資源簡(jiǎn)介

《二倍角解題策略探究》 教學(xué)設(shè)計(jì)
羅湖外語(yǔ)初中學(xué)校 譚雅元
一、教材分析
地位作用
二倍角問(wèn)題是中考幾何壓軸題高頻考點(diǎn)，涉及角度轉(zhuǎn)化、全等/相似三角形、勾股定理等核心知識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的重要載體。
內(nèi)容結(jié)構(gòu)
本課圍繞"導(dǎo)角→構(gòu)造→轉(zhuǎn)化"的核心思想，系統(tǒng)學(xué)習(xí)三種解題模型：
1.翻折構(gòu)造等腰三角形 2.向外構(gòu)造等腰三角形 3.倍小角分大角，向內(nèi)構(gòu)造等腰三角形
知識(shí)技能梳理
二倍角綜合問(wèn)題，在幾何倒角中扮演著重要的角色，同時(shí)也是中考熱點(diǎn)問(wèn)題，中考第13題填空壓軸問(wèn)題中，時(shí)常出現(xiàn)二倍角問(wèn)題的相關(guān)條件。遇到二倍角，首先想到“導(dǎo)”，將圖形中的角度都推導(dǎo)出來(lái)，挖掘出隱藏邊的信息，再觀察角度的位置，結(jié)合其他條件，合理添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形或者對(duì)策圖形等，綜合運(yùn)用熟悉的幾何定理，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，或者關(guān)聯(lián)勾股定理，全等/相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，解決幾何問(wèn)題。
學(xué)情分析
知識(shí)儲(chǔ)備上，學(xué)生已掌握全等三角形判定、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，但對(duì)幾何動(dòng)態(tài)構(gòu)造能力較弱。仍然存在以下認(rèn)知障礙：1.二倍角條件的隱性特征難以發(fā)現(xiàn)；2.輔助線添加方向不明確；3.多模型綜合應(yīng)用能力欠缺。
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)目標(biāo) 掌握三種二倍角構(gòu)造模型，能識(shí)別隱性二倍角條件
能力目標(biāo) 能通過(guò)導(dǎo)角、構(gòu)造等腰三角形將角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程
情感目標(biāo) 體驗(yàn)幾何構(gòu)造的樂(lè)趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰蛣?chuàng)新意識(shí)
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn) 三種二倍角模型的構(gòu)造方法及適用條件
難點(diǎn) 動(dòng)態(tài)條件下輔助線的選擇與角度關(guān)系的轉(zhuǎn)化
教學(xué)過(guò)程
（模型構(gòu)造，講解，例題講解，啟發(fā)性提問(wèn)）
基本思想1 翻折構(gòu)造等腰三角形
① ③
結(jié)論：__________________ _____________________ ____________________
模塊一 利用翻折思想解決二倍角問(wèn)題
例題1 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的長(zhǎng)．
【鞏固練習(xí)】
1.如圖，在△ABC中，∠1=∠2，∠B＝2∠C，其中AB＝6，AC＝10，則BD=
2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求AD的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
3.如圖，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，DC平分∠ADE，AD=1,BD=CD,∠B＝2∠ACD，求CE的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
（鞏固練習(xí)都是翻折思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生仿照例題完成即可，這里的關(guān)鍵在于通過(guò)翻折邊構(gòu)造等腰三角形，把二倍角轉(zhuǎn)化為頂角，再利用相似三角形建立比例關(guān)系。）
基本思想2 延長(zhǎng)構(gòu)造新等腰
①
結(jié)論：_____________________ ______________________
（模型講解，模仿向外構(gòu)造）
模塊二 向外構(gòu)造解決二倍角問(wèn)題
例題2 如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2，求BC的長(zhǎng)．
思考：在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c滿足的關(guān)系．
【鞏固練習(xí)】
如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE為BC邊上的中線，BD＝3，DE＝2，求AE的長(zhǎng)．
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2DC，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值．
3一副三角板按如圖1放置，圖2為簡(jiǎn)圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM= ．
（當(dāng)遇到二倍角且有一邊可延長(zhǎng)時(shí)，優(yōu)先考慮向外構(gòu)造等腰三角形，使二倍角變?yōu)轫斀牵偻ㄟ^(guò)相似或全等建立聯(lián)系。注意鞏固練習(xí)第三題，是多次被中考模擬考采用，方法不唯一，但是向外構(gòu)造的做法會(huì)更好理解）
基本思想3 倍小角分大角
①
結(jié)論：_____________________ ______________________
模塊三 倍小角分大角，構(gòu)造等腰三角形
例題3 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，∠ACD＝2∠B， ＝ ，求cosB的值．
（易錯(cuò)提示 容易漏掉垂直條件的構(gòu)造，或者混淆角的位置關(guān)系，需要反復(fù)確認(rèn)對(duì)應(yīng)角。）
【鞏固練習(xí)】
1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的長(zhǎng)為　 　 ．
2.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的長(zhǎng)為　 　 ．
3．如圖，在△ABC中，∠A=3∠B，D為AB中點(diǎn)，∠ADC=45°，求∠A的度數(shù)。
二倍角問(wèn)題的本質(zhì)是角度關(guān)系的轉(zhuǎn)化，無(wú)論是翻折、延長(zhǎng)還是構(gòu)造垂線，核心都是通過(guò)幾何變換將復(fù)雜角關(guān)系轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的邊長(zhǎng)比例。
作業(yè)設(shè)計(jì)
小組為單位，從三種模型中選取兩種進(jìn)行題型改編，并完成解答；完成提升訓(xùn)練
【提升訓(xùn)練】
1.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=3，∠A= α ，則 tan2α 的值為_(kāi)_ __.
2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，CD＝BD且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若BE＝8，AC＝11，則邊AB的長(zhǎng)為 　 　 ．
4.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，則 ．
如圖，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)且滿足∠C＝2∠BAD，CD＝3BD，E是AC邊上一點(diǎn)且滿足∠ADB＝∠ADE，連接BE交AD于點(diǎn)F，則＝　 　 ．
6.已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，點(diǎn)F在AC上，作EF⊥AB，直線EF交AB于E，交BC延長(zhǎng)線于G，連接ED，∠GFC＝2∠EDA，DH＝CG＝2，則AF的長(zhǎng)為　 　 ．
七．板書(shū)設(shè)計(jì)
三角形二倍角解題策略
├── 翻折構(gòu)造等腰三角形
│ ├─ 延長(zhǎng)邊→構(gòu)造對(duì)稱(chēng)
│ └─ 相似轉(zhuǎn)化→方程求解
├── 向外構(gòu)造等腰三角形
│ ├─ 截長(zhǎng)補(bǔ)短→創(chuàng)造全等
│ └─ 邊角對(duì)應(yīng)→比例計(jì)算
└── 倍小角分大角 ├─ 作垂線→關(guān)聯(lián)勾股
└─ 方程聯(lián)立→多解驗(yàn)證
八．教學(xué)反思
設(shè)計(jì)亮點(diǎn)
分層教學(xué) ：基礎(chǔ)題→變式題→壓軸題梯度推進(jìn)，滿足不同層次學(xué)生需求
技術(shù)融合 ：合理運(yùn)用幾何畫(huà)板、動(dòng)態(tài)演示等現(xiàn)代技術(shù)手段
素養(yǎng)滲透 ：貫穿類(lèi)比遷移、建模思想、逆向思維等核心素養(yǎng)

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