資源簡介

1.1二次函數
教學目標
從實際情境中讓學生經歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數關系的過程,進一步體驗如何用數學的方法去描述變量之間的數量關系。
理解二次函數的概念,掌握二次函數的標準形式。
會建立簡單的二次函數的模型,并能根據實際問題確定自變量的取值范圍。
會用待定系數法求二次函數的表達式。
重點難點
重點：二次函數的概念和表達式
難點：用適當的函數解析式表示實際問題中兩個變量之間的函數關系。即建立函數模型。
案例一
教學過程
環節一：情境導入
問題1：
（1）一輛汽車前燈電路的電壓保持不變。可選用什么數學模型來刻畫燈泡的電阻和通過的電流強度之間的關系？
（2）汽車油箱中原有油60升，如果行駛中每小時用油6升，可選用什么數學模型來刻畫油箱中的油量和行駛時間之間關系？
我們可以用一次函數、反比例函數表示兩個變量之間的變化規律，函數是解決實際問題的重要的數學工具.
【設計意圖】通過學生熟悉的情境讓學生體驗函數來源于生活;許多實際問題可以建立函數模型用函數解決.
問題2：我們已經學過了哪幾種類型的函數？我們學習了一次函數、反比例函數的哪些內容？
師生活動：回憶函數的定義，圖象和性質，并回顧一次函數的研究程序：
定義 圖象 性質 應用．
【設計意圖】通過對已學函數內容的回顧、復習，挖掘已學兩類函數的相同點及差異，為類比學習二次函數打好鋪墊.
問題3：下列問題中兩個變量之間的關系是否是一次函數和反比例函數？
一個長方形溫室的周長為120m，則占地面積y（m2）和其中一條邊長x（m）之間的關系是什么？y=x(60-x)=-x2+60x
他們之間的關系既不是一次函數也不是反比例函數，哪可以用哪一種函數來表示呢？
【設計意圖】讓學生感受生活中存在一些兩個變量之間的關系不能用一次函數或者反比例函數來表示，需要用另外的函數表示，引出本章要學習的另一類函數模型.
環節二、探究新知
1.問題1：請用適當的函數解析式表示下列問題情境中的兩個變量y與x之間的關系.
（1）圓的面積 y (cm2)與圓的半徑 x (cm).
（2）x個人參加某項活動，每兩個人握一次手，這x個人握手的總次數y.
（3）某工廠1月份的產值為20萬元，平均每月產值的增長率為x，該工廠第一季度的產值y（萬元）
師生活動：1、先學生個體探究，嘗試寫出y與x之間的函數解析式.2、請學生寫出三個問題的函數解析式并進行化簡.
2.問題2：上述三個函數解析式和問題3的函數解析式具有哪些共同的特征？
讓學生充分發表意見，提出各自的看法.
(1)y=πx2 (2) (3)y=20(1+x)2=20x2+40x+20 （4）y=x(60-x)=-x2+60x
整理得到特征：
（1）右邊都是關于自變量的整式.
（2）自變量的最高次都是二次.即都是關于自變量的二次多項式.等式的右邊最高次數為2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項.
3.類比一次函數歸納二次函數的定義.
定義：我們把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數.
稱a為二次項系數， b為一次項系數，c為常數項.
請說出上述四個函數解析式中的二次項系數、一次項系數和常數項.
【設計意圖】讓學生經歷從實際情境中建立函數關系，體驗用數學方法描述兩個變量之間的關系，通過對函數表達式特征的分析，對一次函數的定義的回顧遷移，引導學生類比歸納出二次函數的定義.
4.概念剖析
問題：在二次函數y=ax +bx+c（a≠0)中
（1）常量和變量分別是什么？
（2）自變量x的取值范圍是什么？
【設計意圖】進一步體驗鞏固函數關系是表示兩個變量之間的關系，當a,b,c確定時函數關系就確定了.當自變量沒有實際意義時確定自變量的取值范圍只需使代數式有意義即可.
