資源簡介

第九章 軸對稱、平移與旋轉
9.1 軸對稱
第3課時 作軸對稱圖形
《作軸對稱圖形》是初中數學圖形與幾何領域的重要內容，它建立在學生已初步掌握軸對稱圖形的概念和性質基礎之上，進一步探究如何利用這些知識進行圖形的繪制與實際問題的解決，具有承上啟下的關鍵作用．
本節課所學的作軸對稱圖形方法，是對軸對稱知識的深化運用，為后續學習等腰三角形、等邊三角形等特殊圖形的性質與判定提供了重要的作圖工具，更是理解圖形變換、函數圖象對稱性等后續知識的關鍵前提．
經過前期課程學習，學生已經對軸對稱圖形有了一定的感性認識，能夠識別常見的軸對稱圖形，如蝴蝶、建筑倒影等，并初步了解軸對稱圖形的對稱軸、對應點等概念．在基本圖形繪制方面，學生熟練掌握了用直尺、圓規畫線段、角、三角形等簡單圖形的操作，這些知識與技能為學習作軸對稱圖形提供了必要的鋪墊．
1．理解軸對稱圖形的概念和性質．
2．已知一個圖形和一條直線，能作出這個圖形關于這條直線的對稱圖形．通過操作培養學生的動手能力．
3．能按要求作出簡單平面圖形關于直線對稱的圖形，探索作一般的軸對稱圖形的方法．
4．探究較復雜的軸對稱圖形的作法．培養學生空間想象和解決實際問題的能力．
重點：能按要求作出簡單平面圖形關于直線對稱的圖形，探索作一般的軸對稱圖形的方法；
難點: 探究較復雜的軸對稱圖形的作法．培養學生空間想象和解決實際問題的能力．
情境導入
對稱現象無處不在，從自然景觀到藝術作品，從建筑物到交通標志，甚至日常生活用品，都可以找到對稱的例子，對稱給我們帶來美的享受！
設計意圖：結合實際生活情境，借助展示精美軸對稱圖案，激發學生對數學內在美的感知，將數學從枯燥的符號公式轉化為藝術創造源泉，從而提升學習興趣．
探究新知
活動一：探究已知點的對稱點
問題1：你能畫出下列圖形的對稱軸嗎？
追問：把圖形遮掉左邊一半或右邊一半后，你能還原出原來的圖形來嗎？
問題2：如果給出一個圖形和一條直線，那么如何作出這個圖形關于這條直線的對稱圖形呢？
師生活動：組織學生進行討論，并選小組代表發言，其他小組補充．學生總結，老師補充．
答：(1)找出軸對稱圖形的任意一組對稱點并連結．(2)畫出對稱點所在線段的垂直平分線，則這條線就是它的對稱軸．
追問：如圖，實線所構成的圖形為已知圖形，虛線為對稱軸，試畫出已知圖形的軸對稱圖形．畫好之后，你可以通過折疊的方法來驗證你畫得是否正確．
分析：在格點圖中，可以通過找到格點關于對稱軸的對稱點，作出已知圖形的軸對稱圖形．
(1)需要找到5個關鍵點，然后順次連結即可．
(2)需要找到3個關鍵點，然后順次連結即可．
答：
設計意圖：讓學生掌握關鍵點，初步了解如何去畫已知的軸對稱圖形．
問題3：如果沒有上述的格點圖輔助，我們該如何做呢？如圖，已知點A和直線l，試畫出點A關于直線l的對稱點A′．
師生活動：組織學生進行討論，并選小組代表發言，其他小組補充．學生總結，老師補充．
作法：①過點A向直線l畫垂線段AO，垂足點O；
②延長AO至OA′，使．則點A′就是點A關于直線l的對稱點．
答：如圖所示：
設計意圖：通過設計觀察、操作等，促使學生親身體驗知識的形成過程．增強學生對空間圖形的感知，猜想驗證培養邏輯推理，助力學生數學思維成長．
活動二：過已知點作出已知直線的垂線
問題4：前面我們已經能利用尺規作圖，作已知線段的垂直平分線，作已知角的平分線，那么如何利用尺規作圖，過已知點作出已知直線的垂線？
分析：已知點與已知直線可以有兩種不同的位置關系：點在直線上；點在直線外．現分別按這兩種情況作圖．
答：(1)如圖，經過已知直線AB上一點C，試利用尺規作圖作出直線AB的垂線．
作法：①作平角∠ACB的平分線CP；②反向延長射線CP．直線CP就是所要求作的垂線．
如圖所示：
(2)如圖，經過已知直線AB外一點C，試利用尺規作圖作出直線AB的垂線．
