資源簡介

線段垂直平分線
一、課程目標：
文化價值：探索并證明線段垂直平分線的性質定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些簡單的問題.
科學價值：在探究線段垂直平分線性質定理的過程中，感受觀察、猜想、驗證、證明等研究圖形屬性的方法.
人文價值：通過探索、猜測、證明的過程，進一步拓展推理證明意識和能力.
審美價值：通過設置一系列與生活密切相關的數學問題，運用動手操作和課件，體會數學的圖形美，激發學習數學的興趣.
重難點：
線段垂直平分線的性質定理和判定定理
二、核心概念：
線段垂直平分線的性質定理和判定定理
三、問題思辨：
線段垂直平分線的性質定理和判定定理為互逆定理
四、教學建構：
學生在探究中掌握線段垂直平分線的性質定理和判定定理，知道兩個定理互為逆定理，并且學會應用它們.
五、教學過程：
（一）創設情景，導入新知
問題：體育課上，新新和曉曉玩足球，新新在A處，曉曉在B處，他們正在做搶足球的游戲，問：足球放在何處游戲才公平？
【設計意圖】通過踢足球游戲情境導入新課，激發學生的學習興趣，引發學生探究線段垂直平分線性質的欲望．
（二）探究新知
活動一：猜想驗證，探索性質.
1.尺規作出已知線段AB的垂直平分線MN，在MN上任取一點P，連結PA、PB. 猜想PA、PB有什么數量關系？
得出猜想：PA=PB.
2.你能證明這個結論嗎？
教師引導學生寫出已知、求證，畫出相應的圖形，學生獨立完成證明過程.
已知：如圖，MN⊥AB,垂足為點C，AC=BC，點P是直線MN上任意一點.
求證：PA=PB.
【設計意圖】讓學生經歷觀察、猜想、驗證、證明線段垂直平分線性質的完整過程，積累探索圖形性質的活動經驗．
3.師生共同歸納得出：
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
幾何語言：
∵點P在線段AB的垂直平分線上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
【設計意圖】讓學生經歷由文字語言到符號語言的轉化，發展幾何圖形的符號感，鍛煉邏輯推理能力.
4.練習：
例1 如圖，在△ABC中，點D在AC上，ED垂直平分AB，
（1）若BD＝10，則AD= .
（2）若AC＝14，BC=10,則△BCD的周長為 .
活動二：逆向思維，探究判定.
1.這一定理描述了線段垂直平分線的性質，那么反過來會有什么結果呢？你能寫出“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”這一性質定理的逆命題嗎 請同學們思考、討論、交流，填出下表：
條 件 結 論
性質定理
逆命題
2.這個逆命題是真命題嗎？怎樣證明？
根據畫出的圖形，教師引導學生寫出已知、求證.再讓學生思考，小組合作探究證明方法.教師選擇一種證明方法板演過程.
已知：如圖，QA＝QB.
求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．
分析：為了證明點Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經過
點Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB；
也可以先平分線段AB，設線段AB的中點為點C，然后
證明QC垂直于線段AB．
歸納證明的方法：①作垂直，證平分；②作平分，證垂直.
3.師生共同歸納得出：
逆定理（線段垂直平分線的判定定理）：到線段兩端距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.
幾何語言：
∵PA =PB，
∴點P 在AB 的垂直平分線上．
線段垂直平分線的性質定理和判定定理為一對互逆定理．
【設計意圖】讓學生體驗由原命題得到它的逆命題的過程，體會逆向思維是研究幾何命題的一種思路，進一步學習證明幾何命題的一般步驟，發展他們的歸納概括能力.
4.練習
例2 現在，有三個同學參與搶足球的游戲，問：足球放在何處才公平？
（三）練習鞏固
有A、B、C三個村莊，現準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置.
（四）素養提升
如圖，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一點，求證：BE＝DE.
【設計意圖】綜合性例題的設置，既有利于了解學生對本節重點內容的掌握情況，又有助于考查學生對本節所學兩大定理以及相關知識的應用情況，從而培養學生綜合能力.
（四）課堂小結
六、板書設計
線段垂直平分線 一、性質定理： 二、判定定理： 多媒體投影 定理證明過程

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