資源簡介

1.4 正弦函數和余弦函數的概念及其性質
7種常見考法歸類
課程標準 學習目標
借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦)的定義，了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值．借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式． 通過本節課的學習，要求掌握三角函數的定義及會求任意角的三個三角函數值，并能準確判斷任意角的三角函數值的符號，能夠求三角函數的簡單性質及誘導公式的應用
知識點01任意角的正弦函數和余弦函數
1．給定任意角α，角α的終邊與單位圓的交點為P(u，v)，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的，則v＝sin a，u＝cos a．
2．利用角的終邊上任意一點的坐標定義正、余弦函數
如圖所示，在角α終邊上任取一點P(x，y)，設|OP|＝r，則sin α＝＝，cos α＝＝
．
【即學即練1】已知點是角α的終邊與單位圓的交點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據余弦函數的定義直接進行求解即可.
【解析】因為點是角α的終邊與單位圓的交點，
所以 ，
故選：B
【即學即練2】已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據三角函數的定義，可直接求解.
【詳解】
根據三角函數的定義，角的終邊經過點，，
所以.
故選：C
【即學即練3】若角的終邊經過點，則_______，______．
【答案】
【分析】
根據，得到，然后利用三角函數定義求解.
【詳解】
因為，
所以，
則．
答案：
【即學即練4】在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據三角函數定義求解即可.
【詳解】
角的終邊經過點，即，則.
故選：A.
【即學即練5】已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角函數的定義求解.
【詳解】
因為角的終邊過點，
所以，
所以，
故選：B
【即學即練6】若，且角的終邊經過點，則P點的橫坐標x是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數的定義列方程求解即可.
【解析】由三角函數的定義可得：
，
解得，
故選：A
知識點02　正弦函數、余弦函數的基本性質
1．定義域：R．
2．最大(小)值：當α＝2k+(k∈Z)時，正弦函數v＝sin α取得最大值1；
當α＝2k(k∈Z)時，正弦函數v＝sin α取得最小值1.
當α＝2k(k∈Z)時，余弦函數u＝cos α取得最大值1；當α＝(2k+1) (k∈Z)時，余弦函數取得最小值1．
3．值域：[1,1]．
4．周期性：對任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a ，α∈R；對任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝cos a，α∈R，最小正周期為2.
5．單調性：正弦函數在區間(k∈Z) 上單調遞增，在區間(k∈Z)上單調遞減．余弦函數在區間[2k] (k∈Z) 上單調遞增，在區間[] (k∈Z)上單調遞減．
【即學即練7】求使下列函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并分別寫出最大值、最小值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】（1）（2）根據正弦函數的性質計算可得；
（3）（4）根據余弦函數的性質計算可得.
【詳解】（1）因為，
當，即，時，函數取得最小值，
當，即，時，函數取得最大值，
即函數取得最大值的的集合為，
函數取得最小值的的集合為；
（2）因為，
當，即，時，函數取得最小值，
當，即，時，函數取得最大值，
即函數取得最大值的的集合為，
函數取得最小值的的集合為；
（3）因為，
當，即，時，函數取得最大值，
當，即，時，函數取得最小值，
即函數取得最小值的的集合為，
函數取得最大值的的集合為；
（4）因為，
當，即，時，函數取得最小值，
當，即，時，函數取得最大值，
即函數取得最小值的的集合為，
函數取得最大值的的集合為；
【即學即練8】已知函數的最小值為，最大值為2，求、的值.
【答案】.
【分析】根據正弦函數的性質求解.
【詳解】由題意得，解得.
知識點03　正弦函數值和余弦函數值的符號
注：對三角函數值符號的理解
三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內坐標符號導出的．從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．根據三角函數定義知：
(1)正弦值符號取決于縱坐標y的符號；
(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號．
【即學即練9】若，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根據三角函數在各個象限的正負性求解即可.
【解析】因為，所以在第三象限或第四象限，或終邊為y軸非正半軸，
因為，所以在第二象限或第三象限，或終邊為y軸非正半軸，
所以是第三象限角.
故選：C
【即學即練10】已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．
∴∴－2【即學即練11】“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】
利用充分條件和必要條件的定義，結合象限角的正弦、余弦的正負情況進行判斷即可.
【詳解】
角是第一象限角時，，則；若角是第三象限角，，則.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分條件.