作法：①以點C為圓心、適當長（大于點C到直線AB的距離）為半徑作弧，交直線AB于M、N兩點；②分別以點M、N為圓心，相同長（大于線段MN長的一半）為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作直線CP．直線CP就是所要求作的垂線．
如圖所示：
設計意圖：讓學生知道已知點與已知直線兩種不同的位置關系：點在直線上；點在直線外．
活動三：畫已知圖形的軸對稱圖形
問題5：如圖，已知△ABC和直線l，作出△ABC關于直線l對稱的圖形．
分析：（1）分別作出點A、B、C關于直線l的對稱點A1、B1和C1；
（2）連結A1B1、B1C1、C1A1．
△A1B1C1就是所要求作的△ABC關于直線l對稱的三角形．
答：如圖所示：
設計意圖：探究作軸對稱圖形方法時，學生從簡單的點對稱探究逐步拓展到復雜多邊形，在此過程中積累經驗，日后面對新的幾何探究任務能自主遷移方法．
總結：1．畫軸對稱圖形的依據：
對稱軸是對稱點連線的垂直平分線，即一對對稱點到對稱軸的距離相等，所以只要過一個點向對稱軸畫垂線并截取相等的垂線段便可以得到它的對稱點．
2．畫軸對稱圖形的方法步驟：
(1)找出已知圖形中的特殊點(如線段的端點、角的頂點、折線的拐點等)；
(2)作出特殊點關于對稱軸的對稱點；
(3)依次連結各對稱點，得到的圖形就是所要求作的圖形．
應用新知
【經典例題】
例1 如圖，分別以∠AOB的兩邊所在直線為對稱軸，畫出點C的對稱點．
師生活動：學生先獨立思考，小組討論交流，然后教師指定學生回答，然后組織其他的學生進行點評．
分析：過點C作直線OA的垂線，在垂線上截取，C1就是點C關于直線OA的對稱點；同理可畫出另一個對稱點．
答：如圖所示：
例2 如圖，已知四邊形ABCD和直線l，作出四邊形ABCD關于直線l對稱的圖形．
師生活動：學生先獨立思考，小組討論交流，然后教師指定學生回答，然后組織其他的學生進行點評．
答：如圖所示：
設計意圖：通過例題圖形繪制過程，將抽象的數學操作可視化，降低學生理解難度，尤其對于空間想象能力弱的學生，能清晰看到步驟流程，模仿學習．
【課堂練習】
教材練習
1．在圖中分別作出點A關于兩條直線的對稱點A′和A′′．
分析：向兩直線作垂線并延長，使AM＝MA′，AN＝NA′′
答：如圖所示
2．作出如圖所示圖形關于直線l的對稱圖形．
分析：找特殊點，作對稱點，依次連接畫出圖形．
答：如圖所示
3．如圖，已知△ABC，利用尺規作圖作出△ABC的邊BC上的高．
分析：經過直線上一點作已知直線的垂線．
答：如圖所示
設計意圖：通過針對性練習鞏固所學，課堂練習即時反饋學習效果，教師據此調整教學節奏
【課堂檢測】
1．下列說法中，正確的是( )
A．作一個圖形的對稱圖形只能作一個
B．作一個圖形的對稱圖形能作有限個
C．因為選取對稱軸的位置不同，所以作一個圖形的對稱圖形可有無數個
D．不規則的，復雜的圖形不存在對稱軸
答：C．
2．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線MN對稱，其中點A，A′是一組對稱點，AA′交MN于點O，若AA′＝8cm，則 A′O＝____cm，∠A′OM＝____度．
答：4；90．
3．在平面鏡里看到其對面墻上電子鐘示數如圖所示，那么實際時間是_________．
答：5:01．
課堂總結
實踐作業
收集生活中的軸對稱圖形（如建筑、標志、動植物等），拍照或繪制并標注其對稱軸．
在教學過程中，要注重學生動手操作環節的引導，通過實際操作讓學生深刻理解作軸對稱圖形的方法．
明確學生應掌握的具體知識點和操作技能，即理解軸對稱圖形性質并能精準作圖，以及運用性質解決幾何問題．這是數學學習的基礎要求，讓學生具備扎實的理論根基與實踐能力，以應對后續復雜知識的學習與實際生活中的數學運用場景．

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