概念鞏固
（1）下列函數中，哪些是二次函數？若是請指出它的二次項系數，一次項系數，常數項.
① ② y=2x-3 ③ y=x(1-x) ④ ⑤y =(x-1)(x+3) ⑥y=(x-5)2-x2
問題:判斷一個函數是否二次函數的關鍵是什么呢？
關鍵是右邊是否是關于自變量的二次整式
追問：二次函數的表達式中，a≠0？b、c可否為0？
a≠0,b、c可以為0.
由此得到二次函數三種特殊形式：(1)y=ax2 (2) y=ax2+bx (3) y=ax2+c
（2）關于x的函數y=ax +bx+c（其中 a、b、c 是常數 ），當 a、b、c 滿足什么條件時，
①它是二次函數；
②它是一次函數；
③它是正比例函數。
答案：a≠0; a=0且b≠0; a=0，c=0且b≠0
【設計意圖】通過辨析，加深對概念的理解。通過對系數的討論確定已學函數類型，建構三種函數定義的知識網絡.
環節三、例題講解
1.會建立簡單的二次函數的模型，能根據實際問題確定自變量的取值范圍，并能根據自變量求對應的函數值.
例題1、如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）。設AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四邊形EFGH的面積為y(cm2),求：
y關于x 的函數解析式和自變量x的取值范圍.
當x分別為0.25，0.5，1，1.5，1.75時，對應的四邊形EFGH的面積，并列表表示.
師生活動：
1.第（1）小題，學生獨立分析思考，嘗試寫出函數解析式，并求自變量的取值范圍.
對于第一個問題可以用多種方法解答，比如：
求差法：四邊形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-直角三角形AEH的面積的4倍.
直接法：先證明四邊形EFGH是正方形，再運用勾股定理求出EH2.
對于自變量的取值范圍，引導學生要根據實際問題中自變量的實際意義來確定.
第（2）小題，分5個組分別求解并完成列表表示.
解：(1)由題意0y=
(2)當x=0.25cm時,y=2×0.252-4×0.25+4=3.125(cm2)
依次計算可得：x=0.5cm時,y=2.5(cm2); x=1cm時,y=2(cm2)
x=1.5cm時,y=2.5(cm2);x=1.75cm時,y=3.125(cm2)
列表如下：
x(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y(cm) 3.125 2.5 2 2.5 3.125
問題：觀察表格，你發現了什么？表中的數據有什么特點？
可以發現當x分別為0.25，0.5，1，1.5，1.75時,y的值由大變小再變大；當x=0.25和 x=1.75時,y的值是相等的，x=0.5和x=1.5時,y的值也是相等的；x=1時y的值最小；還可以發現.
追問：函數的表達式有三種，一種是解析式法，一種就是這里的表格法，還有一種是什么？（圖像法）
我們如果把表格中的x,y進行描點，連線，可以發現它的圖像不是直線，在接下來的幾節課中我們就會利用圖像重點研究二次函數的性質.
【設計意圖】通過實例進一步鞏固加深對概念的理解，初步感知二次函數的特征（性質）.
2.會用待定系數法求二次函數的解析式。
例題2、已知二次函數y=x +bx+c，當x=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5.求這個二次函數的表達式.
分析：問題1：要確定二次函數y=x +bx+c中的a、b、c，需要幾個條件？ .
需要3個條件，由于題目中二次項系數a是已知的，因此求二次函數的表達式只要求出一次項系數b和常數項c的值即可.
問題2：b，c的值如何求呢？
因為當x=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5，只要把這兩組對應值代入函數關系式，就可以得到關于b,c的二元一次方程組，求解即可求出b,c的值.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分別代入函數y=x +bx+c,得
解這個方程組，得
∴所求二次函數的表達式是y=x -12x+15
教師板書示范,再反思歸納.
對于已知的每組對應值滿足函數關系式,帶入后得到方程（組），一對對應值可以確定一個待定系數.