若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要條件.
綜上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要條件.
故選:C.
知識點04 誘導公式
1.特殊角的終邊的對稱關系
（1）角－α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱．
（2）角α±π的終邊與角α的終邊關于原點對稱．
（3）角π－α的終邊與角α的終邊關于y軸對稱．
2.?。?、α±π、π－α的誘導公式
－α：sin (－α)＝－sinα
cos (－α)＝cos α
α＋π：sin (α＋π)＝－sin α
cos (α＋π)＝－cos α
α－π：sin (α－π)＝－sin α
cos (α－π)＝－cos α
π－α：sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
注：①記憶方法：－α、α±π、π－α的三角函數值等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，概括為“函數名不變，符號看象限”．
②解釋：“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設α是銳角，要看原函數名在本公式中角的終邊所在象限是取正值還是負值，如sin(π＋α)，若α看成銳角，則π＋α的終邊在第三象限，正弦在第三象限取負值，故sin (π＋α)＝－sin α.
3.±α與α的誘導公式
sin ＝cos a，cos ＝sin a．
sin ＝cos a，cos ＝-sin a．
注：(1)記憶口訣：“函數名改變，符號看象限”．
(2)誘導公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握，靈活變通．
(3)這八組誘導公式可歸納為“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函數值與α的三角函數值之間的關系．當k為偶數時得角α的同名三角函數值，當k為奇數時得角α的異名三角函數值，然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數值的符號，可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”．
【即學即練12】已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函數誘導公式即可求得的值.
【解析】
故選：C
【即學即練13】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，然后利用誘導公式計算即可.
【解析】因為，
所以，
所以
，
故選：D.
【即學即練14】化簡的結果是________.
【答案】0
【分析】
利用誘導公式和輔助角公式化簡即可求值.
【詳解】
故答案為：0
【點睛】
本題主要考查三角函數的誘導公式和輔助角公式，屬于中檔題.
題型一：已知角求三角函數值
例1.點P從點出發，繞以坐標原點為圓心的單位圓順時針旋轉到達點Q，則點Q的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得為終邊的一個角為， 設，根據三角函數的定義可求出結果.
【解析】根據題意得為終邊的一個角為， 設，
根據三角函數的定義可得，，則，，
所以.
故選：C
【方法技巧與總結】
作出角α的終邊與單位圓相交，求出交點坐標，利用正、余弦函數的定義求解．
題型二：已知角α終邊上一點求三角函數值
例2.已知角的終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意結合任意角三角函數的定義可求出，然后代入求解即可.
【解析】因為角的終邊與單位圓的交點為，
所以，所以.
故選：C
變式1.在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角函數的定義可求得的值.
【詳解】
由三角函數的定義可得.
故選：B.
變式2.已知角α的終邊經過點（–8，–6），則cos α的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題設知x=–8，y=–6，所以r=，所以cos α=，故選C.
【名師點睛】利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值時，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意“在終邊上任取一點”應分兩種情況（點所在象限不同）進行分析．
變式3.角的終邊落在射線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
可在角終邊上取一點，由正弦函數定義得出結論．
【詳解】
由題意在終邊上取點，則，
所以．
故選：A．
變式4. 是第二象限角，其終邊上一點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據三角函數的定義求出的值，再利用三角函數的定義可求得的值.
【詳解】
由題意可知，，解得，
因此，.
故選：A.
變式5.已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，且cos θ＝－，若點M(x，8)是角θ終邊上一點，則x等于（ ）
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
【答案】D
【分析】
直接利用三角函數的定義的應用求出x的值．
【詳解】
角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，且，
若點M（x，8）是角θ終邊上一點，
則：x＜0，利用三角函數的定義：，
解得：x=-6．
故選：D．
【方法技巧與總結】
已知α終邊上任意一點的坐標求三角函數值的方法
(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數的定義求出相應三角函數值．
(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sin α＝，cos α＝. 已知α的終邊求α的三角函數值時，用這幾個公式更方便．
(3)當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論．
題型三：正弦函數、余弦函數基本性質的應用
例3.下列函數哪些是奇函數？哪些是偶函數？哪些既不是奇函數也不是偶函數？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)既不是奇函數，又不是偶函數
(2)奇函數
(3)偶函數
(4)偶函數
【分析】先看定義域是否關于原點對稱，再利用奇函數和偶函數的定義進行判斷.
