資源簡介

長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海
蘇科版七年級下冊定義、命題、證明專屬講義
課題 定義、命題、證明
教學內容
【考點1】命題 【考點2】逆命題 【考點3】逆定理 【考點4】舉反例 【考點5】證明
考點1：命題 （1）命題：判斷一件事情的語句叫做命題； （2）命題的結構：命題由題設和結論兩部分組成； （3）命題的形式：可以寫成“如果…．．，那么…．”的形式； （4）命題的真假：條件成立，結論也成立的命題是真命題；條件成立，結論不成立的命題是假命題； 題型1：命題的定義：判斷一件事情的語句叫做命題。 1.下列語句是命題的是（　?。?A．對頂角一定相等嗎？ B．人們經常用實驗、歸納的方法去發現命題 C．畫一個角等于已知角 D．若a＝b，則a2＝b2 2.下列語句中不是命題的是（ ） A．銳角小于鈍角 B．作的垂直平分線 C．對頂角不相等 D．三角形的內角和等于 3.給出下列語句：①畫一個角等于兩個已知角的和；②鈍角大于直角；③過點A畫直線AB∥CD；④相等且互補的兩個角都是直角．其中是命題的是（　?。?A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 題型2：命題的結構與形式 （1）命題的結構：命題由題設和結論兩部分組成； （2）命題的形式：可以寫成“如果….，那么….”的形式； 4.命題“內錯角相等”是　 　 （填“真”或“假”）命題，把此命題改寫成“如果…那么…．”的形式　 　 ． 5.用“如果…那么…”形式將命題“對頂角相等”可以改寫成 ． 6.將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式． (1)兩直線平行，內錯角相等； (2)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和； (3)等腰三角形的兩底角相等． 題型3：命題的真假：條件成立，結論也成立的命題是真命題；條件成立，結論不成立的命題是假命題； 7.下列命題是真命題的是（　　） A．相等的角是對頂角 B．兩直線平行，同旁內角相等 C．兩點之間線段最短 D．平行于同一直線的兩條直線互相垂直 8.下列語句中，是真命題的是（　?。?A．兩個銳角的和是鈍角 B．同旁內角互補 C．過一點作直線a的垂線 D．同角的余角相等 9.下列說法中正確的有（　?。?①同旁內角互補；②從直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到這條直線的距離； ③在同一平面內，不相交的兩條線段必平行；④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； ⑤過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；⑥三角形的三條高所在的直線交于一點． A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 10.以下命題是真命題的是（　?。?A．對頂角相等 B．兩個銳角的和是鈍角 C．內錯角相等 D．如果ab＝0，則a＝b＝0 11.下列命題中，是真命題的是（　?。?A．兩條直線被第三條直線所截，所得的內錯角相等 B．兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補 C．兩條直線被第三條直線所截，一對內錯角的角平分線互相平行 D．兩條平行直線被第三條直線所截，一對同旁內角的角平分線互相垂直 12.下列四個命題中，是真命題的是（　?。?A．數軸上的點與有理數是一一對應的 B．相等的兩個角是對頂角 C．同角的補角相等 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 考點2：逆命題 （1）互逆命題：兩個命題的題設和結論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題； （2）原命題和逆命題：兩個互逆的命題，一個稱原命題，另一個稱為它的逆命題； 題型1：互逆命題：兩個命題的題設和結論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題； 13.“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”的逆命題是 　 　 ． 14.命題“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命題是 　 　 命題． 15.已知命題“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）寫出此命題的條件和結論； （2）寫出此命題的逆命題； （3）判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明． 16.寫出下列命題的逆命題，并判斷此逆命題真假． （1）如果a＞0，b＜0，那么ab＜0； （2）兩直線平行，同旁內角互補． 17.【閱讀理解】 如果把一個命題（記作p）的題設和結論交換位置，得到另一個命題（記作q），那么這兩個命題叫做互逆命題，其中命題p稱為原命題，命題q稱為原命題的逆命題． 例如：原命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”． 【解決問題】 給出命題p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）寫出命題p的題設和結論，及逆命題q； （2）判斷命題q是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例進行說明． 考點3：定理：有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理． 注：定理是真命題，但真命題不一定是定理． 逆定理：如果一個定理的逆命題是真命題，就叫它為這個定理的逆定理； 互逆定理：原定理和它的逆定理是一對互逆定理。 18.下列命題：①同位角相等；②對頂角相等；③兩直線平行，同旁內角相等；④兩點之間，線段最短．其中真命題是 　 　 （填序號）． 19.有下列四個命題： ①相等的角是對頂角；②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等； ③等角的補角相等；④垂直于同一條直線的兩條直線互相平行． 其中真命題為　 　 ． 20.關于命題“如果，那么”，下列判斷正確的是（ ） A．該命題及其逆命題都是真命題B．該命題是真命題，其逆命題是假命題 C．該命題是假命題，其逆命題是真命題D．該命題及其逆命題都是假命題 21.命題“在數軸上，表示互為相反數的兩個數的點到原點的距離相等”的逆命題是 ． 22.寫出命題“垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”的逆命題，并寫成“如果…，那么…”的形式 　 　 ． 23.如圖，已知AB∥CD，EF，CG分別是∠AEC，∠ECD的平分線． （1）求證：EF∥CG． 證明：因為AB∥CD（已知），所以∠AEC＝∠DCE（　 　 ）． 