資源簡(jiǎn)介

求解圓上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)最值問(wèn)題
北師大版九下復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練 教學(xué)設(shè)計(jì)
深圳市紅桂中學(xué) 范怡靜
一、課標(biāo)要求
新課標(biāo)中圖形與幾何部分對(duì)本節(jié)課涉及的知識(shí)點(diǎn)要求如下
內(nèi)容要求：
1.掌握兩點(diǎn)之間線段最短的基本事實(shí)；
2.理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線；
3.理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離；
4.在已知圓心和半徑的情況下，能熟練使用圓規(guī)畫圓。
學(xué)業(yè)要求：
在直觀理解和掌握?qǐng)D形與幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，感悟具有傳
遞性的數(shù)學(xué)邏輯，形成幾何直觀和推理能力。
二、教學(xué)內(nèi)容分析
1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是學(xué)生做題時(shí)候的難點(diǎn)，難在不明確什么時(shí)候能夠取得最值，或者是不知道動(dòng)點(diǎn)
的運(yùn)動(dòng)軌跡因此很難確定線段最值情況。因此作為一個(gè)專題進(jìn)行整理復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生加深理解形成系
統(tǒng)性的方法。
2.知識(shí)聯(lián)系上，本節(jié)課涉及：學(xué)習(xí)兩點(diǎn)之間線段最短的基本事實(shí)、討論過(guò)三角形三邊的關(guān)系以及
簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)以及圓的基本性質(zhì)。在此知識(shí)基礎(chǔ)上以專題的形式將知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行整合，
能夠?qū)⒁褜W(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，深化知識(shí)聯(lián)結(jié)。
3.在能力培養(yǎng)上，學(xué)生可以在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合與化歸等數(shù)學(xué)思想和方法。
4.在數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面，模型求解思路分析以及方法歸納能夠了解學(xué)生是否能夠用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)。
在建構(gòu)這類問(wèn)題的解決策略的過(guò)程中，通過(guò)借助圖形分析問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的思路，發(fā)展模型觀念。
可以提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界和用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力。在探究活動(dòng)中，對(duì)于
學(xué)生抽象能力、推理能力與運(yùn)算意識(shí)的塑造有著促進(jìn)作用。
三、班級(jí)學(xué)情分析
班級(jí)分層 知識(shí)與技能準(zhǔn)備情況 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的準(zhǔn)備情況
S 組 理解兩點(diǎn)之間線段最短、三角形三邊 學(xué)生能夠從真實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)
構(gòu)成條件、簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)。 題，能使用分類討論、化歸數(shù)形結(jié)合思想
以及圓相關(guān)的性質(zhì)。能用尺規(guī)作圖術(shù)熟練 方法分析問(wèn)題，具備一定的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。
作圖，學(xué)生能夠描述作圖步驟。
A 組 知道兩點(diǎn)之間線段最短、三角形三邊 能夠借助借助圖形分析問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)
構(gòu)成條件、簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)。 題解決過(guò)程中思維的描述存在困難，遷移
以及圓相關(guān)的性質(zhì)。能夠熟練作圖，但不 能力較弱。
一定理解作圖原理。
B 組 了解兩點(diǎn)之間線段最短，三角形三邊 學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)，對(duì)于從具體