用待定系數法確定二次函數的表達式的步驟：
(1)設二次函數的表達式為y＝ax2＋bx＋c；
(2)已知三對x，y的值，代入表達式，得到關于a，b，c的方程組；
(3)通過解方程組確定二次函數的系數．
一元二次方程和二次函數具有一定的關系：方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函數y= ax2＋bx＋c中y=0時得到的.
【設計意圖】通過實例進一步鞏固加深對概念的理解，求二次函數表達式的策略是把函數問題轉化為方程問題.方法是待定系數法.
環節四：鞏固練習
1．若y＝(m2＋m)是二次函數，求m的值．
2.已知二次函數y=ax +bx+c，當x=2時，函數值是3；當x=-2時，函數值是2,當x=4時，函數值也是2.求這個二次函數的表達式.
3.如圖，在長200米，寬80米的矩形廣場內修建等寬的十字形道路，剩余部分為綠地，請寫出綠地面積y（m ）與路寬x（m）之間的函數表達式.
答案與解析：
1.根據二次函數的定義，只要滿足m2＋m≠0，且m2－m＝2，
y＝(m2＋m)就是二次函數．
解：由題意得
解，得
∴m＝2．
故若y＝(m2＋m)是二次函數，則m的值等于2．
2.解：把x=2，y=3和x=-2，y=2，x=4，y=2,分別代入函數y=ax +bx+c,得
解這個方程組，得
∴所求二次函數的表達式是
3.y=(200-x)(80-x)=x -280x+16000（0＜x＜80）
設計意圖：第1題是針對二次函數概念的鞏固練習；通過這題使學生深刻理解，看一個函數是否為二次函數的關鍵是看二次項系數是否為0，再就一定要注意自變量的最高指數是2
。第2題是針對例2設計的變式練習，鞏固用待定系數法來確定二次函數的表達式。第2題是針對例1設計的變式練習.
課堂總結
問題：本節課我們學習了什么？根據以往函數學習的經驗，接下來我們要研究什么？怎么研究？
學生活動：回憶、反思、交流
教師活動：指導、啟發、總結
今天我們認識了一種新的函數—二次函數，學習了它的定義.知道了如何運用二次函數分析解決一些實際問題，確定自變量的取值范圍.學會了一個方法：用待定系數法求簡單的二次函數解析式.
【設計意圖】用框圖的形式總結本節課的全過程，能夠及時總結本節課的知識點和思想方法，使學生及時建立知識結構，讓學生鞏固課堂所學知識，掌握思想方法。
布置作業
配套作業本1.1
案例二
教學過程
環節一：回顧引入
問題：矩形ABCD周長為12，邊AB長為x，BC長為y.
當矩形變化時，y是x的函數嗎？
師生活動：一起交流得到y=6-x,y是x的一次函數.
追問1：一次函數是如何研究的？
從實際問題中，找到兩個變量，如果它們存在一定的依賴關系，就得到一個函數，得到它的表達式，然后畫出函數圖象，通過直觀觀察，總結出函數的性質，最終又回到實際問題.所以數學來源于生活，也必將應用于生活.
追問2：上題中，當矩形變化時，面積s是x的函數嗎？
師生活動：一起交流得到s=x（6-x）=-x2+6x.面積s是x的函數,但不是一次函數.這就是我們今天要學習的一種新的函數.
【設計意圖】由一個非常簡單的一次函數的實際問題引出，引導學生回憶一次函數的研究過程，為后面用類比的方法學習二次函數進行鋪墊。通過追問引出課題，感受數學來源于生活．
環節二：探究新知
1.問題1：分析下列變化過程，并用函數表達式表示兩個變量之間的關系.
（1）圓的面積S與半徑r.
（2）某企業今年第一季度的產值為 80 萬元，預計產值的季平均增長率為 x. 第三季度的產值為 y 萬元.
