資源簡介

2024-2025學年浙教版數學八年級下學期期末復習知識串講（優等生培優版）
第6章 反比例函數
（思維導圖+知識梳理+易錯點撥+10大考點講練+優選真題難度分層練 共50題）
講義簡介 2
思維導圖指引 2
章節知識回顧梳理 3
知識點梳理01：反比例函數的概念 3
知識點梳理02：反比例函數解析式的確定 3
知識點梳理03：反比例函數的圖象和性質 3
知識點梳理04：應用反比例函數解決實際問題須注意以下幾點 5
易錯考點點撥匯總 5
易錯知識點01：反比例函數定義理解偏差 5
易錯知識點02：圖像與性質應用錯誤 6
易錯知識點03：幾何意義（k的幾何意義）應用失誤 6
易錯知識點04：綜合應用與實際問題誤區 6
易錯知識點05：典型壓軸題易錯點 7
期末真題考點匯編講練 7
期末考向一：反比例函數 7
重點考點講練01：求反比例函數值 7
重點考點講練02：求反比例函數解析式 9
期末考向二：反比例函數的圖象和性質 12
重點考點講練03：已知比例系數求特殊圖形的面積 12
重點考點講練04：根據圖形面積求比例系數（解析式) 16
重點考點講練05：反比例函數與幾何綜合 18
重點考點講練06：一次函數與反比例函數圖象綜合判斷 26
重點考點講練07：一次函數與反比例函數的交點問題 32
重點考點講練08：一次函數與反比例函數的實際應用 37
重點考點講練09：一次函數與反比例函數的其他綜合應用 41
期末考向三：反比例函數的應用 47
重點考點講練10：實際問題與反比例函數 47
優選真題難度分層練 52
中檔題—夯實基礎能力 52
壓軸題—強化解題技能 59
同學你好，本套講義針對課本內容同步制作，貼合書本內容。講義包含導圖指引，全章節知識點梳理，易錯點考點點撥，期末真題考點匯編講練，優選題難度分層訓練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期中期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識點梳理01：反比例函數的概念
一般地，形如 (為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是函數，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數.
要點詮釋：在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.
知識點梳理02：反比例函數解析式的確定
反比例函數解析式的確定方法是待定系數法.由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.
知識點梳理03：反比例函數的圖象和性質
1.反比例函數的圖象
反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關于原點對稱，反比例函數的圖象與軸、軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交．
【細節剖析】
觀察反比例函數的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點．
①的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為兩條直線；
②的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點（0，0）；
③(k≠0)在同一坐標系中的圖象關于軸對稱，也關于軸對稱.
注：正比例函數與反比例函數，
當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱.
2.反比例函數的性質
（1）圖象位置與反比例函數性質
　　當時，同號，圖象在第一、三象限，且在每個象限內，隨的增大而減??；當時，異號，圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大.
（2）若點()在反比例函數的圖象上，則點（）也在此圖象上，故反比例函數的圖象關于原點對稱.
（3）正比例函數與反比例函數的性質比較
　 正比例函數 反比例函數
解析式
圖 像 直線 有兩個分支組成的曲線（雙曲線）
位 置 ，一、三象限；
，二、四象限 ，一、三象限
，二、四象限
增減性 ，隨的增大而增大
，隨的增大而減小 ，在每個象限，隨的增大而減小
，在每個象限，隨的增大而增大
（4）反比例函數y＝中的意義
①過雙曲線(≠0) 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過雙曲線(≠0) 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
知識點梳理04：應用反比例函數解決實際問題須注意以下幾點
　1．反比例函數在現實世界中普遍存在，在應用反比例函數知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉化為數學問題.
2．列出函數關系式后，要注意自變量的取值范圍.
易錯知識點01：反比例函數定義理解偏差
忽略隱含條件
易錯點：未明確反比例函數形式為 （），或誤認為形如 或 的式子均為反比例函數。
示例：函數 不是反比例函數，因分母含變量 的平移項。
對策：嚴格對照定義，判斷函數是否符合 且 。
混淆比例系數與函數值
易錯點：將函數圖像上某點的坐標直接代入解析式時，未正確解方程求 。
示例：若點 在反比例函數圖像上，則 ，而非 。
對策：牢記 ，通過坐標乘積求解。
易錯知識點02：圖像與性質應用錯誤
圖像分布與 的符號混淆
易錯點：誤判 時圖像分布在一、三象限， 時分布在二、四象限。
示例：函數 的圖像在第二、四象限，而非第一、三象限。
對策：結合 的符號口訣“正一三，負二四”記憶。
對稱性理解不透
易錯點：忽略反比例函數圖像關于原點中心對稱，也關于直線 或 對稱。
示例：若點 在圖像上，則 必在圖像上，但可能誤認為 或 也在圖像上。
對策：通過代數驗證對稱點坐標是否滿足 。
易錯知識點03：幾何意義（k的幾何意義）應用失誤
面積計算錯誤
易錯點：誤認為圖像上任意矩形或三角形的面積均與 相關。
示例：由雙曲線上一點 向坐標軸作垂線，形成的矩形面積為 ，但若垂線非垂直于坐標軸，則面積不成立。
對策：明確只有當矩形的邊平行于坐標軸時，面積才為 。
動點問題中的面積變化誤判
易錯點：誤認為動點在雙曲線上移動時，相關幾何圖形（如四邊形）的面積會發生變化。
示例：雙曲線 上動點 與坐標軸圍成的矩形面積恒為 ，但若涉及其他動點組合圖形，需重新計算。
對策：優先利用 的幾何意義分析靜態面積，動態問題需結合函數關系推導。
易錯知識點04：綜合應用與實際問題誤區
忽略實際意義限制
易錯點：在解決實際問題（如物理中的電阻、速度問題）時，未考慮自變量 的實際取值范圍（如 ）。
示例：若 表示時間與速度的關系，解集應為 ，但可能遺漏限制條件導致錯誤。
對策：明確實際問題中變量的物理意義及取值范圍的隱含限制。
與一次函數結合時聯立錯誤
易錯點：聯立反比例函數與一次函數求交點時，漏解或未驗證解的合理性。
示例：解方程 時，可能忽略二次方程的判別式是否非負，導致虛根。
對策：聯立后整理為二次方程，通過判別式判斷實數解的存在性。
易錯知識點05：典型壓軸題易錯點
幾何變換中的函數關系分析
易錯點：旋轉、平移后的圖形與原反比例函數圖像結合時，未正確推導新函數解析式。
示例：將雙曲線 繞原點旋轉90°后，解析式變為 ，而非直接交換 與 。
對策：通過坐標變換公式（如旋轉矩陣）重新計算新函數關系。
動態幾何中的函數模型構建
易錯點：未將動點軌跡與反比例函數結合，導致模型錯誤。
示例：等腰直角三角形頂點在雙曲線上運動時，需利用幾何性質（如全等、相似）建立變量關系。
對策：先分析幾何圖形的恒等條件，再結合反比例函數特性列方程。
期末考向一：反比例函數
重點考點講練01：求反比例函數值
【母題精講】（22-23八年級上·上海長寧·期末）已知點、點在同一個反比例函數的圖象上，則點A與點B的距離為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了反比例函數，熟練掌握反比例函數圖象和性質，圖象上的點的坐標特征，是解決問題的關鍵．
設反比例函數解析式為，把、點代入，得，求出m的值，而后運用兩點間的距離公式計算即可．
【規范解答】設反比例函數為，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【訓練1】（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）已知與成反比例函數關系，且當時，．
(1)求與之間的函數表達式；
(2)當時，求的值．
【答案】(1) ；
(2)．
【思路點撥】（1）設該函數的解析式為 ，再把當時，代入可得的值，進而可得函數的解析式；
（2）把代入（）中的函數解析式可得答案．
【規范解答】（1）解：∵與成反比例函數關系，
∴設該函數的解析式為 ，
∵當時，
∴ ，，
∴與之間的函數表達式為： ；
（2）解：當時， ．
【訓練2】（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）已知與y=x-3相交于點，則的值為 ．
【答案】-3
【思路點撥】利用反比例函數圖象上點的坐標特征及一次函數圖象上點的坐標特征可得出，，進而可得出，，再將其代入中即可求出結論．
【規范解答】∵與相交于點，
∴，，
∴，，
∴．
故答案為：-3．
重點考點講練02：求反比例函數解析式
【母題精講】（22-23八年級下·浙江·期末）如圖，反比例函數的圖像經過點．
(1)求點的坐標．
(2)若點先向左平移個單位，再向下平移個單位，仍落在該反比例函數的圖像上，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【思路點撥】（1）待定系數法求反比例函數解析式，代入點A，求a；
（2）將點A平移后所得點的坐標代入函數解析式求m．
本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式和點的平移變化．主要利用求m的值， 要注意m的取值范圍．
【規范解答】（1）解：把點代入得：，
，
（2）解：將點先向左平移個單位，再向下平移個單位后得點：，把點代入，得：，
解得：（舍），或，
．
【訓練1】（23-24八年級下·重慶黔江·期末）如圖，的直角邊在軸上，，邊交軸于點，點在反比例函數第一象限的圖象上，所在直線的解析式為，其中點，．
(1)求反比例函數和所在直線的解析式；
(2)將的邊直角邊沿著軸正方向平移個單位長度得到線段，線段與反比例函數的圖象交于點，問當為何值時，四邊形是平行四邊形？
【答案】(1)，
(2)
【思路點撥】此題考查了反比例函數的圖象和性質、一次函數的圖象和性質、圖形的平移、平行四邊形的判定和性質等知識，數形結合是解題的關鍵．
（1）先求出所在直線的解析式為，再求出點，由點在反比例函數第一象限的圖象上即可得到反比例函數的解析式；
（2）求出，由平移的性質得到，，得到當時，四邊形是平行四邊形，求得點的縱坐標為，則利用求出的值即可．
【規范解答】（1）解：∵直線經過點，
∴，
∴，
∴所在直線的解析式為，
∵，，
∴點C的橫坐標是1，當時，，
∴，
∵點在反比例函數第一象限的圖象上，
∴；
∴反比例函數的解析式為.
