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空間向量與立體幾何-2025年高考數(shù)學(xué)二輪專題
一、單選題
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，是空間直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，是空間中任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若與關(guān)于平面對(duì)稱，則
B．若，則，，，共面
C．若，則，，，共面
D．若，，三點(diǎn)共線，則
3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的射影的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
4．棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，為平面上的一動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則周長(zhǎng)的最小值為（ ）（附：平面的截距式方程為：，其中，，分別為平面在，，軸上的截距）
A． B． C． D．
5．在直棱柱中，，且，N是棱上的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B．6 C．3 D．
6．正四棱錐底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為為空間任一點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在正方體內(nèi)（包含表面）運(yùn)動(dòng)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域的面積是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直線的方向向量與直線的方向向量，則直線和所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知正方體棱長(zhǎng)為1，設(shè)，則下列命題為真命題的是（ ）
A．存在，
B．任意，
C．任意，三棱錐的外接球表面積小于3π
D．存在，的面積等于的面積
10．對(duì)于空間中一組向量，若存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱這組向量線性無(wú)關(guān).則（ ）
A．若，，，則，，線性相關(guān)
B．若，，，則，，線性無(wú)關(guān)
C．若，，線性無(wú)關(guān)，則，，線性相關(guān)
D．對(duì)于非零向量，，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，，線性相關(guān)
11．已知正四棱臺(tái)上底面的邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，且高為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．該四棱臺(tái)的體積為
B．該四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成角的正切值為
C．若為的中點(diǎn)，則平面
D．該四棱臺(tái)的外接球表面積為
三、填空題
12．如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，，是的中點(diǎn)，，若點(diǎn)在矩形內(nèi)，且平面，則 ．
13．在正四棱錐中，，，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，，則 ．

14．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成角的最小值為 ．(結(jié)果用反余弦表示)
四、解答題
15．已知空間四點(diǎn)．
(1)求以為鄰邊的平行四邊形面積；
(2)若四點(diǎn)共面，求的值；
(3)求直線AB和直線CD夾角余弦值的取值范圍．
16．已知三棱錐中，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足.
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的值.
17．如圖，在三棱柱中，平面，已知，，.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
18．斜四棱柱中，底面為平行四邊形，，，，.
(1)求四棱柱的體積；
(2)求平面與平面的夾角的正切值.
19．如圖1，在等腰直角三角形中，，、、分別在線段、、上，且，．已知，，沿將折起，使得平面平面，如圖2．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)點(diǎn)在線段上，設(shè)直線與直線所成角為，求的最大值．
《空間向量與立體幾何-2025年高考數(shù)學(xué)二輪專題》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B C B C ABC AB
題號(hào) 11
答案 ACD
1．C
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性，即可求解.
【詳解】由空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：C.
2．C
【分析】利用對(duì)稱求解判斷A；利用共面向量定理及推論判斷BC；利用向量共線求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由與關(guān)于平面對(duì)稱，得，，A正確；
對(duì)于B，由及共面向量定理得共面，B正確；
對(duì)于C，，則點(diǎn)不共面，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，由點(diǎn)共線，得，
則，解得，，D正確.
故選：C
3．A
【分析】根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)射影的特點(diǎn)，直接寫(xiě)出答案即可．
【詳解】由題意得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為0，則.
故選：A.
4．D
【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的方程，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱求出最小值.
【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，平面的截距式方程方程為，
，設(shè)的法向量，則，
令，得，令點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
連接交平面于點(diǎn)，則在內(nèi)，且，
因此的周長(zhǎng)，
當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最小值為.
故選：D
5．B
【分析】設(shè)，，，將向量分別用表示，代入，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)，求得，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最小值.
【詳解】

