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11.1.2 不等式的性質 第2課時 教學設計人教版(2024)數學七年級下冊

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11.1.2 不等式的性質 第2課時 教學設計人教版(2024)數學七年級下冊

資源簡介

第十一章 不等式與不等式組
11.1.2不等式的性質
第2課時
本節課是人教版初中數學七年級下冊第十一章第一節的內容.本節課是在學習不等式性質概念基礎上展開的,是對不等式知識體系的進一步深化,又是后續學習解不等式等知識的關鍵基礎,在整個代數學習中具有承上啟下的重要作用.本節課主要講的是利用不等式的性質解不等式,讓學生會在數軸上表示出來不等式的解集,體會數形結合的思想,最后能夠利用不等式解決生活中的一些實際問題.
學生已經掌握了不等式的性質,理解了不等式的基本概念,會比較數的大小,具備了一定的運算能力和邏輯思維能力,這為學習不等式的性質奠定了良好的基礎.
七年級學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段,具有一定的觀察、分析和歸納能力,但對于抽象的數學概念和性質的理解還需要通過具體的實例和操作來輔助.在學習過程中,學生可能會在不等式性質3的應用上出現困難,容易忽略乘以或除以一個負數時不等號方向要改變這一關鍵要點.
1.能利用不等式的性質解簡單的不等式,并會在數軸上表示不等式的解集,體會數形結合思想.
2.知道符號“≥”和“≤”的意義及在數軸上表示不等式的解集時實心圓點與空心圓圈的區別.
3利用不等式的性質解決實際問題,感受數學建模思想.
重點:能利用不等式的性質解簡單的不等式,并會在數軸上表示不等式的解集
難點:利用不等式的性質解決實際問題
復習回顧
問題:上節學習了不等式的性質,那么同學們還記得不等式的性質是什么嗎?
師生活動:小組形式匯報.
答:1.不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子),不等號的方向不變.(如果 a>b,那么 a±c>b±c.)
2.不等式兩邊乘 (或除以)同一個正數,不等號的方向不變.(如果, 那么(或)
3.不等式兩邊乘 (或除以)同一個負數,不等號的方向改變.)如果, 那么(或).
問題:解方程的依據是是什么?
答:等式的性質.
問題:解方程依據等式的性質,將方程逐步化為x=a為形式.類比解方程,如何解不等式呢?答:解不等式要依據不等式的性質,將不等式逐步化為x>a或x師生活動:小組形式匯報.
設計意圖:通過學生對以前學過的不等式的性質的復習,為本節利用不等式的性質解不等式等打下基礎.
探究新知
活動一:利用不等式的性質解不等式
問題:利用不等式的性質解下列不等式:
(1)6; (2)x+1;
(3)0 ; (4).
師提示:解不等式要借助不等式的性質,將不等式逐步化為x>a或x答:
解:(1)根據不等式的性質,不等式兩邊加,不等號的方向不變,所以,