（2）當時，，
∴，
由平移的性質得到，，
由題意得，
∴當時，四邊形是平行四邊形，
由（1）知反比例函數的解析式為，
點在反比例函數第一象限的圖象上，點的橫坐標為，
點的縱坐標為，
，
解得，
即當為2時，四邊形是平行四邊形．
【訓練2】（23-24八年級下·河南南陽·期末）如圖所示：直線與軸相交于點B，A是直線上一點，過點A，B分別作軸、y軸的平行線交于點C，已知點C恰好在反比例函數 的圖像上，若點A的橫坐標為點B橫坐標的一半．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出B點的坐標．
【答案】(1)
(2)
【思路點撥】本題考查了反比例函數圖像與一次函數圖像上點的坐標特征，設點C的坐標為，導出點A、B坐標并將其代入直線解析式即可得出答案，熟練掌握坐標與函數解析式的關系是解題的關鍵．
【規范解答】（1）解：設點C的坐標為，則點，
∵點A的橫坐標為點B橫坐標的一半，則，
∵、在直線的圖像上，
∴，
解得，
∴反比例函數的解析式為：；
（2）解：∵，
∴．
期末考向二：反比例函數的圖象和性質
重點考點講練03：已知比例系數求特殊圖形的面積
【母題精講】（22-23八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，點是反比例函數圖象上的一點，作軸于點，軸于點，點、分別是、上的點，且的面積為，的面積為，則的面積為 ．
【答案】
【思路點撥】設點的坐標為，利用面積將線段和用含有、的代數式表示出來，進而將線段和也用的代數式表示出，利用面積公式即可求出．
本題考查了反比例函數中值的幾何意義，，圖象上點的坐標之積等于．
【規范解答】解：設點的坐標為，則，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【訓練1】（23-24八年級下·河南周口·期末）如圖，四邊形是面積為4的正方形，函數的圖象經過點．
(1)的值為______．
(2)將正方形分別沿直線，翻折，得到正方形，正方形．設線段，分別與函數的圖象交于點，，連接，，．
①求的面積；
②在軸上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)4
(2)①；②存在，點的坐標為或
【思路點撥】（1）根據坐標與圖形、正方形的性質得到點B坐標，然后代入求解即可；
（2）①根據軸對稱性質和反比例函數圖象上點的坐標特征求得點E、F的坐標，再根據反比例函數比例系數k的幾何意義得到，則有，進而求解即可；
②設，分三種情況：若、若、若，利用兩點坐標距離公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解．
【規范解答】（1）解：∵四邊形是面積為4的正方形，
∴，則,
將代入中，得；
（2）解：①根據翻折性質，得，
∴點E的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，
∵點E、F在函數的圖象上，
∴當時，，當，，
∴，，
過F作軸于H，則，
∴；
②存在．設，
∴，
，
，
∵為直角三角形，
∴分三種情況：
若，則，
∴，解得，
∴；
若，則，
∴，即，
∵，
∴該方程無解，即P不存在；
若，則，
∴，解得，
∴，
綜上，滿足條件的點的坐標為或．
【訓練2】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函數 在第一象限的圖象經過點 ，則 與 的面積之差為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，等腰三角形的性質，面積公式，平方差公式，根據和都是等腰直角三角形可得出、，設，，則點的坐標為，根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出，再根據三角形的面積即可得出與的面積之差，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【規范解答】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
設，，
則點的坐標為，
∵反比例函數在第一象限的圖象經過點，
∴，
∴，
故答案為：．
重點考點講練04：根據圖形面積求比例系數（解析式)
【母題精講】（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，四邊形為矩形，點在第四象限，點關于的對稱點為點，且，都在函數的圖象上，軸于點，的延長線交軸于點，當矩形的面積為時，則的值為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了矩形性質，軸對稱性質，反比例函數的“”的幾何含義等知識，解決問題的關鍵是學會利用面積法解決問題．如圖，連接，．首先證明，推出，推出，即可求解．
【規范解答】解：如圖，連接，．
四邊形為矩形，
，
由對稱的性質可得：，
，
，
與的邊上的高相等，
，
．
，
故答案為：．
【訓練1】（23-24八年級下·山西晉城·期末）如圖、點在反比例函數的圖象上，軸，的面積為5，則的值為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】D
【思路點撥】本題主要考查了反比例函數中k的幾何意義，由的面積為5可得，再結合圖象經過的是第四象限，從而可以確定k值．
【規范解答】解：∵，
∴，即，則
∵圖象經過第四象限，
∴，
∴
故選：D．
【訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，A是反比例函數圖象上一點，過點A作軸于點B，點P在x軸上，，四邊形的面積為12，則這個反比例函數的表達式為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質，反比例函數k的幾何意義，求反比例函數的解析式，先設這個反比例函數的表達式為，再通過證明四邊形是平行四邊形，并利用平行四邊形的性質及反比例函數的性質得出k的值，即可求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【規范解答】設這個反比例函數的表達式為，
∵軸于點B，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵反比例函數圖象位于第二象限，
∴，
∴反比例函數的表達式為，
故答案為：．
重點考點講練05：反比例函數與幾何綜合
【母題精講】（22-23八年級下·山西臨汾·期末）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于A、B兩點，且A點坐標為，又與坐標軸分別交于M、N兩點，且M的坐標為．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式；
(2)已知的面積為3，求點B的坐標；
(3)平面內是否存在一點P，使得以點P、A、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，在請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在．，，
【思路點撥】（1）先求出一次函數解析式，再把代入求出m，然后再求反比例函數解析式；
（2）先求出，設，然后利用的面積為3列方程求解即可；
（3）設，然后分3種情況利用平行四邊形的對角線互相平分，結合中點坐標公式求解即可．
【規范解答】（1）把代入，得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴把代入，得，
∴；
（2）當時，，
∴，
∴，
∴，
設，
∵的面積為3，
∴，
∴，
∴；
（3）設，
當為對角線時，由題意，得
，，
∴，
∴，
當為對角線時，由題意，得
，，
∴，
∴，
當為對角線時，由題意，得
，，
∴，
∴，
綜上可知，P點的坐標為，，．
【訓練1】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，在x軸的正半軸上依次截取…，過點分別作x軸的垂線與反比例函數 （）的圖象相交于點連接分別與 …，交于點，……，得，四邊形，四邊形 ，四邊形 ，并設其面積分別為 …，以此類推．

(1)求；
(2)直接寫出及的值．
【答案】(1)
(2)，
【思路點撥】本題考查的是反比例函數綜合題．
（1）設，利用反比例函數的定義求出，，，，利用梯形的面積公式計算即可；
（2）結合（1）得到，按此規律，可得．
【規范解答】（1）解： ，，，是反比例函數的圖象上的點，
設，
，，，，
，
；
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
，
．
【訓練2】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖1，點A是反比例函數的圖象上一動點，連接并延長交反比例函數于點B，設與x軸正半軸的夾角為，
(1)①若，則______；②若，則______；
(2)小紅同學在數學老師的指導下，證明了命題“無論如何變化，的值始終不變”為真命題．如圖2，點E、F在，點G在上，O、F、G在同一條直線上，僅用無刻度的直尺在的圖象上作點H，使得；
(3)如圖3，過點B作x軸、y軸的垂線分別交于點C、D；
①試說明的面積為定值，并求出該值；
②若，連接并延長交x軸于點E，求∠DCE的度數．
【答案】(1)；
(2)見解析
(3)①說明見解析；；②
【思路點撥】（1）過點A作軸于點E，軸于點F，當，設，，求出，，得出；當，設，，得出，，求出，即可得出答案；
（2）連接并延長，交的圖象于一點，該點即為所求；
（3）①設點，則，，得出，，根據，即可得出結論；
②根據，得出，求出，得出，，，求出直線的解析式為：，得出，求出，
，，根據勾股定理逆定理判斷為直角三角形，即可得出答案．
【規范解答】（1）解：過點A作軸于點E，軸于點F，如圖所示：
則，
∵，
∴和為等腰直角三角形，
∴，，
∴設，，
∵點A在反比例函數，點B在反比例函數上，
∴，
解得：，負值舍去，，負值舍去，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
設，，
∵點A在反比例函數，點B在反比例函數上，
∴，
解得：，，
，
∴；
（2）解：如圖，連接并延長，交的圖象于一點，該點即為點H；
連接，，
∵“無論如何變化，的值始終不變”為真命題，
∴根據解析（1）可知：，
∴，
∴，，
∴、分別為，的中點，
∴為的中位線，
∴；
（3）解：①設點，則，，
∴，，
∴，
∴的面積為定值．
②∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴根據解析（1）可知：此時，
即，
∴，
設直線的解析式為：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵，
，，
∴，
∴為直角三角形，．
重點考點講練06：一次函數與反比例函數圖象綜合判斷
【母題精講】（23-24八年級上·上?！て谀┮阎瘮抵?，在每個象限內，的值隨的值增大而增大，那么它和函數在同一直角坐標平面內的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路點撥】本題主要考查了反比例函數圖象的性質與正比例函數圖象的性質，首先根據反比例函數圖象的性質判斷出k的范圍，再確定其所在象限，進而確定正比例函數圖象所在象限，即可得到答案．
【規范解答】解：∵函數中，在每個象限內，y隨x的增大而增大，
∴，
∴雙曲線在第二、四象限，
∴函數的圖象經過第一、三象限，
故選：A．
