資源簡介

勾股定理的應用舉例
【課時安排】
2課時
【第一課時】
【教學目標】
（一）教學知識點：能運用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡單的實際問題。
（二）能力訓練要求：
1．學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念。
2．在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想。
（三）情感與價值觀要求：
1．通過有趣的問題提高學習數學的興趣。
2．在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性，體現人人都學有用的數學。
【教學重難點】
1．重點：探索、發現給定事物中隱含的勾股定理及其逆定理，并用它們解決生活實際問題。
2．難點：利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題。
【教學過程】
一、創設問題情境，引入新課：
（一）前面課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？
1．例如：欲登12m高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5m，至少需多長的梯子？
根據題意，AC是建筑物，則AC=12m，BC=5m，AB是梯子的長度。所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13m。
所以至少需13m長的梯子。
2．講授新課：
螞蟻怎么走最近？
出示問題：有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm。在圓形柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？
（1）同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？（小組討論）
（2）如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么？你畫對了嗎？
（3）螞蟻從A點出發，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？（學生分組討論，公布結果）
我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形。好了，現在咱們就用剪刀沿母線AA′將圓柱的側面展開如下圖。
我們不難發現，剛才幾位同學的走法：
（1）A→A′→B； （2）A→B′→B；
（3）A→D→B； （4）A→B。
哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？
第（4）條路線最短。因為“兩點之間的連線中線段最短”。
做一做：李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD，BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測∠DAB=90°，∠CBA=90°。連結BD或AC，也就是要檢測△DAB和△CBA是否為直角三角形。很顯然，這是需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題。
3．隨堂練習。
4．課時小結。
這節課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題。我們從中可以發現用數學知識解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數學模型。
【作業布置】
課本習題3.4。
【第二課時】
【教學目標】
1．經歷運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程，在數學活動中發展學生的探究意識和合作交流的習慣。
2．掌握勾股定理及其逆定理和它們的簡單應用。
【教學重難點】
能熟練運用勾股定理及其逆定理解決實際問題。
【教學過程】
一、復習鞏固。
（一）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：
c=a+b（c為斜邊）。
（二）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關系：a+b=c，那么這個三角形是直角三角形。
注意：勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
二、講授新課。
（一）例1：代數學著作《九章算術》中記載了如下一個問題：有一個水池，水面的邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？
學生獨立或合作思考后，會將此問題轉化為數學模型，如圖設水深為x尺，則蘆葦的長度為（x+1）尺。
由勾股定理得x +5 =(x+1) ；
解得x=12（尺）；x+1=13（尺）
答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺。
（二）例2：如圖，某隧道的截面是一個半徑為4.2m的半圓形，一輛高3.6m，寬3m的卡車能通過該隧道嗎？
解：隧道的橫截面如圖2，AB的中點O是隧道的截面半圓的圓心。
OB=1.5m，BC=3.6m，∠ABC為直角。
在直角三角形OBC中，由勾股定理得：OC2=OB2+BC2=15.21m
隧道的截面半徑r=4.2m，4.2×4.2=17.64>15.21
故卡車可以沿著該隧道中間順利通過。
三、隨堂練習。
（一）今早7∶00，我從家出發，以100米/分的速度向西走5分鐘，又以120米/分的速度向南走10分鐘，到達學校。
1．早上老師共走了多少路程？
2．家到學校的距離是多少？
（二）如圖，一座城墻高11.7m，墻外有一個寬為9m的護城河，那么一個長為15m的云梯能否到達墻的頂端？
（三）課本隨堂練習。
【作業布置】
習題3.5—1、3。

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