資源簡介

勾股定理 教學設計
【課型】 新授課
【課標要求】
勾股定理是義務教育數學課程標準中“圖形與幾何”領域----“圖形的性質”主題----“三角形”模塊中的一個單元，為了達成課程階段性學習所要發展的核心素養，本單元課程標準的內容要求為：探索勾股定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。
課標中學業要求為：在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上，經歷得到和驗證數學結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯，形成幾何直觀和推理能力。課標中學業質量標準為：經歷探索直角三角形特征的過程， 建立直角三角形三邊平方之間的數量關系，通過對等腰直角三角形、一般的特殊直角三角形、一般的不特殊直角三角形直觀操作，理解直角三角形三邊關系與勾股定理，并能運用勾股定理及其逆定理解決一些簡單的實際問題，發展幾何直觀和推理能力。
勾股定理是平面幾何有關度量的最基本的定理，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征。在中學數學體系中，勾股定理承前啟后，它承接著數式運算、圖形變換、無理數、三角函數以及高中的正余弦定理，是搭建代數與幾何的橋梁。
勾股定理作為不同學科融合的中心基點，與歷史、美術、語文三門學科相互融合。橫觀歷史長河，勾股定理內涵豐富，可以引發學生對數學歷史文化的思考。本節課將經歷勾股定理的發現、推演和實際應用的過程，課堂上滲透數形結合、特殊到一般、轉化等數學思想方法。通過提升學生的數學抽象、邏輯推理、空間觀念等核心素養，發揮課程的育人價值。
【學習目標】
1.體驗直角三角形三邊關系的探究過程，能準確說出勾股定理的內容。
2.直到直角三角形的任意兩邊，能利用勾股定理熟練求出第三邊。
3.通過探索勾股定理的證明過程，體驗數學知識之間的內在聯系和數學知識魅力。
【學科核心素養】
1.會用數學的眼光觀察現實世界： 通過古代數學文化的簡述，了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情了解數學在人類社會的悠久歷史.體驗數學的應用價值，提高數學學習興趣.
2.會用數學的思維思考現實世界：通過實驗，讓學生經歷探索勾股定理的過程，發展合情推理的能力，體會數形結合的思想.
3.會用數學的語言表示現實世界：培養學生的數學應用意識，會用數學的語言表達發現的規律，發展學生分析問題、解決實際問題的能力.
【教學重、難點、疑點、關鍵點、生長點】
重點：勾股定理的探索、勾股定理的簡單計算
難點：利用數形結合的思想驗證勾股定理
【教學環節】
一、導入新知
國際數學家大會是最高的全球性數學學術會議2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會。如圖就是大會的會徽的圖案。
教師提問：你見過這個圖案嗎？它由那些基本圖形組成？
二、探索新知
教師敘述：相傳2500年前，古希臘著名數學家畢達哥拉斯在朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）
問題1：觀察右邊地面的圖形，猜想畢達哥拉斯發現了什么？
師生互動：學生獨立思考并回答
問題2：如圖，在等腰中，，以為邊作正方形，以為邊作正方形，以斜邊為邊作正方形，觀察圖形進行填空.
（1）正方形的面積是 個單位面積；
（2）正方形的面積是 個單位面積；
（3）正方形中含有 個小方塊，正方形的面積是 個單位面積；
師生活動：學生獨立完成后，選學生匯報答案
追問1：上面三個正方形面積之間有什么關系？
追問2：等腰直角三角形ABC三邊長度之間存在什么關系嗎？
師生互動：學生根據填空的答案，回答追問中的問題，教師完成總結。
問題3：請你類比上面的方法對一般直角三角形進行探索(每個小正方形的面積為單位1）：
師生互動：學生先獨立思考，然后在小組談論，再派代表回答問題。
A的面積 B的面積 C的面積
圖3-1
圖3-2
A、B、C面積關系
直角三角形三邊關系
結論：以直角三角形兩直角邊為邊長的兩個小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
做一做：分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個直角三角形ABC，測量斜邊的長度，然后驗證上述關系對這個直角三角形是否成立.
歸納：
由前面的探索可以發現：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為、，斜邊為，那么一定有
勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
幾何語言：
∵在中 ，，
∴（勾股定理）.
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.
三、定理證明
世界上很多數學家用多種方法證明了勾股定理，據說至今已經找到的證明方法有五百多種，且每年還會有所增加?！　?br/>下面我們就借助拼圖的方法，探究證明的思路．
趙爽弦圖：上圖稱為“弦圖”，或“勾股圓方圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的.下圖是在北京召開的2002年國際數學家大會（TCM－2002）的會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數學成就.　　
設問:你能用不同方法表示大正方形的面積嗎 　　　　　　　
用四個準備好的完全相同的直角三角形，如圖所示的圖形，大正方形的面積可以表示為___________，可以表示為_____________。
四、勾股史話
人們對勾股定理的認識經歷了從特殊到一般的過程，這在世界許多地區的數學原始文獻中都有反映．　
（1）三邊古稱
同學們知道勾股定理這個名稱的由來嗎？　　
這是源于直角三角形的三邊古稱．　　
在古漢語里，人們將手臂彎曲成直角，上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"．我國古代學者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我們一般把較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．　　
（2）商高定理
早在幾千年前西周時期，商高就發現了這個結論，＂商高定理＂即為勾股定理。勾股定理在我國古代數學中占有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學．　
（3）百牛定理
＂勾股定理＂在國外，尤其在西方被稱為＂畢達哥拉斯定理＂或＂百牛定理＂．他發現勾股定理后高興異常，命令他的學生宰了一百頭牛來慶祝這個偉大的發現，因此勾股定理又叫做＂百牛定理＂．1955年希臘發行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成．這張郵票也是為了紀念勾股定理這個偉大的發現．　　
可畢達哥拉斯要比商高晚500多年，就因為我國那時沒能流傳出去，所以國外只承認＂畢達哥拉斯定理＂
五、達標反饋
（1）新知應用
例1：在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b,∠B=90゜.　　
(1) 已知a=6,b=10,求c； 　　
(2) 已知a=24,c=25,求b。　
注：強調先確定直角或斜邊的重要性
（2）拓展引申
例2：將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底端B的距離AB.（精確到0.01米）　
設計意圖：勾股定理簡單的實際應用，體會數學源于生活、用于生活的意義。強調要畫圖，以轉化到直角三角形中解題。　
六、勾股之樹
這個不起眼的圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數學家 畢達哥拉斯就是利用這個圖形也證明了勾股定理。
你能利用勾股定理的圖形設計出一棵勾股樹嗎？用這美麗的數學圖形來裝飾我們的教室吧！
設計意圖：讓學生感受數學的美。
　 　
七、課堂小結
（一）內容總結　　
1、本節課學習的勾股定理用語言敘述是什么，幾何語言怎么書寫？　　
2、運用勾股定理時有什么注意點？　　
3、勾股定理有什么用途？　　
（二）方法總結　　
1、研究問題可以從特殊到一般，總結一般性規律?！　?br/>2、學會探索、猜想的方法，了解數形結合的思想。

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