設(shè)，，，
則，，
由，
因，，則，
代入整理得，，顯然，故，
因，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)取得最小值為36，故的最小值為為6.
故選：B.
6．C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得點(diǎn)在以為球心，以1為半徑的球面上，且，從而可得線段長(zhǎng)度的取值范圍.
【詳解】取底面正方形中心，中點(diǎn)，連結(jié)，
以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
因?yàn)椋茫?br/>所以點(diǎn)在以為球心，以1為半徑的球面上，
且，
則，即線段長(zhǎng)度的取值范圍為.
故選：C

7．B
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義確定點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出面積.
【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，
，
則，而，由數(shù)量積的幾何意義知，在上投影的數(shù)量為，
因此點(diǎn)在與垂直的平面內(nèi)，且點(diǎn)到該平面的距離為，
在正方體中易證平面，點(diǎn)到平面的距離為，
取的中點(diǎn)，易得平面平面，
則平面，且點(diǎn)到平面的距離為，
所以點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域?yàn)榈冗叄娣e為.
故選：B
8．C
【分析】根據(jù)直線與直線的夾角與兩直線的方向向量的夾角關(guān)系，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.
【詳解】設(shè)直線與所成的角為，
因?yàn)椋?br/>所以.
所以直線和所成角的余弦值為.
故選：C.
9．ABC
【分析】由題設(shè)得到為矩形，取，利用三角形相似得到，即可判斷A；利用對(duì)稱性得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，再由直角三角形斜邊大于直角邊，即可判斷B；構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，若的外接球的球心，半徑為，應(yīng)用空間兩點(diǎn)距離公式列方程得到，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其范圍，即可判斷C；根據(jù)已知得，，即可判斷D.
【詳解】如下圖，且，即是平行四邊形，
由平面，平面，則，同理有，
所以為矩形，若時(shí)，，又，
所以，易得，此時(shí)，有，A對(duì)；
如下圖，在平面內(nèi)，關(guān)于對(duì)稱，又在（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，
所以，又平面，平面，則，
所以，即，B對(duì)；
構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
若的外接球的球心，半徑為，則，
由，則，則，
所以，則，
令，且，則，
令，則，
所以或時(shí)，即在，上單調(diào)遞增，
時(shí)，即在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以，，使，
所以或時(shí)，即在、上單調(diào)遞減，
或時(shí)，即在、上單調(diào)遞增，
由，，故恒成立，
故，外接球的表面積，C對(duì)；
由平面，平面，則，
所以，由B分析知，
在中上的高，則，
由，故，則，
所以，D錯(cuò).
故選：ABC
10．AB
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由向量相等的條件求，可判斷AB；利用反證法判斷C；根據(jù)條件無(wú)法判斷，，是否線性相關(guān)，判斷D.
【詳解】若，，，
根據(jù)題意，設(shè)，
即，
所以，解得，取，
所以，A正確；
若，，，
根據(jù)題意，設(shè)，
即，
所以，解得，
所以，，線性無(wú)關(guān)，B正確；
假設(shè)，，線性相關(guān)，
則存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，
則，
因?yàn)椋€性無(wú)關(guān)，則，得，
與假設(shè)矛盾，C錯(cuò)誤；
對(duì)于非零向量，，，若存在實(shí)數(shù)，使得，
即，
所以，
但不能確定，，是否線性相關(guān)，D錯(cuò)誤.
故選：AB
11．ACD
【分析】利用臺(tái)體體積公式可判斷A選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理可判斷C選項(xiàng)；設(shè)出球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到點(diǎn)、的距離相等，可求出球心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由臺(tái)體體積公式可知，
該正四棱臺(tái)的體積為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)該正四棱臺(tái)的上底面和下底面的中心分別為、，則底面，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，取，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)該正四棱臺(tái)的側(cè)面和底面所成角為，則為銳角，
且，所以，
故，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，易知為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫势矫妫珻對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，易知該正四棱臺(tái)外接球球心在直線上，
設(shè)球的半徑為，設(shè)點(diǎn)，
由可得，解得，
故，因此，該四棱臺(tái)的外接球表面積為，D對(duì).
故選：ACD.
12．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面的法向量，設(shè)，根據(jù)條件有，從而得到，即可求解.
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，
設(shè)平面的法向量為
則
令，得,所以，
設(shè)，則，又平面，則，
所以，解得，，所以.
故答案為：.
13．/
【分析】由向量基本定理表達(dá)出，根據(jù)四點(diǎn)共面，得到方程，求出答案.
【詳解】，
因?yàn)椋裕?br/>又，故，
即，故，
因?yàn)槠矫媾c直線交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，
所以，解得.