因為EF平分∠AEC（已知），所以　 　 （　 　 ）． 同理　 　 ．所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　 　 ）． （2）請說出（1）中用到了哪兩個互逆的真命題． 考點4：舉反例：舉出一個反例來說明命題是假命題； 反例：滿足命題的條件，不滿足命題的結論的例子。 24.對于命題“若a2＞b2，則a＞b”，小明想舉一個反例說明它是一個假命題，則符合要求的反例可以是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝0 D．a＝0，b＝﹣2 25.對于命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能說明該命題為假命題的反例是（　?。?A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2 26.為說明命題“若m＜n，則m2＜n2”是假命題，下列反例正確的是（　?。?A．m＝﹣2，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣1，n＝﹣2 27.證明命題“若m＞n，則1”是假命題，所舉反例正確的是（　　） A．m＝6，n＝3 B．m＝1，n＝﹣1 C．m＝2，n＝1 D．m＝0.2，n＝0.1 28.判斷命題“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命題，只需舉出一個反例，這個反例可以是　 　 ． 29.請舉反例說明命題“對于任意實數x，x2一定大于x”是假命題．你舉的反例是x＝　 　 ．（寫出一個值即可） 30.已知命題“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）寫出此命題的條件和結論； （2）寫出此命題的逆命題； （3）判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明． 考點5：證明 31.如圖，已知點E、F分別在AB、CD上，連接EC、BF交AD于點G、H．有以下三個論斷：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）請你從中任選兩個作為題設，另一個作為結論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題； （2）選擇（1）中的一個真命題加以證明． 32.如圖，有以下三個條件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）從三個條件中選出兩個作為題設，另一個作為結論可得到一個命題．請按“ → ”的形式將所有真命題一一書寫出來（用序號表示）； （2）從（1）中選擇一個真命題進行證明． 33.如圖，AB∥CD，∠BAC的平分線與∠ACD的平分線交于點E．填空： ∵AB∥CD，∴∠BAC+①　 　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC．∴②　 　 ． ∵CE平分∠ACD．∴③　 　 ． ∴∠1+∠2＝④　 　 °．∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤　 　 °． ∴AE⑥　 　 CE． 請用文字語言將以上證明的條件和結論歸納為一個真命題：⑦　 　 ． 34.對于任意有理數a，b，規定一種特別的運算“ ”：a b＝a﹣b+ab． 例如，2 5＝2﹣5+2×5＝7． （1）求3 （﹣1）的值； （2）若（﹣4） x＝6，求x的值； （3）試探究這種特別的運算“ ”是否具有交換律？若具有，請說明理由；若不具有，請舉一個反例說明． 35.已知∠ABC和∠DEF，請根據下面要求解決相應的問題． （1）如圖1，圖2所示，當DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于點P時． ①填空：圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為 　 　 ； 圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為 　 　 ； ②請從圖1，圖2中選擇一種情況寫出證明過程． ③請用“如果…，那么…”的形式把上述結論表述出來：　 　 ． （2）當DE⊥AB，EF⊥BC，且∠DEF比∠ABC的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數． 36.如圖，直線MN、PQ互相平行，一塊30°的直角三角板ABC放置在圖中，直角頂點C在兩條平行線之間，A在MN上方，B在PQ下方．AC、AB分別交MN于點D、E，BC、AB分別交PQ于點FG． （1）若∠ADE＝43°，求∠CFG的度數； （2）點H為線段CA上一點，若 　 　 ，求證：　 　 ． 從①②中選擇一個題設，③④中選擇一個正確的結論，將序號填在橫線上，并證明． ①∠HFC+∠CFG＝180°；②2∠HFC+∠CFG＝180°；③是定值；④是定值． 37.問題情景：如圖1，AB∥CD． （1）觀察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．則∠P的度數為 　 　 ． （2）探究問題：在圖1中探究，∠EPF、∠CFP與∠AEP之間有怎樣的等量關系？并說明理由． （3）拓展延伸：若將圖1變為圖2，題設的條件不變，此時∠EPF、∠PFD與∠AEP之間有怎樣的等量關系？并說明理由． 38.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點O． （1）求證：DO是∠EDF的平分線． （2）若將“DO是∠EDF的平分線”與“AD是∠BAC的平分線”，“DE∥AB”或“DF∥AC”中的任一條件交換，所得命題是真命題嗎？若是，請選擇一個證明；若不是，請說明理由． 39.探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于點P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數量關系？ （1）我們發現∠ABC與∠DEF有兩種位置關系：如圖1與圖2所示． ①圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為 　 　 ；圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為 　 　 ； ②請選擇一種情況寫出證明過程． ③由①得出如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角 　 　 ． （2）應用③中的真命題，解決以下問題： 若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的3倍少40°，求這兩個角的度數． 40.如圖，在三角形ABC中，D，E是AB上的點，F是BC上一點，H，G是AC上的點，FD⊥AB于點D，連接EF，EH，EG．