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空間幾何體的表面積與體積-2025年高考數(shù)學(xué)二輪專題
一、單選題
1．已知圓錐的頂點(diǎn)為V，母線，所成角的余弦值為，VA與圓錐底面所成的角為，若圓錐的側(cè)面積為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，D，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC，BC的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為，若該四棱錐的外接球與內(nèi)切球的球心重合，則外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為（ ）
A． B． C． D．
4．正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，若一個(gè)球的球心到正四棱臺(tái)各個(gè)面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺(tái)與該球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
5．一個(gè)底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為4的正三棱柱密閉容器，其中盛有一定體積的水，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為.當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)（如圖），容器內(nèi)的水形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．已知紙的長(zhǎng)寬比約為．現(xiàn)將一張紙卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面（無(wú)重疊部分）．當(dāng)該圓柱的高等于紙的長(zhǎng)時(shí)，設(shè)其體積為，軸截面的面積為；當(dāng)該圓柱的高等于紙的寬時(shí)，設(shè)其體積為，軸截面的面積為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．在正三棱柱中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則下列幾何體體積為定值的是（ ）
A．四棱錐 B．四棱錐
C．三棱錐 D．三棱錐
8．如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，則該四面體體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．的最小值為
B．的最小值為
C．三棱錐的體積為
D．以點(diǎn)為球心，為半徑的球的表面積的最小值為
10．如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，是圓錐的一個(gè)軸截面，是底面圓周上異于，的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．的面積為
B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為
C．由點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到點(diǎn)的細(xì)繩長(zhǎng)度最小值為
D．若，則三棱錐的體積為
11．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.點(diǎn)，分別是對(duì)角線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，的長(zhǎng)度相等，記，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（ ）

A．
B．的最小值是
C．三棱錐與三棱錐的體積相等
D．若點(diǎn)，，，，，在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積是
三、填空題
12．若一個(gè)圓錐的高為，側(cè)面積為，則該圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角的大小為 .
13．已知三棱錐滿足，且其體積為，若點(diǎn)（正投影在內(nèi)部）到的距離相等，則二面角的正弦值為 .
14．如圖在三棱錐中，兩兩垂直，且，設(shè)是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義，其中分別表示三棱錐，三棱錐，三棱錐的體積.若，且恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為 .
四、解答題
15．梯形中，，，．
(1)若，以為基底表示；
(2)將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積．
16．在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn).
(1)設(shè)，
（i）證明：平面；
（ii）求三棱錐的外接球體積；
(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
17．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，、、分別為棱、、的中點(diǎn)，為底面正方形的中心.
(1)求四面體的體積；
(2)求四面體的外接球半徑；
(3)定義：在兩條異面直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的最短距離稱為異面直線的距離.
①求異面直線與的距離；
②請(qǐng)另外寫出一個(gè)異面直線距離的定義.
18．把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱中底面長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，為上的中點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為過點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與重合）.
(1)求證：平面.
(2)若點(diǎn)是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的最小值.
(3)求三棱錐的體積的取值范圍.
19．閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面， ，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．”已知在直四棱柱中，底面為菱形，．（角的運(yùn)算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；
(2)若與平面的夾角的正弦值為，求四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率；
(3)截取四面體，若該四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，與平面交于點(diǎn)，證明：．
《空間幾何體的表面積與體積-2025年高考數(shù)學(xué)二輪專題》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B A B D B AB ABC
題號(hào) 11
答案 BCD
1．B
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，得到，根據(jù)側(cè)面積得到方程，求出，求出母線，所成角的正弦值，利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，
因?yàn)閂A與圓錐底面所成的角為，所以，即，
又圓錐的側(cè)面積為，故，所以，
即，解得，
設(shè)母線，所成角的大小為，則，故，
所以的面積為.
故選：B
2．B
【分析】根據(jù)給定條件，將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體與該三棱錐的相同的外接球求解.
【詳解】
設(shè)棱的中點(diǎn)分別為，連接，
構(gòu)造長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體外接球的表面積
即為三棱錐外接球的表面積．依題意，，
設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為R，則，
所以其外接球的表面積．
故選：B
3．D
【分析】結(jié)合正四棱錐的幾何特征分別計(jì)算內(nèi)切球及外接球半徑即可求解.