構(gòu)成條件、簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形。但對(duì)于軸 問(wèn)題中找到與模型的聯(lián)系比較困難。
對(duì)稱的性質(zhì)以及圓相關(guān)的性質(zhì)不熟悉，綜
合運(yùn)用時(shí)無(wú)法快速和準(zhǔn)備地聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)。
能夠模仿作圖，但不一定理解作圖依據(jù)。
三、教學(xué)任務(wù)分析
1.教學(xué)目標(biāo)分析（基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)）
（1）關(guān)鍵能力：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理
（2）解析數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化
（3）解析知識(shí)之間的聯(lián)系：圓的相關(guān)性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短以及三角形三邊
關(guān)系相關(guān)。
2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)表
抽象能力 幾何直觀 推理能力
情境與問(wèn)題 能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化 能夠根據(jù)語(yǔ)言描 能夠從不同情境中抽象出路
成數(shù)學(xué)問(wèn)題。 述將畫出相應(yīng)的圖示。 徑最短問(wèn)題。
知識(shí)與技能 理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)。 掌握利用軸對(duì)稱 能夠運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短
的性質(zhì)作對(duì)稱點(diǎn)的方 的基本事實(shí)、垂線段的性質(zhì)以及三
法。 角形三邊關(guān)系確定最短的路徑。
思維與表達(dá) 體會(huì)分類討論、轉(zhuǎn)化 能夠分析并標(biāo)畫 能夠推導(dǎo)并解釋何時(shí)線段之
（化折為直）以及數(shù)形結(jié) 什么位置的時(shí)候線段 和（或差）取得最小值（或最大值）。
合的思想方法是問(wèn)題解決 之和有最大值或者線
的最有力的工具之一。 段之差有最小值。
品格價(jià)值觀 在解決具體問(wèn)題時(shí)能夠聯(lián)系已經(jīng)總結(jié)的模型，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。經(jīng)歷問(wèn)題解
決的探究過(guò)程，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)以及數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力；提煉一
般方法并在新的情境中應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)。
3.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
教的重點(diǎn)：能夠確定圓上動(dòng)點(diǎn)最值的情況，知道作圖步驟。能夠根據(jù)圖形的性質(zhì)計(jì)算出線段的最值。
學(xué)的難點(diǎn)：理解模型求解的原理，能夠從題目條件推導(dǎo)出點(diǎn)所在的軌跡，并且能夠確定圓心和半徑。
四、教法與學(xué)法分析
課堂中教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，同時(shí)充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性讓學(xué)生在設(shè)計(jì)的活動(dòng)展開自主學(xué)習(xí)和小組
合作探究學(xué)習(xí)。并經(jīng)歷觀察、探索、交流、歸納與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對(duì)本節(jié)課的知識(shí)建構(gòu)。
五、教學(xué)手段
希沃白板 5，平板
六、教學(xué)過(guò)程
教學(xué)
教學(xué)主要內(nèi)容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)
環(huán)節(jié) 1.對(duì) 3 個(gè)模型的所 師：以分析模型 1 為例，為 將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題
一 知進(jìn)行分析，理解解決 學(xué)生展示思路分析與方法歸 后，再用數(shù)學(xué)的思維分析、解決問(wèn)
問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)原理。 納的模板。 題。根據(jù)實(shí)際情境進(jìn)行模型提煉的
自主 2.剖析模型的特 生：根據(jù)老師梳理，嘗試完 過(guò)程，目的在于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的
探 征，進(jìn)行橫向?qū)Ρ炔⑶?成對(duì)模型 2、3 的分析與方法 眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)
