資源簡介

1.5 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認識
3種常見考法歸類
課程標準 學習目標
借助單位圓，能畫出正弦、余弦函數(shù)的圖象，借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)． 三角函數(shù)的圖象是認識三角函數(shù)的窗口，通過本節(jié)課的學習要求會作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的同時，能認識圖象與三角函數(shù)的密切關系，并能解決與圖象有關的三角函數(shù)問題.
知識點01正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖象．
在函數(shù)y=sin x，的圖象上，起關鍵作用的點有以下五個：,如下表：
x 0
y=sin x 0 1 0 0
描出這五個點后,函數(shù)y=sin x，的圖象形狀就基本上確定了．因此，在精確度要求不高時，我們可以先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法稱為五點法作圖．
【即學即練1】用五點法作函數(shù)y＝2sin x－1的圖象時，首先應描出的五點的橫坐標可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【答案】A
【分析】
根據(jù)五點作圖法，確定首先描出的五個點的橫坐標.
【詳解】
由五點作圖法可知，首先描出的五個點的橫坐標為：，，，，.
故選：A.
【即學即練2】在[0,2π]內(nèi)，作出函數(shù)y＝3－sin x的圖象．
【解析】按五個關鍵點列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
3－sin x 3 2 3 4 3
描點連線，如圖所示．
【即學即練3】試求關于x的不等式
【答案】或.
【分析】
作出正弦函數(shù)y＝sin x在[0，2π]上的圖象，作出直線y＝和y＝，根據(jù)圖象得出在[0，2π]上的x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的周期可得答案.
【詳解】
解：作出正弦函數(shù)y＝sin x在[0，2π]上的圖象，作出直線y＝和y＝，如圖所示．
由圖可知，在[0，2π]上當所以原不等式的解集為或.
知識點02正弦函數(shù)的性質(zhì)
定義域 R
值域 [－1，1]
周期性 最小正周期2π
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增， 在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞減
最大(小)值 當x＝2kπ＋，k∈Z時，最大值為1； 當x＝2kπ＋，k∈Z時，最小值為－1.
【即學即練4】若函數(shù)的定義域為（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
【答案】B
【分析】
偶次根式，根號下要求大于等于0，得到，利用三角函數(shù)的圖像判斷，即可得到，從而求出定義域.
【詳解】
解：要使函數(shù)有意義，則，即，
即，，得，，
即函數(shù)的定義域為（）.
故選：B
【即學即練5】函數(shù)在上是（ ）
A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減 D．先減后增
【答案】B
【分析】整體法得到，數(shù)形結合得到函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】，則，
因為在上單調(diào)遞減，
故在上是減函數(shù).
故選：B
【即學即練6】已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，那么常數(shù)的取值范圍__________．
【答案】
【分析】先求出，再由不等式解出的范圍即可.
【解析】由可得，又，故，
故，解得，故的取值范圍為.
故答案為：.
【即學即練7】已知函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參即可.
【解析】由，得，
又函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，
所以當時，取得最小正值.
故選：A.
知識點03　余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R的圖象．
1．利用圖象變換作余弦函數(shù)的圖象
根據(jù)誘導公式，由，可知余弦函數(shù)的圖象可以通過將正弦曲線向左平移個單位長度而得到．如圖所示．類似地，我們把余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線（cosine curve）．
2．用五點法作余弦函數(shù)的圖象
與正弦函數(shù)的圖象一樣，在函數(shù)的圖象上，起關鍵作用的點有以下五個：
,如下表：
x 0
y=cos x 1 0 0 1
同樣，在精確度要求不高時，我們可以先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法也稱為五點法作圖．
【即學即練8】用“五點法”作函數(shù)y＝1－cos x，x∈[0，2π]的圖象時，應取的五個關鍵點分別是______________.
【答案】（0，0），，（π，2），，（2π，0）
【分析】
取一個周期內(nèi)的五個關鍵點，即分別令，求出對應的縱坐標即可.
【詳解】
因為y＝1－cos x，x∈[0，2π]，則
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
故五個關鍵點（0，0），，（π，2），，（2π，0）
故答案為：（0，0），，（π，2），，（2π，0）.
【即學即練9】【多選】函數(shù)y=1+cosx，的圖象與直線y=t（t為常數(shù)）的交點可能有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 E.4個
【答案】ABC
【分析】
畫出在的圖象，即可根據(jù)圖象得出.
【詳解】
畫出在的圖象如下：
則可得當或時，與的交點個數(shù)為0；
當或時，與的交點個數(shù)為1；
當時，與的交點個數(shù)為2.
故選：ABC.
【即學即練10】已知函數(shù)，.
(1)用五點法畫函數(shù)在上的圖像；
(2)解不等式.