【詳解】設(shè)，分別為該四棱錐外接球、內(nèi)切球半徑，
由題可知球心在高上，
，，
過球心做面垂線，垂足為，
則點(diǎn)在的中線上（為中點(diǎn)），且，
則，，
在中，邊上的高為，
所以，，
故選：D．
4．B
【分析】利用正四棱臺(tái)的軸截面圖形，從而把內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化為內(nèi)切圓問題來解決即可.
【詳解】
如圖作出正四棱臺(tái)的軸截面圖，可知這個(gè)等腰梯形的內(nèi)切圓就是內(nèi)切球的最大圓，
根據(jù)，設(shè)球的半徑為，則由直角三角形中的勾股定理得：
，
利用等面積法：，
可得：，
解得：，
再由棱臺(tái)體積公式得：，
由球的體積公式得：，
所以正四棱臺(tái)與球的體積之比是：，
故選：B.
5．A
【分析】利用棱柱的體積可得面積之比，進(jìn)而得長(zhǎng)度比例關(guān)系，結(jié)合勾股定理，聯(lián)立方程可求解半徑，由表面積公式求解，或者利用余弦定理求解長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可利用勾股定理求解球半徑得解.
【詳解】方法一：
，
如圖，，
而，
，，即，
由于到距離，則到距離，
設(shè)正方形外接圓圓心，則
設(shè)矩形外接圓圓心，則，設(shè)外接球半徑
，，故外接球表面積為，
故選;A.
方法二：由當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為可知容器內(nèi)的空氣占容器體積的，于是側(cè)放時(shí)，圖中的空氣區(qū)域的“小三棱柱”的體積為容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面積為大三角形的，則邊長(zhǎng)之比為，即“小三角形”邊長(zhǎng)為1.然后如圖：
設(shè)圓的半徑為，由余弦定理可得，
故，故，
所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.
故選：A.
6．B
【分析】分析兩種不同狀態(tài)下圓柱的體積和軸截面面積，即可選擇和判斷.
【詳解】不妨設(shè)紙的長(zhǎng)寬分別為；
當(dāng)圓柱的高等于紙的長(zhǎng)時(shí)，也即圓柱高為時(shí)，設(shè)其底面圓半徑為，則，解得，
故，
此時(shí)矩形軸截面的兩條邊長(zhǎng)分別為，故；
當(dāng)圓柱的高等于紙的寬時(shí)，也即圓柱高為時(shí)，設(shè)其底面圓半徑為，則，解得，
故，
此時(shí)矩形軸截面的兩條邊長(zhǎng)分別為，故；
綜上所述，，.
故選：B.
7．D
【分析】根據(jù)題設(shè)在上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合棱柱的結(jié)構(gòu)特征及線面平行的性質(zhì)判斷各棱錐的體積是否為定值即可.
【詳解】對(duì)于正三棱柱，且，，
則在上運(yùn)動(dòng)，
所以到平面、平面的距離均是變化的，棱錐底面積都是定值，故A、B不符合條件，
在平面內(nèi)，不是三棱錐，故C不符條件，
由，平面，平面，則//平面，
所以P到平面的距離為定值，且底面的面積是定值，
所以三棱錐的體積為定值，D符合，
故選：D
8．B
【分析】據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合題意分析得在以為球心，1為半徑的球面上，利用基本不等式求得，再由三棱錐體積公式即可得解.
【詳解】
連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，且2，
所以，故在以為球心，1為半徑的球面上.
設(shè)，則，
，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
則.
又四面體底面上的高，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
9．AB
【分析】根據(jù)的形狀，可判定當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最小，求此時(shí)的值，可判斷A的真假；轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)之間，線段最短，結(jié)合解三角形的知識(shí)可判斷B的真假；舉特例，可判斷C的真假；利用點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離，垂線段最短，確定球的半徑的最小值，求表面積可判斷D的真假.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，顯然為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為的最小值為邊上的高，易求得高為，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，

將等邊三角形繞邊旋轉(zhuǎn)到與平面共面，
顯然，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，顯然當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，球的半徑最小，此時(shí)球的半徑為，因此該球的表面積的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB
10．ABC
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓錐側(cè)面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再結(jié)合側(cè)面展開圖、錐體體積公式逐項(xiàng)判斷.
