資源簡介

第五單元數學廣角-鴿巢問題(知識清單)
2024-2025學年六年級數學下冊人教版
知識梳理
理解關鍵詞“總有”和“至少”
總有：一定有 至少：最少、不少于
常見題型
題型一：基本類型
解題方法：物體數÷鴿巢數=商……余數
至少數=商+1(有余數) 至少數=商(沒余數)
1、7個蘋果放進2個抽屜，總有一個抽屜里至少有幾個蘋果
7÷2=3 (個) ……1 (個)
3+1=4(個)
2、將23 支鉛筆放進7個鉛筆盒，最多的一個鉛筆盒里至少有幾支鉛筆
23÷7=3 (支) ……2 (支)
3+1=4(支)
3、9個蘋果放進3個盤中，總有一個盤中至少放幾個蘋果
9÷3=3(個)
題型二：構造鴿巢
解題方法：根據題意，構造鴿巢，得出鴿巢數量，再用鴿巢原理解答。
1、學校開設了畫畫、寫作、書法3個興趣班，四年級3 班共40人，每個學生都報名了其中兩個興趣班，那么這個班至少有多少個學生報的興趣班完全一樣
共有畫畫與寫作，畫畫與書法，寫作與書法3 種不同的組合, 也就是構造出3個鴿巢。40÷3=13 (個) ……1 (個)
13+1=14(個)
2、六年一班有 55 個學生，每個學生參加籃球、足球、排球中的一項或兩項活動，那么至少多少人參加的活動項目相同
一項活動有3種，兩項活動有3種組合，共6個鴿巢
55÷6=9 (個)……1 (個) 9+1=10 (個)
題型三： 求總數。(鴿子數)
解題方法：已知總有一個鴿巢里至少飛進n個鴿子，鴿子總量=鴿籠數量×(n-1)+1
1、圣誕節時圣誕老人給表現最好的 10 個小朋友送禮物，其中收到最多禮物的小朋友至少收到 3 件禮物，那么圣誕老人至少要準備多少件禮物
10× (3-1) +1=21 (件)
2、高老頭讓兒子小高去買饅頭，分給高家莊上下老小40口人，請問小高至少要買多少個饅頭，才能保證總有人至少能夠分到5個饅頭
40× (5-1) +1=161 (個)
3、把一些小蛋糕放進8個盒子里，要保證有一個盒子里至少有6塊蛋糕，這些蛋糕至少有多少塊
8× (6-1) +1=41(個)
題型四：求鴿巢數量
解題方法：已知總有一個鴿巢里至少飛進n個鴿子，鴿巢數量最多=(鴿子總量-1)÷(n-1)
1、將7支花插入一些花瓶里，要保證至少有一個花瓶里有2枝花，這些花瓶最多有多少個
(7-1) ÷ (2-1) =6 (個)
2、丁老師拿126個小禮物發給班里的所有學生，如果至少有一名學生拿到了 6 個小禮物，那么，李老師班里最多有多少名學生
(126-1) ÷ (6-1) =25 (名)
3、王叔叔要給房間的四壁涂上不同的顏色，可不管怎么涂，總有兩面墻壁的顏色是一致的。李叔叔的顏料最多有幾種顏色。
(4-1) ÷(2-1)=3(種)
題型五：生日問題。
解題方法：一年有12個月，相當于12個鴿巢，一年365天(平年)，相當于365個鴿巢。
1、15個小朋友中，至少有 ( )個小朋友在同一個月出生
15÷12=1 (個)…… 3 (個) 1+1=2(個)
有26名阿姨在跳廣場舞，她們中至少有( )人的屬相相同；共12種屬相,
26÷12=2 (人) …… 2(人) 2+1=3 (人)
某校有 370 名 2020 年出生的學生，其中至少有幾名學生的生日是同一天
2020年是瑞年,366天,370÷366=1(名)……4(名) 1+1=2(名)
題型六：摸球問題。
解題方法：用最不利原則思考問題，從最壞情況計算
1、求同色：所有顏色都拿一輪，再取一個可保證有相同顏色。
2、求不同色：最不利原則，把同一種顏色全部取完，再拿任何一個一定是不同顏色。
3、求某一種顏色：把其他顏色全部取完，再拿一個一定是目標顏色
1、【同色】把紅、黃、藍、白四種顏色的球各10個放到一個袋子里。至少取多少個球，可以保證取到兩個顏色相同的球
最壞情況，4種顏色各取了1個，比4種顏色多1個，可保證有兩個顏色相同 ， 4+1=5(個)
2【同色】盒子里有紅球、藍球和黃球各 6 個，至少要摸出( )個球一定有3個同色。
最壞情況，3種顏色的球平均取2個，再多取1個，可保證有3個同色, 3×2+1=7 (個)
3、【同色】在撲克牌的紅桃、黑桃、方塊、梅花各 13張不同點數，共有52張牌，至少從中抽出( )張牌，才能保證其中有2張花色相同的牌。至少從中抽出( )張牌，才能保證其中有2張點數相同的牌。
4種花色，多1張，可保證有2張花色相同，4+1=5(張)13種點數, 多1張, 可保證有2張點數相同, 13+1=14(張)