【訓練1】（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）“數形結合”是一種重要的數學思想，八上教材中，我們曾用函數觀點看方程，也就是利用一次函數的圖象求解二元一次方程組．類似的，學習了一次函數和反比例函數之后，我們也可以將方程的解的研究轉化為已學函數圖象交點的問題…
(1)將方程的解轉化為和這兩個函數圖像的交點問題，結合圖象可以判斷這個方程有 個實數解；
(2)方程的解也可以轉化為一次函數和反比例函數的圖象交點問題．請直接寫出一對符合要求的表達式 和 ，結合圖象可以判斷方程有 個解；
(3)利用“數形結合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐標系，判斷方程的解的個數；
(4)請根據的取值情況寫出滿足方程（均為非0常數）的的個數．
【答案】(1)2
(2)，，0
(3)圖象見解析，方程的解的個數為1；
(4)同號時，方程（均為非0常數）的的個數為2個．異號時，方程（均為非0常數）的的個數為0個．
【思路點撥】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，畫函數圖象，數形結合是本題的最大特點．
（1）在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象即可得到答案；
（2）方程兩邊除以x，變為，則可表示成一個一次函數與一個反比例函數的交點問題，從而可寫出符合要求的表達式，在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象即可得到答案；
（3）把變形為：，這樣方程的解的個數可轉化為兩個函數的交點個數問題，借助函數圖象即可解決；
（4）分兩種情況進行分析解答即可．
【規范解答】（1）在同一坐標系中，和這兩個函數圖象如下，有兩個交點，
∴方程有2個實數解；
故答案為：2
（2）解：
方程兩邊除以x，得：，
即，
∴令，，
則方程的解轉化為一次函數和反比例函數的圖象交點問題．結合圖象可以判斷方程有0個解；
故答案為：，，0
（3）解：把變形為：，
設，，
方程的解的個數可轉化為兩個函數，，的圖象的交點個數問題，
畫出兩個函數的圖象如下：
觀察圖象知，兩個函數，的圖象的交點只有1個，表明方程只有1個解．
（4）∵，均為非0常數
∴，
當時，，即同號時，方程（均為非0常數）的的個數為2個．
當時，即異號時，方程（均為非0常數）的的個數為0個．
綜上可知，同號時，方程（均為非0常數）的的個數為2個．異號時，方程（均為非0常數）的的個數為0個．
【訓練2】（23-24八年級下·江蘇揚州·期末）在學習反比例函數后，小華在同一個平面直角坐標系中畫出了和的圖象，兩個函數圖象交于兩點，在線段上選取一點P，過點P作y軸的平行線交反比例函數圖象于點Q（如圖1），在點P移動的過程中，發現的長度隨著點P的運動而變化．為了進一步研究的長度與點P的橫坐標之間的關系，小華進行了以下探究：

【探索發現】
（1）設點P的橫坐標為x，則點P的縱坐標為________，點Q的縱坐標為________；（用x的代數式表示）
若設的長度為y，則y與x之間的函數關系式為________（）；
（2）為了進一步研究（1）中的函數關系，決定運用列表、描點、連線的方法繪制函數的圖像：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 4 m 0
表中________；
②描點：根據上表中的數據，在圖2中描出各點；
③連線：請在圖2中畫出該函數的圖像．觀察函數圖像，發現：當_______時，y的最大值為_______．
【遷移應用】
利用（2）中的發現，解決問題：
（3）已知某矩形的一組鄰邊長分別為m，n，且該矩形的周長W與n存在函數關系，求m取最大值時矩形的對角線長．
【答案】（1），，；（2）①；②見解析；③3，10；（3）
【思路點撥】（1）根據題意，點P的橫坐標為x，由點P在的圖象上即可得出縱坐標，點Q在的圖象上即可得出縱坐標，的長度為y，根據的長等于縱坐標之差求解即可；
（2）①根據表格數據將代入（1）中函數，即可求得的值；
②根據表格數據描點即可；
③根據函數圖象直接求解即可
（3）由題意可知，，代入得：，即，根據（2）的結論求得最大值，進而求得對角線的長度．
【規范解答】解：（1）點P的橫坐標為x，
點P的縱坐標為，點Q的縱坐標為，
的長度為y，
；
（2）①當；
②如圖所示；

③當時，y有最大值為10；
（3）由題意可知，，
代入得：，即，
由（2）可知，當時，y取最大值為10．
當時，m的取最大值為，
此時矩形的對角線長為：．
重點考點講練07：一次函數與反比例函數的交點問題
【母題精講】（23-24八年級下·四川宜賓·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點，交y軸于點，交反比例函數的圖象于點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)如圖2，點在反比例函數圖象上，點E為在直線上一動點，點F為x軸上一動點，求的最小值；
(3)在（2）的條件下，若點M在反比例函數圖象上，點N在x軸上，是否存在以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【思路點撥】（1）求直線的解析式，得到點C的坐標，代入，求出反比例函數的解析式；
（2）先求出，作點D關于x軸的對稱點，則，由垂線段最短可知，過點作于點E，交x軸于點F，此時最小，連接，求出，即點E與點B重合，利用勾股定理求出，得到的最小值是；
（3）設，點，分三種情況①若以為對角線時，②若以為對角線時，③若以為對角線時，根據平行四邊形的性質列方程組求出m的值．
【規范解答】（1）解：設直線的解析式為，
，
解得，
∴直線的解析式為，
將代入，得，
∴，
∴，
將代入，
得，
∴反比例函數的解析式為；
（2）∵點在反比例函數圖象上，
∴，
解得，
∴，
作點D關于x軸的對稱點，則，
由垂線段最短可知，過點作于點E，交x軸于點F，
此時最小，
連接，
∵，
∴軸，，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，即點E與點B重合，
∴，
∴的最小值是；
（3）由題意設，點，
∵，
∴①若以為對角線時，則，解得，
∴；
②若以為對角線時，則，解得（舍去）；
③若以為對角線時，則，解得，
∴（舍去）
綜上，．
【訓練1】（23-24八年級下·浙江·期末）在平面直角坐標系中，設函數（m是實數），，已知函數與的圖象都經過點和點．
(1)求函數，的解析式與點的坐標．
(2)當時，請直接寫出自變量x的取值范圍．
(3)已知點和點在函數的圖象上，且，設，當時，求的取值范圍．
【答案】(1)反比例函數解析式為，一次函數解析式為，
(2)時，自變量的取值范圍為或；
(3)．
【思路點撥】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．
（1）將點坐標代入一次函數求出值得到點坐標，得到反比例函數解析式，再聯立方程組得到點坐標即可；
（2）由兩個函數性質及交點坐標直接寫出不等式的解集即可；
（3）根據題意先推出，再推出，，兩者結合可得的取值范圍．
【規范解答】（1）解：函數經過點，
，
解得：，
，
點在反比例函數圖象上，
，
反比例函數解析式為，一次函數解析式為．
聯立方程組，解得，，
；
（2）解：由兩個函數的性質及交點坐標可知：
當時，自變量的取值范圍為或；
（3）解：點和點在函數的圖象上，
，，
，
，，
，
，
，
．
的取值范圍為．
【訓練2】（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，直線（為常數）與雙曲線（為常數）相交于，兩點．
(1)求直線的解析式；
(2)請直接寫出關于的不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)或．
【思路點撥】（）將點代入反比例函數，求得，將點代入，得出，進而待定系數法求解析式即可求解；
（）根據函數圖象即可求解；
本題考查了一次函數與反比例函數交點問題，待定系數法求一次函數的解析式，反比例函數圖象的性質，熟練掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．
【規范解答】（1）將點代入反比例函數，
∴，
∴，
將點代入，
∴，
將，代入，得
，
解得：，
∴解析式為：；
（2）根據圖象可知，，，
當時，或．
重點考點講練08：一次函數與反比例函數的實際應用
【母題精講】（22-23八年級下·四川樂山·期末）某藥品研究所開發一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x小時之間函數關系如圖所示．

(1)根據圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數關系式；
(2)問血液中藥物濃度不低于2微克/毫升的持續時間多少小時？
【答案】(1)血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為，下降階段的函數關系式為．
(2)15小時
【思路點撥】（1）設出解析式，利用待定系數法求解析式，并寫出自變量的取值范圍即可；
（2）根據題意得出在兩個函數中的自變量的值，即可找出取值范圍．
【規范解答】（1）解：當時，設直線解析式為：，
將代入得：，解得：，
故直線解析式為：；
當時，設反比例函數解析式為： ，
將代入得： ，解得：a=32，
故反比例函數解析式為： ；
所以血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為，
下降階段的函數關系式為．
（2）解：如圖：由題意：，解得：；，，
∴
∴血液中藥物濃度不低于2微克/毫升的持續時間為15小時．

【訓練1】（22-23九年級上·山東濟南·階段練習）某品牌飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱（此過程中水溫y℃與開機時間x分滿足一次函數關系），當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降（此過程中水溫y℃與開機時間x分成反比例關系），當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱，…，重復上述程序（如圖所示），
(1)分別求出和時的函數關系式，并求出t的值；
(2)兩次加熱之間，水溫保持不低于40℃有多長時間？
(3)開機后50分鐘時，求水的溫度是多少℃？
【答案】(1)當和時的函數關系式為；；
(2)兩次加熱之間，水溫保持不低于40℃的時間有18分鐘
(3)開機后50分鐘時，水的溫度是80℃
【思路點撥】（1）分別用待定系數法求解即可；把代入所求反比例函數解析式中即可求得t的值；
（2）在中，令，得；在中，令，得，即可得兩次加熱之間水溫保持不低于40℃的時間；
（3）由，當時，，即開機后50分鐘時，水的溫度．
【規范解答】（1）當時，設水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數關系為：，
依據題意，得，解得，
故此函數解析式為：；
當時，設水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數關系式為：
依據題意，得：，即，故，
當時，，解得：；
（2）當時，，
解得：；
當時，，
解得：；
則兩次加熱之間，水溫保持不低于40℃的時間為（分）．
（3）∵，
∴當時，，
答：開機后50分鐘時，水的溫度是80℃.
