資源簡介

課題 直線和圓的位置關系
教材 人教版義務教育教科書九年級上冊數學第二十四章第二節
課型 新授課 課時安排 一課時
一、教材分析
簡述教材內容：《直線與圓的位置關系》是人教版義務教育教科書九年級上冊數學第二十四章第二節內容。本節包括直線與圓相交、相切、相離的三種位置關系介紹，以及各種位置關系下所表現出來的公共點的個數情況和圓心到直線的距離與半徑的大小關系。展示了從定性和定量兩個方面刻畫位置關系這一主題。 從知識結構分析：學生在七年級已學習了直線與直線的位置關系，并且用距離與角的大小來刻畫，在本單元前一節還學習了點與圓的位置關系，并用點到圓心的距離與圓的半徑的大小關系來刻畫他們的位置關系，這些都是學生學習直線與圓的位置關系的寶貴經驗。同時本節內容也是點與圓位置關系的延續，為今后學習《切線的判定和性質》與《圓與圓的位置關系》等知識打下堅實的基礎。因此，本節內容在教學中占有重要的地位，起著承上啟下的作用。 從方法論的角度分析：運用運動變化的生活實例揭示知識的發生過程，抽象出數學問題；從定性和定量兩個角度展開，拓寬學生的思維廣度；采取分類討論、分析、比較的方法探討直線和圓的位置關系的定性刻畫，在定量刻畫上滲透聯想、類比、轉化、數形結合的思想方法。
二、學情分析
1.認知基礎 （1）學生的知識儲備：已學習直線和圓，知道直線由點構成，具有無限延伸性和圓的封閉性；已學習“點和圓的位置關系”，能從定性、定量兩個角度描述點與圓的三種位置關系；已學習“點到直線的距離”，知道其定義和垂線段最短的性質；已學習反證法，了解用反證法證明命題的一般步驟。 （2）學生的學習特點：九年級學生活潑好動，好奇心和求知欲都非常強，有一定的分析力，歸納力；接觸了一定數量的數學思想方法，熟悉常用的思想方法，具有一定的邏輯推理能力；形象思維發展水平較高，思維的獨立性和批判性明顯發展，但容易產生片面性和表面性特點。
2.認知困難 （1）對反證法的證明思路仍不熟悉； （2）不易找到定量刻畫直線和圓的位置關系的思路來源； （3）對論證刻畫直線和圓的位置關系的數量關系的互推出發點存在困惑。
三、教學目標
1.知識與技能 （1）理解直線和圓相交、相切、相離的概念。 （2）通過畫圖，歸納出定性判斷（根據公共點個數）直線與圓的位置關系的方法。 （3）能利用圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數量關系判斷直線與圓的位置關系。
2.過程與方法 （1）體驗動畫、動手操作探究，抽象出具體情境的幾何要素，并經歷分類討論的方法歸納三種位置關系。 （2）經歷獨立和合作探索定量刻畫直線和圓位置關系的過程，感悟數形結合、運動變化、類比、轉化的數學思想，發展辨析、決策和創新能力。
3.情感態度與價值觀 （1）體會用運動變化的觀點看待生活和數學的聯系，體會量變到質變的辯證唯物主義觀點。 （2）感受人類理性思維的作用與現實世界的聯系，形成正確的數學觀； （3）在探索知識的過程中發現、體會“數學美”。
四、教學重點、難點
重點 探索直線和圓的三種位置關系，以及位置關系的性質與判定。
難點 找到圓心到直線的距離和半徑的數量關系與直線和圓的位置關系的聯系。
五、教學用具
黑板，多媒體，PPT，小蜜蜂、直尺、圓規、板書卡
六、教學流程
七、教學過程
教學環節 教學內容 教師活動 學生活動 設計意圖