【詳解】（1）定義域為R，
又，且，
故既不是奇函數，又不是偶函數；
（2）的定義域為R，
又，故為奇函數；
（3）定義域為R，
且，故為偶函數；
（4）定義域為R，
且，故為偶函數.
變式1.求下列函數的最小值及取得最小值時自變量x的集合：
（1）；
（2）.
【答案】（1）最小值為，自變量x的集合為；（2）最小值為1，自變量x的集合為.
【分析】根據正、余弦函數的圖象與性質即可求解；
【詳解】解：（1）因為，
所以當時，函數取得最小值為，此時自變量x的集合為；
（2）因為，
所以當時，函數取得最小值為1，此時自變量x的集合為，即.
變式2.求下列函數的單調區間：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】根據正弦與余弦函數的單調區間逐個分析即可.
【詳解】（1）單調性與相同，故其單調增區間為，單調減區間為.
（2）單調性與相反，故其單調增區間為，單調減區間為.
（3）單調性與相同，故其單調增區間為，單調減區間為.
（4）單調性與相反，故其單調增區間為，單調減區間為.
變式3.已知函數的最大值是0，最小值是，求的值．
【答案】或．
【分析】分和兩種情況列方程組求解即可
【詳解】當時，
解得
當時，
解得
所以或．
變式4.已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)當x[0,2π]時，求函數的最大值及取得最大值時的值.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】(1)根據正弦型函數的周期的性質即可求解；
(2)根據正弦函數的圖像性質即可求f(x)在[0,2π]上的最大值.
【詳解】（1）；
（2）由圖象可知，當x[0，2π]時，
在時，.
變式5.比較下列各組數的大?。?br/>(1)，；
(2)，.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用誘導公式得，，由函數在上的單調性，比較余弦值的大小；
（2）由誘導公式得，利用函數在上的單調性，比較正弦值的大小.
【詳解】（1），，
因為，而在上單調遞減，
所以，即.
（2）因為，而且在上單調遞增，
所以，即.
【方法技巧與總結】
對于形如y＝a sin x＋b的函數性質的研究可借助y＝sin x的性質．要清楚a，b對函數y＝a sin x＋b的影響，若參數不確定還要注意分類討論．
題型四：正、余弦函數值的符號判斷及應用
例4.已知且，則角的終邊所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】依據題設及三角函數的定義，可知角終邊上的點的橫坐標小于零，縱坐標大于零，
所以終邊在第二象限，故選B．
變式1.若為第三象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據為第三象限角，得出的范圍，從而求出的范圍，再根據各象限角的三角函數值的符號即可得出答案.
【詳解】
解：因為為第三象限角，則，
所以，
則為第一、第二象限以及y軸正半軸角，則.
故選：D.
變式2.已知角在第二象限，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據三角函數在第二象限的符號，即可得出答案.
【解析】因為角在第二象限，所以有，.
故選：B.
變式3.已知，則點在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】首先判斷位于第四象限，再根據各象限三角函數的符號特征判斷即可.
【解析】因為，所以為第四象限角，
所以，，
所以點位于第四象限；
故選：D
【方法技巧與總結】
一個角的正、余弦函數值的符號取決于這個角的終邊所在的象限，可用口訣簡記為“一全正，三全負，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全為正值，第三象限角的正、余弦值全為負值，第二象限角的正弦值為正，第四象限角的余弦值為正．
題型五：利用誘導公式求值
給角求值
例5.sin585°的值為（ ）
A．－ B．
C．－ D．
【答案】A
【解析】sin585°=sin（360°+180°+45°）=sin（180°+45°）=－sin45°=－．故選A．
【名師點睛】①三角式的化簡通常先用誘導公式，將角度統一后再用同角三角函數關系式，這可以避免交錯使用公式時導致的混亂．②在運用公式時正確判斷符號至關重要．③三角函數的化簡、求值是三角函數中的基本問題，也是高考?？嫉膯栴}，要予以重視．
變式1.若，則的值為（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【分析】
利用誘導公式得到，再根據余弦函數計算可得；
【詳解】，，，或，
，或.故選：A．
給值求值
例6.已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據誘導公式可求出結果.
