資源簡介

一元二次方程的解法
【單元內容和內容解析】
1.內容解析
一元二次方程是初中階段學習的第三種方程，盡管一元二次方程的解法同一元一次方程、二元一次方程組的解法有所不同，但在解法的歸納上，三者都用了轉化的思想，將困難的方程轉化為熟悉的方程，因此一元二次方程的解法的學習模式可以從的基本模型入手，通過題型的變化，從一般到特殊進行延伸與拓展。同時，由于一元二次方程和根式與因式分解的內容連接緊密，我們在探究方程的解的同時，回顧平方式、開平方等知識內容，逐步走向知識的融會貫通。
2.方法解析
從框圖可知，一元二次方程的解建立在平方式和平方根的基礎上，這樣決定了一元二次方程的教學價值有三個．一、傳承融合了代數知識，將計算融入實際應用當中；二、解方程的方法具有普遍性，整個過程進一步強化了數學中的轉化思想，訓練了學生自主解決問題的能力；三、從特殊的方程歸納出所需要的結論，要求學生具有一定的觀察力和總結能力。因此包含的主要方法有：歸納、轉化思想等。
【單元目標和目標解析】
1．目標：
（1）體會轉化思想的學習與操練，能夠將一元二次方程轉化為易解的模型。
（2）經歷一元二次方程從特殊到普遍的變化，體會配方法的不變性。
（3）通過一元二次方程相關題目的變形，熟練掌握運用已知方法和知識解決新類型問題。
2．目標解析：
達成目標（1）的標志是：能夠對形如，的方程進行變形，使其成為開方即可解答的方程，能夠判斷所給出的變形是否正確。
達成目標（2）的標志是：能夠熟練梳理一元二次方程配方法的探究過程，能夠解答應用換元法、整體法或其他方法的題目。
達成目標（3）的標志是：熟練解出一元二次方程，能夠依據現有知識進行拓展，解決其他類型的問題；對轉化思想有清晰的認知，熟練運用該方法解決新的問題。
【單元教學問題診斷分析】
具備的基礎（知識、能力）
學生在七年級已經學習了代數式和平方根的相關知識，熟悉代數式的運算與平方式的特征，還學習了完全平方公式和平方差公式，對代數式的判斷有一定的知識基礎和研究經驗。
與本課目標的差距分析（知識、能力）
學生過往學習的知識是獨立的，碎片化的，而在一元二次方程的解法中要求學生串聯知識，并根據不同的方程的實際情況進行判斷和調整，如何將陌生的方程轉化為熟悉的等式，如何歸納繁多的種類，是我們目標達成的重要環節。
可能存在的問題（問題、障礙）
學生可能已經先行地學習過一元二次方程解法的公式而忽略了公式得出的過程，從而忽略了數學學習中轉化思想的重要性，缺少了體驗環節；也可能由于前序知識的不扎實，導致在融合應用的過程中出現基礎性錯誤，導致推導一元二次方程的解的過程中體驗的不連貫性。
應對策略（過程、方法）
避免提出如何解方程的問題，從細節入手詢問學生的思考方式與角度；在提問上避免常規問題，反其道而行，要求學生展示計算過程與細節。深入體會轉化過程，使學生從中體會到數學的美妙，達到沉浸式學習的目的。
對于單元整體來說，存在的障礙主要有以下幾點：1.分類后不同一元二次方程解決辦法的歸納總結；2.轉化思想的應用。
基于以上分析，確定本單元的教學難點：
基礎知識回顧的全面進行
從特殊到普遍的歸納
不同問題中的不變性
具體問題的綜合應用
【單元教學過程設計】
一元二次方程的解法
（1）復習回顧
問題：在過去的學習中，我們接觸了許多與平方、立方根相關的知識，同學們能不能幫助老師一起回憶一下這些知識點呢？
師生活動：學生會從較多的方面提到相關知識，包括平方、平方根的計算，平方式的特點等，從中篩選出有利于課堂的知識，引導學生將注意點落在平方式和平方根的計算上，對平方式的特點和平方根的兩種情況做強調，幫助學生回憶相關知識點。
【設計意圖】回顧平方式和平方根的知識點，為引出方程的基本模型作鋪墊。
（2）探索新知
環節一：
問題：接下來再請各位同學寫一個簡單的一元二次方程，并嘗試著用我們一起回憶的開平方的方法去解決它。有沒有同學愿意分享一下自己的方程和解決辦法呢？
師生活動：引導學生自己探究簡單一元二次方程的解法，由于只學習了“什么是一元二次方程”，結合教師的問題學生比較容易寫出如下的方程來：，，等。
追問：有沒有同學寫了一個一元二次方程卻發現好像以自己目前的能力沒有辦法解答的？
【設計意圖】通過學生的自主探索，發現不同類型的一元二次方程，并區分出對于目前水平的學生來說容易得出解和不容易直接得出解的一元二次方程，通過引導和分類篩選出可以作為基本模型的一元二次方程，并引導學生思考余下的一元二次方程是否有解，如果有該如何去解。
環節二：
問題：我們先來看兩個基本的一元二次方程，，，請同學們思考它們是否有解，解又是多少呢？
師生活動：學生判斷第一個方程有解，解是1或-1，第二個方程無解，第三個方程有解，解是0之后提問學生這三個方程有什么區別，導致這三個方程解的情況不一樣的關鍵點是什么？
【設計意圖】只有非負數才能進行開方的運算，且0開方后只有一個結果，而正數開方后有兩個結果，將開方的知識點和一元二次方程進行聯系，帶領學生初步體會一元二次方程的解。
