資源簡介

數學 拓展模塊二
4.1.2 線性規劃模型（2）
教學內容 線性規劃模型的應用
教學目標 掌握建立線性規劃模型的步驟； 熟練建立線性規劃模型解決實際問題； 培養學生勇于探索精神，增強應用意識、創新意識和數據分析能力.
教學重難點 重點： 線性規劃模型的建立； 線性規劃模型的求解（Lingo軟件求解）. 難點：線性規劃模型的應用.
解決措施 以生活中真實問題為案例，基于問題驅動引導學生熟悉建模過程，借助Lingo軟件求解最優化模型，提高求解速度和準確率. 培養學生形成用科學方法制定最優決策方案的意識.
核心素養 線性規劃模型的應用
教具準備 PPT
教學過程（3課時）
教學環節設計 設計意圖 復備
第1課時 （一）創設情境，引入課題 【案例4-3】最優投資組合方案 制定投資計劃時，要同時考慮盈虧兩面. 現有甲和乙兩個投資項目，根據專業預測，甲和乙兩個項目的最大盈利和最大虧損率如表4-4所示. 提問1：某投資人計劃投資金額不超過20萬元，要求可能虧損不超過4萬元. 請為投資人制定投資方案，使得盈利最大. 引導學生思考 通過創設問題情境，激發學生學習興趣.
（二）探索研究，建模求解 1.【案例4-3】模型的建立 提問2：【案例4-3】的決策變量是什么？ 引導學生得出結論：設投資人投資甲項目x萬元 , 投資乙項目y萬元. 提問3：【案例4-3】的目標函數，即最優投資組合方案，使得盈利最大. 引導學生思考：最優投資組合方案就是盈利最大，即 max z=0.8x+0.6y 任務1：根據題意，找三個約束條件：受投資金額、可能虧損和變量約束. 引導學生得到結論： ① 投資金額: 計劃投資金額不超過 20萬元，即x+y≤20. ② 可能虧損: 可能虧損不超過4萬元，即0.3x+0.2y≤4. ③ 變量約束：x和y取值為非負數. 任務2：請建立【案例4-3】最優生產計劃方案模型 引導學生得到結論： max z=0.8x+0.6y 2.【案例4-3】模型的求解 (1) 解法1--圖解法 任務3：畫表示的解集 引導學生得到結論：利用GeoGebra軟件畫出圖形 提問4. 最優解是多少？ 啟發學生討論與分析：求交點坐標，計算各頂點的值. 引導學生得到結論：目標函數在頂點A(0, 20)是最大的，即當x=0，y=20時，目標函數取得最大值為12萬元. (2) 解法2--Lingo軟件求解 任務4. 利用Lingo軟件求解【案例4-3】 引導學生動手操作： 引導學生得到結論：當x=0，y=20時，目標函數取得最大值為12. 任務驅動，突破學習重點. 培養學生使用GeoGebra軟件繪制圖像的能力，進而輔助模型求解. 培養學生使用Lingo軟件探索規劃模型求解能力.
（三）課堂演練，鞏固新知 任務:奶制品加工計劃 問題：如何安排加工計劃，使得盈利最大的？ 學生動手實踐: 教師巡堂指導，一對一指導，“優帶差”督學助學. 任務驅動，“優帶差”督學助學，突破學習難點.
（四）課堂小結 1. 線性規劃模型的建立步驟，模型求解方法. 鞏固新知
布置作業 P82思考與練習4 舉一反三
板書設計
教學環節設計 設計意圖 復備
第2課時 （一）創設情境，引入課題 【案例4-4】最佳下料方案 某不銹鋼店出售長10米長的不銹鋼原管，可根據顧客要求截斷. 某顧客需要這種不銹鋼管2米500根，3米360根. 提問1：請為老板設計最佳的下料設計方案，使所用的不銹鋼原管最少. 引導學生思考 通過創設問題情境，激發學生學習興趣.