給定三個條件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）請在上述三個條件中選擇其中兩個作為已知條件，另一個作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是 　 　 ，結論是 　 　 （填寫序號）； （2）證明上述命題． 41．在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，點E在BC的延長線上，射線EA與射線CD相交于點F，∠BAG是△ABC的外角． 有以下三個選項：①CD⊥AB，②∠CFE＝∠CEF，③AF平分∠BAG．從中選兩個作為條件，剩下的一個作為結論，構成一個真命題，并加以證明． 條件 　 　 ，結論 　 　 .（填序號） 證明： 42.（1）如圖，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，試說明FG⊥AB； （2）若把（1）中的題設中的“DE∥BC”與結論“FG⊥AB”對調，所得命題是否為真命題？試說明理由． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB； （2）把題設中的“DE∥BC”與結論“FG⊥AB”對調，所得命題為真命題，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DE∥BC． 43.閱讀下面內容，并解答問題 在學行線的性質后，老師請同學們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分線互相垂直． 小穎根據命題畫出圖形并寫出如下的已知條件． 已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F．∠BEF的角平分線EG與∠DFE的角平分線FG交于點G． （1）直線EG，FG有何位置關系？請補充結論：求證：“　EG⊥FC　 ”，并寫出證明過程； （2）在圖1的基礎上，分別作∠BEG的角平分線EM與∠DFG的角平分線FM交于點M，得到圖2，求∠EMF的度數． （3）如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F點O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側，∠BEO的角平分線EP與∠DFO的角平分線FP交于點P，請直接寫出∠EOF與∠EPF滿足的數量關系，不需證明． 【解答】解：（1）結論：EG⊥FC； 理由：如圖1中，∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴，， ∴， 在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°， ∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG． 故答案為：EG⊥FC； （2）如圖2中，由（1）得：∠GEF+∠GFE＝90°， ∴∠BEG+∠DFG＝180°﹣90°＝90°， ∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG， ∴， ∴∠MEF+∠MFE＝90°+45°＝135°， ∴∠EMF＝180°﹣135°＝45°， （3）結論：∠EOF＝2∠EPF． 如圖3中，∵∠EOF＝180°﹣（∠OEF+∠OFE），∠OEF+∠OFE＝180°﹣（∠BEO+∠DFO）， ∴∠EOF＝∠BEO+∠DFO， 同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠EOF＝2∠BEP+2∠DFP＝2∠EPF． 44．已知∠ABC的兩邊與∠DEF的兩邊分別垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分別為點M和N，試探究： （1）如圖1，∠B與∠E的關系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如圖2，寫出∠B與∠E的關系，并說明理由； （3）根據上述探究，請歸納概括出一個真命題． 【分析】（1）根據垂直的定義、四邊形內角和等于360°解答； （2）根據垂直的定義、對頂角相等解答； （3）綜合（1）（2）的結論寫出真命題． 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案為：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3）真命題：如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補．
1.下列語句是命題的是（　?。?A．對頂角一定相等嗎？ B．人們經常用實驗、歸納的方法去發現命題 C．畫一個角等于已知角 D．若a＝b，則a2＝b2 【解答】解：A、對頂角一定相等嗎？，不是命題，不符合題意； B、人們經常用實驗、歸納的方法去發現命題，不是命題，不符合題意； C、畫一個角等于已知角，不是命題，不符合題意； D、若a＝b，則a2＝b2，是命題，符合題意； 故選：D． 2.下列語句中不是命題的是（ ） A．銳角小于鈍角 B．作的垂直平分線 C．對頂角不相等 D．三角形的內角和等于 【解答】解：A、銳角小于鈍角，是命題，不符合題意 作的垂直平分線，不符合命題，符合題意 對頂角不相等，是命題，不符合題意 D、三角形的內角和等于，是命題，不符合題意 故選：B． 3.給出下列語句：①畫一個角等于兩個已知角的和；②鈍角大于直角；③過點A畫直線AB∥CD；④相等且互補的兩個角都是直角．其中是命題的是（　　） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 【解答】解：①不是判斷一件事情的語句，不是命題； ②如果一個角是鈍角，那么它就大于直角，是判斷一件事情的語句，是命題； ③不是判斷一件事情的語句，不是命題； ④如果兩個角相等且互補，那么這兩個角都是直角，是判斷一件事情的語句，是命題； 綜上所述，是命題的是②④， 故選：B． 命題“內錯角相等”是　假　 （填“真”或“假”）命題，把此命題改寫成“如果…那么…．”的形式　如果兩個角是內錯角，那么這兩個角相等。 5.用“如果…那么…”形式將命題“對頂角相等”可以改寫成 如果兩個角為對頂角，那么這兩個角相等 ． 6.將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式． (1)兩直線平行，內錯角相等； (2)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和； (3)等腰三角形的兩底角相等． 【解答】解：（1）如果兩直線平行，那么內錯角相等 如果一個角是三角形的外角，那么這個角會等于與它不相鄰的兩個內角之和。 如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩個底角相等。 7.下列命題是真命題的是（　?。?A．相等的角是對頂角 B．兩直線平行，同旁內角相等 C．兩點之間線段最短 D．