資源簡介

平方差公式
學生起點分析
學生的知識技能基礎：學生通過上一節課的學習，已經經歷了探索和推導平方差公式的過程，并能運用公式進行簡單的計算，同時前面有理數運算、整式運算等基礎知識以及基本技能的學習，為本節課的學習奠定了知識技能基礎.
學生活動經驗基礎：學生在前面的學習中，已經經歷了探索和應用平方差公式的過程，獲得了一些數學活動的經驗，培養了一定的符號感和推理能力，具有了一定自主探究意識以及與同伴合作交流的能力.前期數形結合思想的滲透，為本節課的探究活動做好了知識、經驗準備.
教學任務分析
學生在上節課經歷了平方差公式的探索和推導過程，并能夠運用平方差公式進行簡單計算.在此基礎上，教材提出本節課的學習任務，是對上一節課平方差公式的進一步鞏固，并拓展到有關數的簡便運算當中去.本節課又通過拼圖游戲，對平方差公式進行幾何意義解釋，目的是使學生對平方差公式有一個直觀的認識，進一步體會數形結合的數學思想.本節課的教學目標是：
1.知識與技能：經歷探索平方差公式的過程，會通過圖形的拼接驗證平方差公式，了解平方差公式的幾何背景，并會運用所學的知識，進行簡單的混合運算.
2.過程與方法：通過創設問題情境，讓學生在數學活動中建立平方差公式模型，通過探索規律，歸納出利用平方差公式，解決數字運算問題的方法，培養學生觀察、歸納、應用能力.
3.情感與態度： 了解平方差公式的幾何背景，培養學生的數形結合意識.在探究學習中體會數學的現實意義，培養學習數學的信心.
三、教學過程設計
基于對教材以及教學任務的分析，本節課設計了六個教學環節：口算速算、引入新課；活動探究、尋找依據；拼圖游戲、驗證公式；典例分析、鞏固提高；挑戰自我、能力提升；課堂小結、布置作業.
第一環節 口算速算、引入新課
活動內容：要求快而且準確計算（1）103×97 （2）118×122 等待有1-2名同學舉手即可提問：答案是多少？如何算？若有同學把這兩個算式轉化為平方差公式即可順藤摸瓜引入課題；若同學是借助草稿紙通過演算得出答案，那就鄭重設計意圖，此時，教師接過問題，快速說出答案，并問學生：想知道老師是如何快速算出來的嗎？學生肯定說：想!接著教師引導學生觀察這兩個因數，發現它們都比較接近某個整數，于是把它們轉化為兩數和與這兩個數的積，接著問：這兩個算式長得非常像我們剛學過的什么公式？學生肯定回答：平方差公式。教師緊接著說：這就是我們今天還要繼續學習的“平方差公式”，并板書課題：1.5 平方差公式，同時寫出平方差公式的字母表達式。完畢，和學生一起用平方差公式板書完成這兩個題。并告知學生這就是老師快而準得出結果的計算辦法。此時學生肯定會深深嘆上一口氣：太好了！稍停片刻后教師總結：平方差公式可以用來簡化一些具有一定規律的兩個數的乘積運算。
活動目的：運用平方差公式進行速算，把相乘兩數轉化成兩數和與兩數差的乘積形式，體現了轉化的思想和數式通性，讓學生體會到，利用公式可以進行一些有關于數的簡便運算，激發學生的學習熱情和學習欲望．
實際教學效果：學生在已有的知識的基礎上，靈活運用平方差公式，解決生活中常見的數的計算類問題，體會數學的現實意義，并在運用平方差公式過程中，進一步體會平方差公式在簡化數的計算過程中的價值.
第二環節 活動探究、尋找依據
活動內容：
計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點
3×5= 4×6= 11×13=
4×4= 5×5= 12×12=
從以上過程中，你發現了什么規律？
請用字母表示這一規律，你能說明它的正確性嗎？
活動目的：通過特例進行歸納，讓學生經歷由特殊到一般的探究過程，最后利用符號表示出一般規律.這個過程包括了符號表示和符號運算，學生通過（1）中各組算式的特點，提出猜想，并且可以利用字母表示出這一猜想（a-1）（a+1）=a2-1，然后利用平方差公式計算得到（a-1）（a+1）=a2-1，從而驗證猜想的正確性.這一過程的經歷，讓學生體會到符號運算，在驗證猜想時的重要作用。
實際教學效果：學生能夠利用小學時已有的數的計算經驗，得到兩個算式值差1的規律，并利用字母表示數的知識，將這一發現進行符號表示，進而再利用上節課平方差公式的知識，對猜想進行證明，從而體會到平方差公式在數的計算中的簡便性，從理論上證實了兩數的計算可用平方差公式來進行的理論依據。
第三環節 剪拼圖形、驗證公式
活動內容：
(
a
b
)
如圖：（1）在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，所得六邊形的面積是 。
（2） 現將它剪切一刀，再把所得圖形拼接成一個特殊四邊形，請問你是如何剪又是如何拼的？所拼圖形的面積是 ，比較（1）（2）的結果，驗證了哪個公式？
活動目的：本環節通過幾何拼圖，給平方差公式一個幾何背景，使學生在拼圖和計算過程中發現規律，驗證自己的猜想，使學生對平方差公式，有一個直觀感受和認識,避免在公式的學習過程中單純依賴背誦的弊病. 通過拼圖操作，讓學生經歷觀察、交流的過程，倡導思維和算法多樣化，讓學生在圖形直觀分析的基礎上，從代數角度推導公式，培養學生的邏輯推理能力，滲透了轉化的數學思想。
實際教學效果：為了引領學生思路，本活動采取全開放的個人先思考動手→小組合作探究→成果展示→師生共同評價的方式進行。問題提出后，學生能夠主動地去尋找解決問題的方法，根據圖形的拼接原理，利用陰影部分面積相等的思想，得到等量關系，進而化簡得到平方差公式，活動的設計，為平方差公式賦予幾何背景，滲透數形結合的思想，進一步驗證平方差公式存在的合理性.
