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圓與方程專項訓練-2025年高考數學二輪專題
一、單選題
1．與曲線和圓都相切的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
2．已知圓和直線的位置關系是（ ）
A．相交、相切或相離 B．相交或相切 C．相交 D．相切
3．已知動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓的圓心軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是上半圓上的兩點（不包括端點），那么與的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．不能確定
5．已知點是圓：內一點，直線是以為中點的弦所在的直線，若直線的方程為，則（ ）
A．且與圓相離 B．且與圓相交
C．且與圓相離 D．且與圓相交
6．已知圓心在軸上的圓過點且與軸相切，則該圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．若直線被圓截得的弦長為，則（ ）
A． B． C．2 D．
8．我們把平面內到定點的距離不大于定點到的距離的倍的動點的集合稱為關于的階親密點域，記為動點符合．已知，動點符合，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知圓與圓相切，則的取值可以為（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知直線的方程為，圓C的方程為．則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點
B．直線的方向向量與向量共線
C．若直線與C有公共點，則
D．當時，則直線與圓C所交弦長為
11．定義：表示點到曲線上任意一點的距離的最小值.已知是圓上的動點，圓，則的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空題
12．過點且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，已知直線經過拋物線的焦點，則以線段AB為直徑的圓的標準方程為 .
13．以拋物線的焦點為圓心，且過點的圓與直線相交于，兩點，則 .
14．在平面直角坐標系中，圓交軸于兩點，且點在點的左側，若直線上存在點，使得，則的取值范圍為 ．
四、解答題
15．已知圓，直線過點.
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)當直線的斜率存在且與圓相切于點時，求.
16．已知點，圓，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為，為坐標原點.
(1)求的軌跡方程;
(2)當時，求的方程及的面積.
17．在平面直角坐標系中，設點，若點滿足，其中為定點，則稱點是點關于點的“相關點”.
(1)已知點，若點是點關于點的“相關點”，且，求的值.
(2)已知圓，點，點是圓上的動點，點是點關于點的“相關點”，若點的軌跡與圓有公共點，求正數的取值范圍.
18．已知點在圓上，作垂直于軸，垂足為，點為中點．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)已知，試判斷以為直徑的圓與圓的位置關系，并說明理由；
(3)過第一象限的點作的垂線，交軸于點，過點作的垂線交直線于點，過點作的切線，切點為，試判斷直線是否過定點．若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由．
19．在平面直角坐標系內，為坐標原點，動點與定點的距離與到定直線的距離之比為常數.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知，，是動點的軌跡上的三點，且圓與直線，都相切，且
（ⅰ）求圓的半徑；
（ⅱ）試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
《圓與方程專項訓練-2025年高考數學二輪專題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A A C C A BC ACD
題號 11
答案 ABC
1．C
【分析】根據導數的幾何意義得到切線方程，然后根據直線與圓的位置關系列方程得到，構造函數，利用導數分析單調性得到零點個數即可得到切線條數.
【詳解】設直線與曲線相切于點，
則的方程為，即．
圓C：，因為與圓相切，所以，
所以，
令，則，
令，得或，
進一步得到在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
又當時，，所以在區間上分別有1個零點，
所以這樣的切線有3條．
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵在于根據導數的幾何意義和切線的性質得到方程后，將方程的根的個數轉化為函數的零點個數，然后分析單調性求零點個數即可.
2．C
【分析】方法一：分析可知直線過定點，且點在圓內，即可得結果；方法二：求圓心到直線的距離，進而判斷位置關系.
【詳解】圓，即，圓心為，半徑為．
方法一：直線，即，可知直線過定點．
且，則點在圓內，所以直線與圓相交；
方法二：圓心到直線的距離為
，
所以直線與圓相交．
故選：C．
3．A
【分析】分析出，確定圓心M的軌跡為橢圓，求出，得到軌跡方程.
【詳解】設圓圓心且與圓切于點P，圓圓心與圓切于點Q，
由題意得：，，其中，
所以，
由橢圓定義可知：動圓圓心C的軌跡為以為焦點的橢圓，設，
則，解得：，
故動圓圓心C的軌跡方程為.
故選：A
4．A
【分析】根據導數的幾何意義及圓的切線的性質即可得解.
