得到，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到，符合題意，B選項正確.
C選項，把向左平移個單位長度得到，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到，符合題意，C選項正確.
D選項，把向左平移個單位長度得到，再把得到的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，得到，不符合題意，D選項錯誤.
故選：BC
變式3.（2024春·遼寧大連·高一統考期末）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函數圖象變換可得出變換后的函數解析式，由已知可得出關于的等式，即可得出結果.
【詳解】因為，
將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，
由題意可得，可得，當時，，
故選：D.
變式4.（2024春·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】B
【分析】先將兩個三角的名字根據誘導公式化為相同，然后再平移即可.
【詳解】
將函數向左平移個單位得：
故選：B
【方法技巧與總結】
解決三角函數圖象變換問題的關鍵是明確左右平移的方向和平移量以及橫縱坐標伸縮的量，在變換中平移變換與伸縮變換的順序不同得到的解析式也不同，這點應特別注意，否則就會出錯．
題型三：求函數y＝Asin (ωx＋φ)的解析式
例5.（2024秋·陜西榆林·高一校考期末）已知函數（，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得函數圖象的解析式為______．
【答案】
【分析】根據圖象求得，將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，得，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得，即可解決.
【詳解】由題知，函數（，）的部分圖象如圖所示，
所以，即
所以，
所以，
因為圖象經過點，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以，
將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，
得，
再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
得，
所以所得函數圖象的解析式為，
故答案為：
變式1.（2024秋·江蘇泰州·高一靖江高級中學校考期末）已知函數在一個周期內的圖象如圖所示：
(1)求函數的解析式，并寫出它是由的圖象經過怎樣的變換而得到的函數圖象所對應的函數；
(2)若存在使得關于的不等式成立，求實數的最小值.
【答案】(1),向左平移個單位長度；
(2).
【分析】（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數的解析式，再由函數圖象的平移求解即可；
（2）假設存在，使得不等式成立，分離參數可轉化為存在使成立，求出的最小值即可得解.
【詳解】（1）由所給函數圖象可知，，，即,
所以，又圖象過點，所以，
解得，
因為，所以當時，，
故.
由的圖象向左平移個單位長度可得函數，即的圖象.
（2）存在，使得關于x的不等式成立，
即存在，使得關于x的不等式成立，
即存在，使得成立.
當時，，令時，為減函數，
所以當時， 取得最小值為，即的最小值為，
故實數，所以的最小值為.
變式2.（2024秋·河南開封·高一統考期末）函數（，）在一個周期內的圖象如圖所示，為了得到正弦曲線，只需把圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
B．向右平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
D．向右平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
【答案】B
【分析】先利用圖像求出函數的解析式，在對四個選項，利用圖像變換一一驗證即可.
【詳解】由圖像可知：，所以,所以，解得：.
所以.
又圖像經過，所以，解得：，
所以
對于A：把圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變得到.故A錯誤；
對于B：把圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.故B正確；
對于C：把圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變.故C錯誤；
對于D：把圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變得到.故D錯誤；
故選：B
變式3.（2024上·湖北·高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式
(2)若函數在上有兩個零點，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圖象結合余弦函數的性質得出解析式即可；
（2）由余弦函數的性質得出函數的值域，進而結合圖象解題即可.
【詳解】（1）由圖可知，
由，得，得，
因為，所以，
得，又，所以，故
（2）由題意可知，與直線有兩個交點，
因為，所以，
則，，作出簡圖為
若函數在上有兩個零點，由圖可知，
故m的取值范圍為
變式4.【多選】（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的3倍，縱坐標變為原來的2倍，然后向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A．
B．的解析式為
C．是圖象的一個對稱中心
D．的單調遞減區間是，
【答案】ABD
【分析】先利用三角函數的圖象求得的解析式，再利用三角函數平移的性質與正弦函數的性質即可得解.
【詳解】依題意，由圖象可知，，則，故A正確；
因為，所以，則，所以，
因為的圖象過點，所以，
則，即，
又，則，所以，
將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的3倍，得到的圖象，
縱坐標變為原來的2倍，得到的圖象，
向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故B正確；
因為，故C錯誤；
令，解得，
所以的單調遞減區間是，，故D正確.
