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(共42張PPT)
第三節　萬有引力定律的應用
　核心素養點擊
物理觀念 (1)理解“稱量地球質量”的基本思路
(2)理解計算太陽質量的基本思路
科學思維 (1)理解萬有引力定律在天文學上的重要應用——預測未知天體、預言哈雷彗星的回歸
(2)能將天體問題中的對象和過程轉換成相關模型后進行求解
科學態度與責任 認識萬有引力定律的科學成就，體會科學的迷人魅力，有探索太空、了解太空的興趣
一、預測地球形狀　預測未知天體
1．填一填
(1)牛頓通過萬有引力定律的理論計算，大膽預測：地球由于自轉作用，赤道部分應該隆起，成為兩極扁平的 。
(2)地面附近物體受地球引力的大小為 ，引力可以分解為 和物體隨地球自轉所需的 。物體從兩極移向赤道時重力 。
橢球體
重力
向心力
變小
(3)海王星的發現。
英國劍橋大學的學生 和法國青年天文學家 ，根據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，柏林天文臺的望遠鏡在他們計算出來的軌道位置附近發現了這顆行星——海王星。
(4)預言哈雷彗星回歸。
英國天文學家 ，依據萬有引力定律計算彗星軌道，準確預言了彗星的回歸時間。
(5)意義： 的發現和 的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。
亞當斯
勒威耶
哈雷
海王星
哈雷彗星
2．判一判
(1)海王星、冥王星的發現表明了萬有引力理論在太陽系內的正確性。 ( )
(2)天體的運動是無法預測的。 ( )
(3)哈雷彗星的回歸有一定的周期。 ( )
√
×
√
3．選一選
科學家們推測，太陽系有顆行星和地球在同一軌道上，從地球上看，它永遠在太陽的背面，人類一直未能發現它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”，由以上信息我們可以推知 (　　 )
A．這顆行星的質量等于地球的質量
B．這顆行星的密度等于地球的密度
C．這顆行星的公轉周期與地球公轉周期相等
D．這顆行星的自轉周期與地球自轉周期相等
解析：由題意知，該行星和地球一樣繞太陽運行，且該行星、太陽、地球始終在同一直線上，說明該行星與地球有相同的公轉周期，C選項正確；但根據所給條件，無法進一步判斷這顆行星與地球的自轉周期、質量、密度是否相等。
答案：C　
萬有引力
中心天體
中心天體
2．判一判
(1)利用地球繞太陽做勻速圓周運動的信息，可求出地球的質量。 ( )
(2)行星做勻速圓周運動的軌道半徑越大，太陽的質量就越大。 ( )
(3)通過觀測衛星繞地球的運轉的周期和軌道半徑可以計算出地球的質量。 ( )
3．想一想
若已知月球繞地球轉動的周期T和半徑r，由此可以求出地球的
質量嗎？能否求出月球的質量呢？
×
×
√
探究(一)　　天體質量和密度的計算
[問題驅動]
如圖甲所示是站在地球上的某個人；如圖乙所示為太陽、地球、月球的運行關系圖，即地球圍繞太陽公轉，月球圍繞地球公轉。思考以下問題：
(1)如果知道該人的重力，能求出地球的質量嗎？如果不能，還需要知道哪些物理量？
(2)能求得地球的密度嗎？怎樣求？
(3)如果利用地球圍繞太陽公轉，能計算哪個天體的質量，需要估測哪些量？
(4)如果利用月球圍繞地球公轉，能計算哪個天體的質量，需要估測哪些量？
(2)環繞法。
借助環繞中心天體做圓周運動的行星(或衛星)計算中心天體的質量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：
半徑為R的某天體的一顆衛星距該天體表面的高度為h，測得衛星在該高度做圓周運動的周期為T，已知引力測量為G，求該天體的質量和密度。
[遷移·發散]
1．在上述典例中，假設在該天體上發射一顆貼近該天體的表面做勻速圓周運動的衛星，它的周期為T0 。求該天體的質量和密度。
2．若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R。求：(不考慮月球自轉的影響)
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質量M；
(3)月球的密度。
[素養訓練]
1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數據，可以估算出的物理量有 (　　)
A．月球的質量 B．地球的質量
C．地球的半徑 D．地球的密度
2．土星最大的衛星叫“泰坦”(如圖)，每16天繞土星一周，其公轉軌道半徑約為1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則土星的質量約為 (　　)
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
探究(二)　天體運動的分析與計算
[問題驅動]
如圖所示為太陽系的其中六個行星圍繞太陽運動的示意圖。
請思考：
(1)地球、火星等行星繞太陽的運動遵守什么規律？
提示：地球、火星等行星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力。