（3）某水果店銷售一種水果的成本價是5元/千克.在銷售中發現，當這種水果的價格定為 7元/千克，每天可以賣出160千克.在此基礎上，這種水果的單價每提高1元/千克，該水果店每天就會少賣出 20 千克.若設這種水果的單價提高了 x 元/千克,該水果店每天銷售這種水果所獲得的利潤用 y 表示.
師生活動:上面問題完成后讓學生先分組交流然后展示，訂正答案.
通過師生共同探討，得到了以下3個關系式：
(1)S=πr2 (2) (3)y=(2+x)(160-20x)=-20x2+120x+320
【設計意圖】讓學生經歷從實際情境中建立函數關系，體驗用數學方法描述兩個變量之間的關系.
2.屬性歸納：
問題2：顯然，這3個從實際問題中抽象出新形式的函數和前面矩形面積關于邊長的函數.一樣。既然這類函數有豐富的現實情景，就有研究這類函數的必要.那么這類函數有何共同特征？可以與一次函數、反比例函數、一元二次方程等相比.
師生活動：學生參與定義二次函數的活動———形成二次函數的概念.
讓學生充分發表意見，依次從變量的個數角度來歸納，從表示自變量的字母的次數角度來歸納，從代數式的類型角度來歸納，類比一次函數及一元二次方程的概念來歸納.
發現它們都可以表示為y=ax +bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0)的形式.
共同特征：
1.等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式；
2. a，b，c 為常數，且 a≠0；
3.等式的右邊最高次數為 2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項；
4. x的取值范圍可以是任意實數，遇到實際問題時，自變量的取值范圍還有考慮實際問題是否有意義.
3.歸納二次函數的定義：我們把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數.稱a為二次項系數， b為一次項系數，c為常數項.
4.概念鞏固
問題3：請說出上述四個函數解析式中的二次項系數、一次項系數和常數項.
（1）S=πr2
二次項系數是π、一次項系數是0，常數項是0.
（2）
二次項系數是80、一次項系數是160，常數項是80.
（3）y=(2+x)(160-20x)=-20x2+120x+320
二次項系數是-20、一次項系數是120，常數項是320.
（4）s=x（6-x）=-x2+6x.
二次項系數是-1、一次項系數是6，常數項是0.
【設計意圖】通過對函數表達式特征的分析，對一次函數的定義的回顧遷移，引導學生類比歸納出二次函數的定義.
5.概念辨析
（1）下列函數中，哪些是二次函數？若是請指出它的二次項系數，一次項系數，常數項.
① ② y=2x-3 ③ y=x(1-x) ④ ⑤y =(x-1)(x+3) ⑥y=(x-5)2-x2
分析:判斷一個函數是否二次函數的關鍵是什么？
關鍵是右邊是否是關于自變量的二次整式
追問：二次函數的表達式中，a≠0？b、c可否為0？
a≠0,b、c可以為0.
由此得到二次函數三種特殊形式：(1)y=ax2 (2) y=ax2+bx (3) y=ax2+c
（2）關于x的函數y=ax +bx+c（其中 a、b、c 是常數 ），當 a、b、c 滿足什么條件時，
①它是二次函數；
②它是一次函數；
③它是正比例函數。
答案：a≠0; a=0且b≠0; a=0，c=0且b≠0
【設計意圖】通過辨析，加深對概念的理解。通過對系數的討論確定已學函數類型，建構三種函數定義的知識網絡.
回顧小結
問題4：獲得二次函數概念經歷了哪幾個步驟？
師生活動：交流討論得到：根據條件列出函數關系式→觀察所列函數關系式的個體特征→歸納所列函數關系式的共同特征→ 抽象這類函數關系式的本質特征→定義與表示這類函數.
教師小結：這個思維過程具有普適性，其蘊含的抽象思想、歸納思想、符號表示思想等是數學中的重要思想.
追問：二次函數與一元二次方程有何區別？
二次函數刻畫的是變量之間的變化關系，一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關系.二次函數的一般形式是y=ax +bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0)，而一元二次方程的一般形式是
ax +bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0).它們都是描述現實世界數量關系的重要數學模型.