【解析】 .
故選：A
變式1.已知，，則=______.
【答案】
【分析】根據三角函數的誘導公式和特殊角的三角函數值即可計算.
【解析】，，，
又，，
.
故答案為：.
變式2.已知，則（ ）
A．± B． C． D．
【答案】D
【分析】由利用誘導公式計算可得.
【解析】因為，所以.
故選：D
變式3.已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以．選B．
變式4.已知，則（ ）
A．a B．-a
C． D．不確定
【答案】B
【分析】
用誘導公式求解即可.
【詳解】
因為，
所以
故選：B
變式5.設，其中a、b、α、β為非零常數．若，則 ________.
【答案】3
【分析】
由結合誘導公式，可得1，可得答案.
【詳解】
由，有
=
=.
即.
又
=+2=3.
故答案為：3.
【點睛】
本題考查利用誘導公式進行化簡求值，整體代換的方法，屬于中檔題.
【方法技巧與總結】
1、利用誘導公式解決給角求值問題的方法
(1)“負化正”，用－α的誘導公式；
(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的誘導公式將角化為0到2π間的角；
(3)“小化銳”用π±α的誘導公式將大于的角轉化為銳角；
(4)“銳角求值”．
2、解決條件求值問題的方法
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
題型六：利用誘導公式化簡
例7.已知，則＝（ ）
A．-7 B． C． D．5
【答案】D
【分析】
先通過誘導公式對等式進行化簡，進而弦化切求出正切值，然后對所求式子進行弦化切，最后得到答案.
【詳解】
由題意，，
則.
故選：D.
變式1.化簡__．
【答案】
【分析】依據誘導公式對原式進行化簡計算.
【解析】．
故答案為：.
變式2.已知的終邊上有一點，則的值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根據三角函數的定義及誘導公式化簡求值即可.
【解析】因為的終邊上有一點，
所以，
所以，
故選：C
【方法技巧與總結】
(1)三角函數式化簡的關鍵是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α這幾組的誘導公式，它們的特點都是同名間的關系，不同的是符號的變化．
(2)對于π±α和±α這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變名，而運用后一套公式必須變名．
題型七：誘導公式的綜合應用
例8.已知．
（1）化簡；
（2）若為第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根據誘導公式化簡即可；
（2）由誘導公式得，再代入（1）即可得答案；
（3）代入（1），利用誘導公式化簡求值即可.
【詳解】
（1）．
（2）因為，
所以．
（3）因為，，
所以
．
變式1.已知.
（1）化簡；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用誘導公式化簡；
（2）結合同角三角函數的基本關系式求得所求表達式的值.
【詳解】
（1）
（2），
兩邊平方并化簡得，
.
【點睛】
本小題主要考查誘導公式、同角三角函數的基本關系式，屬于中檔題.
一、單選題
1．（2024·全國·高三專題練習）的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據誘導公式，以及特殊角的三角函數值，即可得答案.
【詳解】，
故選：D
2．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學校聯考開學考試）“”是“是第一象限角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據象限角、充分和必要條件等知識確定正確答案.
【詳解】，
是第一象限角，
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分條件.
故選：B
3．（2024上·湖北·高一校聯考期末）若是第四象限角，則點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據的符號確定正確答案.
【詳解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故選：B
4．（2024上·江蘇南通·高一統考期末）若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函數定義可得、，即可得解.
【詳解】由角的終邊經過點，故，
，
故.
故選：C.
5．（2024上·山西呂梁·高一統考期末）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角函數的定義可得，進而由誘導公式即可求解.
【詳解】根據題意，由三角函數的單位圓定義得：，
，
故選：D．
6．（2024上·安徽六安·高一六安二中?？计谀┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第4次相遇時，點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】計算相遇時間，再確定轉過的角度，結合三角函數的定義即可求解.
【詳解】相遇時間為秒，
故轉過的角度為，
其對應的坐標為，即.
故選：C
7．（2024·全國·高三專題練習）若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用誘導公式及特殊角的三角函數值計算即得.
【詳解】由，得.
故選：C
8．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用誘導公式求解即可.
【詳解】.
故選：C
9．（2024上·河南·高三專題練習）若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據誘導公式即可求解.
【詳解】因為，.
故選:C.
