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橢圓離心率問題專項(xiàng)訓(xùn)練-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)二輪專題
一、單選題
1．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若橢圓C經(jīng)過線段PF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．已知橢圓，過的右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若存在直線使得，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知橢圓的焦距為，，，是上三個不同的點(diǎn)，，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，且直線與直線的斜率之積為（是的離心率），則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知實(shí)數(shù)，，成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．或
5．已知圓，圓，動圓M與圓，圓都相切，若動圓圓心M的軌跡是兩個橢圓，且這兩個橢圓的離心率分別為，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如圖，圓柱的軸與一平面所成角為，該平面截圓柱側(cè)面所得的圖形為橢圓，此橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
7．設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若到直線的距離為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．已知橢圓與橢圓離心率相同，過左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若恰為線段的兩個三等分點(diǎn)，則的長軸長為（ ）
A．5 B． C． D．
二、多選題
9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的離心率為直線在某一坐標(biāo)軸上的截距，則的值可能是（ ）
A．57 B． C． D．
10．給定橢圓上有一動點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，的內(nèi)切圓與分別切于兩點(diǎn)，則（ ）
A．若，則橢圓的離心率為
B．動點(diǎn)的軌跡是一個橢圓
C．直線的斜率之積為常數(shù)
D．內(nèi)切圓的面積無最大值也無最小值
11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的方程：，其左右焦點(diǎn)為，離心率為，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)（是異于長軸端點(diǎn)的點(diǎn)），在中，記，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．與橢圓切于點(diǎn)的切線方程為
D．若直線的斜率存在，則
三、填空題
12．已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為 .
13．已知點(diǎn)為橢圓的長軸端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若直線的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是 ．
14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上且在第二象限，，點(diǎn)Q在的平分線上，滿足且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為 .
四、解答題
15．已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為．
(1)求的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)且在軸上方，直線分別交軸于兩點(diǎn)．若的面積比的面積大，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
16．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若過A的直線l（斜率不為0）與橢圓E的另一個交點(diǎn)為B，線段中點(diǎn)為M，射線交橢圓E于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)Q.求證：.
17．如圖，已知橢圓的離心率為，線段，分別為的長軸與短軸，四邊形的面積為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與分別交于，兩點(diǎn)，且總有平分.求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
18．已知橢圓的離心率為，A，D分別為其上、下頂點(diǎn)，且.
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)點(diǎn)E為橢圓M的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓M上在第三象限內(nèi)的動點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線DE與直線AB、直線AC分別交于點(diǎn)P，T，過D作軸的平行線交AE的延長線于點(diǎn)Q，連接QP，QT.試探究四邊形APQT是否為平行四邊形，并寫出探究過程.
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，且橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；
(2)已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在說明理由．
《橢圓離心率問題專項(xiàng)訓(xùn)練-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)二輪專題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B D D B ABD ACD
題號 11
答案 ACD
1．C
【分析】找出線段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡即可.
【詳解】因?yàn)椋跃€段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過線段PF的中點(diǎn)，所以，化簡可得,
即橢圓C的離心率為．
故選：C．
2．D
【分析】根據(jù)給定條件，求出過的右焦點(diǎn)的最短弦長，再建立不等式求出離心率的范圍.
【詳解】設(shè)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長軸是過的右焦點(diǎn)的最長弦，
當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，
由消去得，設(shè)，
，則
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
依題意，，解得，則的離心率.
故選：D
3．B
【分析】利用點(diǎn)差法即可得到則，結(jié)合斜率關(guān)系，最后利用離心率公式即可.
【詳解】設(shè)，，則，，所以，，
兩式相減得，則．
由，得，
因?yàn)椋?，則，所以的方程為．
故選：B．
4．D
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)可求，然后代入曲線方程分別得到曲線為橢圓和雙曲線，根據(jù)離心率的公式即可求解.
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，，成等比數(shù)列，所以，則；
當(dāng)時，圓錐曲線，即為橢圓，其離心率；
當(dāng)時，圓錐曲線，即為雙曲線，其離心率；
故選：D
5．B
【分析】畫出圖形，當(dāng)動圓M與圓內(nèi)切，與圓外切，此時離心率為，當(dāng)動圓M與圓，均內(nèi)切，，求出答案.
【詳解】，如圖1，動圓M與圓內(nèi)切，與圓外切，
此時，，，
，
故圓心M的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓方程，此時，
故，故離心率為，
如圖2，當(dāng)動圓M與圓，均內(nèi)切，
，
則
，
故圓心M的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓方程，此時，
故，故離心率為，
.
故選：B
6．D
【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為R，則，利用截面與底面成角求出，再求得，從而可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為R，則短軸長，所以，
圓柱的軸與一平面所成角為，
所以橢圓的長軸長為，
所以，
離心率為，
故選：D
7．D
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式可得到直線的方程，結(jié)合條件及點(diǎn)到直線的距離公式得到，從而有，即可求解.
【詳解】易知，，，則直線的方程為，即，
又到直線的距離為，則，整理得到，
所以，則，解得或（舍）
故選：D.
8．B
【分析】由離心率得到，求出過左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線方程，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則，代入橢圓方程，即可求出，從而得解.
【詳解】因?yàn)闄E圓與橢圓離心率相同，
所以，所以，
橢圓的左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，
又過左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線方程為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，過點(diǎn)作軸的垂線，則為的中點(diǎn)，則，
所以，所以，解得（負(fù)值已舍去）
所以的長軸長為.
故選：B
9．ABD
【分析】求得直線在，軸上的截距，分類討論可求得的值.
【詳解】由，可得直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
若曲線的離心率為，
則或，解得或，
若曲線的離心率為，
則，解得，
綜上所述：的值可能是.
故選：ABD.
10．ACD
【分析】若是內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)，利用橢圓的定義及圓切線的性質(zhì)得到判斷A；若，，且，結(jié)合橢圓、角平分線、合比的性質(zhì)得到、，代入橢圓方程即可得動點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率判斷B、C；由內(nèi)切圓的半徑判斷D.
【詳解】若是內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)，，，，，
又，則，即，
所以離心率，A對；