【設計意圖】通過小結，加深對二次函數概念的理解。厘清二次函數與一元二次方程的不同.
環節三：例題講解
1.會建立簡單的二次函數的模型，能根據實際問題確定自變量的取值范圍，并能根據自變量求對應的函數值.
例題1、矩形ABCD周長為12，邊AB長為x，面積為S.
（1）當矩形變化時，求面積S關于x 的函數解析式和自變量x的取值范圍.
（2）當x分別為1，2，3，4，5時，對應的矩形ABCD的面積，并列表表示.
師生活動：
1.第（1）小題，學生獨立分析思考，函數解析式前面已經完成，這里主要是求自變量的取值范圍.引導學生要根據實際問題中自變量的實際意義來確定.
2.第（2）小題，分5個組分別求解并完成列表表示.
解：(1) S=x(6-x)==-x2+6x
由題意邊長都是正數，故AB>0且BC>0，因此x>0且6-x>0，解得0(2)當x=1時, S=-x2+6x=-1×12+6×1=5
依次計算可得：x=2時,S=8; x=3時,S=9
x=4時,S=8; x=5時,S=5
列表如下：
x 1 2 3 4 5
S 5 8 9 8 5
問題：觀察表格，你發現了什么？表中的數據有什么特點？
可以發現當x分別為1，2，3，4，5時,y的值由大變小再變大；當x=1和 x=5時,S的值是相等的，x=2和x=4時,S的值也是相等的；x=3時S的值最大；還可以發現.
追問：函數的表達式有三種，一種是解析式法，一種就是這里的表格法，還有一種是什么？（圖像法）
我們如果把表格中的x,y進行描點，連線，可以發現它的圖像不是直線，在接下來的幾節課中我們就會利用圖像重點研究二次函數的性質.
【設計意圖】通過實例進一步鞏固加深對概念的理解，初步感知二次函數的特征（性質）。
2.會用待定系數法求二次函數的解析式.
例題2、已知二次函數y=x +bx+c，當x=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5.求這個二次函數的表達式.
分析：
問題1：要求二次函數的表達式就是求什么？
題目中二次項系數a是已知的，因此求二次函數的表達式只要求出一次項系數b和常數項c的值即可.
問題2：b,c的值如何求呢？
因為當x=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5，只要把這兩組對應值代入函數關系式，就可以得到關于b,c的二元一次方程組，求解即可求出b,c的值.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分別代入函數y=x +bx+c,得
解這個方程組，得
∴所求二次函數的表達式是y=x -12x+15
教師板書示范,再反思歸納.
1.對于已知的每組對應值滿足函數關系式,帶入后得到方程（組），一對對應值可以確定一個待定系數.
2.用待定系數法確定二次函數的表達式的步驟：
(1)設二次函數的表達式為y＝ax2＋bx＋c；
(2)已知三對x，y的值，代入表達式，得到關于a，b，c的方程組；
(3)通過解方程組確定二次函數的系數．
3.一元二次方程和二次函數具有一定的關系：方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函數y= ax2＋bx＋c中y=0時得到的.
【設計意圖】通過實例進一步鞏固加深對概念的理解，求二次函數表達式的策略是把函數問題轉化為方程問題.方法是待定系數法.
環節四：鞏固練習
1．若y＝(m2＋m)是二次函數，求m的值．
2.已知二次函數y=ax +bx+c，當x=2時，函數值是3；當x=-2時，函數值是2,當x=4時，函數值也是2.求這個二次函數的表達式.
3.如圖，在長200米，寬80米的矩形廣場內修建等寬的十字形道路，剩余部分為綠地，請寫出綠地面積y（m ）與路寬x（m）之間的函數表達式.
