資源簡介

3.2.1單調性與最大(小)值
【教學目標】
1.借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性，理解增函數、減函數、單調區間、單調性概念；
2.會用定義法簡單證明函數的單調性；
3.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；
4.在探究抽象函數單調性的過程中感悟數學概念的抽象過程及符號表示的作用。
【教學重難點】
1.教學重點：解函數的單調性
2.教學難點:增（減）函數的定義、利用增（減）函數的定義判斷函數單調性。
【教學過程】
一、引入
[問]:上述圖像反映了相應函數有什么變化規律，隨x的增大，y的值有什么變化
二、 新授（研究性質，給出定義）
[問]：如何利用函數解析式描述“隨著的增大，相應的隨著增大？”
[問]：你能類似地描述在區間上是減函數嗎？
(利用信息技術展示，說明二次函數的單調性。)
[思考]：函數，各有怎樣的單調性 ？
給出單調性的定義：
一般地，設函數的定義域為D，區間 I D
如果 I ,當< 時，都有 ,那么就稱函數f(x)在區間I上單調遞增。特別地，若函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它為增函數.
如果 I ,當<時，都有 ,那么就稱函數f(x)在區間I上單調遞減。特別地，若函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它為減函數.
三、證明（利用定義，證明性質）
[例]根據定義證明函數是減函數.
[總結方法]：用定義證明函數的單調性的步驟:
1.取數:任取D，且< ；
2.作差:；
3.變形:通常是因式分解和配方；
4.定號:判斷差的正負；
5.結論:指出函數在給定的區間D上的單調性.
[例] 根據定義，研究函數 的單調性。
[練]求證:函數=+ 在區間(0 ,1)內為減函數.
作差變形的常用技巧:
(1)因式分解.當原函數是多項式函數時,作差后的變形通常進行因式分解.
(2)通分.當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.
(3)配方.當所得的差式是含有的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.
(4)分子有理化.當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化.
[練]求證：數＝在(0，＋∞)上是減函數，在(－∞，0)上是增函數．
四、確定單調區間（利用圖像，找單調區間）
[例]:求下列函數的單調區間,并指出其在單調區間上是增函數還是減函數:
(1); (2).
[練]已知,函數,試畫出的圖象,并結合圖象寫出函數的單調區間.
一次、二次函數及反比例函數的單調性:
(1)一次函數的單調性由系數決定：當時,該函數在R上是增函數；當時,該函數在R上是減函數.
(2)二次函數的單調性以對稱軸= - 為分界線.
(3)反比例函數的單調性.
習題
已知函數在區間上是減函數,試比較與 的大小.
1．下列函數在區間上不是增函數的是(　　)
A． B．
C． D．
2．函數＝的單調減區間是(　　)
A． B．
C． D．
3．若函數在上的最大值與最小值的差為2，則實數a的值是(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
4．函數，x∈的值域為(　　)
A． B．
C． D．
5．已知函數.
(1)畫出函數的圖象；
(2)根據圖象求函數在區間上的最大值．
六、小結
1.單調區間、增函數、減函數的定義；
2.利用定義證明函數單調性的步驟；
七、作業
書本課后習題及《優化設計》相關練習

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