資源簡介

第九章 軸對稱、平移與旋轉
9.1 軸對稱
第2課時 軸對稱的再認識
本節課是華師版七年級下冊第九章第一節第二課時的內容，是在學生已經初步認識生活中的軸對稱現象、了解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的概念基礎上展開的深入學習．通過對線段、角等基本圖形軸對稱性的研究，進一步揭示軸對稱的本質特征，為后續學習等腰三角形、等邊三角形等特殊軸對稱圖形以及利用軸對稱進行圖案設計、解決實際問題奠定堅實的理論基礎．教材以“做一做”“試一試”等活動為載體，引導學生在操作中觀察、思考，逐步歸納總結出畫軸對稱圖形對稱軸的方法，體現了從直觀到抽象、從特殊到一般的認知規律，有助于培養學生的空間觀念和邏輯思維能力．
七年級學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的關鍵時期，他們對直觀、生動的事物充滿興趣，且在之前的學習中已積累了一定的圖形認識經驗，對生活中的軸對稱現象有一定的感性認識，能夠識別簡單的軸對稱圖形．但對于如何準確地畫出軸對稱圖形的對稱軸，以及理解軸對稱圖形對稱軸的本質屬性，部分學生可能存在困難．在學習過程中，學生更傾向于通過動手實踐來獲取知識，因此在教學中應多設計操作活動，引導學生自主探究、合作交流，幫助他們將感性認識上升為理性認識．
1．通過折疊的方式認識線段和角等圖形的軸對稱性，通過探索得到軸對稱圖形的對稱軸的畫法．
2．通過畫對稱軸，掌握基本的作圖方法．
3．會用尺規作圖作已知線段的垂直平分線和作已知角的平分線．
4．在探究活動中，激發學生對數學的好奇心和求知欲，培養學生勇于探索、敢于創新的精神．
重點：通過畫對稱軸，掌握基本的作圖方法．
難點：會用尺規作圖作已知線段的垂直平分線和作已知角的平分線．
復習回顧
1．什么是軸對稱圖形？
答：如果一個圖形沿著某條直線對折后，對折的兩部分是完全重合的，那么這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就叫做這個圖形的對稱軸．
2．什么是兩個圖形成軸對稱？
答：把一個圖形沿著某一條直線對折，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個圖形中的對應點(即兩個圖形重合時互相重合的點)叫做對稱點．
思考：我們已經學會了什么是軸對稱圖形，那么線段、角是軸對稱圖形嗎？
設計意圖：回顧上節課學過的軸對稱圖形的定義和什么是兩個圖形成軸對稱，為下面的探究問題的出現做好鋪墊埋下伏筆．
探究新知
活動一：探究線段的對稱性
師生活動：讓學生在紙上畫一條線段AB，然后將紙對折，使點A與點B重合，觀察折痕與線段AB的關系．引導學生思考：“線段是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？學生動手操作，進行對折實驗，觀察并思考教師提出的問題，與同桌交流討論，總結線段的軸對稱性及對稱軸的特點．
問題1：如圖，在半透明紙上畫出線段AB，對折線段AB，使點A與點B重合，在折痕上任取兩點P、Q，然后用直尺畫出折痕PQ，直線PQ與線段AB相交點O．
思考：
對折后，線段OA與OB是否重合？∠POA與∠POB是否重合？
直線PQ與線段AB有什么關系？
分析：①線段AB沿直線PQ對折②點A與點B重合
線段AB是軸對稱圖形，對稱軸是直線PQ
（根據軸對稱圖形的基本特征）
，
直線PQ是線段AB的垂直平分線
總結：線段是軸對稱圖形，其對稱軸就是該線段的垂直平分線．
注意：線段的垂直平分線是直線．
問題2：連接PA，PB，QA，QB，線段PA和PB有什么關系？線段QA和QB呢？
答：，
問題3：由此，你能發現利用尺規作圖作線段垂直平分線的方法嗎？
如圖，已知線段AB，試利用尺規作圖，按下列作法準確地作出線段AB的垂直平分線．
答：畫法：(1)分別以點A和B為圓心、相同長(大于線段AB長的一半)為半徑作弧，兩弧分別相交于點P和點Q；