平行于同一直線的兩條直線互相垂直 【解答】解：A、相等的角不一定是對頂角，故本選項命題是假命題，不符合題意； B、兩直線平行，同旁內角互補，不一定相等，故本選項命題是假命題，不符合題意； C、兩點之間線段最短，是真命題，符合題意； D、平行于同一直線的兩條直線互相平行，故本選項命題是假命題，不符合題意； 故選：C． 8.下列語句中，是真命題的是（　　） A．兩個銳角的和是鈍角 B．同旁內角互補 C．過一點作直線a的垂線 D．同角的余角相等 【解答】解：A、兩個銳角的和不一定是鈍角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意； B、兩直線平行，同旁內角互補，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意； C、過一點作直線a的垂線，不是命題，不符合題意； D、同角的余角相等，正確，是真命題，符合題意． 故選：D． 9.下列說法中正確的有（　?。?①同旁內角互補； ②從直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到這條直線的距離； ③在同一平面內，不相交的兩條線段必平行； ④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； ⑤過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行； ⑥三角形的三條高所在的直線交于一點． A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【解答】解：①兩直線平行，同旁內角互補，故本小題命題錯誤； ②從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做這點到這條直線的距離，故本小題命題錯誤； ③在同一平面內，不相交的兩條直線必平行，故本小題命題錯誤； ④在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本小題命題錯誤； ⑤過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，命題正確； ⑥三角形的三條高所在的直線交于一點，命題正確； 則說法中正確的有2個， 故選：A． 10.以下命題是真命題的是（　　） A．對頂角相等 B．兩個銳角的和是鈍角 C．內錯角相等 D．如果ab＝0，則a＝b＝0 【解答】解：A、對頂角相等，正確，是真命題，符合題意； B、兩個銳角的和不一定是鈍角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意； C、兩直線平行，內錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意； D、如果ab＝0，則a＝0或b＝0，或a＝b＝0，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意． 故選：A． 11.下列命題中，是真命題的是（　?。?A．兩條直線被第三條直線所截，所得的內錯角相等 B．兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補 C．兩條直線被第三條直線所截，一對內錯角的角平分線互相平行 D．兩條平行直線被第三條直線所截，一對同旁內角的角平分線互相垂直 【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，所得的內錯角相等，故本選項命題是假命題，不符合題意； B、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補，故本選項命題是假命題，不符合題意； C、兩條平行線被第三條直線所截，一對內錯角的角平分線互相平行，故本選項命題是假命題，不符合題意； D、兩條平行直線被第三條直線所截，一對同旁內角的角平分線互相垂直，是真命題，符合題意； 故選：D． 12.下列四個命題中，是真命題的是（　?。?A．數軸上的點與有理數是一一對應的 B．相等的兩個角是對頂角 C．同角的補角相等 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 【解答】解：A、數軸上的點與實數是一一對應的，故本選項命題是假命題，不符合題意； B、相等的兩個角不一定是對頂角，故本選項命題是假命題，不符合題意； C、同角的補角相等，是真命題，符合題意； D、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項命題是假命題，不符合題意； 故選：C． 13.“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”的逆命題是 　如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角　 ． 【解答】解：“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角． 故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角． 14.命題“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命題是 　假　 命題． 【解答】解：“若a＜0，b＜0，則ab＞0”的逆命題是“若ab＞0，則a＜0，b＜0”，是一個假命題． 故答案為：假． 15.已知命題“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）寫出此命題的條件和結論； （2）寫出此命題的逆命題； （3）判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明． 【解答】解：（1）此命題的條件為：a＝b， 結論為：|a|＝|b|； （2）此命題的逆命題為：如果|a|＝|b|，那么a＝b； （3）此命題的逆命題是假命題， 當a，b為相反數時，它們的絕對值相等，但本身不相等， 如a＝2，b＝﹣2時，|2|＝|﹣2|，而2≠﹣2． 16.寫出下列命題的逆命題，并判斷此逆命題真假． （1）如果a＞0，b＜0，那么ab＜0； （2）兩直線平行，同旁內角互補． 【解答】解：（1）如果a＞0，b＜0，那么ab＜0，逆命題是如果ab＜0，那么a＞0，b＜0，是假命題； （2）兩直線平行，同旁內角互補，逆命題是同旁內角互補，兩直線平行．真命題． 17.【閱讀理解】 如果把一個命題（記作p）的題設和結論交換位置，得到另一個命題（記作q），那么這兩個命題叫做互逆命題，其中命題p稱為原命題，命題q稱為原命題的逆命題． 例如：原命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”． 【解決問題】 給出命題p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）寫出命題p的題設和結論，及逆命題q； （2）判斷命題q是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例進行說明． 