10．（2024上·湖北武漢·高一校聯考期末）若角的終邊經過函數（且）的圖象上的定點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先得，進一步結合三角函數定義即可求解.
【詳解】由題意令，得，而此時，
所以，角的終邊經過定點，
所以，
所以.
故選：C.
二、多選題
11．（2024上·四川德陽·高一統考期末）若，則可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據選項逐個求解正弦值即可判斷.
【詳解】對于A，，符合題意；對于B，，不合題意；
對于C，，不合題意；對于D，，符合題意；
故選：AD
12．（2024上·河南開封·高一統考期末）下列與的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】借助誘導公式逐個計算即可得.
【詳解】，故A正確；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確；
故選：AD.
13．（2024上·河北張家口·高一統考期末）已知，則在直角坐標系中角的終邊可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD
【分析】由同角三角函數的平方關系得，可得，由此得到角的終邊可能所在的象限.
【詳解】由，
得.
故，所以角可能在第二或第四象限.
故選：BD.
三、填空題
14．（2024上·吉林延邊·高一統考期末）若，則 .
【答案】/
【分析】利用換元法，結合三角函數的誘導公式化簡求值即可得解.
【詳解】因為，
令，則，，
所以.
故答案為：.
15．（2024上·全國·高一專題練習）設，均為實數，若，則的值為 ．
【答案】6
【分析】代入，結合誘導公式得到，從而得到.
【詳解】因為，
所以，解得，
又
所以.
故答案為：6
16．（2024下·上?！じ咭患倨谧鳂I）化簡： .
【答案】
【分析】根據誘導公式化簡求值.
【詳解】原式=.
故答案為：
17．（2024上·全國·高一專題練習）設，求的值為 .
【答案】/0.5
【分析】利用誘導公式化簡，然后代入求值即可.
【詳解】因為.
，
所以.
故答案為：.
四、解答題
18．（2024上·河南鄭州·高一統考期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】根據誘導公式將條件式化簡得代入求解的式子得解.
【詳解】由誘導公式可得，，
則．
19．（2024上·山東濱州·高一統考期末）在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函數的定義可求得、的值，即可得出的值；
（2）由三角函數的定義求出的值，利用誘導公式結合弦化切可求得所求代數式的值.
【詳解】（1）解：設點與原點的距離為，則.
所以，，，
所以，.
（2）解：由條件得.
則
.
20．（2024下·上?！じ咭患倨谧鳂I）如圖，已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至. 求點的坐標.
【答案】
【分析】利用任意角三角函數的定義結合誘導公式處理即可.
【詳解】如圖，由，在單位圓中滿足，.
這樣對點，有，
.
所以，點的坐標為.
21．（2024上·湖南張家界·高一統考期末）如圖，已知單位圓O與x軸正半軸交于點M，點A，B在單位圓上，其中點A在第一象限，且，記，.
(1)若，求點的坐標；
(2)若點A的坐標為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）應用三角函數定義，求角的余弦與正弦值，可得單位圓與終邊交點的坐標；
（2）先由點在單位圓上求得，再利用三角函數定義與誘導公式求解.
【詳解】（1）∵，
∴，，故點坐標為.
（2）∵點在單位圓上，得，
又∵點位于第一象限，，則，
∴點A的坐標為，即，，
∴，
∴.
22．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知角的終邊經過點，求：
(1)的值
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據三角函數的定義求得，從而求得正確答案.
（2）利用誘導公式求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，角的終邊經過點，
所以，
所以.
（2）
.
23．（2024上·山東淄博·高一統考期末）已知角的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過定點．
(1)求、的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由求出點的值，結合三角函數定義可得；
（2）利用誘導公式化簡可得.