4、【不同色】一個口袋里裝有紅、黃、藍三種材質和大小相同的小球各 6 個，要保證摸出 3 個不同顏色小球，至少要摸出( )個。
最不利情況，把2種顏色全部取完，再多取 1 個，可保證有3個顏色不同, 6×2+1=13(個)
5.【不同色】桌子上有5個黑球、6個白球、7個紅球，閉上眼睛取多少個球才能保證三種球都取到
最不利情況，7個紅球、6個白球全部取完，再多取1個，可保證3種球都取到。7+6+1=14（個）
鞏固訓練
㈠、填空。
1.把7只鴿子放進3個鴿籠，總有1個鴿籠至少放進( )只鴿子。
2.26名六年級學生要帶領幼兒園的25個小組(共60人)參加課外活動，總有1個小組至少由( )名六年級學生帶領。
小明玩擲骰子游戲，要保證擲出的骰子點數一定有3 次相同，
他至少要擲( )次。
4.從1~8這8個自然數中，至少要選出( )個不同的數，才能保證其中一定有兩個數成倍數關系。
5.袋子里有紅色、白色、藍色手套各5 只。(不分左、右手，兩只同顏色的手套為一副)
(1)要保證拿出的手套中一定有兩副是同顏色的，至少要拿出( )只。
(2)要保證拿出的手套中一定有兩副是不同顏色的，至少要拿出( )只。
6.明明準備在每個方格中寫“數”或“學”字。
(1)如果寫3行，那么至少有( )列的寫法相同。
(2)如果只寫2行，那么至少有( )列的寫法相同。
7.(易錯題)某校有121名學生參加詩詞大賽，每人獲得的成績均為整數，最低分是59分，最高分是98分。若得90分的人數最多，則得90分的至少有( )人。
㈡、選擇。
1.跳繩比賽分為男生組和女生組，六(1)班派出3名同學參加跳繩比賽。下面說法正確的是( )。
A.每個組至少有1名六(1)班的同學
B.男生組一定有2名六(1)班的同學
C.總有1個組至少有2名六(1)班的同學
D.以上說法都不正確
2.下面問題可以運用“抽屜原理”解決的是( )。
A.在一條線段的2個端點之間再點上3個點，此時共有多少條線段
B. A 地到B地有2條路，B地到C地有3條路，A地經B地到C地有多少種路線
C.把4名男生分到3個小組做游戲，總有1個小組至少分到幾名男生
D.抽屜里有3個紅球、4個藍球，任意摸1個，摸到什么球的可能性大
3.小賢軍訓參加射擊訓練，射擊5次，成績是33環，那么他至少有一次射擊的成績不低于( )環。
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
4.一個盒子里裝有同樣大小的紅、黃、藍、綠4種顏色的球各100個，從中至少取( )個球才能保證有2個球的顏色相同。
A. 4 B. 5 C. 100 D. 101
5.給正方體的6個面涂上3種顏色(每個面涂1種顏色)，不論怎么涂，至少有( )個面涂的顏色相同。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.把45個球最多放在( )個盒子里，能保證總有1個盒子里至少放7個球。
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
㈢、數學閱讀。
材料一：
“二桃殺三士”最早記載于《晏子春秋》。春秋時期，齊景公手下有三位勇士，分別是公孫接、田開疆、古冶子三人，他們三人勇猛異常，力大無窮，為齊國立下了不少戰功。 齊相晏嬰想要除去這三人，便請景公將兩個桃子賜予他們，讓他們論功取桃，結果三人都棄桃自殺。你知道這是為什么嗎
將兩個桃子賞賜給三位勇士，總有一位勇士分不到桃子，三位勇士之間的爭斗便由此產生。晏嬰巧妙地利用矛盾，只靠著兩個桃子，兵不血刃就除掉了三位勇士，他高超的計謀和智慧讓人不由贊嘆。“二桃殺三士”這個成語后來多比喻借刀殺人。
材料二：
宋朝時期，費袞在其著作《梁溪漫志》中利用抽屜原理，從數學角度有力地批駁了“算命”的謬論。書中指出：人們常常依據出生的年、月、日、時(八字)來推測貧富貴賤之命，難道同一時刻出生的人命運就相同嗎
若把“出生時刻”作為“鴿巢”，則一甲子(60年)中不同的鴿巢有12×360×60=259200(個)。若把“天下之人”作為“鴿子”，則進入同一鴿巢的人必然成百上千，因而結論是“生時同者必不為少矣”。既然出生時刻相同，“八字”也相同，那么“又何貴賤貧富之命不同也”。
1.根據材料一，你能用鴿巢原理解釋為什么二桃能殺三士嗎
2.根據材料二，回答下面問題。
(1)如果一個班至少有3名同學的生日在同一個月，那么這個班至少有( )名同學。