【詳解】由圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，得圓錐母線，圓錐的高，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為，B正確；
對(duì)于C，將圓錐的側(cè)面沿母線剪開展成平面圖形，連接，如圖，
所求細(xì)繩長(zhǎng)度最小值為，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，
，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11．BCD
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可求得的長(zhǎng)及最小值判斷AB；進(jìn)而可證平面，可判斷C，補(bǔ)形為正方體，求得正方體的外接球的半徑計(jì)算可判斷D.
【詳解】由題意兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.
可得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

過作于，連接，
則，
所以，
故A錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故B正確；
因?yàn)?，又易得平面?br/>所以為平面的一個(gè)法向量，又，所以，
又平面，平面，又點(diǎn)，
所以到平面的距離相等，
所以，即三棱錐與三棱錐的體積相等，故C正確；
將原圖形補(bǔ)成一個(gè)正方體如圖所示：
則正方體的外接球符題意，
外接球的直徑為，所以，
所以該球的體積是，故D正確.
故選：BCD.
12．
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可,
【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為l
由，得，
又，由勾股定理，
所以，解得，
底面圓周長(zhǎng)，扇形中心角，
故答案為：
13．
【分析】設(shè)在底面上投影為，過作，垂足為D，連接，則是二面角的平面角，由體積求得棱錐的高，再結(jié)合底面內(nèi)切圓半徑，即可求點(diǎn)到底面的距離，進(jìn)而求得側(cè)面上的高即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以是以為斜邊的直角三角?
由三棱錐體積公式得三棱錐高，
由點(diǎn)到的距離相等得出點(diǎn)在底面上投影到各邊距離也相等，
所以是的內(nèi)心，則到各邊距離為內(nèi)切圓半徑，
過作，垂足為D，連接，則是二面角的平面角，
因?yàn)榈酌鏋橹苯侨切危詢?nèi)切圓的半徑為.
則三棱錐側(cè)面上的高為，
則.
故二面角的正弦值為.
故答案為：.
14．1
【分析】根據(jù)給定的信息求出三棱錐的體積，進(jìn)而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解.
【詳解】在三棱錐中，兩兩垂直，且，
則，解得 ，又，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由恒成立，得，
于是，解得，所以正實(shí)數(shù)的最小值為1.
故答案為：1
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知可求出，進(jìn)而由，得出，即可根據(jù)圖象得出答案；
（2）分析可得出該梯形，繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周為一個(gè)以為半徑，為高的圓柱挖去兩個(gè)以為半徑，為高的圓錐（挖去部分表面積等于該圓錐的側(cè)面積）.然后依次求出各部分的面積，相加即可得出答案.
【詳解】（1）
如圖，分別過點(diǎn)作，垂足為.
由題意可知，梯形為等腰梯形，且，，
所以，，，則可得.
由已知可得，
所以有，
所以有，
所以.
（2）易知該梯形，繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周為一個(gè)以為半徑，為高的圓柱挖去兩個(gè)以為半徑，為高的圓錐（挖去部分表面積等于該圓錐的側(cè)面積）.
每個(gè)圓錐的側(cè)面積為；
圓柱的側(cè)面積為.
所以所得幾何體的表面積為．
16．(1)（i）證明見解析；（ii）
(2)
【分析】（1）（ⅰ）結(jié)合已知和勾股定理，根據(jù)線面垂直的判定定理可證線面垂直；
（ⅱ）根據(jù)三棱錐的特征確定球心，然后利用球的性質(zhì)求出球的半徑，代入球的體積公式求解即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量表示出直線與平面所成角的正弦值，再結(jié)合換元法和基本不等式可求其最大值.
【詳解】（1）（?。┰谥?，，，所以.
因?yàn)?，，所以，所?
又因?yàn)?，平面，?br/>所以平面.
（ⅱ）因?yàn)槠矫?，且為正三角形，作下圖
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連結(jié)，延長(zhǎng)交球面于H，
過作交平面于，
則為直角三角形，
所以為斜邊的中點(diǎn)， 平面，為的外接圓的直徑.