答案與解析：
1.根據二次函數的定義，只要滿足m2＋m≠0，且m2－m＝2，
y＝(m2＋m)就是二次函數．
解：由題意得
解，得
∴m＝2．
故若y＝(m2＋m)是二次函數，則m的值等于2．
2.解：把x=2，y=3和x=-2，y=2，x=4，y=2,分別代入函數y=ax +bx+c,得
解這個方程組，得
∴所求二次函數的表達式是
3.y=(200-x)(80-x)=x -280x+16000（0＜x＜80）
【設計意圖】第1題是針對二次函數概念的鞏固練習；通過這題使學生深刻理解，看一個函數是否為二次函數的關鍵是看二次項系數是否為0，再就一定要注意自變量的最高指數是2
。第2題是針對例2設計的變式練習，鞏固用待定系數法來確定二次函數的表達式。第2題是針對例1設計的變式練習.
課堂總結
問題：（1）本節課研究了哪些內容？ 我們是怎樣研究的？
（2）何謂二次函數？定義二次函數經歷了哪幾個步驟？
（3）二次函數與一元二次方程有何區別？ 求二次函數表達式有何經驗？
（4）你在學習過程中有何感觸？ 你認為還應該研究什么？
今天我們認識了一種新的函數—二次函數，學習了它的定義.知道了二次函數可以看成是從現實生活中抽象出來的，又可以看成是從函數概念中演繹出來的，還可以看成是從變量角度看二次整式的結果.它的本質特征是解析式具有y=ax +bx+c(其中a,b,c是常數，a≠0)的形式.二次函數與一元二次方程的區別是：二次函數刻畫的是變量之間的變化關系，一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關系.求二次函數的表達式有兩種題型：一是問題沒有告訴函數關系是二次函數，可用列式法求表達式；二是問題告訴了函數關系是二次函數，可用待定系數法求表達式. 由于二次函數與一次函數有許多相似之處，所以研究二次函數的內容與方法可與研究一次函數的內容與方法類比.
【設計意圖】用框圖的形式總結本節課的全過程，能夠及時總結本節課的知識點和思想方法，使學生及時建立知識結構，讓學生鞏固課堂所學知識，掌握思想方法。
布置作業
配套作業本1.1
教學點評
本節課主要內容是二次函數的概念，二次函數是初中數學代數的重點和難點，本節課作為二次函數內容教學的起始課，必須為學生今后學習二次函數的概念、性質、表達、應用奠定扎實基礎。 函數本身就是較抽象的內容，學生不易理解，類比一次函數，可以讓學生有參照，找到熟悉感，從而對學好本章內容樹立信心. 在教學中，教師的關注點應是學生對二次函數與一次函數之間關系的理解及類比思想的掌握與應用. 類比思想是初中階段的重要思想，籠統地來說，解決一切新的問題都是在已知問題和已知方法的前提和基礎上進行的. 因此， 兩個案例都在教學中滲透了類比思想，尤其是概念的類比，讓學生學會知識的遷移，在此基礎上學會方法的類比，讓學生感知解決問題的基本思路，提高學習效率.
案例一根據“課標要求”和教材的意圖，以有代表性的實際問題為載體，從學生已有的知識與經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷完整的認知過程.
案例二在“定義二次函數”的教學中，既有“觀察→歸納→抽象→定義→鞏固”的過程，以獲得二次函數概念，又有獲得概念之后的反思，以感悟獲得二次函數概念的思維過程和所蘊含的歸納思想、符號表示思想等及二次函數與一元二次方程的區別.在“嘗試概念應用”的教學中，既有“分析→列式→求解”的過程，以解決給定的求函數表達式問題，又有解決問題之后的反思，以積累求函數表達式和自變量取值范圍的數學活動經驗.這體現了過程教育和以學為中心思想，也遵循了處于歸納層次的概念教學的基本規范.
