資源簡介

18.1.1平行四邊形的性質（一）
一、教學目標
1．理解平行四邊形的概念.
2．探索并掌握平行四邊形邊、角的性質．
3．進一步體會幾何研究的一般思路和方法.
4．了解平行線間距離的概念.
二、教學重難點
教學重點：平行四邊形的性質，平行四邊形的中心對稱性；
教學難點：在證明平行四邊形的性質中合理利用輔助線進行轉化，明確幾何研究的一般思路和方法.
三、教學準備
教具：教材、多媒體課件（PPT+幾何畫板）、實物投影儀等．
學具：直尺、三角板、量角器等.
四、教學過程
類比思考，提出問題
師：前面我們已經學習了許多圖形和幾何知識，掌握了一些探索和證明幾何性質的方法，本章開始我們繼續研究生活中的常見圖形——四邊形.
回顧三角形的學習脈絡，從三角形的概念、性質、三角形的全等到特殊的三角形，四邊形的研究方式與三角形的研究方式也是一致的，從四邊形的概念、性質、到特殊的四邊形.研究特殊三角形時，將它的邊特殊化就是等腰三角形，若將角特殊化就成為了直角三角形.按這種研究方式，那我們現在研究四邊形時，也可以延用三角形的研究思路.將四邊形的邊特殊化，它是怎樣的四邊形呢？
【設計意圖】本節內容是本章的起始課，從學生已有知識的研究模式出發，歸納對圖形的研究重在解決研究什么和怎么研究的問題，引導學生通過類比三角形的研究模式確定四邊形的研究方式.
回顧思考，理解定義
活動1：你能從這些實物中抽象出哪些特殊的四邊形呢？
師：這就是我們本節課要研究的內容------18.1平行四邊形
教師多媒體呈現框架圖， 并引出本章課題——平行四邊形.
【設計意圖】通過活動1，讓學生從實際背景中抽象出平行四邊形，喚醒學生舊知，自然引出本章和本節的主要研究對象——平行四邊形．
問題1：你能說說什么是平行四邊形嗎？
師生活動：學生回答，教師板書定義.
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
師生活動：學生勾畫概念，接著，教師介紹平行四邊形的記法和讀法，各組成元素（對邊、對角、鄰邊、鄰角、對角線）等概念，并進一步深化對定義的理解（平行四邊形的本質，定義的雙重性），同時明確文字語言、符號語言、圖形語言的轉化.
【設計意圖】引導學生回顧小學學行四邊形的部分知識，喚醒學生舊知，自然引出平行四邊形的定義，隨后介紹平行四邊形的記法和讀法 借助圖形感知定義，再深化對定義的理解（平行四邊形的本質，定義的雙重性），從而達成目標1．
實驗操作，發現性質
活動2：類比之前特殊三角形的學習過程，研究等腰三角形的一般過程，是根據圖形特征得到定義，從定義出發研究圖形的性質和判定.性質和判定的研究，其實就是對邊、角等基本要素的研究.我們現在已經知道了平行四邊形的定義.請根據定義畫一個平行四邊形， 觀測這個四邊形，除了“兩組對邊分別平行”以外，它的邊、角之間有什么關系嗎？度量一下，是不是和你的猜想一致？
師生活動：學生先自主探究，猜想平行四邊形的性質，借助畫出的平行四邊形驗證猜想的結論，再通過小組交流分享彼此的猜想和驗證猜想的方法，最后小組派代表分享探究的過程. 教師關注學生的探究過程，給予學生充分的空間自主探究與發現，對學生得到的不同猜想和驗證方法給予充分地肯定，將學生得到的猜想整理后板書. 之后教師再用幾何畫板演示.
【設計意圖】學生通過實驗操作，直觀感知平行四邊形邊和角的特征，猜想出平行四邊形對邊相等、對角相等的性質，培養學生形成探究圖形性質的基本策略，滲透合情推理在探究活動中的重要地位.
活動3：用半透明紙壓在上圖上，描下一個與它完全一樣的四邊形，則四邊形和四邊形一樣，也為平行四邊形，它們的對應邊都相等、對應角都相等. 在中，連結、，它們的交點記為，用一枚圖釘在點穿過，將繞點旋轉. 觀察旋轉后的和紙上畫的是否重合？
問題2：你能從中得出的一些邊、角關系嗎？
教學方法：教師通過多媒體課件演示，引導學生觀察，從中總結出平行四邊形的性質：
平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點.
平行四邊形的對邊相等，對角相等，鄰角互補.
