資源簡(jiǎn)介

羅湖區(qū)中考備考“百師助學(xué)”課程
《45度角問題解決策略探究》
教學(xué)設(shè)計(jì)
——洪燕
一、內(nèi)容分析
特殊角45°是直角的一半，也是等腰直角三角形的一個(gè)底角度數(shù)，一直是中考數(shù)學(xué)壓軸題常考的題型載體，無論是函數(shù)的綜合題，還是幾何的綜合題，無孔不入的45°角，猶如暗夜中的幽靈，無處不在。解決此類問題的策略有很多種，一般策略是構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造一線三直角，利用相似（全等）求解，也可以構(gòu)造半角模型，或者放在圓中等有多種方法。
教材以及學(xué)情分析
這節(jié)課是初三復(fù)習(xí)階段的一個(gè)微專題，需要通過構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造一線三垂直，或者一線三等角，解決大部分有關(guān)45°角問題，是綜合性較強(qiáng)的一節(jié)課。學(xué)生已經(jīng)完整學(xué)習(xí)了圖形三大變換的規(guī)律及性質(zhì)、直角三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形全等相似的判定與性質(zhì)等有關(guān)內(nèi)容，已經(jīng)做好了學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí)儲(chǔ)備。
教學(xué)目標(biāo)
1、讓學(xué)生能夠根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活選取已知點(diǎn)作已知直線的垂線段來構(gòu)造等腰直角三角形；學(xué)生能夠熟練掌握構(gòu)造一線三直角，利用相似或者全等求線段長(zhǎng)度
2、學(xué)生能夠靈活選取合適方法求解45角題目。
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：抓住關(guān)鍵點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形,利用相似求線段長(zhǎng)度；
難點(diǎn)：根據(jù)題目特點(diǎn)，選擇合適的解題策略。
前置學(xué)習(xí)
1、一線三等角
如圖1，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到DE，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型
2、正方形內(nèi)半角模型
如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接AE、AF、EF。則可將△ADF繞點(diǎn)A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG處，使得AD和AB重合，即△ADF ≌△ABG，則有以下結(jié)論成立：
①△AEG ≌△AEF；
②BE+DF=EF；
③∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AFD；
圖2 圖3
3、方法歸納
（1）遇到45°→構(gòu)造直角三角形→構(gòu)造“一線三直角”
遇到45°→構(gòu)造半角模型
遇到45°→構(gòu)造圓心角為90度的圓
學(xué)習(xí)過程
前置練習(xí)題
1.如圖1，，，，，,
求 3或4 .
2.如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接AE、AF、EF. 則可將△ADF繞點(diǎn)A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG處，使得AD和AB重合，即△ADF ≌△ABG，則以下 ①②③ 結(jié)論成立.
①△AEG ≌△AEF；
②BE+DF=EF；
③∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AFD；
圖2
3.如圖3，在中，， 90° .
圖3
4.如圖4，在中，，，，則 .
圖4
模塊一： 45度角問題初探
一、例題精講
例題1．四邊形 ABCD 中，AB∥CD，AB=4，BC＝3，∠ABC＝90°，∠ADB=45°.
求 CD 的長(zhǎng).
【解答】解：
方法1：構(gòu)造一線三等角，利用相似求CD的長(zhǎng)
如圖，作，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，連接AF，使得∠CFA=45°，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，連接BG，使得∠BGD=45°，可證△ADF∽△DBG，，，在Rt△BCG中，,
△ADF∽△DBG
，即
，(舍)，
方法2：構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造母子型相似
如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，作
以E點(diǎn)為直角，作等腰直角三角形DEF，則△BAD∽△BDF，
， 設(shè)AE=x，BF=7+x，
在Rt△BED中，
，(舍)，
=BE=4+x=
方法3：構(gòu)造一線三垂直，利用A型相似求解
如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F，作
過A點(diǎn)作交BD于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作
則，
易證△EGB∽△DFB， ，設(shè)EG=x，
，，(舍)，
=4+x=
方法4：構(gòu)造一線三垂直，利用X型相似求解
如圖，過A點(diǎn)作交BD于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作，
，則，，
，CG=BF=4-x
易證△DGE∽△BFE， ， ，
，(舍)，，
=DG+CG=7-2x=
方法5：構(gòu)造一線三垂直，利用相似求解
如圖，過B點(diǎn)作交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，可證
，，，
，
易證△DGA∽△DHE，
，(舍)，，
=
例題2．如圖,在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若
AE=，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為　 　　　.