【答案】(1)通過列表、描點、連線，作出函數(shù)圖像；
(2)
【分析】（1）通過列表、描點、連線，作出函數(shù)圖像；
（2）代入函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)解三角不等式.
【解析】（1）解：列表如下：
0
1 0 -1 0 1
3 1 -1 1 3
描點，連線即可得到函數(shù)在上的圖像，如圖所示．
（2），則，解得，
所以不等式的為.
【即學即練11】已知集合，，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，可得，，
所以，
由，可得，，
所以，
所以.
故選：B
知識點04　余弦函數(shù)的性質(zhì)．
函數(shù)性質(zhì) y＝cos x
定義域 R
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函數(shù)
單調(diào)性 當x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)時，函數(shù)是遞增的； 當x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)時，函數(shù)是遞減的
周期性 最小正周期是2π
最值 當x＝2kπ(k∈Z)時，y的最大值為1； 當x＝2kπ＋π(k∈Z)時，y的最小值為－1
對稱軸 x＝kπ(k∈Z)
對稱中心 (k∈Z)
【即學即練12】函數(shù)定義域為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到，即可求解函數(shù)的定義域.
【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，即
解得，
所以函數(shù)的定義域.
故選：A.
【即學即練13】函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求得結果.
【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是.
故選：D.
【即學即練14】 函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)的圖形，運用數(shù)形結合的思想逐項驗證選項可得出答案.
【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像如下：
由圖知，函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞增；
在區(qū)間和上單調(diào)遞減.所以選項ABC錯誤，選項D正確.
故選：D.
【即學即練15】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性，解不等式得到答案.
【解析】，令，
解得，.
故選：B.
題型一：用五點法作正余弦函數(shù)的簡圖
例1.用“五點法”作函數(shù)在上的圖象時，應取的五個點依次為___________ ___________ ___________ ___________ ___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)正弦函數(shù)的“五點”，即可代換求出．
【詳解】
由的“五點”即可知，函數(shù)在上應取的五個點為，，，，．
故答案為：，，，，．
變式1.畫出函數(shù)y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的圖象．
【解析】①列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
②描點：
③連線：用光滑的曲線依次連接各點，即得所求的圖象．
【名師點睛】作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的圖象時，可用“五點法”作圖，其步驟是：①列表，取x＝0、、π、、2π；
②描點；
③用光滑曲線連成圖．這是一種基本作圖方法，應該熟練掌握．
變式2.已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)分類討論，結合的性質(zhì)可得．
【詳解】
由題知，．若，選項C滿足；
若，，，其中，，函數(shù)周期，選項A滿足；若，，，其中，，函數(shù)周期，選項B滿足；
若，則，且周期為．而選項D不滿足以上四種情況，故圖象不可能是D．
故選：D．
【方法技巧與總結】
1、用五點法畫函數(shù)y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的簡圖的步驟：
(1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b
(2)描點：在平面直角坐標系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五個點．
(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來．
2、作形如y＝a cos x＋b，x∈[0，2π]的圖象的步驟
題型二：正余弦函數(shù)圖象的應用
例2.在內(nèi)，不等式的解集是（ ）
A．(0，π) B． C． D．
【答案】C
【分析】
先作出正弦圖象y＝sin x，，結合的根為 或，即得不等式的解集.
【詳解】
畫出y＝sin x，的草圖如下．
內(nèi)，令，解得或，
結合圖象可知不等式的解集為．
故選：C．
變式1.不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)的圖象與性質(zhì)可得的解集．
【詳解】
解：
函數(shù)圖象如下所示：
，
不等式的解集為：．
故選：．
變式2.使得正確的一個區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在同一坐標系中作出與的圖象即可得出選項.
【詳解】
作出與的圖象，如圖：
由圖可知，若，其中滿足，
故選：A
例3.根據(jù)函數(shù)的圖像，可得方程的解為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【分析】
結合正弦函數(shù)的圖象和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出結果.
【詳解】
由題意和正弦函數(shù)的圖象可知，可得（）.
故選: B.
變式1.函數(shù)與圖像交點的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
作出直線與函數(shù)在上的圖象，觀察圖形即可得解.
【詳解】
作出函數(shù)在上的圖象，并作出直線，如圖：
觀察圖形知：函數(shù)在上的圖象與直線有兩個公共點，
所以函數(shù)與圖像交點的個數(shù)為2.
故選：C
變式2.方程log2x＝cosx的實根個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個
【答案】B
【分析】
分別作出函數(shù)與的圖像，根據(jù)的圖像過點，函數(shù)的最大值為1，結合函數(shù)圖像可得答案.
【詳解】
在同一坐標系中分別作出函數(shù)與的圖像，
由函數(shù)的最大值為1，當時，的值為1，
即的圖像過點，如圖,
根據(jù)圖像可得：函數(shù)與的圖像有1個交點
所以方程有1個解.
