資源簡介

2024-2025學年浙教版數學八年級下學期期末復習知識串講（優等生培優版）
第5章 特殊平行四邊形
（思維導圖+知識梳理+易錯點撥+17大考點講練+優選真題難度分層練 共71題）
講義簡介 2
思維導圖指引 2
章節知識回顧梳理 3
知識點梳理01：平平行四邊形 3
知識點梳理02：菱形 3
知識點梳理03：矩形 4
知識點梳理04：正方形 4
易錯考點點撥匯總 5
易錯知識點01：矩形、菱形、正方形的性質混淆 5
易錯知識點02：面積公式的誤用 5
易錯知識點03：幾何變換中的邏輯漏洞 5
易錯知識點04：證明題中的典型錯誤 6
易錯知識點05：綜合題避坑指南 6
易錯知識點06：高頻錯題示例 6
期末真題考點匯編講練 6
期末考向一：矩形 6
重點考點講練01：矩形與折疊問題 6
重點考點講練02：根據矩形的性質與判定求角度 10
重點考點講練03：根據矩形的性質與判定求線段長 17
重點考點講練04：根據矩形的性質與判定求面積 22
期末考向二：菱形 26
重點考點講練05：根據菱形的性質與判定求角度 26
重點考點講練06：根據菱形的性質與判定求線段長 32
重點考點講練07：根據菱形的性質與判定求面積 36
期末考向三：正方形 40
重點考點講練08：正方形折疊問題 40
重點考點講練09：求正方形重疊部分面積 45
重點考點講練10：根據正方形的性質與判定求角度 49
重點考點講練11：根據正方形的性質與判定求線段長 55
重點考點講練12：根據正方形的性質與判定求面積 61
重點考點講練13：根據正方形的性質與判定證明 66
重點考點講練14：中點四邊形 74
重點考點講練15：(特殊)平行四邊形的動點問題 77
重點考點講練16：四邊形中的線段最值問題 81
重點考點講練17：四邊形其他綜合問題 88
優選真題難度分層練 94
中檔題—夯實基礎能力 94
壓軸題—強化解題技能 101
同學你好，本套講義針對課本內容同步制作，貼合書本內容。講義包含導圖指引，全章節知識點梳理，易錯點考點點撥，期末真題考點匯編講練，優選題難度分層訓練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期中期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識點梳理01：平平行四邊形
1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
2．性質：（1）對邊平行且相等；
（2）對角相等；鄰角互補；
（3）對角線互相平分；
（4）中心對稱圖形.
3．面積：
4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（5）任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．
邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【細節剖析】平行線的性質：
（1）平行線間的距離都相等；
（2）等底等高的平行四邊形面積相等.
知識點梳理02：菱形
【高頻考點精講】
1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2．性質：（1）具有平行四邊形的一切性質；
（2）四條邊相等；
（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：
4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四邊相等的四邊形是菱形.
知識點梳理03：矩形
【高頻考點精講】
1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2．性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；
（2）四個角都是直角；
（3）對角線互相平分且相等；
（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：
４．判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.
【細節剖析】由矩形得直角三角形的性質：
（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
（2）直角三角形中，30度角所對應的直角邊等于斜邊的一半．
知識點梳理04：正方形
【高頻考點精講】
1. 定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.
2．性質：（1）對邊平行；
（2）四個角都是直角；
（3）四條邊都相等；
（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；
（5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；
（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線
4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；
（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；
（3）對角線相等的菱形是正方形；
（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；
（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.
易錯知識點01：矩形、菱形、正方形的性質混淆
性質混淆
矩形：對角線相等且平分，四個角為直角；
菱形：對角線互相垂直平分，四邊相等；
正方形：同時具備矩形和菱形的所有性質。
易錯點：誤用正方形的對角線性質到矩形或菱形中，例如認為“矩形的對角線互相垂直”或“菱形的對角線相等”。
判定條件混淆
矩形判定：需先證明是平行四邊形，再滿足對角線相等或一個角為直角；
菱形判定：需先證明是平行四邊形，再滿足對角線垂直或鄰邊相等；
正方形判定：必須同時滿足矩形和菱形的條件。
易錯點：未驗證基礎條件（如是否為平行四邊形）直接套用判定定理，例如僅憑“對角線垂直”直接判定為菱形。
易錯知識點02：面積公式的誤用
菱形面積計算
