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拋物線問題-2025年高考數學二輪專題
一、單選題
1．若點在以原點為頂點x軸為對稱軸的拋物線C上，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．已知過點的直線與拋物線相切，切點為，拋物線的焦點為，則線段的長為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知拋物線的焦點為是上一點，且的面積為1.則（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．下列拋物線中，焦點坐標為的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知不過原點的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，則弦的中點到y軸距離的最小值為（ ）
A．p B．2p C． D．3p
6．如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗.已知該碗高10cm，口徑26cm，底徑10cm，該碗的軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
7．已知點在拋物線上，記點到軸，到直線的距離分別為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，陰影部分（含邊界）所示的四葉圖是由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉，，后所得的三條曲線及圍成的，若，則下列說法錯誤的是（ ）

A．開口向上的拋物線的方程為
B．四葉圖上的點到點的距離的最大值為
C．動直線被第一象限的葉子所截得的弦長的最大值為2
D．四葉圖的面積小于32
二、多選題
9．斜率為的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于M、N兩點，為拋物線的準線上任意一點.則（ ）
A．
B．以為直徑的圓與直線相切
C．為等邊三角形，則
D．為拋物線的切線，則
10．如圖，拋物線上有一點，點P到原點的距離為4，到準線l的距離為，過點P的直線與x軸交于點A，與拋物線C交于另一點B，且P為線段AB的中點，F是拋物線C的焦點，M是PO的中點，N是拋物線弧PO上的動點，則（ ）
A． B．
C． D．的面積為
11．如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為．和交于兩點，分別過作直線與兩準線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．四邊形的面積為
C．
D．的取值范圍為
三、填空題
12．已知點在拋物線上，的焦點為，則 ．
13．已知拋物線的焦點為，雙曲線的右焦點為.若線段與雙曲線交于點，與拋物線交于點，且，，則雙曲線的離心率為 .
14．已知動直線與圓相切，并與圓相交于點，點為拋物線上一動點，為坐標原點，則的取值范圍為 .
四、解答題
15．拋物線的焦點為，且過點．
(1)求的方程；
(2)過點的一條直線與交于、兩點（在線段之間），且與線段交于點．
①證明：點到和的距離相等；
②若的面積等于的面積，求點的坐標．
16．已知拋物線，焦點F在直線上，又動直線l與C的交點為A，B兩點，A，B在x軸同側，且．
(1)求拋物線C的方程；
(2)證明直線l經過定點；
(3)直線與直線，分別交于M，N，若恒成立，求t的值．
17．已知拋物線：的焦點到其準線的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)過F的直線與拋物線相交于兩點，在處分別作拋物線的切線，兩條切線的交點為，證明：.
18．在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，當直線l平行于y軸時，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線l的斜率存在，直線AO與直線相交于點D，過點B且與拋物線C相切的直線交x軸于點E．
（?。┳C明：；
（ⅱ）是否存在直線l使得四邊形ABDE的面積為？若存在，說明直線l有幾條；若不存在，請說明理由．
19．已知拋物線，過拋物線上一點作兩條直線分別交拋物線于兩點，直線的斜率分別為，且.
(1)求拋物線的方程.
(2)證明：直線過定點.
(3)記直線經過的定點為為直線上一點（異于點），且滿足，證明點在某定直線上，并求出該定直線的方程.
《拋物線問題-2025年高考數學二輪專題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C B B A C BCD BD
題號 11
答案 CD
1．A
【分析】由拋物線的標準方程，代入可得結果.
【詳解】由題意可知，拋物線C的方程為，
將代入，可得，故拋物線C的方程為.
故選：A.
2．C
【分析】由題意設出直線方程，聯立求得切點坐標，利用兩點距離公式，可得答案.
【詳解】由題意可得過點的直線的斜率存在且不為零，則可設為，
聯立可得，消去可得，
，解得，即，
將代入，解得，則或，
易知，所以，
故選：C
3．C
【分析】由題意可得，設，結合的面積可得，進而求得，再根據拋物線的定義求解即可.
【詳解】由題意，，設，
則，則，即，
將代入，得，
根據拋物線的定義，.
故選：C.
4．C
【分析】求出各選項中拋物線的焦點坐標，即可得出答案.
【詳解】對于拋物線，，可得，故，
所以，拋物線的焦點坐標為，
同理可知，拋物線的焦點坐標為，拋物線的焦點坐標為，，
拋物線的焦點坐標為.
故選：C.
5．B
【分析】設弦的中點為，拋物線的準線為，焦點為，過點作于點，過點作于點，過點作于點，利用拋物線的定義求得，結合圖形得到當直線過點時，取得最小值即可求得答案.
【詳解】

如圖，設弦的中點為，拋物線的準線為，焦點為，
過點作于點，過點作于點，過點作于點，
則，
連接，則有，當直線過點時取等號，
所以，則，即弦的中點到軸距離的最小值為.
故選：B.
6．B
【分析】根據給定條件，建立平面直角坐標系，設出拋物線的標準方程，利用待定系數法求出參數值.
【詳解】以該碗軸截面的對稱軸為軸，拋物線的頂點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖，
設該拋物線的方程為（的單位均為cm），點縱坐標為（單位：cm），
則，，于是，解得，
故該拋物線的焦點到準線的距離為．
故選：B
7．A
【分析】設點到直線的距離為，利用拋物線的定義，得到，即可求解.
【詳解】易知拋物線的焦點為，準線方程為，
設點到直線的距離為，
則.