所以，為的中位線，為小圓圓心，則為的中點(diǎn)，
則，則，，
則球的半徑，
所以三棱錐的外接球體積為.
（2）如圖，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角的平面角為，
則，，，.
所以,平面的法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
設(shè)，
設(shè)，所以，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即.
所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
17．(1)
(2)
(3)①②與兩條異面直線都垂直相交的線段的長(zhǎng)
【分析】（1）以為原點(diǎn)，以直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離，再求出三角形的面積，利用三棱錐的體積公式計(jì)算可得結(jié)果；
（2）設(shè)為三角形的外心，為四面體的外接球球心，為中點(diǎn)，在中，由等腰三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量的運(yùn)算易得，再結(jié)合球的性質(zhì)可得，從而利用空間兩點(diǎn)間的距離公式得到外接球半徑；
（3）①分別在異面直線與上各取一點(diǎn)、，由向量線性運(yùn)算表示，
其中、，所以，進(jìn)而得到當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)，；
②計(jì)算得到，，即，，從而定義異面直線的距離為與兩條異面直線都垂直相交的線段的長(zhǎng).
【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，以直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
所以、、，
設(shè)為平面的法向量，則，取，得，，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又，，所以三角形的面積為，
故；
（2）設(shè)為三角形的外心，為四面體的外接球球心，為中點(diǎn)，
為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
則，所以，
從而，
由得：，所以，，
進(jìn)而，設(shè)，可得，，由得：，
所以，，故；
（3）①分別在異面直線與上各取一點(diǎn)、，
則，
其中、，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)，；
②由①得：，
所以，，即，，
故可定義異面直線的距離為與兩條異面直線都垂直相交的線段的長(zhǎng).
18．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及基本事實(shí)4可知，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.
（2）令，則，，，然后由兩角和的正切公式得，然后利用基本不等式求解最值.
（3）利用等體積法得，問題化為求、到平面距離之和都最大，應(yīng)用直線與橢圓位置關(guān)系求最大，即可得解.
【詳解】（1）由題設(shè)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，則，
所以分別是的中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，
由，
故四邊形為平行四邊形，則，
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，故，
面面，故平面.
（2）由題設(shè)，令，則，又，
所以，，則，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即上式取等號(hào)，所以.
（3）由，
正方形中為中點(diǎn)，易得與重合時(shí)與垂直，
此時(shí)，
則最大值為，
構(gòu)建如上圖空間直角坐標(biāo)系且，底面橢圓方程為，
設(shè)，
設(shè)，聯(lián)立橢圓得，且，
所以，
而，
所以，令，則，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上遞增，故，
由，
綜上，.
19．(1)2
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件得到菱形為正方形，再根據(jù)在頂點(diǎn)處的離散曲率的定義計(jì)算即可；
（2）結(jié)合立體幾何知識(shí)，求得與平面的夾角為，求得，再根據(jù)在頂點(diǎn)處的離散曲率的定義計(jì)算即可；
（3）根據(jù)四面體在點(diǎn)處的離散曲率為求得，再結(jié)合立體幾何知識(shí)，證得平面，用等體積法求三棱錐的體積，求得，即可得證.
【詳解】（1）若，則菱形為正方形，即．
因?yàn)槠矫妫矫妫?，?br/>所以直四棱柱，在頂點(diǎn)處的離散曲率為，
所以四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和為2．
（2）∵為菱形，∴．
又直四棱柱，
∴平面，平面，∴．
又平面，，∴平面．
設(shè)，則即為與平面所成的角，
在中，，因?yàn)榕c平面的夾角的正弦值為，
所以，所以，則．
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>所以直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為．
（3）證明：在四面體中，，，，
所以，，
所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，
所以，
所以為等邊三角形，所以．
又在中，，所以，
所以直四棱柱為正方體．
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br/>又，，平面，
所以平面．
又平面，所以．
∵平面，平面，∴．
又平面，，∴平面．
又平面，所以．
又，平面，所以平面．
∴是三棱錐的高，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
∴，，
∴，∴，
∴，∴，
∴．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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