故選：B
例4.若方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】先求出時的值域，采用數(shù)形結合法可求的范圍，進而得解.
【解析】作出，與的大致圖像，如圖所示：
由圖像可知，當，即時,，的圖像與的圖像有兩個交點，
即方程在時有兩個不同的實數(shù)根.
故答案為:
變式1.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】．
【分析】
將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式，作出其圖象，根據(jù)圖象即可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，
其圖象如圖所示．
若使的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，
根據(jù)圖象，可得實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】
本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的圖象，將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式是解題的關鍵，屬于中檔題.
例5.函數(shù)的定義域是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得出，然后利用余弦函數(shù)的圖象解此不等式即可.
【詳解】由題意可得，
解得.
故選：D.
【方法技巧與總結】
1、利用正弦曲線求解sin x≥a(≤a)的步驟
(1)作出正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；(2)作直線y＝a與函數(shù)圖象相交；(3)在一個周期內(nèi)確定x的取值范圍；(4)根據(jù)正弦函數(shù)周期性確定最終范圍．
2、用余弦函數(shù)的圖象求角的范圍時，首先可以作出y＝cos x在一個周期內(nèi)的圖象，然后找出適合條件的角的范圍，最后依據(jù)周期性，寫出所有滿足條件的角的范圍．
題型三：正余弦函數(shù)的基本性質(zhì)
求周期
例6.下列函數(shù)，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定最小正周期.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A不符合；
函數(shù)，其最小正周期為，故B不符合；
因為函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C符合；
因為函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故D不符合.
故選：C.
變式1.設是定義域為R且最小正周期為的函數(shù)，且有，則（ ）
A． B．
C．0 D．1
【答案】A
【分析】利用給定函數(shù)的性質(zhì)，結合分段函數(shù)解析式代入計算作答.
【詳解】因為是定義域為R且最小正周期為的函數(shù)，且，
所以.
故選：A
變式2.若，是函數(shù)兩個相鄰的最值點，則等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)最值點可得出函數(shù)的周期，再求出即可.
【詳解】因為，是函數(shù)兩個相鄰的最值點，
所以，，
故選：A
單調(diào)性的應用
例7.已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，所以，
又，，
所以.
故選：D.
變式1.已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)誘導公式和正弦函數(shù)在上的單調(diào)性可得大小關系.
【詳解】由誘導公式知：，，
在上單調(diào)遞增，，即.
故選：D.
例8.下列關于函數(shù)，的單調(diào)性的敘述，正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
C．在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
D．在上單調(diào)遞增，在及上單調(diào)遞減
【答案】C
【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，直接分析求解即可.
【詳解】解：，
當時，函數(shù)y單調(diào)遞增；當時，函數(shù)y單調(diào)遞減；當時，函數(shù)y單調(diào)遞增．
故只有C正確．
故選：
變式1.函數(shù)的嚴格減區(qū)間是 ．
【答案】．
【分析】結合函數(shù)的定義域和復合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】令，則為增函數(shù)，
欲求的減區(qū)間，則求的減區(qū)間
由題意得定義域為，解得
所以的減區(qū)間為
所以函數(shù)的嚴格減區(qū)間是.
故答案為：.
例9.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，則的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】分和兩種情況討論，結合余弦函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.
【詳解】當時，，
由，得，
因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，
所以，解得，
當時，由，得，
因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，
所以，解得，
綜上所述.
故選：A.
變式1.已知，記（）．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】分段寫出函數(shù)的解析式，并確定其單調(diào)減區(qū)間，再結合集合的包含關系求解作答即可.
【詳解】由題意知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
則或，
由，解得，
而，故需滿足，即，此時不存在；
由，解得，
則需滿足，即，即，
故，即，
故選：C
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是理解的含義，結合其解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而轉化為集合間的包含關系，列不等式求解即可.
最大(小)值
例10.函數(shù)，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解即可.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)取得最大值，
又當時，，當時，，
所以函數(shù)的最小值為，
所以函數(shù)，的值域是.
故選：D.
變式1.函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】配方后利用正弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)知識可求出結果.
【詳解】函數(shù)，
∵，
∴當時，函數(shù)取得最小值為，
當時，函數(shù)取得最大值為2，
故函數(shù)的值域為，
故選：A．
變式2.函數(shù)的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用平方關系將函數(shù)化為關于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，
因為，
所以當時，取得最大值.
故選：D.
變式3.已知函數(shù)在上的值域為，則m的取值范圍是______．
【答案】
【分析】先求出，結合的值域即可求出的范圍，進而解出m的取值范圍.
【解析】因為，所以．因為在上的值域為，
，所以，解得．
故答案為：.