故選：ABD.
【方法技巧與總結】
根據三角函數的圖象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
(1)A：一般可由圖象上的最高點、最低點的縱坐標來確定|A|.
(2)ω：因為T＝，所以往往通過求周期T來確定ω.圖象上相鄰的兩個對稱中心間的距離為，相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，相鄰的對稱軸與對稱中心之間距離為.
(3)φ：①把圖象上的一個已知點的坐標代入來求．②尋找“五點作圖法”中的某一點來求，具體如下：利用“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時，令ωx ＋φ＝0；利用“第二點”(即圖象的“峰點”)時，令ωx ＋φ＝；利用“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點時，令ωx ＋φ＝π；利用“第四點”(即圖象的“谷點”)時，令ωx ＋φ＝；利用“第五點”時，令ωx ＋φ＝2π.注意：要觀察題目所給圖象是否適合用“五點作圖法”．
題型四：函數y＝A sin (ωx＋φ)性質的應用
例6.（2024·全國·高一專題練習）若將函數的圖象向右平移個單位長度后，與函數的圖象重合，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】求出平移后的函數解析式，再利用正切函數的性質列式求解作答.
【詳解】函數的圖象向右平移個單位得，
依題意，，，解得，而，有，，
所以的最小值為2．
故選：C
變式1.（2024·全國·高一專題練習）已知函數的最小正周期為，且圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則的對稱中心為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數的周期求出，從而得到，進而可求得，再由三角函數的對稱性求解即可
【詳解】的最小正周期為，
所以，即，
故，
由，解得，
從而的對稱中心為，
故選：C．
變式2.【多選】（2024秋·廣東深圳·高一統考期末）將函數的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再把它向右平移個單位，得到函數的圖像，則下列是對稱軸的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由圖像變換求解函數解析式，整體代入法求對稱軸方程.
【詳解】函數的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，
再把它向右平移個單位，得到函數的圖像，
令，解得對稱軸方程為，
當時，對稱軸為；當時，對稱軸為；當時，對稱軸為.
故選：ABD
變式3.（2024春·山東淄博·高一統考期末）已知函數是奇函數，為了得到函數的圖象，可把函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】根據是奇函數可求得，利用誘導公式得，即可得出結果.
【詳解】因為是奇函數，所以，即，
因為，所以，所以，
因為，
所以可把函數的圖象向右平移個單位長度.
故選：D.
變式4.（2024·全國·高一專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象． 若在上單調遞減，則的取值范圍是_____．
【答案】
【分析】先根據三角函數圖象變換規律求出的解析式，再由求出，再根據在上單調遞減，列出不等式，從而可求出的取值范圍.
【詳解】因為將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．
所以，
當，則，
因為在上單調遞減，
所以，解得，
即的取值范圍是，
故答案為：.
變式5.【多選】（2024秋·黑龍江哈爾濱·高一校考期末）將函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，得到偶函數的圖象，則下列結論中正確的有（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于對稱
C．在上的值域為 D．在上單調遞減
【答案】ABD
【解析】通過函數圖象的伸縮平移變換可得的值，以及與解析式，再根據三角函數圖象性質判斷各個選項.
【詳解】函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度,
得，
又為偶函數，故軸為的對稱軸，
即，解得，
，，
，
的對稱中心：令，即對稱中心為，
當時，對稱中心為，故A選項正確；
對稱軸：令，當時，對稱軸為，故B選項正確；
，，故C選項錯誤；
的單調遞減區間：令，即，
又，故函數在上單調遞減，D選項正確；
故選：ABD.