(2)作直線PQ．
直線PQ就是所要求作的線段AB的垂直平分線．
設計意圖：通過實際操作，讓學生直觀感受線段的軸對稱性，培養學生的觀察能力和動手操作能力，同時引出利用尺規作圖作線段垂直平分線的方法．
活動二：探究角的對稱性
師生活動：要求學生在半透明的紙上畫一個∠AOB，然后將紙對折，使角的兩條邊完全重合，畫出折痕OM．教師提問：“角是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？”引導學生觀察并總結．最后得出結論：角是軸對稱圖形，對稱軸是它的角平分線所在的直線．學生按照教師要求進行畫圖和對折操作，觀察折痕與角的關系，思考并回答問題，總結角的軸對稱性及對稱軸．
問題4：如圖，在半透明紙上畫出∠AOB，對折∠AOB，使角的兩邊完全重合，然后在折痕（角的內部）上任取一點 P，用直尺畫出折痕OP．
思考：射線OP與∠AOB是什么關系？
答：射線OP是∠AOB的角平分線
總結：角是軸對稱圖形，其對稱軸是這個角的平分線所在的直線．
問題5：我們已經能利用尺規作圖作出已知線段的垂直平分線，那么如何作出已知角的平分線，從而得到已知角的對稱軸呢？
追問1：如圖，點N是點M的對稱點，線段OM的對應線段是______，線段PN的對應線段是______．
答：ON PM
追問2：由此，你能發現利用尺規作圖作角平分線的方法嗎？
答：需作的角平分線OP
轉化
線段MN的垂直平分線
問題6：如圖，已知∠AOB，試利用尺規作圖，按下列作法準確地作出∠AOB的平分線．
畫法：(1)以點O為圓心、任意長為半徑作弧，與角的兩邊分別交于M、N兩點；
(2)分別以M、N為圓心、相同長（大于線段MN長的一半）為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧相交于點P；
(3)作射線OP．
射線OP就是所要求作的∠AOB的平分線．
活動三：探究確定軸對稱圖形的對稱軸
師生活動：展示一些簡單的軸對稱圖形，如等腰三角形、長方形、正方形等，讓學生嘗試畫出它們的對稱軸．組織學生小組討論：“如何準確地畫出軸對稱圖形的對稱軸？”引導學生總結畫對稱軸的方法．學生觀察圖形，嘗試畫出對稱軸，小組內交流討論，分享自己的方法和思路，共同總結畫對稱軸的通用方法．
問題7：如圖，兩個方格圖內的圖形都是軸對稱圖形，請作出它們的對稱軸．
答：
問題8：如果沒有方格圖，且又不能對折時，如何準確作出圖形的對稱軸呢？連結對稱點的線段與對稱軸有什么關系
如圖，點A和點A 關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？
分析：根據線段的對稱性，若連結AA ，線段AA 關于其垂直平分線對稱，則點A、點A 關于線段AA 的垂直平分線也對稱．
答： 畫法：(1)連結AA ；
(2)作AA 的垂直平分線l；
直線l就是點A和點A 的對稱軸．
用前面的方法試著分別畫出如圖所示圖形的對稱軸．
對稱軸的畫法:
(1)找出軸對稱圖形的任意一組對稱點并連結．
(2)畫出對稱點所在線段的垂直平分線，則這條線就是它的對稱軸．
總結：如果一個圖形是軸對稱圖形，那么連結對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸．
設計意圖：通過實際畫圖和討論，讓學生掌握畫軸對稱圖形對稱軸的方法，培養學生的合作交流能力和歸納總結能力．
應用新知
【經典例題】
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
例1 下列說法正確的是（ ）
A．線段有且只有一條對稱軸
B．垂直于線段的直線就是線段的對稱軸
C．角的對稱軸是角的平分線
D．角的平分線所在的直線是角的對稱軸
分析：
1．線段的對稱軸有兩條：一是線段本身所在的直線，二是線段的垂直平分線．
2．角的對稱軸是角平分線所在的直線，且只有一條．
答：D
例2 如圖，已知A，作．(不寫畫法，保留作圖痕跡)