【訓練2】（21-22八年級下·山東煙臺·期末）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點和，與軸交于點．
(1)求一次函數和反比例函數的解析式．
(2)在軸上求一點，當的面積為3時，則點的坐標為______．
(3)將直線向下平移2個單位后得到直線，當函數值時，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【思路點撥】（1）將點A坐標代入反比例函數可求得反比例函數解析式，進而求得點B坐標，進而把A、B坐標代入一次函數解析式可求得一次函數的解析式．
（2）首先求得直線AB與x軸的交點P的坐標，設點N坐標為（0，n），進而可確定和三角形的底和高，再根據三角形面積求得點N的坐標即可；
（3）由題意可得直線的解析式，然后根據圖像可進行求解．
【規范解答】（1）解：∵過點，
∴，
即反比例函數解析式為，
當時，，即，
∵過和，
可得，解得，
∴一次函數解析式為；
（2）如下圖，設點P為一次函數與x軸的交點，
當時，有，
∴點P的坐標為（-1，0），
設點N的坐標為（n，0），則，
∵
，
∴，
解得或，
∴點N的坐標為或．
故答案為：或；
（3）如圖，設與的圖像交于、兩點，
∵向下平移兩個單位得，且，
∴，
將直線解析式與反比例函數解析式聯立，
得，解得或，
∴，，
在A、兩點之間或B、兩點之間時，存在，
∴當函數值時，的取值范圍為或．
重點考點講練09：一次函數與反比例函數的其他綜合應用
【母題精講】（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象交于點，，與x軸交于點C，與軸交于點
(1)求反比例函數與一次函數的解析式；
(2)點M在x軸上，若，求點M的坐標．
【答案】(1)，
(2)或
【思路點撥】本題考查了待定系數法求一次函數和反比例函數，一次函數與三角形面積問題，熟練求出是解題的關鍵．
（1）設反比例函數解析式為，將代入，根據待定系數法，即可得到反比例函數解析式，將代入求得的反比例函數，解得a的值，得到B點坐標，最后根據待定系數法即可求出一次函數解析式；
（2）求出點C的坐標，根據求出，分兩種情況：M在O點左側；M點在O點右側，根據三角形面積公式即可解答．
【規范解答】（1）解：設反比例函數解析式為，
將代入，可得，解得，
反比例函數的解析式為，
把代入，可得，
解得，
，
設一次函數的解析式為，
將，代入，
可得，
解得，
一次函數的解析式為；
（2）解：當時，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O點左側時，；
M點在O點右側時，，
綜上，M點的坐標為或．
【訓練1】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）在平面直角坐標系中，設函數(是實數)．，已知函數與的圖象都經過點和點B．
(1)求函數，的解析式與B點的坐標．
(2)當時，請直接寫出自變量x的取值范圍．
(3)已知點和點在函數的圖象上，且，設 ，當時，求P的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)或．
(3)
【思路點撥】本題考查了一次函數和反比例函數，待定系數法求解析式，不等式的性質，熟練掌握一次函數和反比例函數的圖象和性質，利用數形結合的思想是解題的關鍵．
（1）根據函數與的圖象都經過點和點B，先將代入，求出，即可得到，，將代入，可求得，聯立，的解析式，解方程即可求得B點的坐標；
（2）畫出函數，的圖象，當，即當函數的圖象在函數的圖象上時，所對應的自變量的取值范圍，數形結合即可得到自變量x的取值范圍；
（3）由點和點在函數的圖象上，得到，，利用，結合，求出，，利用不等式的性質即可求出P的取值范圍．
【規范解答】（1）解： 函數與的圖象都經過點，
，解得，
點，,
將點代入得，
，解得，
，
函數，的解析式分別為：，．
聯立，得，
，
解得，或，
B點的坐標為．
（2）解：畫出函數，的圖象，如圖所示，
，即當函數的圖象在函數的圖象上時，所對應的自變量的取值范圍，
或．
故當時，自變量x的取值范圍是：或．
（3）解： 和點在函數的圖象上，
，，
，，
，即，當時，
，
由得，，
由得，，
，
，
則，
，
，
P的取值范圍是．
【訓練2】（23-24八年級下·浙江金華·期末）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)點在軸負半軸上，連接，過點作，交的圖像于點，且，連接．求四邊形的面積．
【答案】(1)反比例函數的表達式為，一次函數的表達式為
(2)
【思路點撥】本題考查了一次函數和反比例函數的圖象與性質、求一次函數和反比例函數解析式、平行四邊形的判定與性質、坐標與圖形，熟練掌握一次函數和反比例函數的圖象與性質、數形結合是解題的關鍵．
（1）把代入求解，得出反比例函數的表達式，求出，把、代入求解，得出一次函數的表達即可；
（2）連接，交軸于點，根據一次函數的表達式，求出，得出，根據，，證明四邊形是平行四邊形，得出，根據點在軸負半軸上，結合圖形與坐標，，，得出點的縱坐標，的邊上的高，的邊上的高，求出點的縱坐標，代入求出，求出點的橫坐標，得出，根據求出，根據計算，得出，根據四邊形的面積，計算求出面積即可．
【規范解答】（1）解：∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，
∴把代入得：，
解得：，
∴反比例函數的表達式為，
∴把代入得：，
解得：，
∴，
把、代入得：，
解得：，
∴一次函數的表達式為；
（2）解：如圖，連接，交軸于點，
∵一次函數的表達式為，
∴當時，，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點在軸負半軸上，由（1）得：，，
∴點的縱坐標，的邊上的高，的邊上的高，
∴點的縱坐標，
∵點在反比例函數上，
∴當時，，
解得：，
∴，
∴點的橫坐標，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形的面積．
期末考向三：反比例函數的應用
重點考點講練10：實際問題與反比例函數
【母題精講】（23-24八年級下·浙江杭州·期末）某學校準備修建一個面積為的矩形花圃，設矩形花圃的一邊長為，相鄰的另一邊長為．
(1)求y關于x的函數表達式；
(2)若矩形的一邊長x滿足，求另一邊長y的取值范圍；
(3)杭杭在實踐后得到如下結論：在面積為的情況下，不存在周長為的矩形．請判斷他的說法是否正確，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)杭杭的說法正確，理由見解答
【思路點撥】本題考查了反比例函數的應用、分式方程的應用以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，找出關于的函數表達式；（2）利用反比例函數的性質，找出的取值范圍；（3）找準等量關系，正確列出分式方程．
（1）由矩形花圃的面積為，可得出，變形后即可得出結論；
（2）由，利用反比例函數的性質，可得出當時，隨的增大而減小，再結合，可求出的取值范圍，再結合，即可得出結論；
（3）假設存在周長為的矩形，利用矩形的周長公式，可得出關于的分式方程，整理后可得出關于的一元二次方程，由根的判別式，可得出原方程沒有實數根，進而可得出假設不成立，即杭杭的說法正確．
【規范解答】（1）解：根據題意得：，
；
（2）解：∵，
∴當時，隨的增大而減小，
，
，即，
又∵，
；
（3）解：杭杭的說法正確，理由如下：
假設存在周長為的矩形，
根據題意得：，即，
整理得：，
，
∴原方程沒有實數根，
∴假設不成立，即杭杭的說法正確．
【訓練1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）在溫度不變的條件下，一定量的氣體的壓強與它的體積成反比例．已知當時，．
(1)求p與V的函數表達式；
(2)當p不超過時，直接寫出V的取值范圍．
【答案】(1)
(2)不小于
【思路點撥】本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是：
（1）根據反比例的定義求V與p的函數表達式即可；
（2）根據函數關系代入求值，然后根據反比例函數的增減性求解即可．
【規范解答】（1）解：設，
把，代入，得，
解得，
∴p與V的函數表達式為；
（2）解：當時，，
解得，
∵在第一象限，p隨V的增大而減小，
又p不超過，
∴V不小于．
【訓練2】（23-24八年級下·江蘇南京·期末）【項目式學習】探索凸透鏡成像的奧秘
【項目背景】某學校科學小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規律．
【項目素材】
素材一：透鏡成像中，光路圖的規律：通過透鏡中心的光線不發生改變；平行于主光軸的光線經過折射后光線經過焦點．
素材二：設物距為u、像距為v和焦距為f，小明在研究的過程中發現了物距u、像距v和焦距f之間在成實像時存在著關系：．
圖① 圖② 圖③
【項目任務】根據項目素材解決問題：
(1)小明先取物距，然后畫出光路圖（如圖①），其中為物體，O為凸透鏡的光心，入射光線 光軸，折射光線經過焦點，為所成的像．根據光路圖①可知，當時，物體經凸透鏡折射后成________（填“放大”或“縮小”或“等大”）的倒立實像；
(2)小明又取物距．
①當時，________（用含有f的代數式表示）；
②當時，物體經凸透鏡折射后成________（填“放大”或“縮小”或“等大”）的倒立實像，請仿照圖①的方法，在圖②中畫光路圖，并用三角形全等的知識解釋；
(3)實際生活中，一個固定的凸透鏡焦距f為定值．當時，請解答下列問題：
①請直接寫出y與u之間的函數表達式，并在圖③中畫出函數v的圖像；
②試說明：．
【答案】(1)放大
(2)①；②等大，圖見詳解
(3)①，圖見詳解②見詳解
【思路點撥】本題考查了函數解析式、反比例函數，全等三角形的判定與性質，作圖，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）依題意，代入，化簡得，再與比較，即可作答．
（2）①把代入，得出，
②則結合全等三角形的判定與性質，即，得出，即可作答．
（3）①結合當時，且，化簡得，描點連線，在圖③中畫出函數v的圖像,即可作答．
②∵，，則，所以，即可作答．
【規范解答】（1）解：∵，
把代入
∴
得出
∴
∴物體經凸透鏡折射后成放大的倒立實像，
故答案為：放大；
（2）解：①∵小明在研究的過程中發現了物距u、像距v和焦距f之間在成實像時存在著關系：，且
∴把代入
得
∴
故答案為：；
②當時，在圖②中畫光路圖，如圖所示：
