資源簡介

(共23張PPT)
第十章 二元一次方程組
10.3 實際問題與二元一次方程組
（第2課時）
經歷運用二元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。
數學問題
(二元一次方程組)
實際問題
設未知數
列方程組
解方程組
代入法
加減法
數學問題的解
(二元一次方程組的解)
實際問題的答案
檢驗
1. 利用二元一次方程組解決實際問題的基本思路。
（消元）
　　2. 列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？
　　（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系．
　　（2）設：恰當地設未知數．
　　（3）列：根據（1）中的相等關系列方程組．
　　（4）解：正確地解方程組．
　　（5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意．
　　（6）答：答案要完整且單位統一．
例1：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？
這道題研究的是長方形面積的分割問題，你能畫出相應的示意圖嗎？
作物產量比與種植面積的比有什么關系？
　　甲、乙作物產量比等于甲作物的種植面積與乙作物的種植面積的2倍的比．
例1：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？
例1：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？
解：如圖，一種劃分方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形 AEFD 和長方形 BCFE．
此時設 AE＝x m，EB＝y m，據問題中涉及長度、產量的相等關系，列得方程組
解得
答：過長方形土地的長邊上離一端 80 m 處，作
這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．
較大一塊土地種植甲種作物，較小一塊土地種植乙種作物．
還有其他設計方案嗎？
列二元一次方程組解決有關圖形的問題時，常借助數形結合思想，發現各種量之間的關系，找出相等關系，從而列方程組解決問題．
例2：如圖，10 塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊地磚的長和寬分別是多少？
解：設每塊地磚的長為 x cm，寬為 y cm．根據題意，可列方程組
解這個方程組，得
答：每塊地磚的長為 48 cm，寬為 12 cm．
60 cm
【知識技能類練習】必做題：
1．如圖，在長方形ABCD中放入6個完全相同的小長方形，設小長方形的長為a，寬為b，所標尺寸如圖所示，則可得方程組（　　）．
A． B．
C． D．
A
【知識技能類練習】必做題：
2．如圖，周長為34 cm的長方形ABCD被分成7個形狀大小完全相同的小長方形，則長方形ABCD的面積為______cm2．
70
【知識技能類練習】必做題：
3．在長方形中，放入六個形狀、大小相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則每個小長方形的面積為 ．
16
【知識技能類練習】選做題：
4．如圖，小強和小紅一起搭積木，小強所搭的“小塔”的高度為23 cm，小紅所搭的“小樹”的高度為22 cm，設每塊A型積木的高為x cm，每塊B型積木的高為y cm，則x= ，y= ．
4
5
【綜合拓展類練習】
5．小明在拼圖時，發現8個大小一樣的長方形，恰好可以拼成如左圖所示的一個大的長方形．小紅看見了，說：“我來試一試．”結果小紅七拼八湊，拼成如右圖所示的正方形．但是中間還留下了一個小洞，恰好是邊長為的小正方形!你能求出這些長方形的長和寬嗎 ．若能，請寫出過程；若不能，請說出理由．
解：能求出這些長方形的長和寬，
理由如下：設這些長方形的長和寬分別為，，
根據兩個圖形可得：，
解得，
答：這些長方形的長和寬分別為，．
實際問題與二元一次方程組
列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟
利用二元一次方程組解決實際問題的基本思路
【知識技能類作業】必做題：
1．如圖，在長為14 m、寬為10 m的長方形展廳劃出三個形狀、大小完全一樣的小長方形擺放水仙花，則每個小長方形的周長為_________m．
16
【知識技能類作業】必做題：
2．小敏做拼圖游戲時發現：8個一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖1所示．小穎看見了，也來試一試，結果拼成了如圖2所示的正方形，不過中間留下一個邊長恰好為2 cm的小正方形空白，你能算出每個小長方形的長和寬各為多少嗎？
解：設小長方形的長為x cm，寬為y cm，
則
解得
答：每個小長方形的長為10 cm，寬為6 cm．
【知識技能類作業】必做題：
3．甲乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，則可列出的方程組為（ ）
A． B．
C． D．
B
【知識技能類作業】選做題：
4．利用兩塊大小相同的長方體木塊測量一張桌子的高度．首先按圖1所示的方式放置，再交換兩塊木塊的位置，按圖2所示的方式放置．根據測量的數據，得桌子的高度是（　　）．
A．73 cm B．74 cm
C．75 cm D．76 cm
D
【綜合拓展類作業】
5．“洛書”是世界上最古老的一個三階幻方，它有3行3列，三橫行的三個數之和，三豎列的三個數之和，兩對角線的三個數之和都相等，其實幻方就是把一些有規律的數填在正方形圖內，使每一行、每一列和每一條對角線上各個數之和都相等，如圖幻方的值是 ．
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同步探究學案