第四環節 典例分析、鞏固提高
活動內容：
例 計算：
a2（a+b）（a-b）+a2b2 ； （2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）
鞏固練習：
計算：
（1）9.9 ×10.1
（2）x（x－1）－
活動目的：運用平方差公式，進行簡單的混合運算，鞏固平方差公式，體會平方差公式在解決計算類問題的簡便作用.這一環節是鞏固提高的環節，為了培養學生基本的運算技能，設計必要練習，使學生準確的運用平方差公式，進行簡單的混合運算，并能明白每一步計算的算理，提高綜合運用公式的能力.
實際教學效果：學生能根據平方差公式的形式，在混合運算中，靈活運用公式簡化運算，但部分學生出現知識混淆，還有個別學生出現符號錯等問題，教師在引領計算過程中，應該抓好落實，力求讓所有學生明白每一步的算理，做到步步有據，盡可能避開粗心錯.
第五環節 挑戰自我、能力提升
活動內容：1. 計算：
2001×1999 －20002
（2）先化簡，再求值：(b-a)(a+b)-b(b-1)，其中a=-1,b=1.
2.如圖，在邊長為a的大正方形中央剪去一邊長為b的小正方形后，將剩余部分剪開密鋪成一個平行四邊形，那么通過計算兩個圖形的面積，可以驗證的公式為（ ）
A a2 -b2 =(a+b)(a－b) B (a+b)2=a2 +2ab +b2
C (a-b)2=a2 -2ab +b2 D a2 -b2 =(a－b)2
3. 觀察下列各式：
1×3=22 -1，
2×4=32 -1
3×5=42 -1
4×6=52 -1
(1)將你猜想到的規律用含 n 的式子表示出來＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(2)請運用所學知識證明這個規律的正確性。
4.計算：(21+1)( 22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
活動目的：為學生提供自我檢測和自我提升的機會，及時反饋，查漏補缺.
第六環節 課堂小結、布置作業
活動內容：
1.平方差公式：
1）公示的符號表示：（a+b）（a-b）=a2-b2 ;
2）公式的應有：簡化計算.
(
a
b
a
b
圖
1-4
)3）公式的幾何解釋：
[]
應用平方差公式的注意事項：
1）注意平方差公式的適用范圍
2）字母a、b可以是數，也可以是整式
3）注意計算過程中的符號和括號
活動目的：通過課堂小結對課堂知識點的回顧，讓學生分享自己在學習過程中遇到的挫折以及積累的經驗，構建自己的知識體系，同時提出自己存在的困惑，大家一起解決，從而達到鞏固所學知識的目的.
布置作業
1. 必做題：教材習題1.10
教學設計反思
1、本節課雖然算不上課本中的難點，但卻是整式一章中的重點，它是多項式乘法特殊形式下的一種簡便運算.學生需要熟練掌握公式的適用范圍和使用方法，以提高運算速度.授課過程中，應注重讓學生總結公式的特點，說明運用公式過程中容易出現的問題和特別注意的細節，然后再通過逐層深入的練習，鞏固平方差公式的應用.
2、教學中，教師應該有意識地培養學生的推理能力，鼓勵學生通過合情推理進行大膽猜測，然后利用符號間的運算驗證猜測或解決問題，同時鼓勵學生有條理的表達自己的思考過程.
3、符號運算對于數學而言必不可少，培養學生的基本運算技能，是本節課一個重要的目標，因此本設計中適當、分層的提供一些必要的訓練，使學生能夠準確地進行基本的符號運算，并能說明每一步的算理，培養學生的基本運算能力和條理的表達能力.
4、關注學生從具體問題情境中抽象出數量關系，以及借助情境進行公式推導的過程，關注學生的參與度，及時評價，同時注意評價方式多元化，使每個學生都能在數學學習中，收獲成功體驗，從而培養學習數學的興趣和信心.

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