∴物體經凸透鏡折射后成等大的倒立實像，理由如下：
即
∵
∴
∴
即當時，物體經凸透鏡折射后成等大的倒立實像，
（3）解：①實際生活中，一個固定的凸透鏡焦距f為定值．當時，且
∴y與u之間的函數表達式
解：依題意，列表：
描點連線，在圖③中畫出函數v的圖像，如圖所示：
②∵，
∴
∴
∴
中檔題—夯實基礎能力
1．（22-23八年級下·重慶北碚·期末）已知正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．正比例函數與反比例函數都隨x的增大而增大
B．兩個函數圖象的另一交點坐標為
C．當或時，
D．反比例函數的解析式是
【答案】C
【思路點撥】由題意可求正比例函數解析式和反比例函數解析式，根據正比例函數和反比例函數的性質可判斷求解．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟練運用反比例函數與一次函數的性質解決問題是本題的關鍵．
【規范解答】解：正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，
正比例函數，反比例函數，
兩個函數圖象的另一個交點為，
正比例函數中，隨的增大而增大，反比例函數中，在每個象限內隨的增大而減小，
當或時，，
、、選項說法錯誤；選項C說法正確．
故選：C．
2．（23-24八年級下·黑龍江大慶·期末）下列函數中，y是x的反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】本題主要考查了反比例函數的概念，解題的關鍵是掌握反比例函數的定義．根據反比例函數的概念形如（k為常數）的函數稱為反比例函數進行分析即可．
【規范解答】解：A、是一次函數，不是反比例函數，選項A不符合題意；
B、是反比例函數，選項B符合題意；
C、不是反比例函數，選項C不符合題意；
D、不是反比例函數，選項D不符合題意；
故選：B．
3．（22-23八年級上·上海長寧·期末）在函數的圖象上有三點，，，已知，那么下列各式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】本題考查反比例函數的圖象與性質，判斷出反比例函數在每個象限的增減性，進而可得到答案．
【規范解答】解：∵，
∴函數圖象在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大，
又∵，
∴．
故選：A．
4．（23-24八年級下·山東泰安·期末）如圖，點A是反比例函數的圖像上一點，過點A作y軸的垂線交y軸于點B，若點C是x軸上一點，，則k的值為 ．
【答案】6
【思路點撥】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，明確三角形的面積是解題的關鍵．根據已知條件得到三角形的面積，由于三角形的面積，得到，即可得到結論．
【規范解答】解：如圖，連接；
軸，
，
三角形的面積，
，
，
，
．
故答案為：6
5．（23-24八年級下·福建泉州·期末）在反比例函數中，當時， ．
【答案】/0.5
【思路點撥】本題考查了反比例函數的定義，將代入反比例函數中，解出即可．由已知函數解析式和函數值求相應的自變量的值．
【規范解答】解：當時，．
故答案為：．
6．（23-24八年級下·福建泉州·期末）在平面直角坐標系中，若，則把點與稱為一對互換點．已知點M，N是互換點，問M，N兩點能否都在一個反比例函數的圖象上？答： ．（填“一定”或“不一定”）
【答案】不一定
【思路點撥】此題考查了反比例函數圖象的性質，根據題意設，則，分情況討論點M，N的位置即可判斷，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵
【規范解答】解：設，則，
當時，點M在y軸上，此時點M，N不在一個反比例函數的圖象上；
當，M，N兩點能在一個反比例函數的圖象上，
故答案為：不一定
7．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）公元前3世紀，古希臘學者阿基米德發現了著名的“杠桿原理”．杠桿平衡時，阻力阻力臂動力動力臂．幾位同學玩撬石頭的游戲，已知阻力（石頭重量）和阻力臂分別為和．
(1)設動力臂為，動力為，求出與的函數表達式；
(2)若小明使用的力量，他該選擇動力臂為多少米的撬棍正好能撬動這塊大石頭？
【答案】(1)
(2)
【思路點撥】本題主要考查反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數是解題的關鍵．
（1）根據動力動力臂阻力阻力臂，可得出與l的 數關系式；
（2）將代入可求出即可．
【規范解答】（1）解：，則；
（2）解：當時，，則．
8．（23-24八年級下·湖南衡陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數交于，兩點，與y軸交于點C，連接，．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式；
(2)求的面積；
(3)請根據圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)9
(3)或
【思路點撥】本題主要考查了用待定系數法求反比例函數解析式以及一次函數的解析式，一次函數與坐標軸的交點，一次函數與反比例函數交點的問題．
（1）用待定系數法分別求出反比例函數解析式以及一次函數的解析式即可．
（2）先求出點C的坐標，再根據三角形的面積公式計算即可．
（3）分析出不等式的解集即一次函數圖像在反比例函數圖像的上面，結合函數圖像根據交點坐標即可得出答案．
【規范解答】（1）解：∵點，在
∴，
∴反比例函數的解析式為：，
∴，
解得：，
∴，
把，代入，
得，
解得：，
∴一次函數的解析式為：
（2）另，則，
∴，
∴
（3）不等式的解集即一次函數圖像在反比例函數圖像的上面，
根據函數圖像以及兩函數交點可知：
當或時，不等式．
9．（23-24八年級下·江蘇鎮江·期末）自1997年以來，我國鐵路一共經歷了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客車從A地開往B地，以的平均速度行駛需要5 h，2007年又經歷了第六次提速．
(1)設第六次提速后該路段的平均速度為v，全程運行的時間為t，請寫出t與v之間的函數表達式；
(2)如果第六次提速后該路段的平均速度為，那么提速后全程運行需要多長時間？
(3)如果全程運行時間控制在內，那么提速后的平均速度至少應為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路點撥】本題考查反比例函數應用，根據題目給定條件正確列出有關量的函數表達式，是解答關鍵．
（1）根據路程、速度、時間之間的關系列出t與v之間的函數表達式即可；
（2）把代入到（1）得到的函數表達式全程運行時間；
（3）把代入到（1）得到的函數表達式得到提速后的平均速度，再根據題意判定速度范圍即可．
【規范解答】（1）解：
∴
（2）當時，
答：提速后全程運行3h．
（3）當時，
由函數增減性可知，速度至少為．
10．（23-24八年級下·江蘇南京·期末）如圖，一次函數與反比例函數圖象的兩個交點的橫坐標分別為，．
(1)方程的解是______，不等式的解集是_______；
(2)在圖中用直尺和圓規作出一次函數的圖象；
(3)直接寫出的解集．
【答案】(1)或，或
(2)見詳解
(3)或
【思路點撥】（1）根據兩個函數圖象交點的橫坐標結合圖象解答即可；
（2）根據與之間是平移關系，是向下平移個單位，畫出圖象即可；
（3）根據圖象：結合一次函數以及反比例函數的性質，得出圖象成中心對稱圖形，再結合圖象性質，直接寫出不等式解集即可．
本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，熟練掌握反比例函數圖象的對稱性質是關鍵．
【規范解答】（1）解： 兩個函數圖象交點的橫坐標分別為，，
方程的解是：，，
不等式的解集是：或．
故答案為：，；或．
（2）解：作圖如下：
（3）解：依題意，
上圖成中心對稱圖形，一次函數與反比例函數的交點的橫坐標為
∴結合圖象：不等式的解集為：或．
壓軸題—強化解題技能
11．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）在直角坐標系中，設反比例函數，其中．若點均在該函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】此題考查了反比例函數的性質，利用反比例函數的增減性即可得出結論．
【規范解答】解：∵，
∴反比例函數的圖象分布在第一、三象限，
∴在每一象限內y隨x的增大而減小，
∵點在反比例函數的圖象上，且，
∴，
∴，
故選：B．
12．（23-24八年級下·福建泉州·期末）在平面直角坐標系中，已知，，，若函數的圖象與的邊有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點撥】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，先求出函數的圖象經過點、時的值，結合題意即可得出答案．
【規范解答】解：當函數的圖象經過點時，；
當函數的圖象經過點時，；
∵函數的圖象與的邊有公共點，
∴，
故選：C．
13．（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，菱形在第一象限內，邊與軸平行，點的縱坐標分別為、，反比例函數的圖象經過兩點，則菱形的面積為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】本題考查了反比例函數圖象上的點，菱形的性質，過點作軸于，過點作于，軸于，則四邊形為矩形，再根據點，點得，，，，，，，進而可得出，然后根據菱形的面積公式可得出答案．
【規范解答】解：過點作軸于，過點作于，軸于，如下圖所示：
則四邊形為矩形，
，，
點、的縱坐標分別為、，反比例函數的圖象經過、兩點，
點，點，
，，，，
，，
，
在中，由勾股定理得：
四邊形為菱形，
，，
．
故選：A．
14．（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數（）的圖象相交于點A與點B，若點A的坐標為，則點B的坐標為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，待定系數法求函數的解析式，掌握求交點坐標的方法是解題的關鍵．
利用待定系數法求得兩直線的解析式，然后聯立成方程組，解方程組即可求得點的坐標．