課題 10.3 實際問題與二元一次方程組（第2課時） 單元 第十章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 經歷運用二元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。
重點 分析較復雜實際問題中的相等關系，利用二元一方程組解決實際問題。
難點 從實際背景中提取數學信息，并轉化成數學語言，明確未知數，建立方程組解決實際問題。
探究過程
導入新課 【引入思考】 1. 利用二元一次方程組解決實際問題的基本思路。 2. 列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？
新知探究 本節課來研究： 本節我們繼續探究如何用二元一次方程組解決實際問題。 例1：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？ 解：如圖，一種劃分方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形 AEFD 和長方形 BCFE． 此時設 AE＝x m，EB＝y m，據問題中涉及長度、產量的相等關系，列得方程組 解這個方程組，得 答：過長方形土地的長邊上離一端________處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種植________種作物，較小一塊土地種植________種作物． 歸納：列二元一次方程組解決有關圖形的問題時，常借助數形結合思想，發現各種量之間的關系，找出相等關系，從而列方程組解決問題． 例2：如圖，10 塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊地磚的長和寬分別是多少？
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．如圖，在長方形ABCD中放入6個完全相同的小長方形，設小長方形的長為a，寬為b，所標尺寸如圖所示，則可得方程組（　　）． A．B．C．D． 第1題圖 第2題圖 第3題圖 2．如圖，周長為34 cm的長方形ABCD被分成7個形狀大小完全相同的小長方形，則長方形ABCD的面積為______cm2． 3．在長方形中，放入六個形狀、大小相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則每個小長方形的面積為 ． 選做題： 4．如圖，小強和小紅一起搭積木，小強所搭的“小塔”的高度為23 cm，小紅所搭的“小樹”的高度為22 cm，設每塊A型積木的高為x cm，每塊B型積木的高為y cm，則x= ，y= ． 【綜合拓展類練習】 5．小明在拼圖時，發現8個大小一樣的長方形，恰好可以拼成如左圖所示的一個大的長方形．小紅看見了，說：“我來試一試．”結果小紅七拼八湊，拼成如右圖所示的正方形．但是中間還留下了一個小洞，恰好是邊長為的小正方形!你能求出這些長方形的長和寬嗎 ．若能，請寫出過程；若不能，請說出理由．
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，在長為14 m、寬為10 m的長方形展廳劃出三個形狀、大小完全一樣的小長方形擺放水仙花，則每個小長方形的周長為_________m． 第1題圖 第2題圖 2．小敏做拼圖游戲時發現：8個一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖1所示．小穎看見了，也來試一試，結果拼成了如圖2所示的正方形，不過中間留下一個邊長恰好為2 cm的小正方形空白，你能算出每個小長方形的長和寬各為多少嗎？ 3．甲乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，則可列出的方程組為（ ） A． B． C． D． 選做題： 4．利用兩塊大小相同的長方體木塊測量一張桌子的高度．首先按圖1所示的方式放置，再交換兩塊木塊的位置，按圖2所示的方式放置．根據測量的數據，得桌子的高度是（　　）． A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm 【綜合拓展類作業】 5．“洛書”是世界上最古老的一個三階幻方，它有3行3列，三橫行的三個數之和，三豎列的三個數之和，兩對角線的三個數之和都相等，其實幻方就是把一些有規律的數填在正方形圖內，使每一行、每一列和每一條對角線上各個數之和都相等，如圖幻方的值是 ．
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分課時教學設計
第八課時《10.3 實際問題與二元一次方程組（第2課時）》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節繼續探究實際問題與二元一次方程組，通過學生在實際問題中進行分析，從而提高將實際問題轉化為數學模型的能力；在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識。
學習者分析 七年級下冊的學生已經具備了一定的數學基礎，掌握了線性方程的解法，能夠解決一些簡單的一元一次方程問題。然而，對于二元一次方程組的認識和解題能力尚需進一步加強。
教學目標 經歷運用二元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。
教學重點 分析較復雜實際問題中的相等關系，利用二元一方程組解決實際問題。