(2)根據不等式的性質1,不等式兩邊減去2x,不等號的方向不變,所以.
.
根據不等式的性質2,不等式兩邊乘,不等號的方向不變,所以 .
.
根據不等式的性質3,不等式兩邊除以 4,不等號的方向改變,所以 ,
.
師生活動:學生先獨立思考,指定學生回答,集體交流.
設計意圖:在認識不等式性質的基礎上,通過4個簡單的例題,鞏固對不等式性質的理解,體會其在解不等式中的作用.
活動二:在數軸上表示不等式的解集
問題:不等式的解集也可以在數軸上表示,你能在數軸上表示活動一中四個不等式的解集嗎?
答:解:(1)x>33; (2)x<1;
x>75; .
師小結:用數軸表示不等式的解集時,若解集不包含“邊界點”,則用空心圓圈.大于“邊界點”向右畫,小于“邊界點”向左畫.
師生活動:學生先獨立思考,再小組交流,最后以小組為代表匯報展示.
設計意圖:通過數軸的直觀讓學生對不等式的解集進一步加深理解,滲透數形結合思想.培養學生的思考問題,動手操作能力,增加合作交流意識.
活動三:符號“≥”與“≤”的意義
問題:像“a≥b”和“a≤b”也經常用來表示兩個數量的大小關系,它們也是不等式.符號“≥”與“>”的含義有什么區別?“≤”與“<”呢?
答:“≥”是“>”與“=”的合寫形式,讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”.
“≥”比“>”多了一層相等的含義.
同理“≤”是“<”與“=”的合寫形式,讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.
“≤”比“<”多了一層相等的含義.
追問:“a≥b”和“a≤b”形式的不等式,是否具有與前面所說的不等式類似的性質呢?
答:若 a≥b,則 a±c≥b±c.
若, ,則(或).
若, ,則(或).
問題:一輛轎車在一條規定車速不低于80 km/h,且不高于100 km/h的高速公路上行駛,用v(單位:km/h)表示汽車的速度,則v應該滿足什么條件呢?
答:應該滿足:且,或表示為.
師生活動:學生先獨立思考,再小組交流,最后以小組為代表匯報展示.
設計意圖:以一個問題串的形式引導學生自主構建對“不等符號(≥和≤)”的 認識,培養學生自主學習的能力,通過將不等式與生活中的實際例子聯系起來,進一步體會數學源于生活并服務于生活.
應用新知
經典例題:
例1 利用不等式的性質解不等式:,并將在數軸上表示解集.
解:
不等式兩邊除以2,不等號方向不變,所以
解集在數軸上的表示如圖所示.
師小結:若解集包含“邊界點”,則用實心圓點.
教材例題:
例2 如圖,一個長方體形狀的魚缸長10dm,寬3.5dm,高7dm.若魚缸內已有水的高度為1dm,現準備向魚缸內繼續注水.用V(單位:dm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍并在數軸上表示.
分析:問題中的不等關系是:已有水的體積與新注入水的體積之和不能超過魚缸的容積.
新注入水的體積不能是負數.
答:解:因為 “已有水的體積+新注入水的體積魚缸的容積”,所以,解得.又由于新注入水的體積不能是負數,所以的取值范圍是.
在數軸上表示V的取值范圍如圖所示:
注意:在表示0和210的點上畫實心圓點,表示取值范圍包含這兩個點所對應的數.
師生活動:學生先獨立思考,再小組交流,最后以小組為代表匯報展示.
設計意圖:通過例題進一步鞏固學生用不等式的性質解不等式的理解和認識.能夠利用不等式解決實際問題,進一步體會數學源于生活并服務于生活.
課堂練習
教材練習:
1.關于的不等式的解集在數軸上的表示如圖所示,寫出相應的解集.
答:解:(1); (2) ; (3).
2. 利用不等式的性質解下列不等式,并在數軸上表示解集:
(1); (2);
(3) ; (4).
答:
解:(1)不等式兩邊乘7,不等號的方向不變,所以,所以.解集在數軸上表示如圖所示.
(2)不等式兩邊減去3x,不等號的方向不變,所以,解得.解集在數軸上表示如圖所示.
(3)不等式兩邊乘7,不等號的方向不變,所以×7,所以.解集在數軸上表示如圖所示.
(4)不等式兩邊除以-8,不等號的方向改變,所以-8x÷(-8)<10÷(-8),所以.解集在數軸上表示如圖所示.
3.某日北京的最低氣溫是,最高氣溫是,用不等式表示這天的氣溫 (單位:)的變化范圍.
答:解:這天的氣溫t 的變化范圍為.
限時訓練:
1.如圖,表示的取值范圍,這個范圍是.
A. B. C. D.
答:B
2.不等式的解集在數軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
答:B
3.用不等式表示下列不等關系:
(1)c的4倍大于或等于8; (2)c的一半小于或等于3;
(3)d與5的差不大于–2; (4)d與5的和不小于0.
解:(1)4c≥8; (2)c≤3; (3)d–5≤–2; (4)d + 5≥0.
4.解不等式,并把它的解集在數軸上表示出來.
解:根據不等式的性質1,兩邊都加上x,不等號方向不變,所以.
根據不等式的性質1,兩邊都減去14,不等號方向不變,所以.
根據不等式的性質3,兩邊都除以-2,不等號方向改變,所以,得.
其解集在數軸上表示如圖所示.
5.用炸藥爆破時,如果導火索燃燒的速度是0.8cm/s,人跑開的速度是每秒4m,為了使點導火索的戰士在爆破時能夠跑到100m以外(不含100m)的安全區域,這個導火索的長度應大于多少厘米?
答:解:設導火索的長度是 x cm.
根據題意得,解得x>20.
答:導火索的長度應大于20 cm.
師生活動:學生先獨立思考,指定學生回答.
設計意圖:通過練習進一步鞏固本節課所學的的知識.
歸納總結
師生活動:教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么?
2.如何利用不等式的性質解不等式呢?
3.如何將不等式的解集在數軸上正確的表示出來?
設計意圖:通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
請同學們利用周末時間,以所給圖片為參考,找出在生活中所遇到的表示不等關系的警示牌、提示欄等.表示出相應的不等關系并用數軸表示出來.
通過復習導入的方式,幫助學生回顧了上節課所學的不等式性質,為新知識的學習做好了鋪墊.
在利用不等式性質解不等式時,發現學生應用不等式的性質3時,往往存在不改變不等號的方向的情況,要讓學生牢記三個性質中性質3的特殊性,同時乘以或除以一個負數時,不等號的方向要改變.通過實例與練習,讓學生在實踐中不斷鞏固所學知識,提高了學生運用不等式性質解決問題的能力.
但在教學中,部分學生在不等式性質3的理解和應用上仍有困難,導致這部分學生在后續的學習中仍然存在一些問題.互動環節中,部分學生參與度不高,課堂氣氛不夠活躍,需要進一步優化教學方法和策略,提高學生的參與度.
在今后的教學中,加強對學生個體差異的關注,對于學習困難的學生,要給予更多的關心和幫助,采用個別輔導、小組互助等方式,幫助他們克服學習困難.同時,豐富課堂教學形式,增加課堂討論、小組競賽等活動,激發學生的學習興趣,提高課堂參與度,讓每個學生都能在課堂中有所收獲.

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