【詳解】如圖所示，
由導數的幾何意義可知與分別表示在上半圓上兩點，，作切線的切線斜率，
由半圓可知，當時，切線斜率，當時，切線斜率，
即，
故選：A.
5．A
【分析】根據垂直關系得到的斜率為，等于直線的斜率，故，求出圓心到直線的距離為，得到直線與圓相離.
【詳解】直線是以為中點的弦所在的直線，
由垂徑定理得，直線，
∵，
的斜率為，
直線的斜率為，
，
其中圓心到直線的距離為，
在圓內，
，
，
直線與圓相離.
故選：A
6．C
【分析】設圓心坐標為，由題意列方程，求出a，即可求得圓心坐標及半徑，從而寫出該圓的標準方程.
【詳解】設圓心坐標為，因為此圓過點且與軸相切，
所以，解得，則圓心為，半徑為，
所以該圓的標準方程為.
故選：C
7．C
【分析】由圓方程得出圓心和半徑，再由弦長公式以及點到直線距離公式計算可得結果.
【詳解】易知圓的圓心為，半徑為 ，
設圓心到直線l的距離為d，由弦長公式可得，，
所以圓心到直線的距離，
解得或，又，所以，
故選：C
8．A
【分析】根據題意，可得動點到定點的距離小于等于定點到定點的距離的倍，即，利用兩點間的距離公式，可求出，即判斷點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓及內部，令，即，令直線的方程為，利用點到直線距離公式可求出點到直線的距離，對直線與圓相交或相切進行分類討論，可求出的取值范圍，即可求出的最大值，即可得解.
【詳解】

已知，
因為動點符合，
所以動點到定點的距離不大于定點到定點的距離的倍，
即動點到定點的距離小于等于定點到定點的距離的倍，
所以，
所以1，
即，
所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓及內部，
令，即，
令直線的方程為，
要求的最大值，即為求當直線與圓相交或相切時的最大值，
又點到直線的距離為，
平移直線與圓相切時，點到直線的距離等于圓的半徑，
即，即，解得或，
當直線與圓相交時，點到直線的距離大于等于0小于1，
即 ，即，即，解得，
綜上所述，可得，即，
所以，即，
故選：A.
9．BC
【分析】根據兩圓相外切和相內切兩種情況，列式求解.
【詳解】若這兩個圓外切，則，
兩邊平方后，解得或3；
若這兩個圓內切，則，
解得.
故選：BC
10．ACD
【分析】A令即可；B求出直線的方向向量，再判斷與是否共線；C利用圓心到直線的距離；D利用公式即可.
【詳解】當時，，則直線恒過定點，故A正確；
直線的方向向量為，若與共線，則，得，
故只有當時才與共線，故B錯誤；
若直線與C有公共點，且圓的半徑，
則圓心到直線的距離，
解得或，故C正確；
當時，圓心到直線的距離，
因圓的半徑，則弦長為，故D正確.
故選：ACD
11．ABC
【分析】理解新定義，結合圖像即可求解.
【詳解】易知兩圓的位置關系為內含，
記為坐標原點，圓的半徑為1，
結合圖像易知，
則.
符合條件的有ABC，
故選：ABC
12．
【分析】根據已知條件先求得直線和拋物線的方程，聯立求得交點坐標，然后求得圓心和半徑，進而寫出標準方程.
【詳解】已知直線 過點 且斜率為1，因此其方程為 .
拋物線的方程為 （），其焦點坐標為 .
由于直線 經過拋物線的焦點，代入焦點坐標得到 ，
解得 ，因此拋物線的方程為 ，焦點為 .
將直線方程 代入拋物線方程 得到：,
展開并整理得：,
解得 ，對應的 值為 ，
因此交點 和 的坐標分別為 和 .
以線段 為直徑的圓的圓心為 的中點，坐標為：
,
,
,
半徑為 ，因此圓的標準方程為：,
故答案為：.
13．
【分析】根據題意寫出圓心，再根據圓心與圓上一點的距離為半徑寫出圓的方程，根據圓截直線的弦長求解即可.
【詳解】
拋物線的焦點為，即圓心為，
且圓過點，則，所以圓的方程為.
圓心到直線的距離，
圓截直線的弦長為.
故答案為：.