【規范解答】解：一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，
，，
解得：，，
一次函數解析式為：，反比例函數解析式為；
解方程組，得或，
，
故答案為：．
15．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）如圖，平面直角坐標系中有一個由個邊長為的正方形所組成的圖形，反比例函數的圖象與圖形外側兩個交點記為點，點，若線段把該圖形分成面積為的兩部分，則的值為 ．
【答案】或
【思路點撥】本題考查了反比例函數與幾何綜合，根據圖形面積求比例系數，解一元一次方程等．根據題意可得線段把該圖形分成面積為和的兩部分，得出點的縱坐標為，點的縱坐標為，代入反比例解析式求出點和點的坐標，得出，，，求出梯形的面積，再加上個小正方形的面積，可得出線段的左側部分圖形的面積，據此列出關于的方程，解方程即可．
【規范解答】解：如圖：
∵線段把該圖形分成面積為的兩部分，且圖形的總面積是，
∴線段把該圖形分成面積為和的兩部分，
根據題意可得點的縱坐標為，點的縱坐標為，
∵反比例函數的圖象與圖形外側兩個交點記為點，點，
故，，
則，，，
故梯形的面積為：，
即或，
解得：或．
故答案為：或．
16．（23-24八年級下·浙江溫州·期末）如圖，在矩形的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，D，E為的三等分點，作矩形使點G落在上，反比例函數（）的圖象同時經過點D，F．若矩形的面積為3，則k的值為 ．
【答案】6
【思路點撥】本題考查了矩形和反比例函數，熟練掌握矩形的性質和反比例函數的性質是解題的關鍵．過點作軸，過點作軸，設矩形的長為，寬為，矩形的長為，結合D，E為的三等分點，可得，，根據反比例函數（）的圖象同時經過點D，F，將，代入，可得，再利用矩形的面積為3，即，代入即可求解．
【規范解答】解：過點作軸，過點作軸，如圖，
設矩形的長為，寬為，矩形的長為，
D，E為的三等分點，
，
，，
，，在反比例函數（）的圖象上，
，，
，
整理得，
又矩形的面積為3，即，
，
．
故答案為：6．
17．（23-24八年級下·四川樂山·期末）如下圖所示，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于、兩個點．
(1)求這兩個函數的解析式；
(2)當時，根據圖象直接寫出滿足時x的取值范圍．
【答案】(1)一次函數解析式為，反比例函數解析式為
(2)
【思路點撥】本題考查一次函數與反比例函數的有關知識，學會用待定系數法求函數解析式，掌握由圖象根據要求確定自變量的取值范圍的方法．
（1）根據待定系數法即可解決．
（2）不等式的解集在圖象上是直線在上面的部分，根據圖象即可寫出．
【規范解答】（1）解：∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于、兩個點．
∴把、代入得，
，
解得，，
∴一次函數解析式為；
把代入，得，
解得，，
所以，反比例函數的解析式為
（2）解：由圖象得：x的取值范圍是．
18．（22-23八年級下·福建泉州·期末）如圖，、是雙曲線上兩點，且．
(1)求雙曲線的表達式；
(2)若點C的坐標為時，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【思路點撥】本題考查反比例函數的圖象及性質，待定系數法求解析式，三角形的面積．
（1）根據兩點都在反比例函數圖象上得到，再結合求出兩個函數值，得到兩點坐標即可求出k值；
（2）先求出直線解析式，進而直線與y軸的交點D坐標，根據代入數據計算即可．
【規范解答】（1）解：∵、是雙曲線上兩點，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：設直線解析式為，
∵點，在該直線上，
∴，解得，
∴直線解析式為，
令，則，
∴直線與y軸的交點為，
∵，
∴，
∴．
19．（23-24八年級下·江蘇徐州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于、兩點．
(1)求的值；
(2)當時，的取值范圍是__________；
(3)當時，的取值范圍是__________；
(4)若軸上存在點，使得的面積為，求點的坐標．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或；
(4)或．
【思路點撥】（）把代入可得，把代入即可求得；
（）根據點與點關于原點對稱，即可得到的坐標，觀察函數圖象即可求解；
（）根據圖象即可求解；
（）根據即可求得，求得或；
本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求反比例函數的解析式，三角形的面積，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【規范解答】（1）把代入可得，
∴，
把代入，得，
∴；
（2）∵正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點，
∴關于原點對稱，，
由圖象可知，當或時，，
故答案為：或；
（3）由正比例函數與反比例函數的對稱性可知，
由圖象可知，當或時，，
∴當時，的取值范圍是或，
故答案為:或；
（4）∵的面積為，
∴，
∴，
∴或．
20．（23-24八年級下·河南南陽·期末）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點．
(1)求點A的坐標和反比例函數的表達式．
(2)請用無刻度的直尺和圓規，作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
(3)線段的垂直平分線交x軸于點D，求線段的長．
【答案】(1)，
(2)詳見解析
(3)
【思路點撥】（1）根據點在正比例函數的圖像上求出的值，再將點的坐標代入反比例函數的解析式即可求出的值；
（2）利用基本作圖作的垂直平分線即可；
（3）如圖，過點作軸于點，連接，設點，根據垂直平分線的性質可得，根據勾股定理可得，繼而得到關于的方程，求解可得點的坐標，即可得解．
【規范解答】（1）解：∵點在正比例函數的圖象上，
∴，
∴點A的坐標為，
∵點在反比例函數的圖象上，
∴，解得，
∴反比例函數的表達式為．
（2）解：如圖1，直線即為所求．
（3）解：如圖，過點A作軸于點E，連接，設點．
∵是的垂直平分線，
∴．
∵點，
∴，．
∵，
∴，
解得，
∴點，
∴．2024-2025學年浙教版數學八年級下學期期末復習知識串講（優等生培優版）
第6章 反比例函數
（思維導圖+知識梳理+易錯點撥+10大考點講練+優選真題難度分層練 共50題）
講義簡介 2
思維導圖指引 2
章節知識回顧梳理 3
知識點梳理01：反比例函數的概念 3
知識點梳理02：反比例函數解析式的確定 3
知識點梳理03：反比例函數的圖象和性質 3
知識點梳理04：應用反比例函數解決實際問題須注意以下幾點 5
易錯考點點撥匯總 5
易錯知識點01：反比例函數定義理解偏差 5
易錯知識點02：圖像與性質應用錯誤 6
易錯知識點03：幾何意義（k的幾何意義）應用失誤 6
易錯知識點04：綜合應用與實際問題誤區 6
易錯知識點05：典型壓軸題易錯點 7
期末真題考點匯編講練 7
期末考向一：反比例函數 7
重點考點講練01：求反比例函數值 7
重點考點講練02：求反比例函數解析式 8
期末考向二：反比例函數的圖象和性質 9
重點考點講練03：已知比例系數求特殊圖形的面積 9
重點考點講練04：根據圖形面積求比例系數（解析式) 11
重點考點講練05：反比例函數與幾何綜合 12
重點考點講練06：一次函數與反比例函數圖象綜合判斷 15
重點考點講練07：一次函數與反比例函數的交點問題 17
重點考點講練08：一次函數與反比例函數的實際應用 19
重點考點講練09：一次函數與反比例函數的其他綜合應用 21
期末考向三：反比例函數的應用 23
重點考點講練10：實際問題與反比例函數 23
優選真題難度分層練 25
中檔題—夯實基礎能力 25
壓軸題—強化解題技能 28
同學你好，本套講義針對課本內容同步制作，貼合書本內容。講義包含導圖指引，全章節知識點梳理，易錯點考點點撥，期末真題考點匯編講練，優選題難度分層訓練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期中期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識點梳理01：反比例函數的概念
一般地，形如 (為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是函數，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數.
要點詮釋：在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.
知識點梳理02：反比例函數解析式的確定
反比例函數解析式的確定方法是待定系數法.由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.
知識點梳理03：反比例函數的圖象和性質
1.反比例函數的圖象
反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關于原點對稱，反比例函數的圖象與軸、軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交．
【細節剖析】
觀察反比例函數的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點．
①的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為兩條直線；
②的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點（0，0）；
③(k≠0)在同一坐標系中的圖象關于軸對稱，也關于軸對稱.
注：正比例函數與反比例函數，
當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱.
2.反比例函數的性質
（1）圖象位置與反比例函數性質
　　當時，同號，圖象在第一、三象限，且在每個象限內，隨的增大而減?。划敃r，異號，圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大.
（2）若點()在反比例函數的圖象上，則點（）也在此圖象上，故反比例函數的圖象關于原點對稱.
