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雙曲線離心率問題-2025年高考數學二輪專題
一、單選題
1．若雙曲線的離心率大于，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，點，在的右支上，且，點關于原點的對稱點為.若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．設雙曲線與的離心率分別為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．雙曲線的離心率為，則該雙曲線的焦點到它的漸近線距離為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
5．將雙曲線繞其中心旋轉一個合適的角度，可以得到一些熟悉的函數圖象，比如反比例函數，“對勾”函數，“飄帶”函數等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點旋轉而得.現將雙曲線繞原點旋轉一個合適的角度，得到“飄帶”函數的圖象，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，分別為雙曲線的左、右焦點，點都在雙曲線上，四邊形為等腰梯形，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
7．雙曲線的左右焦點分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，雙曲線的兩條漸近線分別交橢圓于A、C和B、D四點，若多邊形為正六邊形，則橢圓與雙曲線的離心率之和為（ ）

A． B．2 C． D．
二、多選題
9．已知一關于坐標軸對稱的雙曲線的漸近線的斜率的絕對值小于，則該雙曲線的離心率的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知雙曲線與動圓恰有兩個交點，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線C的離心率為2
B．雙曲線C的漸近線被圓M截得的弦長為2
C．雙曲線C上存在一條弦，該弦的中點坐標為
D．過雙曲線C的一個焦點F作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，則
11．已知雙曲線的左焦點為，直線過點，與雙曲線的兩支、兩條漸近線依次交于點（從左到右）．下列說法正確的是（ ）
A．若雙曲線的漸近線方程為，則的離心率為．
B．若，且為線段的中點，則的離心率為
C．若，且為線段的中點，則的離心率為
D．若的離心率為2，則存在無數條直線，使
三、填空題
12．設雙曲線：的兩條漸近線的傾斜角分別為，，若，則C的離心率為 .
13．已知點 F為雙曲線的左焦點，C上A，B兩點關于原點O 對稱(點A 在第一象限)，且 設△AFB 的面積為S，若則C的離心率為 .
14．過原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第二象限，過點作的垂線與交于點，過點作x軸的垂線與交于點，與直線交于點E，若則的離心率為 .
四、解答題
15．已知雙曲線的右焦點為，過點F的直線l交C的右支于A，B兩點，當軸時，.
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)若直線l的傾斜角為，且C經過點，M為雙曲線C的左支上一動點，求面積的最小值.
16．已知雙曲線C：的左頂點為A，右焦點為，，是上的兩點，線段的中點為．當時，．
(1)求C的離心率；
(2)若，求直線的一般式方程．
17．在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為，點是上任意一點．拋物線的焦點到準線的距離是1．
(1)求的方程；
(2)過點作的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點，求證：平行四邊形的面積為定值；
(3)是的兩條切線，是切點，求面積的最小值．
18．已知雙曲線，離心率，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)點，分別是雙曲線C的左右焦點，過點的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，若的周長為12，求直線l的方程.
19．已知雙曲線的離心率為，右焦點到的一條漸近線的距離為2.
(1)求的方程；
(2)經過點的直線、（斜率都存在）分別與交于點、和、，、分別為、的中點.
（i）若點，求直線的方程；
（ii）若點，且，證明：直線過定點.
《雙曲線離心率問題-2025年高考數學二輪專題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B B B D C BCD ABD
題號 11
答案 AC
1．D
【分析】由雙曲線的離心率公式計算即可.
【詳解】由題，，解得.
故選：D.
2．D
【分析】設雙曲線的左焦點為，連接、、、，根據對稱性及已知條件可得四邊形為矩形，設，根據雙曲線的定義表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的關系，即可得解.
【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接、、、，如圖所示，
根據雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，
又因為，所以四邊形為矩形，
設，因為，則，
由雙曲線的定義可得：，，
又因為為直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因為為直角三角形，，
所以，即，
所以，即.
故選：D.
3．B
【分析】分別求雙曲線與的離心率，結合，列出方程，即可求解.
【詳解】雙曲線的離心率為，
雙曲線離心率為，
因為，
所以，
解得，即.
故選：B.
4．B
【分析】根據離心率求出，，得到焦點坐標和漸近線方程，利用點到直線距離公式求出答案.
【詳解】中，，故，
故，故，
所以雙曲線的焦點坐標為，漸近線方程為，
所以該雙曲線的焦點到它的漸近線距離為
故選：B
5．B
【分析】易知“飄帶”函數的漸近線，設兩漸近線夾角為（），則，求得，進而旋轉之前雙曲線的一條漸近線斜率，結合計算即可求解.
【詳解】“飄帶”函數的漸近線為與軸，
設兩漸近線夾角為（），則，
整理得，又，
所以，整理得，
由，解得.
所以旋轉之前雙曲線的一條漸近線斜率為，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B
6．B
【分析】根據雙曲線的幾何性質，以及三角形的特征，利用角的關系，列出等式，即可求雙曲線的離心率.
【詳解】連接，因為四邊形為等腰梯形，且，
所以，
所以.
因為，所以，所以.
故選：B
7．D
【分析】過點作，垂足為，則，設，則，由直線的斜率為，得出，在中由余弦定理即可求解．
【詳解】過點作，垂足為，則，如圖所示，
設，則，
所以，
所以，則，
因為直線的斜率為，所以，則，
在中，，
在中，，
由余弦定理得，，
整理得，，
故選：D．