【解答】解：（1）∵命題p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|． ∴a＝b是題設，|a|＝|b|是結論； 逆命題q是：如果|a|＝|b|，那么a＝b． （2）命題q是假命題， 反例：a＝3，b＝﹣3，|3|＝|﹣3|，但是3不等于﹣3． 18.下列命題：①同位角相等；②對頂角相等；③兩直線平行，同旁內角相等；④兩點之間，線段最短．其中真命題是 　②④　 （填序號）． 【解答】解：兩直線平行，同旁內角互補，所以③錯誤； 對頂角相等，所以②正確； 兩點之間的線段最短，所以④正確； 當兩直線平行，同位角相等，所以①錯誤． 故答案為：②④． 19.有下列四個命題： ①相等的角是對頂角； ②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等； ③等角的補角相等； ④垂直于同一條直線的兩條直線互相平行． 其中真命題為?、邸?． 【解答】解：相等的角不一定是對頂角，所以①錯誤； 兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，所以②錯誤； 等角的補角相等，所以③正確； 在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，所以④錯誤． 故答案為：③． 20.關于命題“如果，那么”，下列判斷正確的是（ ） A．該命題及其逆命題都是真命題 B．該命題是真命題，其逆命題是假命題 C．該命題是假命題，其逆命題是真命題 D．該命題及其逆命題都是假命題 【解答】解：原命題為真命題，其逆命題為假命題，故選B 答案選B 21.命題“在數軸上，表示互為相反數的兩個數的點到原點的距離相等”的逆命題是 在數軸上，到原點距離相等的兩個點表示的數互為相反數． 22.寫出命題“垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”的逆命題，并寫成“如果…，那么…”的形式 　如果一個點到一條線段兩端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上　 ． 【解答】解：逆命題為：到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上， 故：如果一個點到一條線段兩端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上， 故答案為：如果一個點到一條線段兩端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上． 23.如圖，已知AB∥CD，EF，CG分別是∠AEC，∠ECD的平分線． （1）求證：EF∥CG． 證明：因為AB∥CD（已知）， 所以∠AEC＝∠DCE（　兩直線平行，內錯角相等　 ）． 因為EF平分∠AEC（已知）， 所以　AEC　 （　角平分線的定義　 ）． 同理　ECD　 ． 所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　內錯角相等，兩直線平行　 ）． （2）請說出（1）中用到了哪兩個互逆的真命題． 【解答】（1）證明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEC＝∠DCE（兩直線平行，內錯角相等）， ∵EF平分∠AEC（已知）， ∴（角平分線的定義）， 同理， ∴∠1＝∠2， ∴EF∥CG（內錯角相等，兩直線平行）． （2）（1）中用到的互逆真命題為“兩直線平行，內錯角相等”和“內錯角相等，兩直線平行”． 24.對于命題“若a2＞b2，則a＞b”，小明想舉一個反例說明它是一個假命題，則符合要求的反例可以是（　?。?A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝0 D．a＝0，b＝﹣2 【解答】解：A．當a＝3，b＝2時，滿足若32＞22，則3＞2， ∴此選項不是符合要求的反例，不符合題意； B．當a＝2，b＝﹣1時，滿足若22＞（﹣1）2，則2＞﹣1， ∴此選項不是符合要求的反例，不符合題意； C．當a＝﹣2，b＝0時，若（﹣2）2＞02，則﹣2＜0， ∴此選項是符合要求的反例，符合題意； D．當a＝0，b＝﹣2時，不符合若02＞（﹣2）2， ∴此選項不是符合要求的反例，不符合題意， 故選：C． 25.對于命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能說明該命題為假命題的反例是（　?。?A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2 【解答】解：A、當a＝0，b＝0時，|a|＝|b|，a＝b， 不能說明命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命題，不符合題意； B、當a＝1，b＝1時，|a|＝|b|，a＝b， 不能說明命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命題，不符合題意； C、當a＝﹣1，b＝1時，|a|＝|b|，而a≠b， 能說明命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命題，符合題意； D、當a＝1，b＝2時，|a|≠|b|，a≠b， 不能說明命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命題，不符合題意； 故選：C． 26.為說明命題“若m＜n，則m2＜n2”是假命題，下列反例正確的是（　?。?A．m＝﹣2，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣1，n＝﹣2 【解答】解：如果滿足條件，不滿足結論，即為“若m＜n，則m2＜n2”是假命題，由此可得： A、∵m＝﹣2，n＝1，則滿足m＜n，但不滿足m2＜n2，故該選項符合題意； B、∵m＝2，n＝1，則不滿足m＜n，也不滿足m2＜n2，故該選項不符合題意； C、∵m＝﹣1，n＝2，則滿足m＜n，但滿足m2＜n2，故該選項不符合題意； D、∵m＝﹣1，n＝﹣2，則不滿足m＜n，但滿足m2＜n2，故該選項不符合題意． 故選：A． 27.證明命題“若m＞n，則1”是假命題，所舉反例正確的是（　?。?A．m＝6，n＝3 B．m＝1，n＝﹣1 C．m＝2，n＝1 D．m＝0.2，n＝0.1 【解答】解：A、假設m＝6，n＝3，則，不能證明原命題是假命題，不符合題意； B、假設m＝1，n＝﹣1，則，能證明原命題是假命題，符合題意； C、假設m＝2，n＝1，則，不能證明原命題是假命題，不符合題意； D、假設m＝0.2，n＝0.1，則，不能證明原命題是假命題，不符合題意； 故選：B． 28.判斷命題“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命題，只需舉出一個反例，這個反例可以是?。ù鸢覆晃ㄒ唬?． 【解答】解：當n時，符合條件0＜n＜1， 但， ∴命題“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命題． 同樣當時，也可以判斷命題“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命題， 故答案為：（答案不唯一）． 