(2)同學們，你們班一共有多少名同學呢 你能利用鴿巢原理說一說，在你們班至少有幾名同學的生日在同一個月嗎
參考答案
㈠、1. 3
解析 7÷3=2(只)……1(只),把7 只鴿子平均放進3個鴿籠，每個鴿籠放進 2 只，還剩 1 只。剩余的1 只無論怎么放，總有1個鴿籠至少放進2+1=3只鴿子。
2. 2
解析 26÷25=1(名)……1(名),26名六年級學生平均分為25組，每組1名，還余1名，因此總有1個小組至少由1+1=2名六年級學生帶領。
3. 13
解析
“巢”:不同點數 1 2 3 4 5 6
先各擲2次 2 2 2 2 2 2
再擲1次即可
4. 5
解析 總結：找到選出的數中不含倍數關系的數，如2、3、5、7(選法不唯一)，最多先選4個數，再選1個數就一定有兩個數成倍數關系。
5. (1)10
解析“一定有兩副是同顏色的”，即有 4 只手套是同顏色的。把3種顏色看作3個抽屜，在最不理想的情況下，每個抽屜都放3 只同色手套，再放1只，無論放到哪一個抽屜里，都能夠保證有4 只同色手套，即兩副同色手套。
(2)8
解析 在最不理想的情況下，如果先拿出5 只相同顏色的手套，再拿出2 只不同顏色的手套，那么只要再拿出1只，無論是什么顏色，都能保證一定有兩副不同顏色的手套。
6. (1)2
數 數 數 數 學 學 學 學 ×
數 數 學 學 數 數 學 學 ×
數 學 數 學 數 學 數 學 ×
“巢”:8個 9÷8=1(列)……1(列)
1+1=2(列)
(2)3
數 數 學 學 數 數 學 學 ×
數 學 數 學 數 學 數 學 ×
“巢”:4個 9÷4=2(列)……1(列)
2+1=3(列)
7. 4
解析 最高分是98分，最低分是59分，共有40種成績，視為 40個抽屜，把121名學生平均分成40份，每份3人，還余1人，得90分的人數最多，所以得90分的至少有3+1=4(人)。
㈡、1. C
解析 六(1)班3名同學分法如下，據此判斷。
男生組/名 女生組/名
情況一 3 0
情況二 2 1
情況三 1 2
情況四 0 3
2. C
解析A:
組合問題:4+3+2+1=10(條)
B:
搭配問題:2×3=6(種)
C:
抽屜問題:4÷3=1(名)……1(名)
1+1=2(名)
D: 3 4
紅 藍
可能性問題：摸到藍球的可能性更大
3. C
解析 33÷5=6(環)……3(環),把此題看成鴿巢問題，把33只鴿子放進5個籠子里，平均每個籠子里放進 6 只鴿子，還剩 3 只鴿子。把剩余的3 只鴿子繼續放進5個籠子中的某幾個籠子里，至少有(6+1)只鴿子被放進同一個籠子，即至少有一次射擊的成績不低于 7環。
4. B
解析 將 4 種顏色看作 4 個抽屜，要保證有一個抽屜至少有2個球，所取球的個數至少要比抽屜數多1，所以至少取4+1=5個球，才能保證有2個球的顏色相同。
5. A
解析 把 6個面看作 6個蘋果，3種顏色視為3個抽屜，將6個蘋果平均放進3個抽屜，每個抽屜里放2個，因此不論怎么涂，至少有2個面涂的顏色相同。
6. B
解析 要保證總有1個盒子里至少放7個球，從最不利的情況著手，每個盒子中都先放6個球，45÷6=7(個)……3(個),盒子數為7,剩下3個球無論怎么放，都能保證總有1個盒子里至少放7個球。若再增加盒子的數量，則無法保證。
㈢、1.我們可以把2個桃子看作2個傅巢，3個人看作 3 只鴿子，這樣總有一個鴿巢至少有2 只鴿子，也就是說總有一個人沒有桃子，導致了個人的斗爭。(說法合理即可)
解析 可以把所有情況列舉出來，發現總有一個人沒有桃子。
公孫接 田開疆 古治子
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1 1 0
1 0 1
0 1 1
2, (1)25
解析 這里的“巢”是12 個月，先保證每個月有2名同學，再加1名，總有3名同學的生日在同一個月,2×12+1=25(名)。
(2)示例：我們班一共有40名同學。
40÷12=3(名)……4(名) 3+1=4(名)
答：我們班至少有4 名同學的生日在同一個月。解析 總結：“抽屜”至少放的物體的數量求法是用物體數除以抽屜數，當沒有余數時，放的“至少數”就等于商；當有余數時，放的“至少數”就等于商加1。根據班級實際情況解答即可。

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