（二）探索研究，建模求解 1.【案例4-4】模型的建立 提問2：10米長的不銹鋼原管按切割2米或3米，有多少種不同的截法？ 引導學生討論并得出結論：4種. 提問3：【案例4-4】的決策變量是什么？ 引導學生得出結論：設采用第i種截法來截不銹鋼原管數為xi條，其中i=1, 2, 3, 4. 提問4：【案例4-4】的目標函數，即最佳切割方案，使得不銹鋼原管最少. 引導學生思考：最佳切割方案就是原管最少，即 min z=x1+x2+x3+x4 任務1：根據題意，找兩個約束條件：受顧客需求和變量約束. 引導學生得到結論： ① 顧客需求: 需要500根2 m的鋼管，即5x1+0x2+2x3+3x4≥500；需要360根3 m的鋼管，即0x1+3x2+2x3+1x4≥360. ② 變量約束：xi為自然數. 任務2：請建立【案例4-4】最佳切割模型 引導學生得到結論： min z=x1+x2+x3+x4 2.【案例4-4】模型的求解(Lingo) 任務3. 利用Lingo軟件求解【案例4-4】 引導學生動手操作： 引導學生得到結論：當x1=28，x3=180時，目標函數取得最小值為208. 任務驅動，引導建立線性規劃模型，突破學習重點. 培養學生使用Lingo軟件探索規劃模型求解能力.
（三）課堂演練，鞏固新知 任務:最佳下料模型 問題：如何設計切割方案，使得原料管最少？ 學生動手實踐: 教師巡堂指導，一對一指導，“優帶差”督學助學. 任務驅動，“優帶差”督學助學，突破學習難點.
（四）課堂小結 1. 線性規劃模型在切割下料的應用，建模的步驟和求解方法. 鞏固新知
布置作業 P81思考與練習2 舉一反三
板書設計
教學環節設計 設計意圖 復備
第3課時 （一）創設情境，引入課題 【案例--拓展】指派問題 有甲、乙、丙三個人，要完成A、B、C這3項任務，每人都要完成一項任務，每人做各項任務所消耗的時間下表所示. A（天）B（天）C（天）甲435乙876丙559
提問1：如何指派任務，使總耗時最短. 引導學生思考 通過創設問題情境，激發學生學習興趣.
（二）探索研究，建模求解 1.【案例--拓展】模型的建立 任務1：利用窮舉法找出耗時最短的方案. 引導學生討論并得出結論：共有6種方法，總耗時最短的方案是甲去完成第2項任務，乙完成第3項任務，丙完成第1項任務，總耗時為14天. 方案甲乙丙總耗時（天）1ABC202ACB153BAC204BCA145CAB186CBA17
導入新知：0-1變量 提問2：決策變量是什么？ 引導學生得出結論：設xij表示第i個人是否完成第j個任務，其中i,j=1,2,3. 若第i個人完成第j個任務，則xij=1，若第i個人沒有完成第j個任務，則xij=0，即 提問3：目標函數，即總耗時最短. 引導學生思考：設總耗時為z天. 要求總耗時最短，故目標函數 任務2：根據題意，找約束條件. 引導學生得到結論： ① 每個人必須完成一項任務，即 ② 每個任務必須有一個人來完成，即 ③ 變量約束：0-1變量 任務3：請建立總耗時最短 引導學生得到結論： 2.模型的求解(Lingo) 任務3. 利用Lingo軟件求解模型 引導學生動手操作： 引導學生得到結論：最優解是14，此時，x12=1（表示第1個工人（甲）去完成第2個任務），x23=1（表示第2個工人（乙）去完成第3個任務），x31=1（表示第3個工人（丙）去完成第1個任務）. 與窮舉法的求解結果一致. 任務驅動，引導建立線性規劃模型，突破學習重點. 培養學生使用Lingo軟件探索規劃模型求解能力.
（三）課堂演練，鞏固新知 任務:最佳裝包模型 問題：設計一個最省錢的裝包方案？ 學生動手實踐: 教師巡堂指導，一對一指導，“優帶差”督學助學. 任務驅動，“優帶差”督學助學，突破學習難點.
（四）課堂小結 1. 0-1規劃模型的建立與求解； 2. 0-1規劃模型的應用推廣. 鞏固新知
布置作業 P81-82思考與練習3 舉一反三
板書設計

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