29.請舉反例說明命題“對于任意實數x，x2一定大于x”是假命題．你舉的反例是x＝　0（答案不唯一）　 ．（寫出一個值即可） 【解答】解：當x＝0時，x2＝x＝0， ∴該命題是是假命題． 故答案為：0（答案不唯一）． 30.已知命題“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）寫出此命題的條件和結論； （2）寫出此命題的逆命題； （3）判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明． 【解答】解：（1）此命題的條件為：a＝b， 結論為：|a|＝|b|； （2）此命題的逆命題為：如果|a|＝|b|，那么a＝b； （3）此命題的逆命題是假命題， 當a，b為相反數時，它們的絕對值相等，但本身不相等， 如a＝2，b＝﹣2時，|2|＝|﹣2|，而2≠﹣2． 31.如圖，已知點E、F分別在AB、CD上，連接EC、BF交AD于點G、H．有以下三個論斷：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）請你從中任選兩個作為題設，另一個作為結論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題； （2）選擇（1）中的一個真命題加以證明． 【解答】（1）解：選擇①②為題設，③為結論，命題為：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，則AB∥CD，該命題是真命題； 選擇①③為題設，②為結論，命題為：若∠1＝∠2，AB∥CD，則∠B＝∠C，該命題是真命題； 選擇②③為題設，①為結論，命題為：若∠B＝∠C，AB∥CD，則∠1＝∠2，該命題是真命題； （2）證明：選擇①②為題設，③為結論， 由條件可知∠2＝∠CGD，∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD，∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BFD，∴AB∥CD； 選擇①③為題設，②為結論， 由條件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF，∴∠C＝∠BFD， ∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD， ∴∠B＝∠C； 選擇②③為題設，①為結論， 由平行線性質可知∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠BFD， ∴CE∥BF，∴∠2＝∠CGD， 又∵∠1＝∠CGD，∴∠1＝∠2． 32.如圖，有以下三個條件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）從三個條件中選出兩個作為題設，另一個作為結論可得到一個命題．請按“ → ”的形式將所有真命題一一書寫出來（用序號表示）； （2）從（1）中選擇一個真命題進行證明． 【解答】解：（1）有三個真命題，分別是：①②→③；①③→②；②③→①； （2）選擇①②→③， 證明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠DCF， ∴DE∥BF， ∴∠E＝∠F； 選擇①③→②， 證明：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∴∠B＝∠D； 選擇②③→①， 證明：∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 33.如圖，AB∥CD，∠BAC的平分線與∠ACD的平分線交于點E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　∠ACD　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴②　∠BAC　 ． ∵CE平分∠ACD． ∴③　∠ACD　 ． ∴∠1+∠2＝④　90　 °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤　90　 °． ∴AE⑥　⊥　 CE． 請用文字語言將以上證明的條件和結論歸納為一個真命題：⑦　兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分線互相垂直　 ． 【分析】由平行線的性質推出∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分線定義得到∠1∠BAC，∠2∠ACD，因此∠1+∠2＝90°，求出∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°，推出AE⊥CE，由證明的條件和結論即可歸納為一個真命題． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠1∠BAC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠2∠ACD， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE， 用文字語言將以上證明的條件和結論歸納為一個真命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分線互相垂直． 故答案為：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；90；⊥；兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分線互相垂直． 34.對于任意有理數a，b，規定一種特別的運算“ ”：a b＝a﹣b+ab． 例如，2 5＝2﹣5+2×5＝7． （1）求3 （﹣1）的值； （2）若（﹣4） x＝6，求x的值； （3）試探究這種特別的運算“ ”是否具有交換律？若具有，請說明理由；若不具有，請舉一個反例說明． 【解答】解：（1）3 （﹣1）＝3﹣（﹣1）+3×（﹣1）＝3+1﹣3＝1； （2）（﹣4） x＝6， 則﹣4﹣x﹣4x＝6， 解得：x＝﹣2； （3）這種特別的運算“ ”不具有交換律， 例如：2 5＝2﹣5+2×5＝7，5 2＝5﹣2+5×2＝13， ∴2 5≠2 5， ∴這種特別的運算“ ”不具有交換律． 35.已知∠ABC和∠DEF，請根據下面要求解決相應的問題． （1）如圖1，圖2所示，當DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于點P時． ①填空：圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為 　∠ABC＝∠DEF　 ； 圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為 　∠ABC+∠DEF＝180°　 ； ②請從圖1，圖2中選擇一種情況寫出證明過程． ③請用“如果…，那么…”的形式把上述結論表述出來：　如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補　 ． （2）當DE⊥AB，EF⊥BC，且∠DEF比∠ABC的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數． 