【解答】解：
方法1：構(gòu)造等腰直角三角形,列二元一次方程組求解
如圖①，過點(diǎn)E作EH⊥AF于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作MN⊥BC，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N.易證△AMH≌△HNE.
設(shè)MH=NE=x，AM=HN=y，
那么，解得 ,
方法2：構(gòu)造等腰直角三角形,利用全等、相似求解
如圖②，過點(diǎn)E作EG⊥AE，交AF于點(diǎn)G，作GH⊥BC于點(diǎn)H，易證△ABE≌△EHG.
∴EH=AB=2，GH=BE=1，
∴HC=1 ,
,
,
方法3：利用半角模型求解(先構(gòu)造半角模型,借助△ADF的中位線求出DF,再求AF)
用到一個(gè)結(jié)論：
如圖③，已知正方形ABMN，E，G分別是BM，MN上的點(diǎn)，
且∠EAG=45°，那么BE+NG=EG.
按照這個(gè)結(jié)論，先構(gòu)造半角模型，如圖④，取BC，AD的中點(diǎn)M，N，
連接MN，交AF于點(diǎn)G，連結(jié)EG.
設(shè)NG=m，那么EG=BE+NG=1+m.
在Rt△GEM中，GM=2-m，EM=1，EG=1+m.
由勾股定理，得，解得.
易得NG是△ADF的中位線,
∴DF=，∴
方法4：構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形求解
如圖⑤，易知BE=1，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)ME.
在AD上截取ND=DF，連結(jié)NF.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4.
設(shè)DF=DN=x，則NF=，AN=4-x.
∵AB=2，
∴AM=BM=BE=1.
∴.
∵∠EAF=45°，∴∠1+∠3=45°.
又∠2+∠3=45°，∴∠1=∠2.
又∵∠AME=∠FNA=135°，
∴△AME∽△FNA
∴. ,∴解得x=4/3.
∴.
二、跟進(jìn)練習(xí)
練習(xí)1. 如圖，在矩形中，，是邊上一點(diǎn)，且，連接．若，則的長(zhǎng)為（　 　）
B． C． D．
【解答】解：
作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：．
練習(xí)2. 已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點(diǎn)，連接和且則長(zhǎng)為 ．
【解答】解：
將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，
是等腰直角三角形，
∴∠HBD=45°
∵∠FBD=45°
∴點(diǎn)B、F、H共線
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
練習(xí)3. 如圖，△ABC為等腰直角三角形，，是上一點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
如圖，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則，
由勾股定理得，，，
，
∴，
整理得，
解得，（不合，舍去），
∴，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
故選：．
模塊二： 45度角與一次函數(shù)、反比例函數(shù)結(jié)合
一、例題精講
例題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交軸于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，若，則直線的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
【解答】解：方法1 構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造一線三垂直
易得A(1，0)，B(0，-2)，∴OA=1，OB=2.
如圖①，過點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E.
∵∠ABC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形.∴AB=AF.
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°,
∴∠ABO=∠EAF.
∴△ABO≌△FAE(AAS).
∴AE=OB=2，EF=OA=1. ∴F(3，-1).
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.將點(diǎn)B(0，-2)，F(xiàn)(3，-1)的坐標(biāo)分別代入，
得，解得
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為.
方法2 構(gòu)造等腰直角三角形，利用勾股定理列方程
易得A(1，0)，B(0，-2)，∴OA=1，OB=2，AB=.
如圖②，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.
∵∠ABC=45°，∴AD=AB=.
根據(jù)等面積法可得AC·OB=BC·AD，
設(shè)AC長(zhǎng)為m，則2m=，
整理得，解得m=5或m=(舍去).
∴OC=6，則C(6，0).
∵直線BC過點(diǎn)B(0，-2)，C(6，0)，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為.
.例題2．如圖，已知反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)，在該圖象上找一點(diǎn)P，使∠POA=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　 　.