故選：A.
8．C
【分析】由題意可得，可求得逆時針旋轉的拋物線方程判斷A；與的交點到原點的距離最大，計算可判斷B；分別求出拋物線與拋物線斜率為1的切線方程，再求出它們的距離即可判斷C；.求出拋物線在點處的切線，求出該切線與x軸及直線所圍成三角形面積，再結合對稱性即可推理得證.
【詳解】對于A，若，則拋物線，
若拋物線繞其頂點逆時針旋轉，可得拋物線方程為，
即，開口向上，故A正確；
對于B，由拋物線的性質，可得四葉草關于原點對稱，關于，軸，軸對稱，
可知與的交點到原點的距離是四葉圖上的點到點的距離最大的點，
解方程組可求得，所以，所以四葉圖上的點到點的距離的最大值為，故B正確；
對于C，設直線與拋物線相切于點，
由，消去得，由，
得，切點，
設直線與拋物線相切于點，
由，消去得，由，
得，切點，
直線的斜率為，即直線與直線平行或重合，
所以直線被第一象限封閉圖形截的弦長最大值為，故C錯誤.

對于D，拋物線，求導得，
則拋物線在點處的切線斜率為，
拋物線在點處的切線方程為，即，
該切線交軸于點，因此在第一象限的半個草葉的面積必小于，
所以四葉圖的面積小于，故D正確.