【解答】解：（1）①圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為∠ABC＝∠DEF； 圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為∠ABC+∠DEF＝180°； 故答案為：∠ABC＝∠DEF，∠ABC+∠DEF＝180°； ②選擇圖1：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（兩直線平行，內錯角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF（兩直線平行，內錯角相等）， ∴∠ABC＝∠DEF（等量代換）； 選擇圖2：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（兩直線平行，內錯角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BPE+∠DEF＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， ③用“如果…，那么…”的形式把上述結論表述為：如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補； 故答案為：如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補； （2）當∠DEF與∠ABC如下圖所示時， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠BGE＝∠BHE＝90°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， ∵∠DEF比∠ABC的2倍少30°， ∴∠DEF＝2∠ABC﹣30°，則∠ABC+2∠ABC﹣30＝180°， ∴∠ABC＝70°，則∠DEF＝2×70°﹣30°＝110°， 當∠DEF與∠ABC如下圖所示時， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠BGE＝∠BHO＝90°， ∵∠EOG＝∠BOH ∴∠ABC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝2∠ABC﹣30°， ∴∠ABC＝2∠ABC﹣30°， ∴∠ABC＝30°，則∠DEF＝2×30°﹣30°＝30°， 綜上：∠ABC＝70°，∠DEF＝110°或∠ABC＝∠DEF＝30°． 36.如圖，直線MN、PQ互相平行，一塊30°的直角三角板ABC放置在圖中，直角頂點C在兩條平行線之間，A在MN上方，B在PQ下方．AC、AB分別交MN于點D、E，BC、AB分別交PQ于點FG． （1）若∠ADE＝43°，求∠CFG的度數； （2）點H為線段CA上一點，若 ?、伲á冢?，求證：　④（③）　 ． 從①②中選擇一個題設，③④中選擇一個正確的結論，將序號填在橫線上，并證明． ①∠HFC+∠CFG＝180°；②2∠HFC+∠CFG＝180°；③是定值；④是定值． 【解答】解：（1）過C作CK∥MN，如圖： ∴∠ACK＝∠ADE＝43°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠KCF＝90°﹣43°＝47°， ∵MN∥PQ， ∴CK∥PQ， ∴∠CFP＝∠KCF＝47°， ∴∠CFF＝180°﹣47°＝133°； （2）當選題設①時，如圖： 由（1）知，∠CFP＝90°﹣∠ADE，∠CFG＝90°+∠ADE， ∵∠HFC+∠CFG＝180°， ∴∠HFC＝∠CFP＝90°﹣∠ADE， ∴∠HFG＝∠CFG﹣∠HFC＝2∠ADE， ∴2，為定值，即④正確； 當選題設②時，由①可得：2∠HFC＝90°﹣∠ADE， ∴∠HFC＝45°∠ADE， ∴∠HFG＝∠CFG﹣∠HFC＝45°∠ADE， ∴∠HFG∠ADE＝45°，為定值，即③正確． 故答案為：①（②），④（③）． 37.問題情景：如圖1，AB∥CD． （1）觀察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．則∠P的度數為 　90°　 ． （2）探究問題：在圖1中探究，∠EPF、∠CFP與∠AEP之間有怎樣的等量關系？并說明理由． （3）拓展延伸：若將圖1變為圖2，題設的條件不變，此時∠EPF、∠PFD與∠AEP之間有怎樣的等量關系？并說明理由． ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案為：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如圖所示，過點P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如圖所示，過點P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 38．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點O． （1）求證：DO是∠EDF的平分線． （2）若將“DO是∠EDF的平分線”與“AD是∠BAC的平分線”，“DE∥AB”或“DF∥AC”中的任一條件交換，所得命題是真命題嗎？若是，請選擇一個證明；若不是，請說明理由． 【解答】（1）證明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA， ∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EDA＝∠FDA， ∴DO是∠EDF的角平分線； （2）解：選擇命題：若DO是∠EDF的平分線，DE∥AB，DF∥AC，則AD是∠CAB的平分線，是真命題， 理由：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA＝∠DAB，∠EAD＝∠ADF， ∵DO是∠EDF的平分線， ∴∠EDA＝∠ADF， ∴∠EAD＝∠DAB， ∴AD是∠CAB的平分線． 39.探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于點P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數量關系？ （1）我們發現∠ABC與∠DEF有兩種位置關系：如圖1與圖2所示． ①圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為 　互補　 ；圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為 　相等　 ； ②請選擇一種情況寫出證明過程． ③由①得出如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角 　相等或互補　 ． （2）應用③中的真命題，解決以下問題： 若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的3倍少40°，求這兩個角的度數． 