教學難點 從實際背景中提取數學信息，并轉化成數學語言，明確未知數，建立方程組解決實際問題。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 經歷運用二元一次方程組解決實際問題的過程，能分析實際問題中的數量關系，會設未知數，列方程組并求解，得到實際問題的答案，發展模型觀念。學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 問題：1. 利用二元一次方程組解決實際問題的基本思路。 預設： 2. 列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？ 預設：（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系． （2）設：恰當地設未知數． （3）列：根據（1）中的相等關系列方程組． （4）解：正確地解方程組． （5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意． （6）答：答案要完整且單位統一．學生活動2： 學生積極回答問題活動意圖說明： 通過復習二元一次方程組解決實際問題的基本思路和步驟，為進一步探究用方程組解決實際問題做好鋪墊。環節三：新知講解教師活動3： 例1：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1:2．現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？ 追問1：這道題研究的是長方形面積的分割問題，你能畫出相應的示意圖嗎？ 預設： 追問2：作物產量比與種植面積的比有什么關系？ 預設：甲、乙作物產量比等于甲作物的種植面積與乙作物的種植面積的2倍的比． 解：如圖，一種劃分方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形 AEFD 和長方形 BCFE． 此時設 AE＝x m，EB＝y m，據問題中涉及長度、產量的相等關系，列得方程組 解這個方程組，得 答：過長方形土地的長邊上離一端 80 m 處，作 這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地． 較大一塊土地種植甲種作物，較小一塊土地種植乙種作物． 歸納：列二元一次方程組解決有關圖形的問題時，常借助數形結合思想，發現各種量之間的關系，找出相等關系，從而列方程組解決問題． 例2：如圖，10 塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊地磚的長和寬分別是多少？ 解：設每塊地磚的長為 x cm，寬為 y cm．根據題意，可列方程組 解這個方程組，得 答：每塊地磚的長為 48 cm，寬為 12 cm．學生活動3： 學生在教師的引導下、小組合作探究中完成例題，并派代表行進行板演，講解，然后認真聽教師的點評和講解，并和老師一起歸納列方程組解決實際問題的一般步驟活動意圖說明： 通過例題進一步鞏固二元一次方程組解決實際問題的基本思路，體會數學建模思想，掌握列方程組解決實際問題的一般步驟，提高學生的應用能力。環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：10.3 實際問題與二元一次方程組（第2課時） 一、利用二元一次方程組解決實際問題的基本思路 二、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．如圖，在長方形ABCD中放入6個完全相同的小長方形，設小長方形的長為a，寬為b，所標尺寸如圖所示，則可得方程組（　　）． A．B．C．D． 答案：A 2．如圖，周長為34 cm的長方形ABCD被分成7個形狀大小完全相同的小長方形，則長方形ABCD的面積為______cm2． 答案：70 3．在長方形中，放入六個形狀、大小相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則每個小長方形的面積為 ． 答案：16 選做題： 4．如圖，小強和小紅一起搭積木，小強所搭的“小塔”的高度為23 cm，小紅所搭的“小樹”的高度為22 cm，設每塊A型積木的高為x cm，每塊B型積木的高為y cm，則x= ，y= ． 答案：4，5 【綜合拓展類練習】 5．小明在拼圖時，發現8個大小一樣的長方形，恰好可以拼成如左圖所示的一個大的長方形．小紅看見了，說：“我來試一試．”結果小紅七拼八湊，拼成如右圖所示的正方形．但是中間還留下了一個小洞，恰好是邊長為的小正方形!你能求出這些長方形的長和寬嗎 ．若能，請寫出過程；若不能，請說出理由． 解：能求出這些長方形的長和寬， 理由如下：設這些長方形的長和寬分別為，， 根據兩個圖形可得：， 解得， 答：這些長方形的長和寬分別為，．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．如圖，在長為14 m、寬為10 m的長方形展廳劃出三個形狀、大小完全一樣的小長方形擺放水仙花，則每個小長方形的周長為_________m． 答案：16 2．小敏做拼圖游戲時發現：8個一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖1所示．小穎看見了，也來試一試，結果拼成了如圖2所示的正方形，不過中間留下一個邊長恰好為2 cm的小正方形空白，你能算出每個小長方形的長和寬各為多少嗎？ 解：設小長方形的長為x cm，寬為y cm， 則 解得 答：每個小長方形的長為10 cm，寬為6 cm． 3．甲乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，則可列出的方程組為（ ） A． B． C． D． 答案：B 選做題： 4．利用兩塊大小相同的長方體木塊測量一張桌子的高度．首先按圖1所示的方式放置，再交換兩塊木塊的位置，按圖2所示的方式放置．根據測量的數據，得桌子的高度是（　　）． A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm 答案：D 【綜合拓展類作業】 5．“洛書”是世界上最古老的一個三階幻方，它有3行3列，三橫行的三個數之和，三豎列的三個數之和，兩對角線的三個數之和都相等，其實幻方就是把一些有規律的數填在正方形圖內，使每一行、每一列和每一條對角線上各個數之和都相等，如圖幻方的值是 ． 答案：21
教學反思 本課教學采用啟發式教學，強調學生的獨思考、探索與合作探究，以提高學生的分析與解決問題的能力。在教學中，根據學生的實際，選取學生熟悉的背景為問題情境，讓學生體會數學建模的思想。
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