(2)如何比較地球、火星等行星繞太陽運動的線速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小關系？
3．天體的運動參量與軌道半徑r的關系分析
如圖甲所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖乙所示的周期性變化，該周期與P的公轉周期相同。已知Q的質量為M，引力常量為G。關于P的公轉，下列說法正確的是(　　)
答案：B　
天體運動參量的比較問題的兩點提醒
(1)相比較的不同天體必須是繞同一中心天體做勻速圓周運動。
(2)對于同一個運動天體，只要軌道半徑r改變，天體運動的加速度a、線速度v、角速度ω和周期T都隨之改變——“牽一發(r)而動全身(a、v、ω、T)”。
[素養訓練]
1．中國空間站運行軌道近似為圓形。為補充物資，貨運飛船需定期與空間站交會對接，對接后形成的組合體仍在原軌道運行。與對接前的空間站相比，組合體運行(　　)
A．周期變大 B．線速度變大
C．向心加速度變大 D．所需的向心力變大
答案：D　
2．如圖所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶。假設該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運動。下列說法正確的是 (　　)
A．太陽對各小行星的引力相同
B．各小行星繞太陽運動的周期均小于一年
C．小行星帶內側小行星的向心加速度值大于外側小行星的向心加速度值
D．小行星帶內各小行星做圓周運動的線速度值均大于地球公轉的線速度值
一、培養創新意識和創新思維
下表給出了五顆衛星繞木星運行的數據，這些衛星的運動可近似視為圓周運動。
衛星 軌道半徑r/km 周期T/d 衛星質量m/kg
木衛五 1.814×105 0.498 2.08×1018
木衛一 4.217×105 1.77 8.93×1022
木衛二 6.710×105 3.55 4.80×1022
木衛三 1.070×106 7.15 1.48×1023
木衛四 1.883×106 16.7 1.08×1023
(1)請根據表中數據定性描述：衛星運行周期與軌道半徑之間的關系，衛星運行周期與衛星質量之間的關系。
(2)請用物理規律來證明你的上述分析。
二、注重學以致用和思維建模
1．(2024·新課標卷)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c 的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的(　　)
A．0.001倍　　　　　　　 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
答案：B　課時跟蹤檢測（十三） 萬有引力定律的應用
組—重基礎·體現綜合
1．月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的，若已知月球半徑約為1.72×103 km，引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面重力加速度為9.8 m/s2。試估算月球質量的數量級為(　　)
A．1016 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
解析：選C　根據G＝mg可得M＝，則M月＝＝ kg＝7.2×1022 kg，選項C正確。
2．地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉，所以有(　　)
A．物體在赤道處受到的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處
B．赤道處的角速度比南緯30°大
C．地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大
D．地面上的物體隨地球自轉時提供向心力的是重力
解析：選A　由F＝G可知，若地球看成球形，則物體在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的兩個分力一個是物體的重力，另一個是物體隨地球自轉所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，A對。地球上各處的角速度均等于地球自轉的角速度，B錯。地球上只有赤道上的物體向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C錯。地面上物體隨地球自轉的向心力是萬有引力與地面支持力的合力，D錯。
3．設想將來發射一顆人造衛星，能在月球繞地球運動的軌道上穩定運行，該軌道可視為圓軌道。該衛星與月球相比，一定相等的是(　　)
A．質量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的萬有引力大小