追問：大家進一步思考，我們能歸納出形如（c是常數）這樣的一元二次方程的解嗎？那么，（a，c是常數，）這樣的呢？
師生活動：學生分析后得到對于（c是常數）這樣的一元二次方程，只需要判斷的正負，如果結果為正，則一元二次方程有兩個解，分別為，；如果結果為零，則方程只有一個解，0；如果結果為負，則方程無解。
【設計意圖】引導學生歸納簡單一元二次方程的解的規律。
環節三：
問題：接下來我們看看剛才篩選出的難解的一元二次方程，看看有沒有辦法將它轉化為我們已經歸納出解法的一元二次方程。
師生活動：邀請學生分享解題思路，會有學生將移項，面對發現無法開方。
追問：如果想要開方必須是常數，那么怎么樣才能讓方程的左邊也變成平方式的形式呢？
【設計意圖】引導學生思考稍復雜的一元二次方程的解法，通過試錯將方程轉化為上一環節中歸納出解法結論的方程模型中去。
追問：對于（b，c為常數）這樣的一元二次方程，在解答的過程中有幾個步驟？我們怎么將等式左邊的內容變成我們想要的平方式呢？
師生活動：結合課堂開始回顧的平方式的知識，將一個不完整的平方式補完的知識應用到方程中。面對用字母表示常系數的方程，大部分學生沒有辦法直接給出方法，通過具體數據的舉例協助學生進行歸納整理。
追問：當我們方程的系數發生變化，成為（a，b，c為常數，）時，該怎么樣去解這一個一元二次方程呢？
師生活動：學生能夠回答出等式兩邊同時除以a，回到我們上一步歸納結論的方程模型中去。
【設計意圖】對于逐步復雜的一元二次方程，在解決問題的過程中將轉化的思想進行貫徹，每一次難度的加大都需要回到熟悉的模型中去，通過學生自己的探究來達到解決問題的目的。
環節四：
問題：經過這節課的學習，有沒有同學愿意說說我們用了什么方法去解決未知的難題？能不能自己在草稿紙上重新梳理一遍本堂課的探索過程呢？
師生活動：學生先自己思考回顧課堂，自己總結出“將未知問題轉化為已知問題”的中心想法。通過學生在草稿紙上進行梳理的過程，檢驗學生知識點的到位程度。教師挑選個別同學的總結進行展示。教師總結利用配方法解決一元二次方程的過程，幫助學生由淺入深理解轉化思想，為下一節課講述公式法解決一元二次方程做好鋪墊。
【設計意圖】回顧課堂知識內容，檢驗學生知識落實情況，體驗轉化思想。
（3）應用新知
問題：通過這節課的學習，我們先小試身手一下。
師生活動：邀請學生陳述配方法的步驟，并回答例題。
例1：用配方法解方程x2+2x﹣1＝0時，配方結果正確的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
師生活動：學生思考后，進行回答，分析理由，教師及時點評.
【設計意圖】鞏固利用配方法解決一元二次方程的基本方法。
例2：下列方程中，無實數根的是（ ）
A．x2+2x+5=0 B．x2-x-2=0
C．2x2+x-10=0 D．2x2-x-1=0
師生活動：師生共同討論分析每一個選項給出的方程。
【設計意圖】指導學生關注不同題型背后考察的相同知識點。
例3：方程的解為（ ）
A． B．
C． D．
師生活動：邀請學生陳述自己的做題思路，學生可能回答將方程展開整理后按照配方法進行解答。
追問：有沒有更快速的方法來解決這道題呢？
師生活動：引導學生觀察方程的特點，對開方的兩種結果作進一步陳述。通過板演說明為什么該方程的解不是四個，給學生留下足夠的思考空間。
【設計意圖】通過追問，培養學生分析問題、解決問題和探索的能力。
（4）課題小結
問題：
我們是通過什么方法去解決一元二次方程的解這一問題的。
你能完整陳述利用配方法解決一元二次方程的過程嗎？
對于一元二次方程，思考一下有沒有更好的解決方法呢？
師生活動：通過問題串，師生共同回顧本節課的主要內容.
【設計意圖】結合轉化思想，讓學生從整體視角進一步體會研究問題的一般方法，學會發現知識之間的聯系，為后續學習提高基礎．
（5）作業布置
A組：4題
B組：5題
【單元目標檢測設計】
A組
1．用配方法解方程，方程應變形為（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解下列方程，配方正確的是（ ）.
A．可化為 B．可化為
C．可化為 D．可化為
3．解方程：x2﹣4x﹣12=0．
4．一元二次方程，用配方法解該方程，配方后的方程為（ ）
A． B．
C． D．
B組
1．對于任意實數，多項式的值是一個（ ）
A．正數 B．負數 C．非負數 D．不能確定
2．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
3．已知關于x的方程x2－2x－m＝0沒有實數根，試判斷關于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情況．
4．解方程：．
5．已知(a+b)2-2(a+b)-3=0，則a+b=_______________.

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