（3）正比例函數與反比例函數的性質比較
　 正比例函數 反比例函數
解析式
圖 像 直線 有兩個分支組成的曲線（雙曲線）
位 置 ，一、三象限；
，二、四象限 ，一、三象限
，二、四象限
增減性 ，隨的增大而增大
，隨的增大而減小 ，在每個象限，隨的增大而減小
，在每個象限，隨的增大而增大
（4）反比例函數y＝中的意義
①過雙曲線(≠0) 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過雙曲線(≠0) 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
知識點梳理04：應用反比例函數解決實際問題須注意以下幾點
　1．反比例函數在現實世界中普遍存在，在應用反比例函數知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉化為數學問題.
2．列出函數關系式后，要注意自變量的取值范圍.
易錯知識點01：反比例函數定義理解偏差
忽略隱含條件
易錯點：未明確反比例函數形式為 （），或誤認為形如 或 的式子均為反比例函數。
示例：函數 不是反比例函數，因分母含變量 的平移項。
對策：嚴格對照定義，判斷函數是否符合 且 。
混淆比例系數與函數值
易錯點：將函數圖像上某點的坐標直接代入解析式時，未正確解方程求 。
示例：若點 在反比例函數圖像上，則 ，而非 。
對策：牢記 ，通過坐標乘積求解。
易錯知識點02：圖像與性質應用錯誤
圖像分布與 的符號混淆
易錯點：誤判 時圖像分布在一、三象限， 時分布在二、四象限。
示例：函數 的圖像在第二、四象限，而非第一、三象限。
對策：結合 的符號口訣“正一三，負二四”記憶。
對稱性理解不透
易錯點：忽略反比例函數圖像關于原點中心對稱，也關于直線 或 對稱。
示例：若點 在圖像上，則 必在圖像上，但可能誤認為 或 也在圖像上。
對策：通過代數驗證對稱點坐標是否滿足 。
易錯知識點03：幾何意義（k的幾何意義）應用失誤
面積計算錯誤
易錯點：誤認為圖像上任意矩形或三角形的面積均與 相關。
示例：由雙曲線上一點 向坐標軸作垂線，形成的矩形面積為 ，但若垂線非垂直于坐標軸，則面積不成立。
對策：明確只有當矩形的邊平行于坐標軸時，面積才為 。
動點問題中的面積變化誤判
易錯點：誤認為動點在雙曲線上移動時，相關幾何圖形（如四邊形）的面積會發生變化。
示例：雙曲線 上動點 與坐標軸圍成的矩形面積恒為 ，但若涉及其他動點組合圖形，需重新計算。
對策：優先利用 的幾何意義分析靜態面積，動態問題需結合函數關系推導。
易錯知識點04：綜合應用與實際問題誤區
忽略實際意義限制
易錯點：在解決實際問題（如物理中的電阻、速度問題）時，未考慮自變量 的實際取值范圍（如 ）。
示例：若 表示時間與速度的關系，解集應為 ，但可能遺漏限制條件導致錯誤。
對策：明確實際問題中變量的物理意義及取值范圍的隱含限制。
與一次函數結合時聯立錯誤
易錯點：聯立反比例函數與一次函數求交點時，漏解或未驗證解的合理性。
示例：解方程 時，可能忽略二次方程的判別式是否非負，導致虛根。
對策：聯立后整理為二次方程，通過判別式判斷實數解的存在性。
易錯知識點05：典型壓軸題易錯點
幾何變換中的函數關系分析
易錯點：旋轉、平移后的圖形與原反比例函數圖像結合時，未正確推導新函數解析式。
示例：將雙曲線 繞原點旋轉90°后，解析式變為 ，而非直接交換 與 。
對策：通過坐標變換公式（如旋轉矩陣）重新計算新函數關系。
動態幾何中的函數模型構建
易錯點：未將動點軌跡與反比例函數結合，導致模型錯誤。
示例：等腰直角三角形頂點在雙曲線上運動時，需利用幾何性質（如全等、相似）建立變量關系。
對策：先分析幾何圖形的恒等條件，再結合反比例函數特性列方程。
期末考向一：反比例函數
重點考點講練01：求反比例函數值
【母題精講】（22-23八年級上·上海長寧·期末）已知點、點在同一個反比例函數的圖象上，則點A與點B的距離為 ．
【訓練1】（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）已知與成反比例函數關系，且當時，．
(1)求與之間的函數表達式；
(2)當時，求的值．
【訓練2】（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）已知與y=x-3相交于點，則的值為 ．
重點考點講練02：求反比例函數解析式
【母題精講】（22-23八年級下·浙江·期末）如圖，反比例函數的圖像經過點．
(1)求點的坐標．
(2)若點先向左平移個單位，再向下平移個單位，仍落在該反比例函數的圖像上，求的值．
【訓練1】（23-24八年級下·重慶黔江·期末）如圖，的直角邊在軸上，，邊交軸于點，點在反比例函數第一象限的圖象上，所在直線的解析式為，其中點，．
(1)求反比例函數和所在直線的解析式；
(2)將的邊直角邊沿著軸正方向平移個單位長度得到線段，線段與反比例函數的圖象交于點，問當為何值時，四邊形是平行四邊形？
【訓練2】（23-24八年級下·河南南陽·期末）如圖所示：直線與軸相交于點B，A是直線上一點，過點A，B分別作軸、y軸的平行線交于點C，已知點C恰好在反比例函數 的圖像上，若點A的橫坐標為點B橫坐標的一半．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出B點的坐標．
期末考向二：反比例函數的圖象和性質
重點考點講練03：已知比例系數求特殊圖形的面積
【母題精講】（22-23八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，點是反比例函數圖象上的一點，作軸于點，軸于點，點、分別是、上的點，且的面積為，的面積為，則的面積為 ．
【訓練1】（23-24八年級下·河南周口·期末）如圖，四邊形是面積為4的正方形，函數的圖象經過點．
(1)的值為______．
(2)將正方形分別沿直線，翻折，得到正方形，正方形．設線段，分別與函數的圖象交于點，，連接，，．
①求的面積；
②在軸上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【訓練2】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函數 在第一象限的圖象經過點 ，則 與 的面積之差為 ．
重點考點講練04：根據圖形面積求比例系數（解析式)
【母題精講】（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，四邊形為矩形，點在第四象限，點關于的對稱點為點，且，都在函數的圖象上，軸于點，的延長線交軸于點，當矩形的面積為時，則的值為 ．
【訓練1】（23-24八年級下·山西晉城·期末）如圖、點在反比例函數的圖象上，軸，的面積為5，則的值為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，A是反比例函數圖象上一點，過點A作軸于點B，點P在x軸上，，四邊形的面積為12，則這個反比例函數的表達式為 ．
重點考點講練05：反比例函數與幾何綜合
【母題精講】（22-23八年級下·山西臨汾·期末）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于A、B兩點，且A點坐標為，又與坐標軸分別交于M、N兩點，且M的坐標為．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式；
(2)已知的面積為3，求點B的坐標；
(3)平面內是否存在一點P，使得以點P、A、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，在請說明理由．
【訓練1】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，在x軸的正半軸上依次截取…，過點分別作x軸的垂線與反比例函數 （）的圖象相交于點連接分別與 …，交于點，……，得，四邊形，四邊形 ，四邊形 ，并設其面積分別為 …，以此類推．

(1)求；
(2)直接寫出及的值．
【訓練2】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖1，點A是反比例函數的圖象上一動點，連接并延長交反比例函數于點B，設與x軸正半軸的夾角為，
(1)①若，則______；②若，則______；
(2)小紅同學在數學老師的指導下，證明了命題“無論如何變化，的值始終不變”為真命題．如圖2，點E、F在，點G在上，O、F、G在同一條直線上，僅用無刻度的直尺在的圖象上作點H，使得；
(3)如圖3，過點B作x軸、y軸的垂線分別交于點C、D；
①試說明的面積為定值，并求出該值；
②若，連接并延長交x軸于點E，求∠DCE的度數．
重點考點講練06：一次函數與反比例函數圖象綜合判斷
【母題精講】（23-24八年級上·上?！て谀┮阎瘮抵?，在每個象限內，的值隨的值增大而增大，那么它和函數在同一直角坐標平面內的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
【訓練1】（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）“數形結合”是一種重要的數學思想，八上教材中，我們曾用函數觀點看方程，也就是利用一次函數的圖象求解二元一次方程組．類似的，學習了一次函數和反比例函數之后，我們也可以將方程的解的研究轉化為已學函數圖象交點的問題…
(1)將方程的解轉化為和這兩個函數圖像的交點問題，結合圖象可以判斷這個方程有 個實數解；
(2)方程的解也可以轉化為一次函數和反比例函數的圖象交點問題．請直接寫出一對符合要求的表達式 和 ，結合圖象可以判斷方程有 個解；
(3)利用“數形結合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐標系，判斷方程的解的個數；
(4)請根據的取值情況寫出滿足方程（均為非0常數）的的個數．
【訓練2】（23-24八年級下·江蘇揚州·期末）在學習反比例函數后，小華在同一個平面直角坐標系中畫出了和的圖象，兩個函數圖象交于兩點，在線段上選取一點P，過點P作y軸的平行線交反比例函數圖象于點Q（如圖1），在點P移動的過程中，發現的長度隨著點P的運動而變化．為了進一步研究的長度與點P的橫坐標之間的關系，小華進行了以下探究：

【探索發現】
（1）設點P的橫坐標為x，則點P的縱坐標為________，點Q的縱坐標為________；（用x的代數式表示）
若設的長度為y，則y與x之間的函數關系式為________（）；
（2）為了進一步研究（1）中的函數關系，決定運用列表、描點、連線的方法繪制函數的圖像：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 4 m 0
表中________；
②描點：根據上表中的數據，在圖2中描出各點；
③連線：請在圖2中畫出該函數的圖像．觀察函數圖像，發現：當_______時，y的最大值為_______．
【遷移應用】
利用（2）中的發現，解決問題：
已知某矩形的一組鄰邊長分別為m，n，且該矩形的周長W與n存在函數關系，求m取最大值時矩形的對角線長．
重點考點講練07：一次函數與反比例函數的交點問題
【母題精講】（23-24八年級下·四川宜賓·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點，交y軸于點，交反比例函數的圖象于點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)如圖2，點在反比例函數圖象上，點E為在直線上一動點，點F為x軸上一動點，求的最小值；