【詳解】（1）由題意知，因角的終邊與軸的正半軸重合，且終邊過點，
則點到原點的距離，
則，
；
（2）
.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.4 正弦函數和余弦函數的概念及其性質
7種常見考法歸類
課程標準 學習目標
借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦)的定義，了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值．借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式． 通過本節課的學習，要求掌握三角函數的定義及會求任意角的三個三角函數值，并能準確判斷任意角的三角函數值的符號，能夠求三角函數的簡單性質及誘導公式的應用
知識點01任意角的正弦函數和余弦函數
1．給定任意角α，角α的終邊與單位圓的交點為P(u，v)，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的，則v＝sin a，u＝cos a．
2．利用角的終邊上任意一點的坐標定義正、余弦函數
如圖所示，在角α終邊上任取一點P(x，y)，設|OP|＝r，則sin α＝＝，cos α＝＝
．
【即學即練1】已知點是角α的終邊與單位圓的交點，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練3】若角的終邊經過點，則_______，______．
【即學即練4】在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練5】已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練6】若，且角的終邊經過點，則P點的橫坐標x是（ ）
A． B． C． D．
知識點02　正弦函數、余弦函數的基本性質
1．定義域：R．
2．最大(小)值：當α＝2k+(k∈Z)時，正弦函數v＝sin α取得最大值1；
當α＝2k(k∈Z)時，正弦函數v＝sin α取得最小值1.
當α＝2k(k∈Z)時，余弦函數u＝cos α取得最大值1；當α＝(2k+1) (k∈Z)時，余弦函數取得最小值1．
3．值域：[1,1]．
4．周期性：對任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a ，α∈R；對任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝cos a，α∈R，最小正周期為2.
5．單調性：正弦函數在區間(k∈Z) 上單調遞增，在區間(k∈Z)上單調遞減．余弦函數在區間[2k] (k∈Z) 上單調遞增，在區間[] (k∈Z)上單調遞減．
【即學即練7】求使下列函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并分別寫出最大值、最小值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即學即練8】已知函數的最小值為，最大值為2，求、的值.
知識點03　正弦函數值和余弦函數值的符號
注：對三角函數值符號的理解
三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內坐標符號導出的．從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．根據三角函數定義知：
(1)正弦值符號取決于縱坐標y的符號；
(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號．
【即學即練9】若，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【即學即練10】已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【即學即練11】“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
知識點04 誘導公式
1.特殊角的終邊的對稱關系
（1）角－α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱．
（2）角α±π的終邊與角α的終邊關于原點對稱．
（3）角π－α的終邊與角α的終邊關于y軸對稱．
2.?。?、α±π、π－α的誘導公式
－α：sin (－α)＝－sinα
cos (－α)＝cos α
α＋π：sin (α＋π)＝－sin α
cos (α＋π)＝－cos α
α－π：sin (α－π)＝－sin α
cos (α－π)＝－cos α
π－α：sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
注：①記憶方法：－α、α±π、π－α的三角函數值等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，概括為“函數名不變，符號看象限”．
②解釋：“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設α是銳角，要看原函數名在本公式中角的終邊所在象限是取正值還是負值，如sin(π＋α)，若α看成銳角，則π＋α的終邊在第三象限，正弦在第三象限取負值，故sin (π＋α)＝－sin α.
3.±α與α的誘導公式
sin ＝cos a，cos ＝sin a．
sin ＝cos a，cos ＝-sin a．
注：(1)記憶口訣：“函數名改變，符號看象限”．
(2)誘導公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握，靈活變通．
(3)這八組誘導公式可歸納為“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函數值與α的三角函數值之間的關系．當k為偶數時得角α的同名三角函數值，當k為奇數時得角α的異名三角函數值，然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數值的符號，可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”．
【即學即練12】已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
【即學即練13】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練14】化簡的結果是________.
題型一：已知角求三角函數值
例1.點P從點出發，繞以坐標原點為圓心的單位圓順時針旋轉到達點Q，則點Q的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
作出角α的終邊與單位圓相交，求出交點坐標，利用正、余弦函數的定義求解．
題型二：已知角α終邊上一點求三角函數值
例2.已知角的終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
變式1.在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
變式2.已知角α的終邊經過點（–8，–6），則cos α的值為（ ）
A． B．
C． D．
變式3.角的終邊落在射線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式4. 是第二象限角，其終邊上一點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式5.已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，且cos θ＝－，若點M(x，8)是角θ終邊上一點，則x等于（ ）
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
【方法技巧與總結】
已知α終邊上任意一點的坐標求三角函數值的方法
(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數的定義求出相應三角函數值．
(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sin α＝，cos α＝. 已知α的終邊求α的三角函數值時，用這幾個公式更方便．
(3)當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論．
題型三：正弦函數、余弦函數基本性質的應用
例3.下列函數哪些是奇函數？哪些是偶函數？哪些既不是奇函數也不是偶函數？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式1.求下列函數的最小值及取得最小值時自變量x的集合：
（1）；
（2）.