故選：C.
【點睛】思路點睛：理解題意，結合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯立，計算判斷，并運用函數的圖象單調性情況，有時還需要以直代曲的思想進行估算、判斷求解.
9．BCD
【分析】由準線方程求出判斷A；利用拋物線的定義，結合圓的切線判斷B；設出直線方程，與拋物線方程聯立，借助韋達定理求解判斷C；利用導數的幾何意義求出切線方程求解判斷D.
【詳解】對于A，拋物線的準線為，則，解得，A錯誤；
對于B，設，則，
線段的中點到準線的距離為，因此以為直徑的圓與直線相切，B正確；
對于C，由（1）知，，設直線方程為，由得，
則，線段的中點，線段中垂線方程為
，則點，，
而，由為等邊三角形，
得，即，解得，C正確；
對于D，由求導得，直線的方程為，
則，直線的斜率，
因此，，D正確.
故選：BCD
10．BD
【分析】由題意得到，求得，再結合拋物線的基本性質逐個判斷即可.
【詳解】依題意，得消去p，整理得，解得（舍去） 或，所以，選項A錯誤；
拋物線C的方程為，得，因為P為線段AB的中點，點A的縱坐標為0，所以點B的縱坐標為，可得點B的橫坐標為8，
于是，所以，選項B正確；
，由題圖可知，，選項C錯誤；
，，選項D正確．
故選：BD．
11．CD
【分析】根據拋物線的定義判斷A，以為原點建立平面直角坐標系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面積，從而判斷，連接，由定義得到，從而得到，，即可推出，從而判斷C，不妨設點在封閉曲線的上部分，設在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時求出，當與重合，點在拋物線上時求出，再求出當點在拋物線，點在拋物線上時的范圍，即可判斷D.
【詳解】設直線與直線分別交于、，由題可知，，
所以，，故A不正確；
如圖以為原點建立平面直角坐標系，則，，
所以拋物線的方程為，
連接，由拋物線的定義可知，，又，
所以，所以，代入，可得，
所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；
連接，因為，所以，，
所以，故，故C正確；
根據拋物線的對稱性不妨設點在封閉曲線的上部分，
設在直線上的射影分別為，
當點在拋物線，點在拋物線上時，，
當與重合時，最小，最小值為，
當與重合，點在拋物線上時，因為，
直線，與拋物線的方程為聯立，可得，
設，則，所以，所以；
當點在拋物線，點在拋物線上時，設，
與拋物線的方程為聯立，可得，
設，則，
則，
當，即時取等號，故此時；
當點在拋物線，點在拋物線上時，根據拋物線的對稱性可知，；
綜上可得，故D正確．
故選：CD.
12．2
【分析】根據拋物線的定義，利用焦半徑公式求解.
【詳解】由題意，拋物線的焦點，準線為，
所以點到準線的距離，則.
故答案為：2.
13．
【分析】首先表示出、，再根據向量的坐標運算得到、的坐標，再分別代入雙曲線、拋物線方程，即可得到關于、的方程，解得即可.
【詳解】拋物線的焦點為，
雙曲線的右焦點為，
所以，
因為，所以，
又，所以，
所以，所以，
則，即，所以，
整理得，因為，所以，
所以.
故答案為：
14．
【分析】設線段的中點為，設，則點在圓，根據，進而計算可求得的取值范圍.
【詳解】設線段的中點為，根據圓的對稱性可知點在圓上，
設，則點在圓上，即圓，
圓心為，半徑為，
則，
當且僅當點在線段上時，等號成立，
設，則，
設，則，
注意到，故，即，當且僅當時等號成立，
故.因此的取值范圍是.
故答案為：.
15．(1)
(2)①證明見解析；②P.
【分析】（1）將點的坐標代入計算，即可得到拋物線方程；
（2）①聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理代入計算，即可得到，即可證明；②由題意可得點P在線段AF的中垂線上，即可得到結果.
【詳解】（1）因為拋物線過點，所以，得：，所以C的方程為：.
（2）①設直線方程為，，，
由得：，則，
，，
又，
，
易知點，所以垂直于軸，
所以，所以點到和的距離相等.
②因為，所以，
故直線PA//FQ，所以，
由①知，所以，
所以點P在線段AF的中垂線上，點的縱坐標為1，代入拋物線方程可得點P.
16．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據題意可得，代入直線運算求解即可；
（2）設直線l的方程為，聯立方程可得韋達定理，根據向量的坐標運算或數量積的運算律可得，結合韋達定理運算求解即可；
（3）可得，.方法一：分析可知，結合斜率公式分析求解即可；方法二：根據幾何性質分析可知，結合韋達定理運算求解.
【詳解】（1）對于拋物線，其焦點坐標，
因為焦點F在直線上，
所以，解得．
所以拋物線C的方程為．
（2）設直線l的方程為，，．
聯立，把代入得，
所以，，．
因為A，B在x軸同側，所以，所以．
方法一：因為，則，，，
所以
，
即．
又因為，，則，
即，解得或（舍去），所以．
所以直線l的方程為，恒過定點．
方法二：因為
，
所以，所以．
又因為，，則，
即，解得或（舍去），所以．
所以直線l的方程為，恒過定點．
（3）方法一：直線方程為，直線的方程為，
則，，
因為，所以直線與直線的斜率相等，即，
可得，即，
因為，則．整理可得，
即，所以；
方法二：直線方程為，直線的方程為，
所以于，，
因為，所以有∽，則．
又因為，，則．
可得．即．
由（2）知，
所以，所以．
17．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點到其準線的距離為，解得，即可得出答案；
（2）設，，，直線方程為，聯立拋物線的方程，得關于的一元二次方程，結合韋達定理可得，，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，寫出切線的方程，同理可得，拋物線在點處的切線方程，聯立上述兩切線方程，解得，，計算，即可得出答案．
【詳解】（1）拋物線C的焦點為，準線方程為，
所以焦點F到其準線的距離為，
因為，解得.
所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，直線AB的斜率一定存在，設其方程為，
代入拋物線方程，整理得.
設，，，
則，.
函數的導數為，故拋物線在點A處的切線方程為，化簡得，
同理，拋物線在點B處的切線方程為，
聯立上述兩切線方程，解得，，
因為，，
所以，
所以.
18．(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）存在，4條.
【分析】（1）根據已知有點在拋物線上，代入拋物線求參數，即可得方程；
（2）（i）設，，，聯立直線與拋物線并應用韋達定理得，，導數的幾何意義求點處切線方程，且，進而得到、，易得，即可證；
（ii）連接，由（i）得，則有四邊形為平行四邊形，再由且，結合已知及導數研究根的個數，即可得.
【詳解】（1）當直線軸時，則點在拋物線上，故，
所以拋物線方程為；
（2）（i）由題設，直線的斜率存在且不為0，設，則斜率，
若，，聯立，得，
所以，，
由，則，故點處切線斜率為，
所以對應切線方程為，
令，故，
由，令，則，故，
所以，
所以，即，所以；
（ii）連接，由（i）得，，則，
又，所以軸，即四邊形為平行四邊形，
所以
，
若四邊形的面積為，則，整理得，
令且，則，
令，則，故在上單調遞增，
又，所以使，
在上，在上單調遞減，
在上，在上單調遞增，
而，，存在使，
所以在上有兩個零點，為和，即在上有2個不同根，
由對稱性，四邊形的面積為的直線共有4條.
19．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析，
【分析】（1）將點的坐標代入拋物線方程得出，進而得出拋物線；
（2）設， 求出直線的方程為，結合，化簡計算可得 ，即可得到結論.
（3）由（2）知，，設，設直線的方程為.代入拋物線聯立方程組，將轉化為，化簡計算可得到結論.
【詳解】（1）將點的坐標代入拋物線的方程可得，解得（舍去）或，故拋物線的方程為.
（2）由（1）可知點的坐標，設，
則.
由，得，所以，
.
.所以直線的方程為，
即，整理得.
又，
從而直線的方程為，化簡得，
因此直線過定點.
（3）由（2）知，設，易知直線的斜率不為0，
設直線的方程為.由消去.
得.則.
因為.所以.
即，
當時，，化簡得，
與直線的斜率不為0矛盾，不合題意；
當時，化簡得，
.
即.又.
可得，所以，即，
所以點在直線上.
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