變式4.已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求此時x的值．
【答案】(1)增區(qū)間，；減區(qū)間，
(2)最大值為，；最小值為，
【分析】（1）將整體代入的單調(diào)區(qū)間，求出的范圍即可；
（2）通過x的范圍，求出的范圍，然后利用的最值的取值求解即可.
【解析】（1），
令，，得，，
令，，得，，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（2）當時，，
所以當，即時，取得最大值，
當，即時，取得最小值．
奇偶性
例11.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)的奇偶性得到答案.
【詳解】A選項，的定義域為R，
且，故為奇函數(shù)，A錯誤；
B選項，的定義域為R，
且，故為奇函數(shù)，B錯誤；
C選項，的定義域為R，
且，故為偶函數(shù)，C正確；
D選項，的定義域為R，
且，故不是偶函數(shù)，D錯誤.
故選：C
變式1.函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義逐項分析即得.
【詳解】選項A: 因為的定義域為R，
又，
所以是奇函數(shù)，故A錯誤；
選項B: 因為的定義域為R，
又，
所以是偶函數(shù)，故B錯誤；
選項C: 因為的定義域為R，
又，
所以是奇函數(shù)，故C正確；
選項D: 因為的定義域為R，
又，
所以是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：C.
變式2.已知，且，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，得到，代入數(shù)據(jù)結合奇函數(shù)性質(zhì)得到答案.
【詳解】設，，
則，故為奇函數(shù)，
，，，
.
故選：D
變式3.使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，得，由此能求出使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ的值．
【詳解】∵函數(shù)為偶函數(shù)，
∴，
∴使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)．
故選：B
變式4.已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先代入，化簡出，由函數(shù)奇偶性定義得到此時為奇函數(shù)，充分性成立，再求出必要性不成立，得到答案.
【詳解】時，可得，定義域為R，
此時，
故為奇函數(shù)，故充分性成立，
而當為奇函數(shù)時，得，故不一定為，故必要性不成立，
是為奇函數(shù)的充分不必要條件.
故選：B
對稱性
例12.函數(shù)的圖像關于（ ）
A．點對稱 B．點對稱 C．直線對稱 D．直線對稱
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別將與代入檢驗，即可得到結果.
【詳解】令，可得，所以圖像關于點對稱，故A正確，C錯誤；
令，可得，所以圖像不關于點對稱，
也不關于直線對稱，故BD錯誤；
故選：A
變式1.函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將各項對應自變量代入解析式求函數(shù)值，判斷是否成立即可.
【詳解】時，不是對稱軸；
時，不是對稱軸；
時，是對稱軸；
時，不是對稱軸；
故選：C
變式2.若函數(shù)，則下列結論不正確的是（ ）
A．的一個周期為
B．的圖象關于直線對稱
C．的一個零點為
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)圖像及性質(zhì)判斷各選項.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，把代入，則，所以關于直線對稱，故B正確；
對于C，，把代入，則，故C正確；
對于D，由，，當時，即，單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：D.
變式3.若函數(shù)對任意實數(shù)都有，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】C
【分析】由得函數(shù)圖象的對稱軸為，即得的值.
【詳解】由得函數(shù)圖象的對稱軸為，
因為余弦函數(shù)在對稱軸取到函數(shù)的最值，
所以.
故選：C
【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的對稱軸和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
【方法技巧與總結】
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期．
(2)比較大小：利用誘導公式轉化為自變量在同一單調(diào)區(qū)間上．
(3)求形如：y＝a sin x＋b的函數(shù)的最值或值域時，可利用正弦函數(shù)的有界性求解．
(4)判斷函數(shù)的奇偶性時，必須先檢查其定義域是否關于原點對稱．如果是，再驗證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，那么該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)．
一、單選題
1．（2022上·湖南長沙·高一周南中學校考期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意依次分析選項中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可得答案．
【解答】對于A：是正弦函數(shù)且為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故A符合題意；
對于B：是指數(shù)函數(shù)不是奇函數(shù)，故B不符合題意；
對于C：是二次函數(shù)，且為偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故C不符合題意；
對于D： 是反比例函數(shù)且是奇函數(shù)，但在區(qū)間上是減函數(shù)，故D不符合題意.
故選：A．
2．（2024·陜西西安·西安一中校考模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷a的范圍，利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性可比較的大小關系，結合b的范圍，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得，
且，
又，故，
故選：C
3．（2024下·湖南長沙·高三長沙一中校考開學考試）函數(shù)的圖象（ ）
A．關于軸對稱 B．關于原點對稱
C．關于直線對稱 D．關于直線對稱
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式及余弦函數(shù)性質(zhì)判斷即得.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，
而函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱.
故選：A
4．（2023下·青海西寧·高一統(tǒng)考開學考試）函數(shù)的圖象關于原點對稱，則的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)圖象的對稱性即可得到，，根據(jù)條件和選項即可得出答案.