【方法技巧與總結】
1．與正弦、余弦函數有關的單調區間的求解技巧
(1)結合正弦、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)確定函數y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)單調區間的方法：采用“換元”法整體代換，將ωx＋φ看作一個整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出函數的單調區間．若ω<0，則可利用誘導公式先將x的系數轉變為正數，再求單調區間．
2．求三角函數值域的常用方法
(1)求解形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)的函數的最值或值域問題時，利用正、余弦函數的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函數取最值時相應自變量x的集合時，要注意考慮三角函數的周期性．
(2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函數的值域或最值時，通過換元，令t＝sin x(或cos x)，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域、最值即可．求解過程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
一、單選題
1．（2024上·天津寧河·高一統考期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點的（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
【答案】B
【分析】利用三角函數的伸縮變換可以得到答案.
【詳解】因為把函數的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，就能得到函數的圖象.
故選：B
2．（2024·云南昭通·統考模擬預測）函數向左平移個單位得到，若是偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出平移后的函數，根據新函數是偶函數即可得出的值.
【詳解】由題意，
在中，向左平移得到，
所以，
因為為偶函數，
所以，
又因為，
所以，
故選：D.
3．（2022上·全國·高三校聯考階段練習）已知是函數的一條對稱軸，且，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根據對稱軸過最值點可知，利用可求得，由此可得，代入即可.
【詳解】由是函數的一條對稱軸，
知，
∵，
，
，
，
，
又，
，
，
.
故選：B.
4．（2024上·浙江寧波·高三統考期末）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據平移變換得到，且，結合函數零點個數得到不等式，求出實數的取值范圍.
【詳解】，
由題意得，故當時，，
顯然當，即為的一個零點，
要想在上恰有三個不同的零點，
若，解得，
若，無解，
若，無解.
故選：A
5．（2024·湖南長沙·統考一模）下圖是函數的部分圖象，則該函數的解析式可以是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用圖象易得值和周期，從而可求，代入最值點坐標確定，即得.
【詳解】由圖可得：，即，即，
觀察各選項可知，本題考慮即可，則，
把點代入中，可得：，
故，即，
所以.
故選：C.
6．（2024上·江蘇常州·高一統考期末）已知函數，為了得到的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位
C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位
【答案】D
【分析】利用函數的圖象平移變化規律，即可求出結果.
【詳解】因為，所以為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個長度單位，故C錯誤，D正確.
若把的圖象向右平移個單位，則所得圖象的解析式為,
若把的圖象向左平移個單位，則所得圖象的解析式為,
AB錯誤.
故選：D.
7．（2023·全國·高三校聯考專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，則（ ）
A． B．是圖象的一條對稱軸，
C．是圖象的一個對稱中心 D．在上的最大值為
【答案】C
【分析】先由三角函數圖象變換規律求出的解析式，然后根據三角函數的性質逐個分析判斷即可
【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，
再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），可得，
對于選項A：，所以A不正確，
對于選項BC：因為，
所以是圖象的一個對稱中心，所以B不正確，C正確；
對于選項D：由，得，
所以當時，取得最大值，所以D不正確；
故選：C.
8．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據點在圖象上求出的值，根據五點作圖法求出的值，進而得到函數解析式，從而算出.
【詳解】由圖可知，點在圖象上，所以，則，
又知點在的增區間上，所以；
由五點作圖法可知，，解得，
所以，
則，
故選：D．
9．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．
C．函數為奇函數
D．函數在區間上單調遞減
【答案】D
【分析】根據題意，求得，結合三角函數的性質，以及三角函數的圖象變換在，逐項判定，即可求解.
【詳解】由函數（，，）的部分圖象，
可得，可得，則，
又由，可得，
所以，因為，所以，所以A正確；
由，可得，
又由，所以B正確；
將函數的圖象向左平移個單位長度，
得到的圖象，
此時函數，所以為奇函數，所以C正確；
由，可得，
當時，即，函數單調遞增；
當時，即，函數單調遞減，
所以函數不是單調遞減函數，所以D錯誤.
故選：D.
10．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）已知是圖象的兩條相鄰對稱軸，將的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象.若在上有唯一的零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意先求出，令，解得，再利用條件即可求出結果.
【詳解】由題意可知，的最小正周期為所以，
則， 所以，則，
由平移可知，，
令，解得，
令，得到；令，得到；
又在上有唯一的零點，則，解得，
故選：A.