(一) 溫 故 知 新 鋪 設 臺 階 【問題1】點與圓的位置關系有幾種？ 預設回答：三種：點在圓內、點在圓上、點在圓外。 【問題2】判定點與圓的位置關系的方法是什么？ 預設回答：（定量判斷）比較點到圓心O的距離 d與半徑 r的大小。當d>r,點在圓外；當d=r，點在圓上；當d(二) 探 究 學 習 引 出 概 念 情境導入 初步探索直線和圓的位置關系 同學們看過日出或者日落嗎 日出和日落過程中也蘊藏著數學知識。我們一起來欣賞一段日出的景象，看看你能發現哪些數學知識。 【問題1】將太陽看作圓，地平線看作直線，在日出過程中，你能獲取多少直線和圓的位置情況？在紙上畫一條直線，用鑰匙環進行模擬移動，畫出各種情況的簡筆畫。 預設學生會提出兩種、三種和無數種三種回答。 【追問】這么多的簡筆畫，你能否將它們分分類？說說，你的分類依據是什么？ 預設回答：根據交點的個數可以分為三類，分別是兩個交點、一個交點、沒有交點這三種情況。 教師揭示結果，進行分別介紹。 【問題2】根據公共點個數劃分，你確信只有這三種情況嗎 直線和圓會不會有第三個公共點？ （反證法）假設有第三個公共點。 設三個交點為A、B、C，則有AB、BC在一條直線上且它們都是直線。而三個交點又同時在一個圓上，但圓上沒有直線。所以矛盾。因此，直線和圓最多有兩個公共點。 【問題3】這個證明給你什么啟發？ 預設有多種回答，教師著重強調公共點既在圓上，又在直線上。 【小結】 根據公共點個數劃分，直線和圓有三種位置關系： 相交（2個公共點）、相切（1個公共點）、相離（無公共點） 教師拋出問題后播放情境視頻，引導學生模擬操作，發現新知。 教師板書，用生動性語言進行講解。 教師提問，之后進行分析講解。 學生帶著問題觀看視頻，動手操作實踐，探索新知，在教師引導下思考作答。 學生認真聽講。 學生思考，嘗試作答，之后認真聽講，回答問題。 基于生活經驗，激發學生的 學習興趣；操作性的回答，比口頭描述、眼睛觀看更能使學生快速地集中注意力；初步讓學生了解三種位置關系以及它們的區別。 引導學生反思，促使學生從直觀感知上升為理性思維。同時，幫助發展水平低的學生理清公共點的定義，跟上教學。
探究 定量刻畫直線和圓的位置關系 【問題1】如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm. 現以點A為圓心，2.5cm為半徑畫圓。所畫圓與AB、CD的位置關系如何？為什么？圓與BD的關系如何？ 預設回答：（1）圓與AB相交。延長AB，直線與圓有兩個公共點。 （2）圓與CD相離。延長CD，直線與圓永遠沒有公共點。 （3）圓與BD的位置關系存在爭議。 【問題2】僅通過公共點個數定性判斷直線和圓的位置關系直線與圓的位置關系并不精確。你有更精確的方法嗎？ 預設回答：類比點和圓的位置關系的刻畫方式，對直線和圓的位置關系也進行定量刻畫。 【小組討論】 固定一個圓，讓一條直線做平移運動。再觀察直線與圓相交、相切、相離的不同運動狀態，你能發現什么數量關系？對于用它們來刻畫直線與圓的位置關系，你有什么依據？ 生匯報：如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離表示為d，若圓心到直線的距離小于半徑，即dr，則直線和圓相離。 【問題3】非常棒，你是怎么想到用這種方法的呢？ 師引導生進行積極聯想，理清思路來源： 【問題4】對于你所推得的刻畫直線和圓的位置關系的數量關系，你能舉例說說你的依據嗎？（小問題引導eg：為什么直線和圓相離，d就大于r？