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數列-2025年高考數學二輪專題
一、單選題
1．已知數列的前項和為，且滿足，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知為等差數列，為等比數列，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知為等比數列前項和，若，則（ ）
A．5 B．3 C． D．
4．設數列的前n項和，若，則（ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
5．某廠家對其軟件進行加密升級，現對軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為.若序列的所有項都是3，且，，則（ ）
A． B． C．3 D．9
6．已知等比數列的公比，前項和為，則對于，下列結論一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．記為數列的前項和．下列說法正確的是（ ）
A．數列成等差數列的充要條件是對于任意的正整數，都有
B．數列成等比數列的充分不必要條件是對于任意的正整數，都有
C．已知數列的前項和，則數列是等差數列的充分不必要條件是實數
D．已知數列的前項和，則數列是等比數列的充要條件是
8．已知等差數列中，，公差為函數的最小正周期，則之和為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知數列中，，，，其前項和為，則（ ）
A． B． C． D．
10．設等比數列的公比為，前項積為前項和為則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，且，則
D．若，且，則數列的前項和為
11．已知在首項為1，公差為的等差數列中，是等比數列的前三項，數列的前項和為，則（ ）
A． B．
C．是公差為3的等差數列 D．
三、填空題
12．已知，“、、成等差數列且、、成等比數列”是“是正三角形”的 條件．
13．已知數列為等差數列，數列為等比數列，且，，若，則實數的取值范圍為 ．
14．已知數列滿足，且對任意，有遞推關系式：，定義數列為，則 .
四、解答題
15．投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分；獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分.
(1)設投擲2次骰子，最終得分為，求隨機變量的分布列與期望；
(2)設最終得分為的概率為，證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式.
16．已知正項數列的前項的和為，且.
(1)求，；
(2)證明：是等差數列；
(3)求數列的前項的和.
17．已知數列中，，.
(1)求；
(2)數列滿足，設為數列的前項和，證明：.
(3)設，證明：數列中任意不同的三項都不能構成等差數列.
18．從數列中選取第項，第項，…，第項，并按原順序構成的新數列稱為數列的“連續子列”.已知數列中，，，對，數列的“連續子列”是公比為的等比數列.
(1)求，的值；
(2)求；
(3)證明：.
19．定義：若對任意，，，數列的第項都等于數列的第項，則稱數列為數列的“分段反序數列”.已知數列的“分段反序數列”為，數列的前項和為.
(1)若，求，的值；
(2)若，求；
(3)若，證明：數列為常數列.
《數列-2025年高考數學二輪專題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C C D A A ABD BD
題號 11
答案 ABD
1．B
【分析】根據題設與的遞推關系式推導出，再根據求出，逐項求出即可.
【詳解】由題意，，則當時，有，
兩式相減可得，即.
當時，，因為，所以，
所以.
故選：B.
2．C
【分析】由等差、等比數列概念可得、通項，即可得出答案.
【詳解】∵為等差數列且，
∴，
∴，，，
∵為等差數列且，
∴，
∴，，，
∴當時，，當時，，故A、B不正確；
∵，，∴，
故選：C.
3．A
【分析】利用等比數列的通項公式和求和公式來求解即可.
【詳解】由等比數列公式可得：，
所以，
故選：A.
4．C
【分析】根據已知可得，構造法得到是首項、公比均為的等比數列，寫出通項公式即可求項.
【詳解】由題設，則，
所以，則
又，則，
所以是首項、公比均為的等比數列，則，
所以，則.
故選：C
5．C
【分析】根據編輯新序列的概念，推導數列的遞推公式，由遞推公式結合知道的項，可求的值.
【詳解】因為，
設，則，
因為的所有項都是3，所以，設，
所以是以為首項，3為公比的等比數列，所以.
由，；
由，；
由；
由.
又，所以.
所以.
故選：C
6．D
【分析】舉反例即可判斷ABC，再分類討論時和時，結合等比數列求和公式即可判斷．
【詳解】令，，，，，A錯；
，B錯；
，C錯；
一般情況，時，，，，
，此時；
時，，
左邊，
右邊左邊，D對；
故選：D．
7．A
【分析】由等差數列、等比數列的通項，前項和結構，逐項判斷即可.
【詳解】是等差數列，A選項正確；
若對都成立，滿足，但不是等比數列，充分性不成立，B選項錯誤；
若是等差數列，則，
，因為是等差數列，所以，得
必要性成立，C選項錯誤；
若，則，當時，，當時，，不適合上式，
不是等比數列，充分性不成立，D選項錯誤，
故選：A．
8．A
【分析】由輔助角公式化簡，確定函數周期，再結合等差數列下標和性質即可求求解.
【詳解】函數
，
由題意得等差數列的公差，因此.
故選：A.
9．ABD
【分析】由題意可得、，結合等差數列的定義和通項公式可得，即可判斷AB；結合數列的單調性即可判斷C；結合放縮法計算即可判斷D.