11．（2023下·全國·高三校聯考階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，則（ ）
A．
B．在上單調遞減
C．是圖象的一個對稱中心
D．在上的最大值為
【答案】C
【分析】先由三角函數圖象變換規律求出的解析式，然后根據三角函數的性質逐個分析判斷即可
【詳解】A：將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，
再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），可得，
即，得，故A不正確；
B：由，得，
所以在上單調遞減，故B不正確；
C：因為，所以是圖象的一個對稱中心，故C正確；
D：由，得，
所以當時，取得最大值，所以D不正確.
故選：C
12．（2024上·江蘇南通·高一統考期末）設函數的最小正周期為. 若，且對任意，恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，由對任意，恒成立，可得，計算即可得.
【詳解】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
綜上，.
故選：B.
二、多選題
13．（2024·河南信陽·統考二模）已知函數的圖象如圖所示，，是直線與曲線的兩個交點，且，則下列選項正確的是（ ）
A．的值為3 B．的值為2C．的值可以為D．的值可以為
【答案】AD
【分析】根據函數圖像直接確定A，設結合，確定，利用點的坐標確定的表達式，然后代入求值即得答案.
【詳解】由函數的圖象可知,
設，由可得，
令，即，
結合圖像可得，
則，即，故A正確，B錯誤；
將代入，即有，且為函數下降零點，
所以，故，
當時，，不符合題意，
當時，，符合題意，故C錯誤，D正確；
故選：AD.
14．（2023上·河南駐馬店·高三統考期末）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得的圖象關于軸對稱，得到函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．的圖象關于點對稱
B．在上的值域為
C．為偶函數
D．在上單調遞增
【答案】BCD
【分析】先由圖象變換求出，再結合三角函數的性質與圖像變換逐一判斷.
【詳解】由題得，，
由，故A錯誤；
當時，，，故B正確；
為偶函數，故C正確；
當時，，正弦函數在上為增函數，
所以在上單調遞增，故D正確.
故選：BCD
15．（2024·全國·模擬預測）函數與函數的圖象關于點對稱，，則（ ）
A．函數的圖象可由函數向右平移個單位長度得到
B．函數的圖象向右平移個單位長度為偶函數的圖象
C．函數的圖象關于直線對稱
D．的所有實根之和為2
【答案】BCD
【分析】利用圖象變換可得AB的正誤，利用三角函數對稱軸的求解方法可得C的正誤，利用對稱性可得D的正誤.
【詳解】由題意知，
又函數向右平移個單位長度得到，所以A錯誤；
函數的圖象向右平移個單位長度得到，
由于是偶函數，所以B正確；
，
令，解得，
當時，，所以C正確；
當時，可得的圖象關于對稱，曲線也關于對稱，
與曲線的簡圖如下，
,,當時，的圖象與曲線有三個交點，
所以方程的所有實根之和為，所以D正確．
故選：BCD．
16．（2024上·山西運城·高一統考期末）已知（其中）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．的最小正周期為
C．不等式的解集為
D．將的圖象向右平移個單位長度變為偶函數，則的最小值是
【答案】ACD
【分析】對于A，由圖象得周期以及對稱軸，由此即可驗算；對于B，由即可舉出反例；對于C，直接根據函數單調性列出不等式組即可驗算；對于D，由平移變換法則結合三角函數奇偶性即可得解.
【詳解】對于A，由圖可知函數周期，解得，
當時，函數取最大值，
所以，解得，
又，所以，，故A正確；
對于B，由題意，
所以，故B錯誤；
對于C，由題意，即，
所以，解得，故C正確；
對于D，將的圖象向右平移個單位長度后，
對應函數圖象的解析式為，
若為偶函數，
所以，解得，
又，所以當時，，故D正確.
故選：ACD.
17．（2024上·江西·高三校聯考期末）已知函數（，，），若的圖象過，，三點，其中點B為函數圖象的最高點（如圖所示），將圖象上的每個點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的倍，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）

A． B．
C．的圖象關于直線對稱 D．在上單調遞減
【答案】BC
【分析】由圖象得，然后對選項逐一判斷.