(3)在（2）的條件下，若點M在反比例函數圖象上，點N在x軸上，是否存在以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【訓練1】（23-24八年級下·浙江·期末）在平面直角坐標系中，設函數（m是實數），，已知函數與的圖象都經過點和點．
(1)求函數，的解析式與點的坐標．
(2)當時，請直接寫出自變量x的取值范圍．
(3)已知點和點在函數的圖象上，且，設，當時，求的取值范圍．
【訓練2】（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，直線（為常數）與雙曲線（為常數）相交于，兩點．
(1)求直線的解析式；
(2)請直接寫出關于的不等式的解集．
重點考點講練08：一次函數與反比例函數的實際應用
【母題精講】（22-23八年級下·四川樂山·期末）某藥品研究所開發一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x小時之間函數關系如圖所示．

(1)根據圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數關系式；
(2)問血液中藥物濃度不低于2微克/毫升的持續時間多少小時？
【訓練1】（22-23九年級上·山東濟南·階段練習）某品牌飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱（此過程中水溫y℃與開機時間x分滿足一次函數關系），當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降（此過程中水溫y℃與開機時間x分成反比例關系），當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱，…，重復上述程序（如圖所示），
(1)分別求出和時的函數關系式，并求出t的值；
(2)兩次加熱之間，水溫保持不低于40℃有多長時間？
(3)開機后50分鐘時，求水的溫度是多少℃？
【訓練2】（21-22八年級下·山東煙臺·期末）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點和，與軸交于點．
(1)求一次函數和反比例函數的解析式．
(2)在軸上求一點，當的面積為3時，則點的坐標為______．
(3)將直線向下平移2個單位后得到直線，當函數值時，求的取值范圍．
重點考點講練09：一次函數與反比例函數的其他綜合應用
【母題精講】（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象交于點，，與x軸交于點C，與軸交于點
(1)求反比例函數與一次函數的解析式；
(2)點M在x軸上，若，求點M的坐標．
【訓練1】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）在平面直角坐標系中，設函數(是實數)．，已知函數與的圖象都經過點和點B．
(1)求函數，的解析式與B點的坐標．
(2)當時，請直接寫出自變量x的取值范圍．
(3)已知點和點在函數的圖象上，且，設 ，當時，求P的取值范圍．
【訓練2】（23-24八年級下·浙江金華·期末）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)點在軸負半軸上，連接，過點作，交的圖像于點，且，連接．求四邊形的面積．
期末考向三：反比例函數的應用
重點考點講練10：實際問題與反比例函數
【母題精講】（23-24八年級下·浙江杭州·期末）某學校準備修建一個面積為的矩形花圃，設矩形花圃的一邊長為，相鄰的另一邊長為．
(1)求y關于x的函數表達式；
(2)若矩形的一邊長x滿足，求另一邊長y的取值范圍；
(3)杭杭在實踐后得到如下結論：在面積為的情況下，不存在周長為的矩形．請判斷他的說法是否正確，并說明理由．
【訓練1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）在溫度不變的條件下，一定量的氣體的壓強與它的體積成反比例．已知當時，．
(1)求p與V的函數表達式；
(2)當p不超過時，直接寫出V的取值范圍．
【訓練2】（23-24八年級下·江蘇南京·期末）【項目式學習】探索凸透鏡成像的奧秘
【項目背景】某學校科學小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規律．
【項目素材】
素材一：透鏡成像中，光路圖的規律：通過透鏡中心的光線不發生改變；平行于主光軸的光線經過折射后光線經過焦點．
素材二：設物距為u、像距為v和焦距為f，小明在研究的過程中發現了物距u、像距v和焦距f之間在成實像時存在著關系：．
圖① 圖② 圖③
【項目任務】根據項目素材解決問題：
(1)小明先取物距，然后畫出光路圖（如圖①），其中為物體，O為凸透鏡的光心，入射光線 光軸，折射光線經過焦點，為所成的像．根據光路圖①可知，當時，物體經凸透鏡折射后成________（填“放大”或“縮小”或“等大”）的倒立實像；
(2)小明又取物距．
①當時，________（用含有f的代數式表示）；
②當時，物體經凸透鏡折射后成________（填“放大”或“縮小”或“等大”）的倒立實像，請仿照圖①的方法，在圖②中畫光路圖，并用三角形全等的知識解釋；
(3)實際生活中，一個固定的凸透鏡焦距f為定值．當時，請解答下列問題：
①請直接寫出y與u之間的函數表達式，并在圖③中畫出函數v的圖像；
②試說明：．
中檔題—夯實基礎能力
1．（22-23八年級下·重慶北碚·期末）已知正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．正比例函數與反比例函數都隨x的增大而增大
B．兩個函數圖象的另一交點坐標為
C．當或時，
D．反比例函數的解析式是
2．（23-24八年級下·黑龍江大慶·期末）下列函數中，y是x的反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年級上·上海長寧·期末）在函數的圖象上有三點，，，已知，那么下列各式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年級下·山東泰安·期末）如圖，點A是反比例函數的圖像上一點，過點A作y軸的垂線交y軸于點B，若點C是x軸上一點，，則k的值為 ．
5．（23-24八年級下·福建泉州·期末）在反比例函數中，當時， ．
6．（23-24八年級下·福建泉州·期末）在平面直角坐標系中，若，則把點與稱為一對互換點．已知點M，N是互換點，問M，N兩點能否都在一個反比例函數的圖象上？答： ．（填“一定”或“不一定”）
7．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）公元前3世紀，古希臘學者阿基米德發現了著名的“杠桿原理”．杠桿平衡時，阻力阻力臂動力動力臂．幾位同學玩撬石頭的游戲，已知阻力（石頭重量）和阻力臂分別為和．
(1)設動力臂為，動力為，求出與的函數表達式；
(2)若小明使用的力量，他該選擇動力臂為多少米的撬棍正好能撬動這塊大石頭？
8．（23-24八年級下·湖南衡陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數交于，兩點，與y軸交于點C，連接，．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式；
(2)求的面積；
(3)請根據圖象直接寫出不等式的解集．
9．（23-24八年級下·江蘇鎮江·期末）自1997年以來，我國鐵路一共經歷了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客車從A地開往B地，以的平均速度行駛需要5 h，2007年又經歷了第六次提速．
(1)設第六次提速后該路段的平均速度為v，全程運行的時間為t，請寫出t與v之間的函數表達式；
(2)如果第六次提速后該路段的平均速度為，那么提速后全程運行需要多長時間？
(3)如果全程運行時間控制在內，那么提速后的平均速度至少應為多少？
10．（23-24八年級下·江蘇南京·期末）如圖，一次函數與反比例函數圖象的兩個交點的橫坐標分別為，．
(1)方程的解是______，不等式的解集是_______；
(2)在圖中用直尺和圓規作出一次函數的圖象；
(3)直接寫出的解集．
壓軸題—強化解題技能
11．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）在直角坐標系中，設反比例函數，其中．若點均在該函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年級下·福建泉州·期末）在平面直角坐標系中，已知，，，若函數的圖象與的邊有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，菱形在第一象限內，邊與軸平行，點的縱坐標分別為、，反比例函數的圖象經過兩點，則菱形的面積為( )
A． B． C． D．
14．（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數（）的圖象相交于點A與點B，若點A的坐標為，則點B的坐標為 ．
15．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）如圖，平面直角坐標系中有一個由個邊長為的正方形所組成的圖形，反比例函數的圖象與圖形外側兩個交點記為點，點，若線段把該圖形分成面積為的兩部分，則的值為 ．
16．（23-24八年級下·浙江溫州·期末）如圖，在矩形的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，D，E為的三等分點，作矩形使點G落在上，反比例函數（）的圖象同時經過點D，F．若矩形的面積為3，則k的值為 ．
17．（23-24八年級下·四川樂山·期末）如下圖所示，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于、兩個點．
(1)求這兩個函數的解析式；
(2)當時，根據圖象直接寫出滿足時x的取值范圍．
18．（22-23八年級下·福建泉州·期末）如圖，、是雙曲線上兩點，且．
(1)求雙曲線的表達式；
(2)若點C的坐標為時，求的面積．
19．（23-24八年級下·江蘇徐州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于、兩點．
(1)求的值；
(2)當時，的取值范圍是__________；
(3)當時，的取值范圍是__________；
(4)若軸上存在點，使得的面積為，求點的坐標．
20．（23-24八年級下·河南南陽·期末）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點．
(1)求點A的坐標和反比例函數的表達式．
(2)請用無刻度的直尺和圓規，作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
(3)線段的垂直平分線交x軸于點D，求線段的長．

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