資源簡介

利用勾股定理解決折疊問題
教學目標
理解折疊問題的實質，掌握解題步驟，明確解決問題的突破口.
能正確利用勾股定理解決折疊問題，進行直角三角形有關的計算.
經歷觀察、比較，發現折疊的過程，在討論類比中探索勾股定理解決折疊問題的方法.
通過用代數式表示數量關系，用方程解決問題，體會數形結合思想，培養合情推理能力，激發學生的求知欲望，體會數學來源于生活又服務于生活.
學情分析
學生已經學習了圖形的變換和勾股定理的相關知識，可以直接利用勾股定理求直角三角形的線段長度。會解一元一次方程，具有初步探究意識，小組合作能力，但是書寫步驟規范性有待提高.
教學重點：探究折疊前后圖形的變化特點和規律；利用勾股定理解決折疊問題，啟發學生歸納、綜合應用.
教學難點：學生能夠熟練將方程思想和勾股定理結合，準確解決應用問題，規范書寫格式，從中總結此類問題的解題技巧.
教學過程設計
知識鏈接
復習相關知識，通過小游戲進行“熱身”.
鏈接1：勾股定理
鏈接2：圖形的變化——折疊
設計意圖：借助多媒體，結合之前所學知識進行課堂熱身小游戲，引起學生注意，激發學生的興趣.
探索新知
1. 三角形中的折疊
例1：一張直角三角形△ABC的紙片，如圖1所示折疊，使兩個銳角的頂點A、B重合。若BC=3，AC=，求DC的長。
解：由折疊可知，△DEA≌△DEB
∴DA＝DB
∵BC=3，設DC=x
∴DB=BC-DC=3-x
∴DA=3-x
∵∠C=90°
∴在Rt△ACD中，DC2+AC2=DA2
即x2+（）2=（3-x）2
解得x=1
∴DC=1
變式1：如圖，有一塊直角三角形的紙片,∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，求DC的長。
【歸納】
1、標已知，標問題
2、利用折疊，找全等
3、轉化到直角三角形，標出三條邊
4、利用勾股定理，列方程，解方程。
2. 長方形中的折疊
例2：如圖2所示，將長方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的F處。已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的長。
【分析】根據折疊得到相等關系，明確EC在Rt△EFC中，表示出其三邊，根據勾股定理列出方程。
解：由折疊可知，△AEF≌△ADE
∴AF=AD=10cm，EF=ED
∵四邊形ABCD，AB=8cm
∴DC=AB=8cm，BC=AD=10cm，∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABF，
∴CF= BC-BF=4cm
設EC=xcm，則EF=ED=（8-x）cm
∴在Rt△CEF中，EC2+ CF2=EF2
即x2+42=（8-x）2
解得 x=3
∴EC=3
變式2：如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8，AD=6。將矩形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到E，AE與CD相交于點F，求CF的長。
變式3：如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=9。將矩形ABCD折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，求△ABE的面積。
設計意圖：通過典型例題講解，讓學生觀察總結方法，使學生真正體會到做課堂的主人，培養他們的分析能力.
課堂檢測
1、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，在BC上找一點F，沿DF折疊矩形ABCD，使C點落在對角線BD上的點E處，此時折痕DF的長是多少？
2、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，現將A、C重合，再將紙片折疊壓平。
（1）找出圖中的一對全等三角形，并證明；
（2）△AEF是何種形狀的三角形？說明你的理由；
（3）求AE的長。
（4）試確定重疊部分△AEF的面積。
設計意圖：學以致用，當堂檢測及時獲知學生對所學知識的掌握情況，并最大限度地調動全體學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.
課堂小結
本節課學習了什么？有哪些收獲？
一般解題步驟：
標
找
轉
列
設計意圖：培養學生歸納和語言表達能力，從而使學生的知識和方法更加系統，
同時也是情感升華的過程.

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