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直線與方程專項訓練-2025年高考數學二輪專題
一、單選題
1．若三點在同一條直線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．若直線與互相垂直，則（ ）
A．0 B． C． D．
3．若直線與直線平行，那么這兩條直線之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
5．函數的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．5
6．若直線的截距式方程化為斜截式方程為，化為一般式方程為，則（ ）
A． B． C． D．
7．若曲線 在點 處的切線與直線 垂直，則實數 （ ）
A．1 B． C．2 D．
8．過直線上任一點P向圓作兩條切線，切點為A，B．則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．在直角坐標系xOy中，，圓與y軸相切．P為圓上的動點，且不在x軸上，的垂直平分線與直線交于點，則（ ）
A． B．
C．直線與的斜率之積為3 D．若，則
10．已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為4
C．的最大值為2 D．的最小值為
11．已知直線的方程為，圓C的方程為．則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點
B．直線的方向向量與向量共線
C．若直線與C有公共點，則
D．當時，則直線與圓C所交弦長為
三、填空題
12．光線沿著直線射到直線上，經反射后沿著直線射出，則 ， ．
13．已知直線過點，且分別與軸，軸的正半軸交于兩點，當最小時，則直線的方程為 ．
14．已知為圓的一條直徑，點P為直線上任意一點，則的最小值是 ．
四、解答題
15．已知點，，，過點A且以向量為方向向量的直線為l，點到直線l的距離為.
(1)求m；
(2)若，證明：四邊形ABCD是等腰梯形.
16．已知直線．
(1)求直線所過定點；
(2)若直線不經過第四象限，求實數的取值范圍；
(3)若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程．
17．已知直線：，：．
(1)若，求m的值．
(2)設直線過的定點為A，直線過的定點B，且當時，直線與交點為C，求中BC邊上的高所在直線l的方程.
18．已知直線.
(1)若直線過點，且，求直線的方程；
(2)若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.
19．已知平面直角坐標系中兩定點為、，為坐標原點．
(1)求線段的垂直平分線的方程；
(2)設．動點滿足，記的軌跡為曲線．若曲線與圓：外切，求的值．
《直線與方程專項訓練-2025年高考數學二輪專題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B C A B C BCD AD
題號 11
答案 ACD
1．B
【分析】由三點共線得，利用斜率的坐標公式建立方程求解即可.
【詳解】因為三點在同一條直線上，且直線的斜率顯然存在，
所以，則，解得．
故選：B.
2．B
【分析】分類討論直線的斜率，再利用即可.
【詳解】由題意可知直線的斜率，
當時，直線的斜率不存在，不滿足；
當時，直線的斜率，
由，得，即，解得．
故選：B
3．D
【分析】根據兩直線平行可得參數，進而確定平行線間距離.
【詳解】有已知直線與直線平行，
則，即，
此時直線與直線，即滿足平行，
則兩直線間距離，
故選：D.
4．B
【分析】把直線方程化成斜截距式后得出直線的斜率即可求解．
【詳解】由，
所以的斜率為，則該直線的傾斜角為．
故選：B．
5．C
【分析】當時，將函數轉化為直線上點到直線的距離與到點的距離之和，作出圖象，結合圖象及點到線的距離公式求解即可.
【詳解】解：因為，
當時，；
當時，如圖所示：
設，于，
則，
由圖可知，的最小值為點到直線的距離.
因為直線的方程為，
即，
所以，
故的最小值為.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是轉化為直線直線上點到直線的距離與到點的距離之和.
6．A
【分析】將化為一般式，結合條件有，且，即可求解.
【詳解】易知，由，得到，
由已知一般式方程為，所以有，
則，解得，
又，，
所以，則，
故選：A.
7．B
【分析】根據導數的幾何意義求出該切線的斜率，結合線線的位置關系建立關于的方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以該切線的斜率為，
又該切線與直線垂直，
所以，解得.
故選：B
8．C
【分析】設點，求出設點，由點到直線的距離求出圓心到直線的距離，再由結合二次函數的性質即可得出答案.
【詳解】設點，則直線的方程為，
（注：由圓外一點向該圓引兩條切線，切點分別為，則直線的方程是），
化簡可得：，
所以圓心到直線的距離為：
所以
，
當時，的最小值為.
故選：C.
9．BCD
【分析】根據圓的方程可知不為定值，即可求解A,根據兩點距離公式即可化簡求解B，根據垂直平分線的性質可判斷在雙曲線上，即可根據兩點斜率公式求解C，根據正切的和差角公式化簡可得根據求解即可求解D.