邏輯推理，證明性質
問題3：剛剛我們通過實驗操作發現了平行四邊形邊、角關系，這些結論一定正確嗎？根據我們以往幾何證明的經驗，怎么說明這些結論對于任意平行四邊形都是成立的呢？
師生活動：學生回答.
問題4：你能運用所學知識證明平行四邊形對邊相等、對角相等嗎？
【設計意圖】通過問題3，4可以讓學生體會證明活動是探索活動的自然延續和必要發展，感受合情推理與演繹推理的辯證關系.
師生活動：學生獨立思考探究證明思路. 教師巡視，對確有困難的小組予以適當的引導和啟發.
師：猜想涉及到線段相等、角相等，而證明線段、角相等最常用的方法就是三角形全等，沒有三角形如何處理呢？
生：添加輔助線.
師生共同回憶以往添加輔助線的學習經驗，等腰三角形的性質證明（底邊上的高、中線、頂角平分線），多邊形內角和的探究過程（利用對角線分割成若干三角形）.
師生活動：教師引導學生畫圖、分析已知、求證、明確作輔助線的語言，學生獨立在學案上書寫完整證明過程，然后派代表上臺分享完整證明過程，學生借助投影展示分享“平行四邊形兩組對邊分別相等”的證明過程，全班集體評議，規范書寫格式.
【設計意圖】通過嚴密的幾何推理證明，培養學生的演繹推理能力，突出了本節課的重點，從而實現教學目標2.
平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等，對角相等，鄰角互補.
（1）平行四邊形的性質是先由平行四邊形存在，后得到邊、角的關系.
（2）幾何語言：
①平行四邊形的對邊平行且相等：
∵四邊形是□
∴，；，
②平行四邊形的對角相等：
∵四邊形是□
∴，
③平行四邊形的鄰角互補：
∵
∴，
【設計意圖】引導學生辨析定理的題設和結論，明確應用性質進行推理的基本模式.強化符號語言、圖形語言、文字語言轉化能力.
新知應用，解決問題
例1. 如圖3，在□中，，你能求出其他各角的度數嗎？說說你的理由.
解：在□中，（已知）
∴， (平行四邊形的對角相等)
又∵
∴(兩直線平行，同旁內角互補)
∴
∴
例2. 如圖，在□中，連接AC，已知□的周長等于20 cm，AC=7cm，求△ABC 的周長.
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知)，
∴AB=CD，BC=AD(平行四邊形的對邊相等).
又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知)，
∴AB+BC= 10cm.
∵AC=7cm，
∴△ABC的周長為AB+BC+AC=17cm.
【變式題】
（1）在□中，∠A:∠B=2:3，求各角的度數.
（2）若□的周長為28cm，AB:BC=3:4，求各邊的長度.
例3：如圖，在□中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別是E，F．求證：AE=CF．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又∠AED=∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF.
變式：如果上述條件不變，改為求證：DE=BF呢？
引入概念：如果兩條直線平行，則其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離都相等，這個距離稱為平行線之間的距離.
練習：如圖，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，=12，求中AB 邊上的高．
（六）歸納小結，反思升華
問題5：通過本節課的學習，你學到了哪些數學知識、數學方法，又感悟到了哪些數學思想呢？
問題6：我們是如何研究平行四邊形的？
問題7：對于平行四邊形，你認為還需要研究什么內容？
師生活動：鼓勵學生暢所欲言，總結本節課的知識內容，并交流學習的收獲與體會. 在此基礎上，教師適時點睛、完善體系，幫助學習將所學知識納入自己的認知結構之中還要能提出新的問題，引發學生新的思考.
通過回顧本節課學習流程圖，師生共同完成本節課數學知識，數學方法，數學思想的總結和提煉.
總結1：數學知識：平行四邊形的定義，平行四邊形的性質，平行線間的距離.
總結2：研究圖形性質的角度：邊、角.
總結3：運用輔助線：對角線，將平行四邊形問題轉化為三角形問題解決.
總結4：研究幾何圖形性質的方法步驟：觀察、猜想、驗證、證明.
總結5：明確了本章的研究思路.
總結6：數學思想方法：類比、化歸、歸納與演繹.
【設計意圖】
通過小結梳理使學生對本節課所學知識的結構有一個清晰的認識，引導學生建構起自己的知識經驗，形成知識體系，從感性認識上升到理性認識，體會數學思想方法.同時，也為后續學習導明路徑.
（七）課后作業
《頂尖課課練》A層：1-8題 B層：9-13題

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