反過來，d>r能推出直線和圓相離嗎？） 生嘗試回答后師舉例子推理說明。 以直線和圓相離為例： 正推： 逆推： 同樣地，我們可以采取這種推理思路論證直線和圓相交、相切時與其數量關系的情況。 【小結】 【問題4】剛才我們利用了垂線段和垂足來表述直線與圓的關系，那么在這三種關系中，垂足和圓有什么關系呢？ 預設回答：當直線與圓相交時，垂足在圓內；當直線與圓相切時，垂足在圓上；當直線與圓相離時，垂足在圓外。剛好對應點與圓的三種位置關系！ 教師操作多媒體呈現題目，引導學生思考作答。適當指名學生回答。 教師提問，指定小組匯報。 教師提問，引導學生有條理地梳理思路來源，點明探究新知的方法。 教師舉例，用啟發性問題引導學生進行邏輯推理。 學生思考后根據教師的指示集體或單獨回答。 學生進行小組討論后被指名小組派代表成員匯報成果。 代表學生跟隨教師指引嘗試作答，其他學生邊思考邊認真聽講。 學生帶著思考結果在教師引導下正確作答，感悟推理過程。 用練習引進更深入的探究，目的有三：一是熟悉、優化三種位置關系的定義；二是有爭議、有困惑的問題，激發進一步學習的興趣，體會用數量關系來刻畫位置關系的必要 性；三是發展學生的合情推理能力，增強學生 分析問題、解決問題的能力。 驗證規律的正確性，并證明出雙向推出符號的正確性；三個分類中，選取一個進行重點講解，理清推理思路，啟發學生自主進行其他兩個規律的推理。 教師在講解過程中通過引導性問題促使學生正確作答，使學生能較為容易地掌握；將“直線與圓的位置關系” 轉化成“點與圓的位置關系”，點明圖形間的位置關系與數量刻畫之間的內在聯系，有利于學生數學思維的發展。
(四)學 以 致 用 鞏 固 新 知 練習1 已知☉Ｏ的半徑r為1，圓心Ｏ到直線l的距離為ｄ，若ｄ＝2，則直線ｌ與☉Ｏ的位置關系為______. 練習2 已知☉Ｏ的半徑r為１，圓心Ｏ到直線ｌ的距離為ｄ，若點Ａ在直線ｌ上,OA＝1，則直線ｌ與☉Ｏ的位置關系為______． 練習3 直線ｌ與半徑為ｒ的☉Ｏ相交，圓心Ｏ到直線ｌ的距離為2，則ｒ的取值范圍為_______． 練習4 如圖,點P在∠AOB的角平分線上，☉Ｐ與OB相切，證明：☉Ｐ與OA相切． 教師通過多媒體呈現題目，適當分析題目引導學生往正確的方向思考作答。 學生通過頭腦回憶、打草稿等方式認真思考作答。 通過分層練習，使學生從正、逆方向體會知識點的靈活應用。
(五)歸 納 小 結 優 化 認 知 課堂小結 【問題1】本節課學習了哪些新的知識？直線與圓的三種位置關系是什么？有哪些刻畫方式？ 【問題2】 對于定性刻畫，我們是按照什么標準進行分類？如何刻畫？涉及到什么數學思想方法？ 【問題3】對于定量刻畫，我們用了什么研究思路？涉及到什么數學思想方法？ 教師邊引導學生嘗試脫離課本和多媒體進行本節課的內容復習，邊操作ppt呈現思維導圖。 學生回憶并集體回答，整體鞏固本節課內容。 通過具體的問題，引導學生 從整體到局部把握新知，對本節課進行概括提升，形成“結構化的總結”。
(六) 課 后 作 業 深 化 提 高 課后練習 【基礎練習】教科書24.2.2課后練習。 【課后思考】反思本節課的研究方法，你能否利用它們來研究其他圖形的位置關系？（例如圓與圓的位置關系） 教師布置作業。 學生在課本記下作業。 通過課后練習加強對知識點的鞏固；反思方法梳理消化，嘗試舉一反三，靈活運用。
八、板書設計

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