【詳解】因為函數(shù)的圖象關于原點對稱，
所以，.
又，結合選項，得的取值可能是.
故選：D
5．（2023下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩條對稱軸，則的最小值為（ ）
A．6 B．
C． D．
【答案】C
【分析】化簡函數(shù)，根據(jù)題意，結合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，
由，可得，
要使得函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩條對稱軸，
根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)，則滿足，解得，
所以實數(shù)的最小值為.
故選：C.
6．（2024下·甘肅·高三武威第六中學校聯(lián)考開學考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性及復合函數(shù)的性質(zhì)，列式解得答案.
【詳解】，
由題意單調(diào)遞減，且，
則，解得，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：D.
7．（2022·全國·模擬預測）函數(shù)在的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再由特殊值判斷即可.
【詳解】∵，
∴為奇函數(shù)，其圖象關于原點中心對稱，故排除C、D選項；
又，故排除A選項.
故選:B.
8．（浙江省湖州市2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學試題）我們知道，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是．已知某音是由3個不同的純音合成，其函數(shù)為，則（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小正周期為 D．在上是增函數(shù)
【答案】D
【分析】首先代入，即可判斷A；再分別根據(jù)函數(shù)，，的性質(zhì)，判斷BCD選項.
【詳解】A.，故A錯誤；
B.，當，時，函數(shù)取得最大值1，
，當，時，函數(shù)取得最大值，
，當，時，函數(shù)取得最大值，由，
但三個函數(shù)不能同時取得最大值，所以函數(shù)的最大值小于，故B錯誤；
C.的最小正周期為，的最小正周期為，
的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C錯誤；
D.，，，
所以函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增函數(shù)，
則函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確.
故選：D
9．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒有最小值，則的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，再由在上沒有最小值，求出答案.
【詳解】由題意知，
因為為奇函數(shù)，所以，
，
因為為偶函數(shù)，所以，
相加得，
又因為，所以，
當代入得，即，
代入得，即，即；
當代入得，即，
代入得，即，即；
因為 在上沒有最小值，
設，則，所以，的最大值是6.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是利用奇偶性求出及的表達式；二是利用區(qū)間上沒有最小值可求的不等關系.
10．（2024上·浙江金華·高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】構造函數(shù)，可得在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，再根據(jù)結合偶函數(shù)性質(zhì)判斷即可.
【詳解】設，則為偶函數(shù)，
設，則因為在上均為增函數(shù)，
故，故，
故在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù).
又，則，
即，當且僅當時取等號.
故，故.
故選：C
11．（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由周期公式求得，結合換元法即可求得最大值.
【詳解】由題意，解得，所以，
當時，，
所以在區(qū)間上的最大值為，當且僅當時等號成立.
故選：C.
12．（2024下·湖南·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)的單調(diào)性、對稱性求得的范圍以及的一個零點，根據(jù)以及圖象進行分類討論，由此求得的可能取值.
【詳解】因為在上單調(diào)，，
所以，
因為，所以，又，
如下圖依次討論對應為點四種情況，
若，則，滿足；
若，則，滿足；
由，若，則，滿足；
若，則，不滿足，其它情況均不符合.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)或，如果函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)，則這個區(qū)間的長度不大于半周期.形如的條件，可以考慮對稱性或周期性.形如的條件，可以考慮對稱性（零點）.
二、多選題
13．（2024上·福建·高一福建師大附中校考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A．
B．是圖象的一條對稱軸
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在區(qū)間上的最小值為
【答案】AB
【分析】利用函數(shù)的最小正周期為求出可判斷A；代入法可判斷B，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)的范圍求出的值域可判斷D.
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，
所以，可得，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，當時，，因為在單調(diào)遞減，故C錯誤；
對于D，當時，，所以，
可得，故D錯誤.
故選：AB.
14．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的值可能為（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】BC
【分析】首先求的范圍，再結合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由，得，
則，解得，選項中只有5和滿足.
故選：BC
15．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）設，已知在上有且僅有5個零點，則下列結論正確的是（ ）
A．在上有且僅有3個最大值點 B．在上有且僅有2個最小值點
C．在上單調(diào)遞增 D．的取值范圍是
【答案】ACD
【分析】將看成整體角，根據(jù)題意得，結合正弦函數(shù)的圖象觀察分析求得，且易得在上有且僅有3個最大值點，但最小值點個數(shù)不確定，最后由推得，根據(jù)求得的判斷的范圍能確保單調(diào)遞增即得.
【詳解】
設，由，可得，作出的圖象如圖，要使在上有且僅有5個零點，
須使，解得：，故D項正確；
對于A項，由圖可知時，，在此區(qū)間上函數(shù)有且僅有3個最大值點，故A項正確；
對于B項，由圖可知時，，在此區(qū)間上，函數(shù)的最小值點可能有2個或3個,故B項錯誤；
對于C項，當時，，由上分析知，則，即，
而此時單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C項正確.
