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第一章 三角形的證明
第一節(jié) 等腰三角形
【全等三角形的性質(zhì)與判定考查】
例1、如圖，1、如圖，△ABC中 AB=AC， D為BC中點(diǎn)
求證：①△ABD≌△ACD．②∠BAD=∠CAD ③AD⊥BC
練習(xí)1、如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，且∠ABD=∠ACE
求證：BF=CF．
1．用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等
【等腰三角形的性質(zhì)定理考查】
例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度數(shù)；
（3）若BC=3cm，求BD的長.
練習(xí)1.如圖,△ABC中,AB =AC,∠BAC = 120 ，AD是BC邊上的中線，且BD = BE，則∠ADE的度數(shù)為____。
練習(xí)2、如圖，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB =AC，BC = BD，AD =DE =BE，則∠A的度數(shù)為______。
【等腰三角形分類討論考查】
例2、等腰三角形的一個底角為50°，則它的頂角的度數(shù)為______；若等腰三角形的一個角等于50°，則它的底角的度數(shù)為______.
練習(xí)1、一個等腰三角形的兩個內(nèi)角和為100 ,則它的頂角度數(shù)為__________.
2．等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
3．如圖，∠MON=43°，點(diǎn)A在射線OM上，動點(diǎn)P在射線ON上滑動，
要使△AOP為等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)P共有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【等邊三角形的性質(zhì)定理考查】
例1、如圖，已知△ABC為等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，△APQ為等邊三角形。求證：AB∥CQ
練習(xí)1、如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD
練習(xí)2、已知:如下圖,P、Q是△ABC邊BC上兩點(diǎn),且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度數(shù).
練習(xí)3、如圖①，M、N點(diǎn)分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點(diǎn)Q．
（1）求證：∠BQM=60°；
（2）如圖②，如果點(diǎn)M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立 若成立，給予證明；若不成立，說明理由．
【等腰三角形的判定定理考查】
例1、如圖所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，過D作DF⊥AC，垂足為F，交BC于E，且BD=BE，求證：△ABC是等腰三角形。
練習(xí)1、已知：AB=DC，BD=CA。求證：△AED是等腰三角形
練習(xí)2、如圖，△ABC中BA=BC，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，DF⊥AC于F交BC于E，
求證：△DBE是等腰三角形
變式1、已知：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.
變式2．如圖4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．
（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，求證：EF＝AE＋BF．
圖4－10
（2）如圖4－11，將直線l繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D，請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
圖4－11
練習(xí)3、如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF=EF，BD=CE，過D作DG∥AC交BC于G．求證：
（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．
練習(xí)4、如圖,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足為點(diǎn)D,DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形。
【★全等三角形+等腰三角形綜合應(yīng)用】
例1、如圖,△ABC ≌△DEF,點(diǎn)F在BC邊上,AB與EF相交于點(diǎn)P.若∠DEF =40 ,PB =PF,則∠APF =_____.
練習(xí)1、如圖所示，已知等邊△ABC中，BD =CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，求∠APE的度數(shù)。
練習(xí)2、如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.
求證：AC=CD； （2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)
【反證法例題說明】如圖所示，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等.
假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，這與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
例1、用反證法證明等腰三角形的底角為銳角
練習(xí)1、用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°
【等邊三角形的判定定理考查】
例1、下列條件中，不能得到等邊三角形的是（ ）
A．有兩個內(nèi)角是60°的三角形
B．有兩邊相等且是軸對稱的三角形
C．有一個角是60°且是軸對稱的三角形
D．三邊都相等的三角形
練習(xí)1、下面給出的幾種三角形：①有兩個角為60°的三角形；②三個外角都相等的三角形；③一邊上的高也是這邊上中線的三角形；④有一個角為60°的等腰三角形．其中是等邊三角形的個數(shù)是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
練習(xí)2、如圖，D、E在線段BC上，BD=CE，∠B=∠C，∠ADB=120°.求證：△ADE是等邊三角形.
【★等邊三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用】
例1.如圖所示，在等邊△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，BD=CE. ∠1=∠2. 在判斷△ADE的形狀時，小明認(rèn)為△ADE是等腰三角形，而小亮認(rèn)為△ADE是等邊三角形，你認(rèn)為誰的判斷準(zhǔn)確？并說明理由。
練習(xí)1、如下圖所示，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長線上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，CE=BD。求證：△ADE為等邊三角形。
練習(xí)2、如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F. (1)求證：AN=MB； (2)求證：△CEF為等邊三角形；

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