分析：首先利用角平分線的作法將A平分，進而得出A的平分線；再利用作一角等于已知角的作法得出答案．
答：如圖，∠B即為所求．
師生活動：學生回答，教師點評，全班交流．
設計意圖：通過例題講解，讓學生學會運用所學知識解決實際問題，加深對線段垂直平分線性質的理解和掌握，通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情．
課堂練習
1．平面上的兩條相交直線是軸對稱圖嗎？如果是，它有幾條對稱軸？作圖試試看．
解：是軸對稱圖形，對稱軸有兩條或四條．
對稱軸有兩條是兩直線夾角的平分線所在的直線．如圖(1)．
兩條直線垂直相交有四條對稱軸，如圖(2)．
2．把一張正方形紙對折兩次，然后分別剪出下列圖形．
解：(1)操作步驟如圖①所示．
(2)操作步驟如圖②所示．
3．圖中的一些虛線，哪些是圖形的對稱軸，哪些不是？
答：②④⑥是圖形的對稱軸，①③⑤不是．
4．如圖，已知△ABC ，利用尺規作圖作出△ABC的邊BC上的中線．
解：①作出線段BC的垂直平分線，交線段BC于點O；
②連接AO，線段AO即為△ABC的邊BC上的中線．
5．如圖，已知△ABC，利用尺規作圖作出∠ABC的平分線．
解：作法如下：
師生活動：教師出示練習題，巡視學生的練習情況，及時給予指導和反饋．學生獨立完成練習題，遇到問題舉手向教師或同學請教．
設計意圖：通過練習，鞏固學生所學知識，及時發現學生存在的問題并加以解決，提高學生的解題能力．
課堂檢測
【限時訓練】
1．正方形的對稱軸有( 　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
答：D．
2．下列說法正確的是 (　 　)
A．角是軸對稱圖形，它的平分線就是它的對稱軸
B．全等三角形一定能關于某條直線對稱
C．直角三角形不是軸對稱圖形
D．等邊三角形有三條對稱軸
答：D．
3．如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有(　 　)
A．1條
B．3條
C．5條
D．無數條
答：C．
4．①正方形；②等腰三角形；③長方形；④圓；⑤等邊三角形，都是軸對稱圖形，按對稱軸由少到多的順序排列是(　 )
A．①③②⑤④ B．①②③④⑤
C．②③⑤①④ D．④①⑤③②
答：C．
5．四等分已知線段AB．
分析：先作線段AB的垂直平分線，把線段AB二等分，然后再作這兩條線段的垂直平分線即可把線段AB四等分．
解：作法如圖：
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對本節課所學內容的理解．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．如果作線段的垂直平分線？
3．如何作角平分線？
4．如何確定圖形的對稱軸？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
找找你身邊的軸對稱圖形，然后說一說如何畫出它的對稱軸！
在本節課的教學過程中，通過豐富的實例和探究活動，學生對軸對稱圖形有了更深入的認識，較好地掌握了畫對稱軸的方法和線段垂直平分線的性質．
本節課采用小組學習模式，在小組討論之前，留給學生充分獨立思考的時間，不讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問．教師對小組討論給予適當的指導，包括知識的啟發引導、學生交流合作中注意的問題及對困難學生的幫助等，使小組合作學習更具實效性，根據不同學生的不同特點注意適當增減內容以保證課堂教學的順利完成．
在教學中，仍有部分學生在畫對稱軸時不夠準確，對線段垂直平分線性質的應用不夠熟練．在今后的教學中，應加強對這部分學生的輔導，增加針對性的練習，幫助學生更好地掌握知識．

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