8．C
【分析】根據正六邊形的幾何性質及離心率的定義即可求解．
【詳解】∵多邊形為正六邊形，設邊長為，
∴，
，
故選：C．
9．BCD
【分析】先對雙曲線焦點位置分類討論，利用漸近線斜率的性質求出的范圍，進而得到離心率的范圍，再逐步檢驗各個選項是否符合即可.
【詳解】因為該雙曲線關于坐標軸對稱，所以我們對其焦點位置進行討論，
當焦點在軸上時，漸近線的斜率的絕對值為，
因為漸近線的斜率的絕對值小于，所以，
且，故解得，則，
得到，解得，
當焦點在軸上時，漸近線的斜率的絕對值為，
因為漸近線的斜率的絕對值小于，所以，
且，解得，則，
得到，解得，
綜上可得，下面我們開始檢驗選項，
對于A，，故A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，故C正確，
對于D，，故D正確.
故選：BCD
10．ABD
【分析】首先由圓與雙曲線方程聯立，由交點個數確定，即可求解雙曲線方程，判斷A，代入直線與圓相交的弦長公式，即可判斷B，根據點差法，結合點與雙曲線的位置關系，即可判斷C，根據AB，結合集合關系，即可判斷D.
【詳解】A.聯立C與M的方程，消去x，得，即，
由題意得，
由m的任意性，解得，則，離心率，A項正確；
B.直線是雙曲線C的一條漸近線，圓心到該漸近線的距離為，
圓M的半徑為，則該漸近線被圓M截得的弦長為2，B項正確；
C.設中點為的弦所在的直線與C交于，兩點，
則，，且由點差法化簡得，
所以中點弦所在直線方程為，即，
聯立，得，，方程無解，
所以不存在，C項不正確；
不妨設，根據AB可知，，
則，，D項正確．
故選：ABD
11．AC
【分析】對于A，由題意可得，從而可求出離心率，對于B，由題意不妨設直線的方程為，與漸近線方程聯立可求出點，從而可求出點的坐標，代入另一條漸近線方程化簡可求出離心率，對于C，由選項B可知點的坐標，從而可求出點的坐標，代入雙曲線方程化簡可求出離心率，對于D，分別設的橫坐標為，由離心率可得雙曲線方程，設直線為，分別與雙曲線方程和漸近線方程聯立，結合根與系數的關系進行分析判斷.
【詳解】對于A，由題意得，則，所以離心率，故A正確；
對于B，因為，所以直線的斜率與其中一條漸近線的斜率乘積為，
由對稱性不妨設的斜率為正，則直線的方程為，
由，得，即，
因為為線段的中點，所以，
因為點在漸近線上，所以，化簡得，
所以，所以離心率，所以B錯誤；
對于C，由選項B可知，因為為線段的中點，所以，
因為點在雙曲線上，所以，
化簡得，所以，得，
所以離心率為，所以C正確；
對于D，分別設的橫坐標為，
因為的離心率為2，所以，所以，
所以雙曲線的方程為，
由題意可知直線的斜率存在，則設直線為，
由，得，
所以，
由，得，所以，
所以，所以有相同的中點，
所以，即對所有的直線都有，所以D錯誤.
故選：AC．
12．
【分析】求出因為，再由可得答案.
【詳解】因為，，所以，
雙曲線：的兩條漸近線方程分別為，
若，則的傾斜角為，的傾斜角為，
即，解得，
則C的離心率為.
故答案為：.
13．
【分析】利用，兩點關于原點對稱把已知條件轉換成雙曲線上的點到兩個焦點之間的線段之間的關系，再利用雙曲線的性質進行求解.
【詳解】解法一：設的右焦點為，如圖，由條件知.
由對稱性知，
設 由條件得 ，解得，
所以，所以C的離心率為
解法二：設C的右焦點為 F'，如圖，由 ，得，
所以，由對稱性可知四邊形為矩形，所以△AFB與的面積相等，
且點A，B均在以為直徑的圓O上，所以圓O 的半徑為c，
設點A(x ，y )，則，聯立化簡可得
整理得 ，解得；
由, 得到，
即 所以 ，可得，
因為 為圓O 的直徑，所以 即
整理得 所以離心率
故答案為：
14．
【分析】設，，則，利用點差法可得，結合已知可求得的值，進而可求得離心率.
【詳解】設，，則，
由，得.因為點均在雙曲線上，
所以，兩式相減得，
則，因為，所以，
又，
所以，
故雙曲線的離心率.
故答案為：
15．(1)
(2)
【分析】（1）代入方程中求得，進而，結合離心率的定義計算即可求解；
（2）易知，求出雙曲線方程，進而求出直線方程，聯立方程組，結合韋達定理和弦長公式求出；當與雙曲線的左支相切時的面積最小.設，聯立雙曲線方程，根據求出方程，結合兩平行線之間的距離公式與三角形面積公式計算即可求解.
【詳解】（1）當軸時，，
將代入方程中，得，
由，解得，即，
所以，整理得，所以，
故，由，解得，
即雙曲線的離心率為.
（2）因為雙曲線過點，所以，則，
所以雙曲線的方程為，右焦點，
得直線，即.設，
，消去得，則，
所以.
設過點與直線平行的直線的方程為，
當與雙曲線的左支相切時，與之間的距離最小，
此時的面積最小.
，消去得，
，解得.
當時，與雙曲線的右支相切，不符合題意；
當時，與雙曲線的左支相切，符合題意，
所以，與直線的距離為，
所以面積的最小值為.