變式2.求下列函數的單調區間：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式3.已知函數的最大值是0，最小值是，求的值．
變式4.已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)當x[0,2π]時，求函數的最大值及取得最大值時的值.
變式5.比較下列各組數的大小：
(1)，；
(2)，.
【方法技巧與總結】
對于形如y＝a sin x＋b的函數性質的研究可借助y＝sin x的性質．要清楚a，b對函數y＝a sin x＋b的影響，若參數不確定還要注意分類討論．
題型四：正、余弦函數值的符號判斷及應用
例4.已知且，則角的終邊所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
變式1.若為第三象限角，則（ ）
A． B． C． D．
變式2.已知角在第二象限，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式3.已知，則點在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【方法技巧與總結】
一個角的正、余弦函數值的符號取決于這個角的終邊所在的象限，可用口訣簡記為“一全正，三全負，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全為正值，第三象限角的正、余弦值全為負值，第二象限角的正弦值為正，第四象限角的余弦值為正．
題型五：利用誘導公式求值
給角求值
例5.sin585°的值為（ ）
A．－ B．
C．－ D．
變式1.若，則的值為（ ）
A．或 B．
C． D．或
給值求值
例6.已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式1.已知，，則=______.
變式2.已知，則（ ）
A．± B． C． D．
變式3.已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式4.已知，則（ ）
A．a B．-a
C． D．不確定
變式5.設，其中a、b、α、β為非零常數．若，則 ________.
【方法技巧與總結】
1、利用誘導公式解決給角求值問題的方法
(1)“負化正”，用－α的誘導公式；
(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的誘導公式將角化為0到2π間的角；
(3)“小化銳”用π±α的誘導公式將大于的角轉化為銳角；
(4)“銳角求值”．
2、解決條件求值問題的方法
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
題型六：利用誘導公式化簡
例7.已知，則＝（ ）
A．-7 B． C． D．5
變式1.化簡__．
變式2.已知的終邊上有一點，則的值為（ ）
A． B． C． D．4
【方法技巧與總結】
(1)三角函數式化簡的關鍵是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α這幾組的誘導公式，它們的特點都是同名間的關系，不同的是符號的變化．
(2)對于π±α和±α這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變名，而運用后一套公式必須變名．
題型七：誘導公式的綜合應用
例8.已知．
（1）化簡；
（2）若為第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
變式1.已知.
（1）化簡；
（2）若，求的值.
一、單選題
1．（2024·全國·高三專題練習）的值（ ）
A． B． C． D．
2．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學校聯考開學考試）“”是“是第一象限角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·湖北·高一校聯考期末）若是第四象限角，則點在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024上·江蘇南通·高一統考期末）若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山西呂梁·高一統考期末）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·安徽六安·高一六安二中?？计谀┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第4次相遇時，點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全國·高三專題練習）若，則（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·河南·高三專題練習）若，則（　　）
A． B． C． D．
10．（2024上·湖北武漢·高一校聯考期末）若角的終邊經過函數（且）的圖象上的定點，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
11．（2024上·四川德陽·高一統考期末）若，則可以為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024上·河南開封·高一統考期末）下列與的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024上·河北張家口·高一統考期末）已知，則在直角坐標系中角的終邊可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、填空題
14．（2024上·吉林延邊·高一統考期末）若，則 .
15．（2024上·全國·高一專題練習）設，均為實數，若，則的值為 ．
16．（2024下·上?！じ咭患倨谧鳂I）化簡： .
17．（2024上·全國·高一專題練習）設，求的值為 .
四、解答題
18．（2024上·河南鄭州·高一統考期末）已知，求的值．
19．（2024上·山東濱州·高一統考期末）在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．（2024下·上海·高一假期作業）如圖，已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至. 求點的坐標.
21．（2024上·湖南張家界·高一統考期末）如圖，已知單位圓O與x軸正半軸交于點M，點A，B在單位圓上，其中點A在第一象限，且，記，.
(1)若，求點的坐標；
(2)若點A的坐標為，求的值.
22．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知角的終邊經過點，求：
(1)的值
(2)求的值.
23．（2024上·山東淄博·高一統考期末）已知角的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過定點．
(1)求、的值；
(2)求的值．
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