【詳解】由，得，
所以數列是以為公差的等差數列，
而，，所以，得，故A正確；
所以，得，故B正確；
令，解得，對于，
為正，且依次遞增；
為負，且依次遞增，
所以，故C錯誤；
，故D正確.
故選：ABD
10．BD
【分析】由等比數列的通項公式、下標和的性質及等差、等比數列前項和公式逐個判斷即可.
【詳解】若，則，由，可得，故A錯誤；
，故B正確；
對于C，由選項條件可得，，解得或，故C錯誤；
因為，所以，所以，所以數列的前項和為，故D正確.
故選：BD
11．ABD
【分析】由已知求出等差數列的公差，然后分別計算分析可判斷每個選項的正誤．
【詳解】因為，即，又，所以，
整理得，又因為，解得，故A正確；
由得，所以，所以，故B正確；
所以，所以是首項為1，公差為的等差數列，故C錯誤；
，即的公比為4，故，故D正確.
故選：ABD.
12．充要
【分析】根據給定條件，利用等差、等比數列的定義，結合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】在中，由、、成等差數列，得，而，則，
由、、成等比數列，得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；
若是正三角形，則，，
因此、、成等差數列且、、成等比數列，
所以“、、成等差數列且、、成等比數列”是“是正三角形”的充要條件.
故答案為：充要.
13．
【分析】先結合題意由等差和等比數列的基本量法求出兩數列的通項進而求出，再構成函數，分析單調性和根即可.
【詳解】由題意可得等差數列的公差為，所以，所以，
等比數列的公比為，則，
因為，即，即，
設，
由復合函數的單調性可得在上單調遞增，
再由二分法確定當時，，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
14．
【分析】先降標作差得出隔項的遞推關系式，再分奇偶得出數列的通項公式即可計算.
【詳解】已知，
當時，，
兩式作差得，
①當為奇數時，，
因，，則，
所以中的偶數項是以為首項，1為公差的等差數列，
則當為偶數時，；
②當為偶數時，，
所以中的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，
則當為奇數時，，
因為，所以.
故答案為：.
15．(1)分布列見解析，
(2)證明見解析，.
【分析】（1）根據情境求出離散型隨機變量的取值，以及相應的概率，寫出分布列，根據期望公式求解即可；
（2）根據遞推公式，結合等比數列的定義證得為等比數列，再利用累加法和等比數列前n項和公式求得的通項公式．
【詳解】（1）由題意投擲1次骰子得分的概率為，投擲1次骰子得分的概率為，
由題意的可能取值為2，3，4，
，，，
故的分布列為：
2 3 4
因此，數學期望.
（2）由題意知，
故，且，，，
故是以為首項，為公比的等比數列，
故，
所以，當時，
，
當時，上式也成立，
綜上所述：.
16．(1)，.
(2)證明見解析.
(3).
【分析】（1）利用已知條件，通過代入和，結合正項數列的性質，逐步求解和.
（2）通過遞推關系，將用和表示，代入原方程化簡，證明的相鄰項差為常數.
（3）利用第（2）題的結論，將通項轉化為等差數列求和，通過分母有理化簡化求和過程.
【詳解】（1）由，
令，有，因為，所以.
令，有，即，由，解得.
所以，.
（2）當時，由，代入，
化簡得，即，
所以是首項為1，公差為1的等差數列.
（3）由（2）可知.因為是正項數列，所以，從而.
由，
所以.
所以數列的前項的和.
17．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）觀察數列遞推公式，分析求倒數再利用構造數列可求得是等比數列，再求等比數列通項公式即可求得.
（2）根據求得的通項公式，再用錯位相減法求和即可證明.
（3）根據（2）求得，假設中任意不同的三項能構成等差數列，利用等差中項的性質，推出矛盾即可證明.
【詳解】（1）在數列中，由，得，
則，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，
則，解得.
（2）由（1）知，
，
，
兩式相減得，
因為，所以.
（3）由題.
假設數列中存在不同的三項，，（，）構成等差數列，
則，即，
兩邊同時乘以，得.
因為，，所以，，
則是2的倍數，除以2余1，等式不成立.
所以假設不成立，即數列中任意不同的三項都不能構成等差數列.
18．(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）依題意對恒成立，代入計算可得；
（2）依題意可得，，再利用累乘法求出，再結合，計算可得；
（3）由（2）知，則，利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）由題意知，，是公比為的等比數列，
對恒成立，又，，
，，又，所以；
（2）因為對恒成立，
所以，，
，
當時也成立，
，
又，
；
（3）由（2）知，
故
，
當時，；
當時，
；
綜上可得.
19．(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據所給定義計算可得；
（2）設數列的前項和為，推導出，再利用等比數列求和公式計算可得；
（3）依題意可得，即可得到，，依次遞推，總有和，從而得證.
【詳解】（1）因為，且，，所以，
因為，，所以；
（2）設數列的前項和為，
依題意得，
又，
，…，
依次遞推：
，
所以，
又，所以.
（3）依題意得，
所以，
，
所以，…，
依次遞推，總有和，
由此可知，
當時，，是常數列，
當且時，，是常數列.
又，所以對任意的，是常數列.
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