【詳解】對于A,由題意可知圓，而不為定值，故A錯誤，
對于B,設，則，
故，
故，B正確，
對于C,根據垂直平分線的性質可得，當在同側時，，
當在兩側時，，
因此,故在雙曲線上，
設，則，所以與的斜率之積為，故C正確，
對于D,根據對稱性，不妨設位于第一象限，設直線與的傾斜角分別為，
由C可知，又故，
因此故
解得因此，故，D正確，
故選：BCD
10．AD
【分析】利用基本不等式計算并判斷A，結合常數代換可計算并判斷B，C，利用兩點間距離公式和點到直線的距離公式可計算并判斷D.
【詳解】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為，故A正確；
因為，當且僅當，即，時等號成立，
所以的最小值為6，故B錯誤；
因為，當且僅當，時等號成立，
所以的最小值為2，故C錯誤；
可以看作直線落在第一象限內的點到原點距離的平方，易知最短距離為，
所以的最小值為，故D正確.
故選：AD.
11．ACD
【分析】A令即可；B求出直線的方向向量，再判斷與是否共線；C利用圓心到直線的距離；D利用公式即可.
【詳解】當時，，則直線恒過定點，故A正確；
直線的方向向量為，若與共線，則，得，
故只有當時才與共線，故B錯誤；
若直線與C有公共點，且圓的半徑，
則圓心到直線的距離，
解得或，故C正確；
當時，圓心到直線的距離，
因圓的半徑，則弦長為，故D正確.
故選：ACD
12．
【分析】根據直線與關于直線對稱，可求的值.
【詳解】由題意，直線與直線關于直線對稱，
所以直線上的點關于直線的對稱點在直線上，
所以，所以，
所以直線上的點關于直線的對稱點在直線上，所以，所以．
故答案為：；
13．
【分析】把共線的線段之積轉化為向量之積，從而用坐標來進行計算，最后利用代換1法，結合基本不等式即可求最小值.
【詳解】設，則，則直線的方程為，所以．
，
當且僅當時等號成立，此時直線的方程為．
故答案為：.
14．1
【分析】分析得到，當垂直于直線時，取最小值，再利用點到線的距離公式即可求得結果
【詳解】如圖所示，,
當垂直于直線時，取最小值，故有最小值，
即．所以的最小值為1．
故答案為：1
15．(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）先確定直線l斜率，從而求出l的方程，再由點到直線的距離公式求解；
（2）由，得，且，即可得證.
【詳解】（1）根據題意，以向量為方向向量的直線l斜率為，
所以l的方程為，即，
點到直線l的距離為，
得或；
（2）由（1）得或，
當時，，
當時，，
由，得，
又，，則，
即，且，
所以四邊形ABCD是等腰梯形.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；
（2）數形結合，結合直線圖象可得出關于實數的不等式，解之即可；
（3）求得直線與坐標軸的交點，可得面積，進而利用二次函數的性質可得最值.
【詳解】（1）由，即，
則，解得，所以直線過定點.
（2）因為直線不過第四象限，結合圖形可知，直線的斜率存在，所以，
此時，直線的方程可化為，記點，則，

由圖可得，解得，因此，實數的取值范圍是.
（3）已知直線，且由題意知，

令，得，得，
令，得，得，
則，
所以當時，取最小值，
此時直線的方程為，即.
17．(1)0
(2)
【分析】（1）兩直線平行可得，解方程再檢驗即可得解；
（2）求出兩點，再由直線方程聯立求出，根據直線垂直得的斜率，即可求出直線方程.
【詳解】（1），解得或
當時，：，：滿足；
當時，：，：,即，兩直線重合，舍去；
故.
（2）由直線：，
即，令，可得，
所以定點，
由：，令，可得，
可知定點，
當時，聯立與的方程得，
解得，
，從而，
又直線過點，
故直線的方程為，即.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根據兩直線垂直求出直線的斜率，再利用點斜式可得出直線的方程；
（2）直線的方程為，利用平行線間的距離公式可得出關于的等式，解出的值，即可得出直線的方程.
【詳解】（1）易知直線的斜率為，因為，所以直線的斜率為，
又因為直線過點，所以，直線的方程為，即.
（2）直線，設直線的方程為，
因為直線與直線之間的距離為，
由平行線間的距離公式可得，解得或，
因此直線的方程為或.
19．(1)
(2)
【分析】(1)設的中點為，求出點的坐標，計算直線的斜率，即可得直線的斜率，由點斜式即可得直線的方程；
（2）設，由得曲線的方程，最后由曲線和圓外切即可求解.
【詳解】（1）設的中點為，則由中點坐標公式有，
則，，設直線的斜率，則，
所以，
所以線段的垂直平分線的方程為.
（2）設，則由已知有，
由有：，
所以圓，圓心，
圓，圓心，
因為圓和圓外切，所以，解得，
因為，所以.
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