資源簡介

第十一章　不等式與不等式組
11.1.2 不等式的性質
第1課時
本節內容是七年級下冊第十一章《不等式與不等式組》的核心基礎，承接學生已學的“等式性質”和“一元一次方程”，為后續學習解不等式和不等式組及實際應用（如優化問題）奠定理論支撐；不等式性質是初中階段“代數推理”的重要組成部分，培養學生從具體到抽象的數學思維能力.
在教學中，通過小組合作、討論交流的方式，探索不等式的三個性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.經歷思考，猜想，驗證的過程，培養學生分析問題，解決問題的能力，提高學生的團隊協作能力,為后續學習打下良好的基礎.
七年級下冊的學生已掌握等式的基本性質，能熟練解一元一次方程和二元一次方程，具備初步的代數推理能力，在生活中有“天平平衡”“數量比較”等直觀經驗.
本節課學習難點和易錯點有兩個：一是符號混淆：容易忽略乘除負數時不等號方向的變化，錯誤遷移等式性質；二是抽象理解障礙：部分學生對“不等式性質”的數學語言表述感到抽象，可結合數軸可視化輔助.
通過類比、猜測、探究、驗證、歸納出不等式性質，理解并掌握不等式的性質，體會類比思想.
2.能利用不等式的性質解決簡單的數學問題，培養應用意識；
3.通過對不等式的性質的合作探究，增強學生團隊協作的意識，培養學生學習數學的興趣.
重點：理解并掌握不等式的性質.
難點：能利用不等式的性質解決數學問題
復習回顧
問題：什么是不等式？
答：用符號“”“”或“”表示不等關系的式子，叫作不等式.
問題：什么是不等式的解
答：使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解.
問題：什么是不等式的解集
答：一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.
問題：等式具有對稱性和傳遞性，不等式具有對稱性和傳遞性嗎？
答：（1）交換不等式兩邊，不等號的方向改變：如果，那么．
（2）不等關系可以傳遞：如果，，那么．
問題：請同學們回憶一下，等式性質有哪些？
答：等式性質1：等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)結果仍相等.
若，則；
等式性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等.
若，則或.
師：類比等式性質，猜想不等式是否也有類似性質？
師生活動：教師提問，學生舉手回答.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，尤其是關于等式的相關知識，帶著問題開始本節課的學習，更能激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動一：探究不等式的性質1
問題：用“”或“”填空，并觀察不等號的方向是否改變，總結其中的規律：
（1）， ， ， ；
（2）， ， ， ．
答：（1）　，　，
，， ．
不等式兩邊加（或減）同一個數，不等號的方向不變．
師追問:換一些其他的數，結論還成立嗎？把數換成式子，結論還成立嗎？(學生自行驗證，結論成立）
師小結：不等式的性質1 不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．
符號語言：
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c;如果 a＜b，那么 a±c＜b±c;
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.
設計意圖：通過讓學生嘗試去探索，并展開討論，歸納出不等式性質1，讓學生們初步感知不等式的性質.經歷思考，猜想，驗證的過程，培養學生分析問題，解決問題的能力.
活動二：探究不等式的性質2
問題：用“”或“”填空，并觀察不等號的方向是否改變，總結其中的規律：
（1）， ， .
（2）， ， .
答：（1）， .
（2）， .
不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.
師：追問：換一些其他的正數，結論還成立嗎？（成立，學生自行驗證）
師繼續追問：如果不等式兩邊乘0，結果又如何呢？相等.
師總結：不等式的性質2 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．
符號語言：
如果， 那么（或．
如果， 那么（或．
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
設計意圖：通過學生嘗試去探索，并展開討論，歸納出不等式性質2，讓學生們初步感知不等式的性質2.
活動三：探究不等式的性質3
問題：用“”或“”填空，并觀察不等號的方向是否改變，總結其中的規律：
(1)， ， ．
(2)， ， ．
答：(1) ， ．
， ．
不等式兩邊乘 （或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
師追問：換一些其他的負數，結論還成立嗎？（學生自行驗證，成立）
師總結：不等式的性質3不等式兩邊乘 （或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
符號語言：
如果， 那么（或．
如果， 那么（或．
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空，然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
設計意圖：通過學生嘗試去探索，并展開討論，歸納出不等式性質3，讓學生們初步感知不等式的性質3，培養學生分析問題，解決問題的能力.
應用新知
【教材例題】
例 已知，比較下列兩個式子的大小，并說明依據．
(1)與；　　 (2) 與．
答：解：(1)因為， 所以 （不等式的性質1）．
(2)因為， 所以 （不等式的性質3）．
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
設計意圖：通過例題，讓學生加深對不等式的性質的理解并且能夠簡單運用.
課堂練習
1.已知，用 “”或 “”填空，并說明依據：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
2.已知，利用不等式的性質寫出下列各式的取值范圍：
(1) ；　　 (2) ；　　 (3) ；　　 (4) ．
答：(1)因為 ，，；
(2) 因為 ，所以，所以；
(3)，，；
(4)因為，所以，所以，所以.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.下列不等式變形正確的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
答：D
2.若，則下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
答：D
3.若m＞n，且am＜an，則a的取值應滿足條件（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＝0 D．a≥0
答：B
4.已知實數，滿足，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
答：C
5.某公園規定：身高超過1.2米的兒童需購全價票（30元）,身高不超過1.2米的兒童享半價票.若小明身高h米，媽媽帶他和身高（）米的表妹入園， 若小明需購全價票，表妹應購買什么票呢？用不等式性質說明.
答：解：已知小明需購全價票，即 ；
因為，所以 .
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你印象最深刻的知識點是什么？
2.請你說一說不等式的性質是什么？
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課通過對比“等式性質”引入新課，大部分學生能快速地理解不等式性質1、2，課堂提問反饋積極；然而，部分學生在應用不等式性質3時會忽略變號，需加強變式訓練（如設計含負數系數的不等式變形題）.
在課程中，學生的參與度較高，小組各成員合作十分配合，課堂作業完成較好，學生對于本節課知識有扎實的了解，且在具體題目中可以靈活運用所學知識，但仍然會有小部分學生會在細節方面出錯，尤其是符號轉化方面容易出現問題.
總之，學生在解題過程中出錯很正常，做的題多了，就會知道自己容易在什么地方出錯，改正即可，作為老師必須要有訓練意識，培養學生嚴謹的思路和方法，同時提供足夠的練習時間和練習量.

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