故選：ACD.
16．（2024上·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）設函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．的一個零點為 B．的圖象關于直線對稱
C．是周期函數(shù) D．方程有3個解
【答案】BCD
【分析】對A，代入判斷即可；對B，根據(jù)判斷即可；對C，根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷即可；對D，作圖分析與的圖象交點個數(shù)即可.
【詳解】對A，，故A錯誤；
對B，，，
故，故的圖象關于直線對稱，故B正確；
對C，設，則，故是周期函數(shù)，故C正確；
對D，作出與的圖象，
當時，，且，，
故在之間兩函數(shù)圖象有1個交點；
當時，，且，又，
故由圖可得在之間兩函數(shù)圖象有2個交點；
當時，，，兩函數(shù)圖象無交點；
綜上可得有3個解，故D正確.
故選：BCD
17．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．是周期函數(shù)
B．的最小值是
C．的圖象至少有一條對稱軸
D．在上單調(diào)遞增
【答案】BCD
【分析】由周期定義判斷A,整體和復合函數(shù)思想判斷BD,對稱性質(zhì)判斷C.
【詳解】若是周期函數(shù)，則存在非零常數(shù), 使得，
化簡得，則
或，可知均與x有關，故非零常數(shù)不存在，A錯誤；
令,則，故的最小值是，故B正確；
結合B選項，因為，故的對稱軸為，故C正確；
由B易知：在單調(diào)遞增，且，故單調(diào)遞增，
由復合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選:BCD
【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及應用，注意復合函數(shù)思想應用判斷BD.
三、填空題
18．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且，寫出滿足條件的的一個值 ．
【答案】（答案不唯一，滿足條件即可）
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求解即可.
【詳解】由函數(shù)且，
得，
所以或，
所以或，
所以滿足條件的可以是.
故答案為：.（答案不唯一，滿足條件即可）
19．（2022·全國·高三專題練習）在內(nèi)，不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，且，
所以在上，由，得；
而在上單調(diào)遞增，且，
所以在上，由，得；
綜上，，即.
故答案為：.
20．（2024上·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，結合題意分析可知在上單調(diào)遞增，結合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因為，，
令，由可知，可得，
又因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
可知在上單調(diào)遞增，
則，解得：，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
21．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在的圖象與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，在同一坐標系下畫出函數(shù)和函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合即可判斷兩函數(shù)有兩個不同的交點時實數(shù)的取值范圍.
【詳解】依題意，，
畫出函數(shù)的圖象，如圖：
由圖象知，當，即時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
22．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯(lián)考開學考試）若函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】依題意可得，令則，結合函數(shù)的值域，求出所對應的的值，再結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得.
【詳解】因為，，
令，則，因為，
當時，，此時；
令即，解得，
又，，
結合圖象可知：，所以的取值范圍為.
故答案為：
23．（2024下·河南·高三校聯(lián)考開學考試）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不相等的實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】借助余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可得.
【詳解】由函數(shù)的最大值為，最小值為，可得或，
由故有，解得．
故答案為：.
四、解答題
24．（2022下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求的最大值和取得最大值時相應的值．
【答案】(1)
(2)當時，函數(shù)取得最大值2
【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的最值，利用整體代換法求解；
【詳解】（1）由，
得．
的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2），
當，
即時，函數(shù)取得最大值2．
25．（2023下·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，結合三角函數(shù)的誘導公式和周期的計算公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，
可得，
函數(shù)的最小正周期為.
（2）解：由函數(shù)，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
26．（2024上·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)當時，求的最大值與最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值為，最小值為
【分析】（1）根據(jù)條件，代入函數(shù)中，利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結果；
（2）利用的單調(diào)減區(qū)間，整體代入即可求出結果；
（3）通過換元，利用的圖像，求出在區(qū)間上的最值，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，所以.
（2）由，得到，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）當，，令，則，
由的圖像知，
當時，最小為，當時，最大為，
所以的最大值為，最小值為.
27．（2022下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)圖象的對稱中心；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圖象的對稱中心求出圖象的對稱中心；
（2）將不等式化簡為，對分類討論求解不等式.
【詳解】（1）易知圖象的對稱中心為，
圖象的對稱中心為．
圖象的對稱中心為．
（2）不等式，即為．
，即．
當時，顯然有（不能同時取等號）恒成立；
當時，由三角函數(shù)的單調(diào)性知單調(diào)遞減，
又的解集是；
當時，顯然有無解；
當時，由三角函數(shù)的單調(diào)性知單調(diào)遞增，
又的解集是．
不等式的解集為．
28．（2024下·湖北十堰·高一校考開學考試）已知函數(shù).