14．
【分析】先求出點的軌跡方程為，再由直線與圓的位置關系求解的取值范圍.
【詳解】由題意得，，設，
則由，得，
即，
因為圓與直線有交點，
則，解得．
故的取值范圍為．
故答案為：
15．(1)或
(2)
【分析】（1）分斜率存在或不存在兩種情況，若不存在，設直線的方程，利用即可；
（2）在中勾股定理即可.
【詳解】（1）圓的方程可化為，
則圓的圓心為，半徑，
①當直線的斜率不存在，則直線方程為，滿足題意；
②當直線的斜率存在時，可設直線的方程是，即，
由圓心到直線l的距離，解得，
此時直線的方程是，
綜上，直線的方程是或.
（2）由（1）得直線的方程是，
則,
所以.
16．(1)
(2)，
【分析】（1）根據即可判斷求軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，即可求方程；
（2）數形結合可得，即可求出直線的方程，再計算點到的距離，利用勾股定理計算即可求面積.
【詳解】（1）圓的方程可化為，所以圓心為，半徑為，
則線段的中點，，
因點為線段的中點，則，
則點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，
則該圓的方程為，經檢驗符合題意，
所以的軌跡方程是.
（2）由于，故在線段的垂直平分線上，
又在圓上，所以，
因為直線的斜率為，所以的斜率為，
故的方程為，即，
又，點到的距離為，
所以，
則，故的面積為.

17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量夾角公式和圓的方程來求解的值；
（2）設，根據 “相關點”，則，，得到設，可得結合，得最后根據點的軌跡與圓有公共點，求得的取值范圍即可.
【詳解】（1）因為，，點是點關于點的 “相關點”，
所以，，
則，即
因為，所以，
又，，則，
兩邊平方得，即，即，
解得
（2）設，因為在圓：上，所以
點是點關于點的 “相關點”，則，，
所以，
即
設，則，可得
因為，所以，整理得
因為點的軌跡與圓有公共點，所以兩圓的圓心距滿足.
連不等式前面可化為.
兩邊同時平方可得，展開得.
可得.
因為，所以，即，即恒成立，所以，
即不等式的解集為.
連不等式后邊可化為.
兩邊同時平方可得，展開得.
移項可得，
又，可得，解得.
因為不等式的解集為，不等式的解集為，
所以原不等式的解集為.
18．(1)
(2)以為直徑的圓內切于圓，理由見解析
(3)直線過定點．
【分析】（1）設，，利用相關點法可得動點的軌跡的方程；
（2）由（1）知點為橢圓的上焦點，由已知結合橢圓的定義，可得兩圓的圓心距等于半徑差，可得兩圓內切；
（3）設，則，表示出直線方程，令，可得，表示出直線方程，直線方程，聯立可得，設，可得直線和直線方程，又得直線與橢圓相切，由點在直線和直線上，聯立可得直線的方程，即可得到直線過定點．
【詳解】（1）
依題意，設，，則，
且，即，
又點在圓上，
故，即點的軌跡的方程為．
（2）
由（1）知點為橢圓的上焦點，設其下焦點為，
中點為，以為直徑的圓半徑為，圓的半徑為，
則，即，
所以以為直徑的圓內切于圓．
（3）
設，則，，
則直線，
令，得，，
則，即，①
又，②
聯立①②得，
解得，
設，
將①式代入橢圓，得，
，直線與橢圓相切．
設，則直線，
由點在直線和直線上，得，
則直線，
直線過定點．
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）為定值
【分析】（1）設點坐標，利用直接法列方程，化簡即可；
（2）（i）設點坐標及圓方程，結合圓與直線，都相切，且，可得解；（ii）設點坐標，結合兩點在橢圓上，且化簡可得解.
【詳解】（1）設點，
則點到直線的距離，且，
則，
化簡可得，
即點的軌跡方程為；
（2）
（ⅰ）設點，圓的方程為，
因為在動點的軌跡上，所以點滿足①，
設過原點且圓相切的直線為，
所以，化簡可得 ②，
因為圓與直線，都相切，所以，滿足②式，
所以③，
由①可知代入③式可得，即，
所以圓的半徑為；
（ⅱ）設，，
因為，兩點在動點的軌跡上，
所以，即，
因為，
代入可得，即，
所以
所以為定值.
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