【解答】解：
方法1：作AE⊥y軸于E，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，作A′F⊥x軸于F，則△AOE≌△A′OF，可得OF=OE=4，A′F=AE=3，
即A′（4，-3），
∵反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4），
所以由勾股定理可知：OA=5，
∴4=，OA=5，
∴k=12，
∴y=，
∴AA′的中點(diǎn)K（，），
∴直線OK的解析式為y=x，
由，解得或，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴P（2，），
故答案為（2，）．
方法2 思路提示:如圖②,構(gòu)造一線三直角,易得C(7,1),再求點(diǎn)P的坐標(biāo).
方法3 思路提示:如圖③,構(gòu)造半角模型,設(shè)DE=x,利用1+(4-x)2=(x+3)2先求點(diǎn)E的坐標(biāo),再求點(diǎn)P的坐標(biāo).
二、跟進(jìn)練習(xí)
練習(xí)1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（6，0）為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作DC⊥x軸，垂足為D，點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連結(jié)CE交x軸于點(diǎn)F，且CF＝FE．
（1）直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)________；
（2）過點(diǎn)B作BG∥CE，交y軸于點(diǎn)G，交直線CD于點(diǎn)H，求四邊形ECBG的面積；
（3）直線CD上是否存在點(diǎn)Q使得∠ABQ＝45°，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】：（1）∵CD⊥x軸，
∴∠CDF＝90°＝∠EOF，
又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，
∴△CDF≌△EOF（AAS），
∴CD＝OE，
又∵A（0，4），B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6，
∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，CD∥y軸，
∴CDOA＝2，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2）；
（2）設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，
∵C為AB的中點(diǎn)，A（0，4），B（6，0），
∴C（3，2），
∴，
解得，
∴直線CE的解析式為yx﹣2，
∵BG∥CE，
∴設(shè)直線BG的解析式為yx+m，
∴6+m＝0，
∴m＝﹣8，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣8），
∴AG＝12，
∴S四邊形ECBG＝S△ABG﹣S△ACE
AE×OD
6×3
＝27．
（3）直線CD上存在點(diǎn)Q使得∠ABQ＝45°，分兩種情況：
如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，∠ABQ＝45°，
過點(diǎn)A作AM⊥AB，交BQ于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，
則△ABM為等腰直角三角形，
∴AM＝AB，
∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAM＝∠ABO，
∵∠AHM＝∠AOB＝90°，
∴△AMH≌△BAO（AAS），
∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，
∴M（4，10），
∵B（6，0），
∴直線BM的解析式為y＝﹣5x+30，
∵C（3，2），CD∥y軸，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴y＝﹣5×3+30＝15，
∴Q（3，15）．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，∠ABQ＝45°，
過點(diǎn)A作AN⊥AB，交BQ于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NG⊥y軸于點(diǎn)G，
同理可得△ANG≌△BAO，
∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，
∴N（﹣4，﹣2），
∴直線BN的解析式為yx，
∴Q（3，）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，15）或（3，）．
練習(xí)2. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AO與直線AC的表達(dá)式分別為：y＝x、y＝2x﹣6．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．
（2）若點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在直線OA上，且MN∥y軸，MN＝OA，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若點(diǎn)B在x軸正半軸上，當(dāng)△BOC的面積等于△AOC面積的一半時(shí)，求∠ACO+∠BCO的大小．
【解答】（1）聯(lián)立和得：
解得
A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；
（2）∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）
∴OA=，
∴MN=OA=2，
∵點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在直線OA上，且MN//y軸，
∴設(shè)M的坐標(biāo)為（a，2a-6），則N的坐標(biāo)為（a，），
則存在以下兩種情況：
①當(dāng)M在N點(diǎn)下方時(shí)，如圖3，
則MN=-（2a-6）=2，解得a=，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）；
②當(dāng)M在N點(diǎn)上方時(shí)，如圖4，
則MN=（2a-6）-=2，解得a=，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）；
綜上所述，N的坐標(biāo)為（），（）
（3）∵△BOC與△AOC有相同的底邊OC，
∴當(dāng)△BOC的面積等于△AOC的面積一半時(shí)，△BOC的高OB的長(zhǎng)度是△AOC的高的一半，
∴OB=2，
設(shè)直線AC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則D（3，0），
作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G，則OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，
則∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，
連接GC，作DE⊥GC于點(diǎn)E，如圖5
由勾股定理可得：GC=，DC=，
在△CGD中，由等面積法可得：OC DG=DE GC，
可得DE=，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，
∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．
練習(xí)3.綜合與實(shí)踐：
數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣．
折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF，如圖①．
(1)∠EAF＝______°，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：__________（不需要添加字母）；
轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖①中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)P，Q，連接PQ，如圖②．
(2)判斷線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
(3)連接正方形對(duì)角線BD，若圖②中的∠PAQ的邊AP，AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M，點(diǎn)N，如圖③，求的值．
【解答】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝（∠BAC＋∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案為：45；△AEF，△EFC，△ABC，△ADC
（2）PQ＝BP＋DQ．
證明：如圖②中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝DQ．
∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP＋∠BAT＝∠BAP＋∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，
∵PT＝PB＋BT＝PB＋DQ，
∴PQ＝BP＋DQ
（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴.