若為延長線與軸的交點(diǎn)，，且，則，故，
由角平分線的性質(zhì)可得，則，
所以，則，
又，則，故，
所以，故，則且，
所以動點(diǎn)的軌跡是一個不含軸交點(diǎn)的橢圓曲線，不是完整橢圓軌跡，B錯；

由上分析，，，則為定值，C對；
由圖，由于不在坐標(biāo)軸上，而內(nèi)切圓的半徑在靠近軸時趨向于0，靠近軸時趨向于，
即內(nèi)切圓的半徑，故其面積不存在最值，D對.
故選：ACD
11．ACD
【分析】利用橢圓定義及正弦定理推理判斷A；利用橢圓定義、余弦定理、三角形面積公式及二倍角公式求解判斷B；設(shè)出切線方程并現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出切線斜率判斷C；設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立推理判斷D.
【詳解】令橢圓的半焦距為，則，
對于A，在中，由正弦定理，得，
因此，A正確；
對于B，在中，由余弦定理，得
，則，
，B錯誤；
對于C，與橢圓切于點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)方程為，
由消去得：，
，
整理得，而，
則，即，解得，
因此切線方程為，整理得，C正確；
對于D，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由
消去得，，，
，D正確.
故選：ACD
12．
【分析】由橢圓的定義結(jié)合題意可得出，，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.
【詳解】由題可知，由橢圓的定義知：，，
所以，又因?yàn)椋?br/>所以，
，所以，
解得：，，
所以在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
所以，可得：，即，
所以，因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：.

13．
【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)斜率關(guān)系可得，即可得離心率的取值范圍.
【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，
由可得，
則，
所以．
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)橢圓圖形特征，結(jié)合橢圓定義計(jì)算求出離心率即可.
【詳解】延長OQ交于點(diǎn)A，設(shè)，.
因?yàn)椋裕郑?
因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A為的中點(diǎn)，.因?yàn)辄c(diǎn)Q在的平分線上，
所以，所以，從而，因?yàn)椋裕?br/>又由橢圓的定義可得，所以結(jié)合以上兩式可得.
在中，，得，
化簡得，故C的離心率.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得、，再求出，即可得解；
（2）設(shè)，求出直線、的方程，從而求出、的坐標(biāo)，再由面積公式得到方程，求出，從而求出，即可得解.
【詳解】（1）依題意可得，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)，則直線的方程為，
令，可得，即，
又直線的方程為，
令，可得，即，
所以，
，
因?yàn)榈拿娣e比的面積大，
即，解得，
又，解得，
所以.
16．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和即可結(jié)合的關(guān)系求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而可得以及，即可結(jié)合向量的數(shù)量積以及兩點(diǎn)距離公式化簡求解.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，解得，
故橢圓方程為
（2）設(shè)直線，聯(lián)立與的方程可得，
設(shè)，則,
故，故，
，
故直線的方程為，
聯(lián)立與橢圓方程可得，解得,
在直線中，令，則，故,
故
，
故
17．(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)離心率和橢圓的性質(zhì)求解的值，得的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）令，，得到，故有，設(shè)，，，聯(lián)立方程組，化簡得，可得定點(diǎn).
【詳解】（1）由題意得，
，解得，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）令，，
由平分，可知直線、、傾斜角的大小關(guān)系，
得到，故有，
故有，化簡得到（※）
設(shè)，，，
聯(lián)立，有，
于是有，，
又，
，代入※式化簡得，，
則直線，
即可證過定點(diǎn)
18．(1)
(2)四邊形為平行四邊形，答案見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長列式求出，即可得出橢圓方程；
（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)得出斜率，結(jié)合斜率關(guān)系證明即可.
【詳解】（1）由已知，得，，，所以，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）如圖所示，易知直線的斜率存在并且其斜率滿足條件，則其方程為.
由解得或（舍去），
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，
于是直線的斜率，直線的方程為.
又直線的方程為，由得；
由得.
直線的方程為，直線的方程為，由得.
因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，
所以，，所以四邊形為平行四邊形.
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，起度呃的值，得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，求得和，設(shè)，使得，根據(jù)，得到恒成立，求得的值，即可得到答案.
【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率，且橢圓過點(diǎn)，
可得 ，解得，所以橢圓的方程為.
（2）解：由題意，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，
則，即，
令，可得，即，
假設(shè)存在點(diǎn)，使得，此時
因?yàn)椋傻茫?br/>整理得，
因?yàn)椋裕春愠闪ⅲ?br/>所以 ，解得，即，
即存在定點(diǎn)，使得.

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