【詳解】由題意得，，，所以，.
由，得，由圖知在上單調遞增，
所以，，所以，.
又，只可能，所以，
所以，，故A錯誤，B正確；
因為，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；
令（），解得（），
令，得，又包含但不是其子集，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
18．（2024上·湖南衡陽·高一統考期末）將函數的圖象向右平移m個單位，得到函數圖象關于y軸對稱，則m的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據三角函數平移變換規定得到，知其為偶函數，故圖象應經過，結合正弦函數的圖象與性質即可求得的范圍即得.
【詳解】由函數的圖象向右平移m個單位得到函數：的圖象，
因的圖象關于y軸對稱，故有，則有，解得：，
因，故當且僅當時，m的最小值為.
故答案為：.
19．（2024上·貴州畢節·高二校考期末）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用給定變換求出函數的解析式，再結合函數的奇偶性列式計算即得.
【詳解】將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，
再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，
由，得函數為偶函數，
則，解得，又，所以的最小值為.
故答案為：
20．（2024上·河南洛陽·高一統考期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象向 平行移動 個單位．
【答案】 左
【分析】設向左平移個單位，得到解析式，對照后求出答案.
【詳解】設函數的圖象向左平移個單位，得到，
令，解得，
故函數的圖象向左平移個單位，得到的圖象，
故答案為：左，．
21．（2024上·山西太原·高一統考期末）已知函數在上恰有兩個零點，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】結合正弦型函數的圖象與性質計算即可得.
【詳解】令，則，
當時，，
由題意可得，
解得，即實數的取值范圍為.
故答案為：.
22．（2024上·河北·高三校聯考期末）已知函數，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數的圖象關于原點對稱，且在上單調遞減，則 ．
【答案】3
【分析】根據余弦函數的性質可得，結合單調性列不等式即可求解.
【詳解】由題意知圖象關于原點對稱，因此，解出，
由于在上單調遞減，，
因此，解出，
由于，所以取，解得，又由于，且，則．
故答案為：3
23．（2024上·云南昆明·高一統考期末）函數在上單調遞增，且的圖象向左平移個單位后與原來的圖象重合．若方程在上的解為，則 ．
【答案】/0.5
【分析】設出最小正周期為，根據題意得到，求出，分兩種情況，討論后得到，，由對稱性可得，代入求值，得到答案.
【詳解】設的最小正周期為，則，故，
又的圖象向左平移個單位后與原來的圖象重合，故為函數的一個周期，
故最小正周期，即，解得，
若，則，
時，，
由于在上單調遞減，故在上單調遞減，不合要求，
若，則，
時，，
此時滿足在上單調遞增，滿足要求，
，，
，由對稱性可得，
即，
故
故答案為：.
24．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知方程，則當時，該方程所有實根的和為 ．
【答案】
【分析】作出，的圖象，通過圖象的對稱性可得方程所有實根的和.
【詳解】方程，即，
令，，
的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到，故關于點對稱，
同時也是的一個對稱中心；
作圖可得，的圖象，觀察它們在時的圖象，
可知二者的圖象都關于點成中心對稱且，圖象在上共有8個交點，
這8個交點兩兩成對關于點對稱，
每一對關于對稱的交點的橫坐標的和為，
故所有8個交點的橫坐標的和為，
即方程所有實根的和為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：（1）轉化法，方程的根的問題，轉化為，的圖象的交點問題；
（2）數形結合：作出函數，的圖象，判斷其對稱性，從而求解問題.
25．（2024上·福建泉州·高一統考期末）將函數圖象所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象. 若對于任意，總存在唯一的. 使得 ，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由三角函數圖象變換以及三角函數性質即可求解.
【詳解】由題意得，
當時，有，此時，
令，則，
因為時，所以，
因為對于的任意取值，在上有唯一解，
即在上有唯一解，如圖所示：
由圖可知，，所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：關鍵是得到在上有唯一解，畫出圖形，由數形結合即可順利得解.