模塊三： 45度角與二次函數(shù)、圓結(jié)合
一、例題精講
例題1．如圖，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，若， 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)M在拋物線上，若中有一個(gè)內(nèi)角為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M 的坐標(biāo)．
【解答】
（1）解：拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為．
∴，
將，代入得：，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)直線的解析式為，代入，得：，解得：，
∴直線的解析式為，
令中邊上的高為，中邊上的高為，
∵，即，
則，
∴，
∴直線的解析式為，
將代入，可得，解得，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）以為斜邊，在上方作等腰，則，設(shè)，
過點(diǎn)作軸，，則，
而，
∴，
∴，
∴，，
∵，即：，
∴，則，即，
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，
同（2）可得直線的解析式為：，
聯(lián)立得直線與拋物線得，解得：或（舍去），
即：點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，
同上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③當(dāng)時(shí)，
∵，
∴點(diǎn)以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
即點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，
設(shè)，
∴，
即：，
整理得：，
，
，
，
，
，
解得：（舍去）或或或（舍去），
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即：點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
例題2．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，且OA=2OC．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求的值；
（3）如果點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CAD=45 ，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解答】
（1）∵C（0，-3），
∴OC=3．y=x2+bx-3．
∵OA=2OC，
∴OA=6．
∵a=＞0，點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，-3）．
∴A（6，0）．
∴0=×36+6b-3，
∴b=-1．
∴y=x2-x-3，
∴y=（x-2）2-4，
∴M（2，-4）．
答：拋物線的解析式為y=x2-x-3，M的坐標(biāo)為（2，-4）；
（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．
∴∠AHM=∠NEM=90°．
在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得
AM=4，
∴∠AMH=∠HAM=45°．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴直線AC的表達(dá)式為y=x-3．
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2，
∴N（2，-2）．
∴MN=2．
∵∠NEM=90°，∠NME=45°，
∴∠MNE=∠NME=45°，
∴NE=ME．
在Rt△MNE中，
∴NE2+ME2=NM2，
∴ME=NE=．
∴AE=AM-ME=3
在Rt△AEN中，tan∠MAC=．
（3）如圖2，
①當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時(shí)，
∵∠CAD1=∠D1AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，
∴∠D1AH=∠CAM，
∴tan∠D1AH=tan∠MAC=．
∵點(diǎn)D1在拋物線的對(duì)稱軸直線x=2上，
∴D1H⊥AH，
∴AH=4．
在Rt△AHD1中，
D1H=AH tan∠D1AH=4×=．
∴D1（2，）；
②當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時(shí)，
∵∠D2AC=∠D2AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D2AM+∠AD2M=45°，
∴∠MAC=∠AD2M．
∴tan∠AD2H=tan∠MAC=．
在Rt△D2AH中，D2H=．
∴D2（2，-12）．
綜上所述：D1（2，）；D2（2，-12）．
跟進(jìn)練習(xí)
練習(xí)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，且OB＝3OA，與y軸交于點(diǎn)C，此拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)E是y軸上的一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），當(dāng)BE⊥DE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)F是拋物線上的一點(diǎn)．且∠FBD＝135°，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【解答】解：
⑴ ，
∴D（1，－4）；
⑵ 設(shè)E（0，t）,
則,
∴E(0,－1)；
⑶ 又⑵得∠BCD＝90°,
∴△BCD≌△BEG,EG＝CD＝,BE＝BC＝,
∠DBG＝135°,
∴G(,),
又B（3，0），
∴BF:，
∴.