故答案為：
14．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，利用異面直線夾角的向量求法將用一元函數(shù)進(jìn)行表示，再對(duì)是否為進(jìn)行分類討論，求出的最大值，進(jìn)而找到的最小值即可.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
在棱長(zhǎng)為4的正方體中，得到，，
，，，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
則，，設(shè)，，
得到，，
即，，，解得，
故，則，
設(shè)異面直線與所成角為，，
則，
，
令，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，則可化為，
由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞減，則，得到，
若異面直線與所成角最小，則最大，
此時(shí)，故.
故答案為：
15．(1)12
(2)
(3)
【分析】（1）求出和，進(jìn)而得到，由面積公式求出答案；
（2）由四點(diǎn)共面，設(shè)，從而得到方程組，求出的值；
（3）設(shè)直線和直線的夾角為，利用向量夾角公式求出.
【詳解】（1），
又，
，
，
，
四邊形的面積為．
以為鄰邊的平行四邊形的面積為12．
（2）由題意，得，
四點(diǎn)共面，
存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)使得，
，
解得：，
故的值為．
（3），
設(shè)直線和直線的夾角為，
，
，故，，
因?yàn)椋詢芍本€和的夾角余弦的范圍是
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用空間的基底表示向量，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.
（2）由（1）中信息，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.
【詳解】（1）在三棱錐中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，而，，
，
所以
.

（2）由，得，
所以
.
17．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）由平面，得，又，可得平面；
（2）由（1），建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，結(jié)合二面角公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又，，平面，所以平面.
（2）由（1）可得，，，，所以以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋裕?br/>則，，，，，，
則，，設(shè)平面的法向量為，
則，即，解得，
因?yàn)檩S平面，所以平面的法向量為
設(shè)所求二面角為（銳角），則.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)線段長(zhǎng)度和位置關(guān)系可得，，進(jìn)而可得，高，進(jìn)而可得而四棱柱的體積.
（2）取的中點(diǎn)，連接，為平面與平面所成角的一個(gè)平面角，利用余弦定理可得.
【詳解】（1）
如圖，連接交于，連接，，
在中，由余弦定理可得，
因，故，即，，
故為等邊三角形，，由題意，，
則，
由題意可得，
整理可得，得，
則為等邊三角形，故，
又，故為等邊三角形，故，
又，
在中，由余弦定理可得,
，
因，故平行四邊形為菱形，故，
又， ，平面，故平面，
作，由平面，則，
由，平面，則平面，
即為斜四棱柱的高，
在直角三角形中，，
（2）
取的中點(diǎn)，連接，由（1）可知為等邊三角形，
則，，
故為平面與平面所成角的一個(gè)平面角，
在中，由余弦定理可得，
19．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）由條件證明，，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明平面平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系, 求和平面的法向量，再根據(jù)線面角公式計(jì)算即可；
（3）設(shè)，求向量，，根據(jù)線線角的公式得，再由換元法計(jì)算即可.
【詳解】（1），，，
，，
又，，
，
，
,
又，
平面平面，且平面平面，又，
平面，平面，平面，，
平面，
平面，
平面，
平面平面
（2）平面,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
，，，，，，
，，,
設(shè)平面的法向量為，則，取，,
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
（3）設(shè)，其中，
則，，，
所以，
令，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故在時(shí)，取最大值，此時(shí).
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