【解答】解：（1）①圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為：∠ABC+∠DEF＝180°； 圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為：∠ABC＝∠DEF， 故答案為：互補；相等； ②證明：圖1中， ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠1＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°； 圖2中， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE， ∴∠ABC＝∠DEF； ③由①得出：如果兩個角兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補， 故答案為：相等或互補； （2）設一個角為x°，另一個角為y°， 當兩角相等時， ， 解得：； 當兩角互補時， ， 解得：， 綜上所述，這兩個角的度數分別為20°和20°或55°和125°． 40.如圖，在三角形ABC中，D，E是AB上的點，F是BC上一點，H，G是AC上的點，FD⊥AB于點D，連接EF，EH，EG．給定三個條件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）請在上述三個條件中選擇其中兩個作為已知條件，另一個作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是 ?、佗凇?，結論是 ?、邸?（填寫序號）； （2）證明上述命題． 【解答】（1）選擇的條件是 ①②，結論是 ③； 故答案為：①②，③； （2）證明：由EG⊥AB，FD⊥AB， 得EG∥FD， 得∠DFE＝∠GEF， 由∠α＝∠β， 得∠BFE＝∠HEF， 得EH∥BC， 得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 41.在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，點E在BC的延長線上，射線EA與射線CD相交于點F，∠BAG是△ABC的外角． 有以下三個選項：①CD⊥AB，②∠CFE＝∠CEF，③AF平分∠BAG．從中選兩個作為條件，剩下的一個作為結論，構成一個真命題，并加以證明． 條件 ?、佗冢ù鸢覆晃ㄒ唬?，結論 　③（答案不唯一）　 .（填序號） 證明： 【解答】解：由CD⊥AB，∠CFE＝∠CEF可證明AF平分∠BAG， ∴條件為①②，結論為③； 證明：∵CD⊥AB， ∴∠CFE+∠FAD＝90°＝∠CEF+∠CAE， ∵∠CFE＝∠CEF， ∴∠FAD＝∠CAE， ∵∠CAE＝∠GAF， ∴∠FAD＝∠GAF， ∴AF平分∠BAG． 故答案為：①②（答案不唯一），③（答案不唯一）． 42.（1）如圖，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，試說明FG⊥AB； （2）若把（1）中的題設中的“DE∥BC”與結論“FG⊥AB”對調，所得命題是否為真命題？試說明理由． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB； （2）把題設中的“DE∥BC”與結論“FG⊥AB”對調，所得命題為真命題，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DE∥BC． 43.閱讀下面內容，并解答問題 在學行線的性質后，老師請同學們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分線互相垂直． 小穎根據命題畫出圖形并寫出如下的已知條件． 已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F．∠BEF的角平分線EG與∠DFE的角平分線FG交于點G． （1）直線EG，FG有何位置關系？請補充結論：求證：“　EG⊥FC　 ”，并寫出證明過程； （2）在圖1的基礎上，分別作∠BEG的角平分線EM與∠DFG的角平分線FM交于點M，得到圖2，求∠EMF的度數． （3）如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F點O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側，∠BEO的角平分線EP與∠DFO的角平分線FP交于點P，請直接寫出∠EOF與∠EPF滿足的數量關系，不需證明． 【解答】解：（1）結論：EG⊥FC； 理由：如圖1中，∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴，， ∴， 在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°， ∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG． 故答案為：EG⊥FC； （2）如圖2中，由（1）得：∠GEF+∠GFE＝90°， ∴∠BEG+∠DFG＝180°﹣90°＝90°， ∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG， ∴， ∴∠MEF+∠MFE＝90°+45°＝135°， ∴∠EMF＝180°﹣135°＝45°， （3）結論：∠EOF＝2∠EPF． 如圖3中，∵∠EOF＝180°﹣（∠OEF+∠OFE），∠OEF+∠OFE＝180°﹣（∠BEO+∠DFO）， ∴∠EOF＝∠BEO+∠DFO， 同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠EOF＝2∠BEP+2∠DFP＝2∠EPF． 44．已知∠ABC的兩邊與∠DEF的兩邊分別垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分別為點M和N，試探究： （1）如圖1，∠B與∠E的關系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如圖2，寫出∠B與∠E的關系，并說明理由； （3）根據上述探究，請歸納概括出一個真命題． 【分析】（1）根據垂直的定義、四邊形內角和等于360°解答； （2）根據垂直的定義、對頂角相等解答； （3）綜合（1）（2）的結論寫出真命題． 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案為：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3）真命題：如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補．

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