四、解答題
26．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函數．

(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
x 0
1 0
(2)將的圖象橫坐標擴大為原來的2倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的對稱中心．
【答案】(1)表格及圖象見解析
(2)，
【分析】（1）直接根據五點作圖法補全表格，然后描點畫圖；
（2）先通過圖象變換得到，然后令可得對稱中心．
【詳解】（1），列表如下：
0
x 0
1 0 0
圖象如圖：

（2）的圖象橫坐標擴大為原來的2倍得，
再向左平移個單位后，得，
令，，得，，
所以函數的對稱中心為，．
27．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）已知函數．
(1)求函數的對稱中心和單調遞減區間；
(2)若將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值．
【答案】(1)對稱中心為，單調遞減區間為
(2)最大值3；最小值
【分析】（1）根據三角恒等變換化簡可得，再代入正弦函數的對稱中心與單調遞減區間求解即可；
（2）根據正弦函數在區間上的單調性與最值求解即可.
【詳解】（1）
，
令，則，
所以的對稱中心為，
令，則，
所以的單調遞減區間為．
（2），
當時，，
所以當，即時，取得最大值3；
當，即時，取得最小值．
28．（2023上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，且．
(1)求函數的對稱軸方程；
(2)不畫圖，說明函數的圖象可由的圖象經過怎樣變化得到．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得函數的解析式，結合正弦型函數的性質計算即可得；
（2）結合三角函數的平移變換即可得.
【詳解】（1）由，得，則，
解得，又，故，
故，
令，解得，
故函數的對稱軸方程為；
（2）先將的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），
得到的圖象，
再將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，
得到的圖象，
最后將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），
得到的圖象．
29．（2024上·江蘇鎮江·高一統考期末）已知函數（其中，）的最小正周期為，且___________.
①點在函數的圖象上；
②函數的一個零點為；
③的一個增區間為.
請你從以上三個條件選擇一個（如果選擇多個，則按選擇的第一個給分），補充完整題目，并求解下列問題：
(1)求的解析式；
(2)用“五點作圖法”畫出函數一個周期內的圖象.
【答案】(1)無論選哪個條件，函數的解析式均為.
(2)答案見解析
【分析】（1）若選①，則，若選②，則，若選③，則，由此求出分別求出即可得解.
（2）直接用“等距法”按照五點畫圖的步驟作圖即可.
【詳解】（1）由題意最小正周期為，解得，所以，
若選①，則，所以，
又，所以，
所以函數的解析式為；
若選②，則，所以，
又，所以，
所以函數的解析式為；
若選③，即的一個增區間為，
當時，，
又，
由復合函數單調性可知，只能，
，所以函數的解析式為；
綜上所述，無論選哪個條件，函數的解析式均為.
（2）列表如下：
0
0 1 0 0
描點、連線（光滑曲線）畫出函數一個周期內的圖象如圖所示：
30．（2024上·福建三明·高一統考期末）某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式，并求函數的單調遞增區間；
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數的圖象．當時，關于的方程恰有兩個實數根，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；單調遞增區間為
(2)
【分析】（1）根據表格中的數據，不難看出值和周期特征，易得值，代入一組對應值與，易求出，再整體處理，計算得到遞增區間；
（2）先根據三角伸縮平移變換并化簡得到，將方程有根問題轉化為兩函數圖象在給定區間上的交點個數問題解決.
【詳解】（1）由表中數據可得，，
因為，所以，則，
當時，，則，
所以．
由，得，
所以的單調遞增區間為．
（2）
將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到，
再將圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則
如圖，當時，方程恰有兩個實數根，等價于函數，的圖象與直線有兩個交點，
故可得：．
31．（2024上·福建廈門·高一統考期末）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，求在區間上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最小值；最大值1
【分析】（1）根據題意結合五點法求函數解析式；
（2）根據圖象變換可得，以為整體，結合正弦函數的有界性分析求解.
【詳解】（1）由圖可知：，且，
因為，所以.
又因為，即，
則，即.
且，可知，所以.
（2）由的圖象向右平移個單位長度后得，
因為，令，
當，即時，取最小值；
當，即時，取最大值1.
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