(1)求當取得最大值時，的取值集合；
(2)完成下列表格并在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖象.
【答案】(1)
(2)圖象見解析
【分析】（1）利用余弦函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解即可.
（2）利用列表、描點法作出函數(shù)圖象.
【詳解】（1）由題意，當取得最大值時，有，，
所以，，所以的取值集合為.
（2）列表如下：
x 0
0 0 2
則函數(shù)在上的圖象，如圖：
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.5 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認識
3種常見考法歸類
課程標準 學習目標
借助單位圓，能畫出正弦、余弦函數(shù)的圖象，借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)． 三角函數(shù)的圖象是認識三角函數(shù)的窗口，通過本節(jié)課的學習要求會作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的同時，能認識圖象與三角函數(shù)的密切關系，并能解決與圖象有關的三角函數(shù)問題.
知識點01正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖象．
在函數(shù)y=sin x，的圖象上，起關鍵作用的點有以下五個：,如下表：
x 0
y=sin x 0 1 0 0
描出這五個點后,函數(shù)y=sin x，的圖象形狀就基本上確定了．因此，在精確度要求不高時，我們可以先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法稱為五點法作圖．
【即學即練1】用五點法作函數(shù)y＝2sin x－1的圖象時，首先應描出的五點的橫坐標可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【即學即練2】在[0,2π]內(nèi)，作出函數(shù)y＝3－sin x的圖象．
【即學即練3】試求關于x的不等式
知識點02正弦函數(shù)的性質(zhì)
定義域 R
值域 [－1，1]
周期性 最小正周期2π
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增， 在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞減
最大(小)值 當x＝2kπ＋，k∈Z時，最大值為1； 當x＝2kπ＋，k∈Z時，最小值為－1.
【即學即練4】若函數(shù)的定義域為（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
【即學即練5】函數(shù)在上是（ ）
A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減 D．先減后增
【即學即練6】已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，那么常數(shù)的取值范圍__________．
【即學即練7】已知函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
知識點03　余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R的圖象．
1．利用圖象變換作余弦函數(shù)的圖象
根據(jù)誘導公式，由，可知余弦函數(shù)的圖象可以通過將正弦曲線向左平移個單位長度而得到．如圖所示．類似地，我們把余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線（cosine curve）．
2．用五點法作余弦函數(shù)的圖象
與正弦函數(shù)的圖象一樣，在函數(shù)的圖象上，起關鍵作用的點有以下五個：
,如下表：
x 0
y=cos x 1 0 0 1
同樣，在精確度要求不高時，我們可以先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法也稱為五點法作圖．
【即學即練8】用“五點法”作函數(shù)y＝1－cos x，x∈[0，2π]的圖象時，應取的五個關鍵點分別是______________.
【即學即練9】【多選】函數(shù)y=1+cosx，的圖象與直線y=t（t為常數(shù)）的交點可能有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 E.4個
【即學即練10】已知函數(shù)，.
(1)用五點法畫函數(shù)在上的圖像；
(2)解不等式.
【即學即練11】已知集合，，則（ ）
A．
B．
C．
D．
知識點04　余弦函數(shù)的性質(zhì)．
函數(shù)性質(zhì) y＝cos x
定義域 R
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函數(shù)
單調(diào)性 當x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)時，函數(shù)是遞增的； 當x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)時，函數(shù)是遞減的
周期性 最小正周期是2π
最值 當x＝2kπ(k∈Z)時，y的最大值為1； 當x＝2kπ＋π(k∈Z)時，y的最小值為－1
對稱軸 x＝kπ(k∈Z)
對稱中心 (k∈Z)
【即學即練12】函數(shù)定義域為（　　）
A． B．
C． D．
【即學即練13】函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練14】函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）．
A． B． C． D．
【即學即練15】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
題型一：用五點法作正余弦函數(shù)的簡圖
例1.用“五點法”作函數(shù)在上的圖象時，應取的五個點依次為___________ ___________ ___________ ___________ ___________.
變式1.畫出函數(shù)y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的圖象．
變式2.已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
1、用五點法畫函數(shù)y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的簡圖的步驟：
(1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b
(2)描點：在平面直角坐標系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五個點．
(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來．
2、作形如y＝a cos x＋b，x∈[0，2π]的圖象的步驟
題型二：正余弦函數(shù)圖象的應用
例2.在內(nèi)，不等式的解集是（ ）
A．(0，π) B． C． D．
變式1.不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式2.使得正確的一個區(qū)間是（ ）A． B．
C． D．
例3.根據(jù)函數(shù)的圖像，可得方程的解為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
變式1.函數(shù)與圖像交點的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式2.方程log2x＝cosx的實根個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個
例4.若方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為___________.