備課資料
知識拓展
二次函數y= ax2＋bx＋c的二次項系數a、一次項系數b和常數項c：
(1)a決定拋物線的開口方向和大小，a與b決定拋物線對稱軸的位置，c決定拋物線與y軸交點的位置.
|a|相同的拋物線全等；a, b同號，拋物線的對稱軸(或頂點)即直線在y軸左側， a, b異號,拋物線的對稱軸(或頂點)即直線在y軸右側，當b=0時，拋物線的對稱軸為y軸；當c>0時，拋物線與、軸交于正半軸，當c<0時，拋物線與y軸交于負半軸，當c = 0 時，拋物線與y軸交點為原點，c相同的拋物線均過點(0, c).
a, b相同的拋物線是以頂點為動點的且沿對稱軸平移而得到的一組拋物線系.
(2)一元二次方程與二次函數緊密相關.二次方程是二次函數的特殊形式，即把y= ax2＋bx＋c中的y視為一個常數，則二次函數y= ax2＋bx＋c可視為關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c-y=0. 特別地，令y=0,可得圖象與x軸交點坐標(x1,0) (x2, 0)，得二次函數的交點式
y=a(x—x1)(x—x2),其中,當 b2—4ac>0 時，拋物線與x軸有兩個交
點；當b2—4ac=0時，拋物線與x軸有一個交點(頂點)；當b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
(3)二次項系數a相同的二次函數圖象可通過平移互相轉化；a互為相反數的二次函數圖象， 一個可通過以x軸為對稱軸作變換而得到另一個.
合作探究
探究點1 通過對實際問題情境的分析確定確定二次函數的解析式
知識講解 運用二次函數解決實際問題，首先要用二次函數表示問題中變量之間的關系，然后根據實際問題確定自變量的取值范圍，根據自變量求對應的函數值.
典例剖析
例1 已知：如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設花圃的寬AB為x米，面積為S米2．則S與x的函數關系式　 　；自變量的取值范圍　 　．
解析 由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為（24﹣3x）米．
這時面積S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8，
解題技巧：可先用籬笆的長表示出BC的長，然后根據矩形的面積＝長×寬，得出S與x的函數關系式．
答案： S＝﹣3x2+24x，≤x＜8．
方法歸納：根據已知條件列出二次函數式是解題的關鍵．在求題中自變量的取值范圍時，題目中的補充條件不要丟掉．
類題突破 用長為20米的籬笆，一面靠墻（墻的長度是10米），圍成一個長方形花圃，如圖，設AB邊的長為x米，花圃的面積為y平方米，寫出y與x的函數關系式及函數的自變量范圍　 　．
點撥:由于靠墻的一邊不需要籬笆，即籬笆只用做三方，AB＝x，則BC＝20﹣2x，用矩形面積公式可表示函數式；但0＜BC≤10．
答案解：根據已知得，AB＝x，則BC＝20﹣2x，
所以，矩形面積y＝x（20﹣2x），即y＝﹣2x2+20x；
由于墻的長度是10米，故0＜20﹣2x≤10，解得5≤x＜10．
探究點2 用待定系數法求二次函數的解析式.
知識講解 待定系數法:一種求未知數的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法.
典例剖析
例2 已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）經過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
求該二次函數的表達式.
解析 :把點A、B、C代入拋物線解析式y＝ax2+bx+c利用待定系數法求解即可；
解題技巧：對于已知的每組對應值滿足函數關系式,帶入后得到方程（組），一對對應值可以確定一個待定系數.
答案：解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，
解得，
所以拋物線的函數表達式為y＝x2﹣4x+3；
方法歸納：用待定系數法求二次函數的解析式步驟:
(1)設二次函數的解析式;
(2)根據已知條件,得到關于待定系數的方程組，
(3)解方程組,求出待定系數的值,從而寫出函數的解析式
類題突破:28．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過點（1，2）和（﹣1，﹣6）兩點，則a+c＝　 　．
點撥:把兩點的坐標代入二次函數的解析式，通過把兩個方程相加，得出2a+2c＝﹣4，即可得出a+c的值．
答案:解：把點（1，2）和（﹣1，﹣6）分別代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：
相加得：2a+2c＝﹣4，則a+c＝﹣2；
故答案為：﹣2．

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