16．(1)
(2)
【分析】（1）先計算當時點坐標，利用得出關于的方程；
（2）利用點差法求直線的方程即可.
【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為，則，
當時，點的橫坐標為，
代入C的方程，得，故，即
因，所以，故，解得，
故C的離心率為．
（2）由（1）知，設，，
因為P，Q是C上的兩點，故，
兩式相減得：，
若，則直線的斜率不存在，
由雙曲線的對稱性可知，此時線段的中點位于軸，故不符合題意；
若，則，
因為是線段的中點，所以，，
則，
所以直線的方程為，即，
經檢驗此時該直線與雙曲線有兩個交點，滿足題意，
則直線的一般式方程為，
17．(1)的方程為；的方程為
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由離心率結合，可求出，即可求出雙曲線的方程，再由拋物線焦點到準線的距離為1，求出，即可拋物線的方程；
（2），求得坐標，進而得到再結合面積公式求解即可；
（3）設，，，通過導數求得切線方程，結合韋達定理求得弦長，點到線的距離公式求得高，代入面積公式，進而可求解；
【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為，則，
又因為離心率為，所以，代入得，解得，
所以雙曲線的方程為．
因為拋物線焦點到準線的距離為1，所以，
所以拋物線的方程為．
（2）證明：設，不妨設為漸近線為漸近線，
直線的方程為，
聯立方程，解得，
所以
同理可得，所以
由于直線的斜率，因此，所以，
所以平行四邊形的面積為，
因為點在雙曲線上，所以，即，
所以平行四邊形的面積為;
（3）設，
因為函數的導數為，所以直線的方程為，
由于在直線上，則，
同理，所以均滿足方程，
所以直線的方程為，
聯立方程，得，所以，
則，
又因為到直線的距離，
所以面積，
又因為，
所以，當為時取最小值，
所以面積最小值為．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根據離心率及點在橢圓上求橢圓參數，即可得方程；
（2）根據雙曲線的定義及已知得，設聯立雙曲線，應用韋達定理及弦長公式列方程求得，即可得直線方程.
【詳解】（1）由題意可得，則，即，
又因為點在雙曲線上，所以，解得，，
所以雙曲線C的標準方程為：.
（2）
因為的周長為12，所以①，
由雙曲線的定義可得：，，
所以②，
由①②可得：，
由（1）知，所以，
因為直線l的斜率不為0，設，
則聯立直線與雙曲線，可得，
當，即，直線與雙曲線只有一個交點，不合題意，
所以，，，
所以，
所以，
解得（舍去）或，所以，
直線l的方程為：，即.
19．(1)
(2)（i）（ii）證明見解析
【分析】（1）根據離心率和右焦點到漸近線的距離以及雙曲線中關系列等式，即可求得得值，從而得到雙曲線的方程.
（2）（i）用點差法求得中點弦的斜率，在用點斜式即可寫出直線的方程.
（ii）利用向量的數量積為得到與垂直，設出兩條垂直的直線、分別與雙曲線方程聯立，寫出、的坐標及斜率，再用點斜式寫出直線的方程，化簡即可得證.
【詳解】（1）設雙曲線右焦點為，則有，
由于的一條漸近線的方程為，

由題可得，解得.
所以雙曲線的方程為.
（2）（i）設，，由題意點是中點，

則，，直線的斜率.
因為、在上，則，
兩式相減得，
整理可得，即，
可得直線的方程為，即，
檢驗：直線與聯立方程得，
其，符合題意；
所以直線的方程為.
（ii）設，由于，所以.

設直線，聯立方程：，得，
其中且.
則有，，代入直線得，
所以.
同理設，
直線，聯立方程：，
得，
其中且
則有，，代入直線得，
得.
所以
，
則有直線.
令，得.
當直線的斜率不存在時，則，直線；
所以直線過定點.
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