解析：選C　根據G＝ma，可得a＝，因該衛星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小相同；因該衛星的質量與月球質量不一定相等，則向心力大小以及受到地球的萬有引力大小均不一定相等。故選C。
4．過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51 peg b”的發現拉開了研究太陽系外行星的序幕。“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的。該中心恒星與太陽的質量的比值約為(　　)
A. B．1
C．5 D．10
解析：選B　由G＝mr得M∝，已知＝，＝，則＝3×2≈1，B項正確。
5．(2024·山東高考)“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　根據萬有引力公式＝mr，整理得M＝，因為“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行的周期與地球同步衛星環繞地球運行的周期相等，故＝，故選D。
6．一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要(　　)
A．測定飛船的運行周期 B．測定飛船的環繞半徑
C．測定行星的體積 D．測定飛船的運行速度
解析：選A　取飛船為研究對象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故選A。
7．一行星繞恒星做圓周運動。由天文觀測可得，其運行周期為T，速度為v，引力常量為G，則下列關系式錯誤的是(　　)
A．恒星的質量為
B．行星的質量為
C．行星運動的軌道半徑為
D．行星運動的加速度為
解析：選B　因v＝，所以r＝，C正確；結合萬有引力定律公式G＝m，可解得恒星的質量M＝，A正確；因不知行星和恒星之間的萬有引力的大小，所以行星的質量無法計算，B錯誤；行星的加速度a＝＝v2·＝，D正確。
8．(多選)三顆火星衛星A、B、C繞火星做勻速圓周運動，如圖所示，已知mA＝mBA．運行線速度關系為vA>vB＝vC
B．運行周期關系為TAC．向心力大小關系為FA＝FBD．半徑與周期關系為＝＝
解析：選ABD　由G＝m得v＝ ，所以vA>vB＝vC，選項A正確；由G＝mr得T＝2π ，所以TAaB＝aC，又mA＝mBFB，FB9．有一星球的密度與地球相同，但它表面處的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)該星球半徑與地球半徑之比；
(2)該星球質量與地球質量之比。
解析：(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝。
(2)由(1)可知該星球半徑是地球半徑的4倍。根據M＝得＝·＝。
答案：(1)4∶1　(2)64∶1
組—重應用·體現創新
10．“嫦娥五號”探測器是中國首個實施無人月面取樣返回的航天器，由軌道器、返回器、著陸器、上升器四個部分組成，由“長征五號”運載火箭在中國文昌航天發射場發射升空，自動完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球，帶回約2 kg月球樣品。某同學從網上得到一些信息，如表中數據所示，請根據題意，判斷地球和月球的密度之比為(　　)
月球半徑 R0
月球表面處的重力加速度 g0
地球和月球的半徑之比 ＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6
A.　　　B.　　　C．4　　　D．6
解析：選B　忽略地球自轉的影響，在地球表面，物體的重力等于物體所受的萬有引力，故mg＝G，
解得M＝，
故地球的密度ρ＝＝＝，
同理，月球的密度ρ0＝，
故地球和月球的密度之比＝＝6×＝。
11.科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為(　　)
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：選B　由萬有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只與中心天體的質量有關，則＝，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正確。
12．我國航天技術飛速發展，設想數年后宇航員登上了某星球表面。宇航員從距該星球表面高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出一小球，測得小球做平拋運動的水平距離為L，已知該星球的半徑為R，引力常量為G。求：
(1)該星球表面的重力加速度；
(2)該星球的平均密度。
解析：(1)小球在星球表面做平拋運動，
有L＝vt，h＝gt2，解得g＝。
(2)在星球表面滿足G＝mg，
又M＝ρ·πR3，解得ρ＝。
答案：(1)　(2)
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