故答案為（1）D(1，－4)；（2）E（0，1）；（3）（－4，21）
練習(xí)2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，2），它的頂點(diǎn)為D（1，m），且tan∠COD＝．
（1）求m的值及拋物線的表達(dá)式；
（2）將此拋物線向上平移后與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB．若點(diǎn)A是由原拋物線上的點(diǎn)E平移所得，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)（位于x軸上方），且∠APB＝45°．求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】
解：（1）作DH⊥y軸，垂足為H，∵D（1,m）（），∴DH＝ m，HO＝1.
∵，∴，∴m＝3.
∴拋物線的頂點(diǎn)為D（1,3）.
又∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,2），
∴（2∴∴拋物線的表達(dá)式為.
（2）∵將此拋物線向上平移，
∴設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為.
則它與y軸交點(diǎn)B（0,2＋k）.
∵平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且OA＝OB，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2＋k,0）.
∴.∴.
∵，∴.
∴A（3,0），拋物線向上平移了1個(gè)單位.
∵點(diǎn)A由點(diǎn)E向上平移了1個(gè)單位所得，∴E（3,－1）.
（3）由（2）得A（3,0），B（0, 3），∴.
∵點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)（位于x軸上方），且∠APB＝45°,原頂點(diǎn)D（1,3）,
∴設(shè)P（1,y），設(shè)對(duì)稱軸與AB的交點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為H，則H（1,0）.
∵A（3,0），B（0, 3），∴∠OAB＝45°, ∴∠AMH＝45°.
∴M（1,2）. ∴.
∵∠BMP＝∠AMH, ∴∠BMP＝45°.
∵∠APB＝45°, ∴∠BMP＝∠APB.
∵∠B＝∠B，∴△BMP∽△BPA.
∴.∴
∴.∴（舍）.
∴
練習(xí)3．已知：如圖，在中，是直徑，點(diǎn)C在圓上，且滿足弧弧．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，點(diǎn)D、E，⊙O上，連接、、、、，．求證：；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F在上，且滿足，M、G分別是、與的交點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，若tan∠，，求的長(zhǎng)．
【解答】
（1）證明：如圖1中，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴BC＝AC，
∴∠A＝∠B＝45°；
（2）證明：
∵CE＝BD，
∴，
∵，
∴，
∴CD＝AE；
（3）解：如圖3中，設(shè)BC＝AC＝12m．延長(zhǎng)BF交⊙O于點(diǎn)K，連接AK．
∵EC＝BD，AC＝BC，AE＝CD，
∴△AEC≌△CDB（SSS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠DBF＝∠BAE＝∠ECB，
∴∠DBF＋∠CBF＝∠ECB＋∠BCA，
∴∠CBF＝∠ACB＝90°，
∵∠K＝∠CBK＝∠ACB＝90°，
∴四邊形AKBC是矩形，
∵CA＝CB，
∴四邊形AKBC是正方形，
∴BK＝BC＝12m，
將△ACM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AKN，
∵，
∴，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，
∵∠KAF＋∠CAM＝∠KAF＋∠KAM＝45°，
∴∠FAM＝∠FAN＝45°，
∵AF＝AF，AM＝AN，
∴△FAM≌△FAN（SAS），
∴MF＝FN＝FK＋KN＝FK＋CM，
∵tan∠BFM＝=，
∴可以假設(shè)BM＝3k，BF＝4k，則FM＝5k，
∵CM＝12m 3k，F(xiàn)K＝12m 4k，
∴24m 7k＝5k，
∴k＝2m，
∴BM＝CM＝6m，
∵，
∴∠BCD＝∠CAE，
∵∠BCD＋∠ACG＝90°，
∴∠CAE＋∠ACG＝90°，
∴∠CGA＝90°，
∴CH⊥AM，
∵AC＝CB，∠ACM＝∠CBH＝90°，∠BCH＝∠CAM，
∴△CBH≌△ACM（ASA），
∴CH＝AM，
∴tan∠CAM＝＝＝，
∵AG＝4，
∴CG＝2，
∵tan∠MCG＝＝，
∴MG＝1，
∴AM＝CH＝5，
∴GH＝CH CG＝5 2＝3．

展開更多......

收起↑