究， 歸納具體方法 歸納。小組內(nèi)進(jìn)行交流 現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與能力。
生成 學(xué)生分層評(píng)價(jià)
模型 B 組學(xué)生能理．解．三個(gè)模型解決策略與作圖步驟，并且能正確畫出圖示。
☆ A 組學(xué)生能講．解．三個(gè)模型模型解決策略與作圖步驟，理解其中數(shù)學(xué)原理。
S組同學(xué)能夠組織問(wèn)題討論，并且可以講解將軍飲馬模型解決策略與作圖步驟與方法的原理。
教學(xué)
教學(xué)主要內(nèi)容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)
類型一：點(diǎn)在已知圓上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的最值問(wèn)題 師：在第一個(gè)環(huán)節(jié) 類型一
典例剖析 1 我們通過(guò)對(duì)模型 的題目與模
如圖，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，E是 BC的中點(diǎn)，以 BE為直徑作 的條件分析，以及 型的聯(lián)系緊
⊙O，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若 AD=2AB，求 DP的最大值和最小值. 求解方法總結(jié)已 密，能夠比
聯(lián)系模型___ 寫出分步作法（B 組任務(wù)）*： 經(jīng)形成了解決圓 較輕松地看
環(huán)節(jié) 上動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題 出幾何圖形
二 的方法。現(xiàn)在我們 中隱含的模
將基本模型放在 型。題目難
小組 其他幾何圖形中。 度較低，可
研學(xué) *變式 1-1： 嘗試在復(fù)雜的幾 以通過(guò)這類
， 若點(diǎn) 也在線段 AD上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出 PQ的最小值。 何背景中分離出 題目強(qiáng)化學(xué)
互助 聯(lián)系模型___ 寫出分步作法（B 組任務(wù)）* 基礎(chǔ)模型，并用對(duì) 生對(duì)模型條
探究 變式 1-2： 應(yīng)的方法解決最 件的熟悉程
連接 AC、PA、PC，求△APC面積的最小值。并在圖中畫出取得最小值的 值問(wèn)題。 度，以及熟
情況。聯(lián)系模型___ 寫出分步作法（B 組任務(wù)）* 生：學(xué)習(xí)典例，通 練解決問(wèn)題
過(guò)小組合作的方 方 法 和 步
式嘗試解決變式 驟。
訓(xùn)練以及針對(duì)訓(xùn) 類型二
練。在使用中熟悉 的題目相對(duì)
針對(duì)訓(xùn)練 方法，加深對(duì)模型 于類型一升
1. 如圖,⊙O的半徑為 10,圓心 O到直線 l的距離為 14,點(diǎn) A是⊙O上一點(diǎn), 的辨析與理解。 級(jí)的難點(diǎn)在
過(guò)點(diǎn) A的切線與直線 l交于點(diǎn) B,求 AB 的最小值. 于，首先要
類型二：點(diǎn)在未知軌跡上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的最值問(wèn)題 確定點(diǎn)的運(yùn)
典例剖析 2 動(dòng)軌跡——
如圖，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，F(xiàn)是 AB的中點(diǎn),E是線段 BC上的 圓在哪里？
動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) B沿著 EF折疊得到點(diǎn) B’。求線段 DB’的最小值。* 即圓心在哪
里？半徑是
誰(shuí)。需要鏈
接與圓相關(guān)
的性質(zhì)才能
針對(duì)訓(xùn)練 夠比較順利
2. 如圖，在矩形 ABCD中，已知 AB＝3，BC＝4，點(diǎn) P是 BC邊上一動(dòng)點(diǎn) 地 突 破 難
（點(diǎn) P不與 B，C重合），連接 AP，作點(diǎn) B關(guān)于直線 AP的對(duì)稱點(diǎn) M，則 點(diǎn)。
線段MC的最小值為 ．
典例剖析 3
如圖，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝4，BC＝6，P是 AB左側(cè)一
動(dòng)點(diǎn)，且 AP⊥BP，則線段 CP長(zhǎng)度的
最大值是 ．*
針對(duì)訓(xùn)練
3．如圖 2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，
P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，
求線段 CP長(zhǎng)的最小值．
教學(xué)
教學(xué)主要內(nèi)容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)
4.如圖，在邊長(zhǎng)為 2的菱形 ABCD中，∠A＝60°，M是 AD邊的中點(diǎn)，N 師：引導(dǎo)學(xué)生從繁 本環(huán)節(jié)