變式1.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．
例5.函數(shù)的定義域是
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
1、利用正弦曲線求解sin x≥a(≤a)的步驟
(1)作出正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；(2)作直線y＝a與函數(shù)圖象相交；(3)在一個周期內(nèi)確定x的取值范圍；(4)根據(jù)正弦函數(shù)周期性確定最終范圍．
2、用余弦函數(shù)的圖象求角的范圍時，首先可以作出y＝cos x在一個周期內(nèi)的圖象，然后找出適合條件的角的范圍，最后依據(jù)周期性，寫出所有滿足條件的角的范圍．
題型三：正余弦函數(shù)的基本性質(zhì)
求周期
例6.下列函數(shù)，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1.設是定義域為R且最小正周期為的函數(shù)，且有，則（ ）
A． B．
C．0 D．1
變式2.若，是函數(shù)兩個相鄰的最值點，則等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
單調(diào)性的應用
例7.已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
變式1.已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
例8.下列關于函數(shù)，的單調(diào)性的敘述，正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
C．在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
D．在上單調(diào)遞增，在及上單調(diào)遞減
變式1.函數(shù)的嚴格減區(qū)間是 ．
例9.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，則的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
變式1.已知，記（）．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．3 B． C． D．
最大(小)值
例10.函數(shù)，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
變式1.函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
變式2.函數(shù)的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式3.已知函數(shù)在上的值域為，則m的取值范圍是______．
變式4.已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求此時x的值．
奇偶性
例11.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
變式1.函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)
變式2.已知，且，（ ）
A． B． C． D．
變式3.使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ＝（　　）
A． B． C． D．
變式4.已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
對稱性
例12.函數(shù)的圖像關于（ ）
A．點對稱 B．點對稱 C．直線對稱 D．直線對稱
變式1.函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
變式2.若函數(shù)，則下列結論不正確的是（ ）
A．的一個周期為
B．的圖象關于直線對稱
C．的一個零點為
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
變式3.若函數(shù)對任意實數(shù)都有，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．不能確定
【方法技巧與總結】
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期．
(2)比較大小：利用誘導公式轉化為自變量在同一單調(diào)區(qū)間上．
(3)求形如：y＝a sin x＋b的函數(shù)的最值或值域時，可利用正弦函數(shù)的有界性求解．
(4)判斷函數(shù)的奇偶性時，必須先檢查其定義域是否關于原點對稱．如果是，再驗證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，那么該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)．
一、單選題
1．（2022上·湖南長沙·高一周南中學校考期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·陜西西安·西安一中校考模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024下·湖南長沙·高三長沙一中校考開學考試）函數(shù)的圖象（ ）
A．關于軸對稱 B．關于原點對稱
C．關于直線對稱 D．關于直線對稱
4．（2023下·青海西寧·高一統(tǒng)考開學考試）函數(shù)的圖象關于原點對稱，則的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩條對稱軸，則的最小值為（ ）
A．6 B．
C． D．
6．（2024下·甘肅·高三武威第六中學校聯(lián)考開學考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·模擬預測）函數(shù)在的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（浙江省湖州市2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學試題）我們知道，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是．已知某音是由3個不同的純音合成，其函數(shù)為，則（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小正周期為 D．在上是增函數(shù)
9．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒有最小值，則的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
10．（2024上·浙江金華·高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．2
12．（2024下·湖南·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2024上·福建·高一福建師大附中校考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A．
B．是圖象的一條對稱軸
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在區(qū)間上的最小值為
14．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的值可能為（ ）
A．4 B．5 C． D．
15．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）設，已知在上有且僅有5個零點，則下列結論正確的是（ ）
A．在上有且僅有3個最大值點 B．在上有且僅有2個最小值點
C．在上單調(diào)遞增 D．的取值范圍是
16．（2024上·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）設函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．的一個零點為 B．的圖象關于直線對稱
C．是周期函數(shù) D．方程有3個解
17．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．是周期函數(shù)
B．的最小值是
C．的圖象至少有一條對稱軸
D．在上單調(diào)遞增
三、填空題
18．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且，寫出滿足條件的的一個值 ．
19．（2022·全國·高三專題練習）在內(nèi)，不等式的解集是 ．
20．（2024上·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
21．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在的圖象與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
22．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯(lián)考開學考試）若函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為 ．
23．（2024下·河南·高三校聯(lián)考開學考試）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不相等的實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題
24．（2022下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求的最大值和取得最大值時相應的值．
25．（2023下·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間
26．（2024上·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)當時，求的最大值與最小值．
27．（2022下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)圖象的對稱中心；
(2)若，求不等式的解集．
28．（2024下·湖北十堰·高一校考開學考試）已知函數(shù).
(1)求當取得最大值時，的取值集合；
(2)完成下列表格并在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖象.
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