是 AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿 MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接 復(fù)的條件中分析 是在能實(shí)際
A'C請(qǐng)求出 A′℃長(zhǎng)度的最小值． 與模型相符的條 應(yīng)用的基礎(chǔ)
件。鼓勵(lì) B 組學(xué)生 上進(jìn)行拓展
積極嘗試畫出符 升華，進(jìn)入
合題意的情況。變 到抽象的數(shù)
環(huán)節(jié) 式中，引導(dǎo)學(xué)生分 學(xué)問(wèn)題的分
三 3. 如圖，⊙M的半徑為 4，圓心 M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn) P是⊙M上的 析改變的條件，從 析的環(huán)節(jié)。
方法 任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且 PA，PB與 x軸分別交于 A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn) A，點(diǎn) B 而找到突破口。 對(duì)學(xué)生的遷
拓 關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱，則當(dāng) AB取最小值 移能力要求
展， 時(shí)，△APB的面積為 ． 生：對(duì)比例題和模 較高。
進(jìn)階 型之間的異同點(diǎn)， 將模型
訓(xùn)練 進(jìn)一步熟悉符合 設(shè)置于復(fù)雜
問(wèn)題模型的特征， 的圖形中，
6.如圖，點(diǎn) D在半圓 O上，半徑 OB＝5，AD＝4，點(diǎn) C在弧 BD上移動(dòng)， 使用模型方法解 是對(duì)學(xué)生辨
連接 AC，作 DH⊥AC，垂足為 H，連接 BH，點(diǎn) C在移動(dòng)的過(guò)程中，BH 決問(wèn)題。 析模型的程
的最小值是 ． 度提出了更
7.如圖 4，在正方形 ABCD中，AD＝6，動(dòng)點(diǎn) E，F(xiàn)分別在邊 DC，CB上移 高的要求。
動(dòng)，且滿足 DE＝CF．連接 AE和 DF，交于點(diǎn) P．點(diǎn) E從點(diǎn) D開始運(yùn)動(dòng)到 能夠深化學(xué)
點(diǎn) C時(shí)，點(diǎn) P也隨之運(yùn)動(dòng)，CP最小值是 ． 生對(duì)于模型
***8.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點(diǎn) D為平面上一個(gè) 的理解。
動(dòng) 點(diǎn) ， ∠ ADB ＝ 45 ° ， 則 線 段 CD 長(zhǎng) 度 的 最 小 值
為 ．
環(huán)節(jié) 類型一：點(diǎn)在已知圓上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的最值問(wèn)題 小結(jié)探
四 究數(shù)學(xué)活動(dòng)
歸 納 的經(jīng)驗(yàn)。幫
小結(jié) 助學(xué)生梳理
方 法 的 同
時(shí)，整理本
節(jié)課所使用
的主要的數(shù)
學(xué) 思 想 方
法。
類型二：點(diǎn)在未知軌跡上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的最值問(wèn)題
學(xué)生對(duì)本節(jié)課模型的理解小結(jié)問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，以及探究過(guò)程中的感悟。
教師將學(xué)生的方法與經(jīng)驗(yàn)分享加以描述概括，引出本節(jié)課所使用的數(shù)學(xué)
思想方法。
教學(xué)
教學(xué)主要內(nèi)容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)
S組拓展練習(xí) 教師將原模 向?qū)哟屋^
1．如圖，在矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝5，點(diǎn) E在 BC上，且 CE＝4BE， 型條件改編 好的學(xué)生發(fā)起
挑戰(zhàn) 點(diǎn)M為矩形內(nèi) 后讓已經(jīng)完 新的挑戰(zhàn)，培養(yǎng)
自我 一 動(dòng) 點(diǎn) ， 使 得 ∠ CME＝ 45° ， 連 接 AM， 則 線 段 AM 的 最 小 值 成 自 測(cè) 的 S 學(xué)生的遷移應(yīng)
為 ． 組學(xué)生嘗試。 用能力。體會(huì)化
， 2.如圖，AB⊥BC，AB＝5，點(diǎn) E、F分別是線段 AB、射線 BC上的動(dòng)點(diǎn)，以 歸思想方法是
激發(fā) EF為斜邊向 如何幫助我們
上作等腰 Rt△DEF，∠EDF＝90°，連接 AD，則 AD的最小 利用已有知識(shí)
潛能 為 ． 求解未知問(wèn)題。
3.如圖 5，已知點(diǎn) C在以 AB為直徑，O為圓心的半圓上，AB＝4，以 BC為
邊作等邊△BCD，則 AD的最大值是 ．
第 1 題 第 2 題
七、課后作業(yè)
歸納整理學(xué)案

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