公式：菱形面積=底×高=對角線乘積的一半（易忽略后者）。
易錯點：當已知對角線長度時，未用“對角線乘積的一半”簡化計算，導致步驟繁瑣或錯誤。
特殊圖形的最值問題
動點問題中，學生可能忽略幾何變換（如折疊、旋轉）對圖形面積的影響，或未利用對稱性簡化分析。
易錯知識點03：幾何變換中的邏輯漏洞
折疊問題
折疊后對應邊、角相等，但需注意折疊前后圖形的全等性及對稱軸的位置。
易錯點：未標注折疊后的對應點，導致角度或邊長關系分析錯誤。
動點與存在性問題
動態分析時需分段討論圖形形狀的變化，例如從平行四邊形到矩形的臨界條件。
易錯點：忽略分類討論或未結合坐標系建立等量關系。
易錯知識點04：證明題中的典型錯誤
判定定理缺失
例如，證明菱形時僅說明“對角線垂直”而忽略“對角線平分”或未先證明其為平行四邊形。
邏輯鏈不完整
例如，證明正方形時僅說明“四邊相等”或“四個角為直角”，未同時滿足矩形和菱形的條件。
易錯知識點05：綜合題避坑指南
坐標系中的特殊四邊形
計算頂點坐標時，需驗證對角線是否滿足特定性質（如中點重合、垂直或相等）。
示例：若四邊形對角線中點重合且垂直，則為菱形；若進一步滿足相等，則為正方形。
最值問題
利用對稱性轉化線段和的最值，例如將軍飲馬模型在矩形或菱形中的應用。
易錯知識點06：高頻錯題示例
題目：對角線相等的四邊形一定是矩形。
錯因：忽略“平行四邊形”前提，反例：等腰梯形的對角線也相等。
題目：菱形的面積為對角線長度之和的一半。
錯因：混淆公式，正確公式應為“對角線乘積的一半”。
期末考向一：矩形
重點考點講練01：矩形與折疊問題
【母題精講】（24-25八年級上·天津南開·期末）如圖，一塊矩形紙片的寬為，點E在上，如果沿圖中的對折，點B的對應點為，若點恰好落在上，此時，則的長為 （）．
【答案】12
【思路點撥】本題主要考查翻折變換（折疊問題），含30度角的直角三角形，矩形的性質，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．
由折疊可知，進而得到，由平行線的性質得，利用含30度角的直角三角形性質即可求解．
【規范解答】解：∵四邊形為矩形，
∴，
由折疊可知，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：12．
【訓練1】（22-23八年級下·四川廣安·期末）將一矩形放在直角坐標系中，為原點，在x軸上，，．
(1)如圖（1），在上取一點，將沿折疊，使點落在上的，求點的坐標；
(2)如圖（2），在點、邊上選取適當的點、，將沿折疊，使點落在邊上的點，過作交于點，交于點，求證：；
(3)在（2）的條件下，設T
①探求：與之間的函數關系式．
②指出變量x的取值范圍．
【答案】(1)E點的坐標為；
(2)見解析；
(3)①；②．
【思路點撥】本題是四邊形綜合題，考查了圖形的翻折變換，矩形的性質，勾股定理，平行線的性質，等腰三角形的判定，函數解析式的求法等知識，綜合性較強，難度適中，靈活運用數形結合的思想是解題的關鍵．
（1）先根據折疊的性質得出，在 中，運用矩形的性質及勾股定理得出，然后在中，由勾股定理得，解方程求出 的長，進而求出點E的坐標；
（2）先由折疊的性質得出，由平行線的性質得出，則'，根據等角對等邊得到，則 ；
（3）①由T，得出 ，，，在 中，根據勾股定理得出，即，整理可求出y與x的函數關系式；
②在(1)中給出的情況就是x的最小值的狀況，可根據的長求出x的最小值，當x取最大值時，平分，即與A重合，四邊形為正方形，可據此求出此時x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍．
【規范解答】（1）解：如圖(1)，將沿折疊，使O點落在邊上的D點，
，
在中，，，，
．
在中，，，，，
，即，
解得 ，
點的坐標為．
（2）如圖（2），將沿 折疊，使O點落在邊上點，
，，
，
，
．
（3）T，
，，，
在 中，
，
，即，
整理，得 ；
結合（1）可得時，x最小，從而．
當平分 時， 最大即x最大，
此時G點與F點重合，四邊形為正方形，
即x最大為6，從而 ，
故自變量x的取值范圍是．
【訓練2】（23-24八年級下·湖北襄陽·期末）如圖，在矩形 中，，，對角線 相交于點，過 作 于點，將沿 折疊，點恰好落在線段的點處， 則的長為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點撥】本題考查了矩形的性質，勾股定理，三角形的面積，折疊的性質，由矩形的性質及勾股定理可得，進而由三角形的性質可得，再由勾股定理得，即可由折疊的性質得，最后由線段的和差關系即可求解，掌握矩形的性質是解題的關鍵．
【規范解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
由折疊可得，，
∴，
故選：．
重點考點講練02：根據矩形的性質與判定求角度
【母題精講】（23-24八年級下·廣西玉林·期末）如圖，矩形中， ，為上一點，且，連接．以下說法中：①；②當點在邊上時，則；③當時，則；④的最小值為．其中正確的結論是 (填寫序號)．
【答案】①②④
【思路點撥】由及，可判定①；當點在邊上時，可求得，從而由矩形的性質及等腰三角形的性質，可得的度數，根據互余關系可求得的度數，從而對②作出判斷；當時，可求得的長，進而可求得的函數值，則可對③作出判斷；取，連接，，證明，則，從而，在中求出，即可對④作出判斷．
【規范解答】解：①∵，，
∴，
故①正確；
②當點在邊上時，如圖，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正確；
③當時，如圖，
∵，
∴是等邊三角形，
如圖，過點作于，交于，
則，四邊形是矩形，
∴，
由勾股定理得，
∴，
而，
∴，
∴，
故③錯誤；
④如圖，取，連接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
當點在線段上時，取得最小值，最小值為線段的長；
在中，，
由勾股定理得，
故④正確．
故答案為：①②④．
【訓練1】（23-24八年級下·四川廣元·期末）【問題情景】通過作平行線來實現問題轉化是我們常用到的方法．
如圖1，在中，分別交AB于D，交AC于E．已知，，，求的值，我們可以過點D作BE的平行線（如圖2），也可過點E作CD的平行線解決問題．
【問題解決】
（1）請回答：的值為__________．
【類比探究】（2）如圖3，已知和矩形，與交于點G，，參考上述思考問題的方法，求的度數．
【遷移應用】
（3）如圖4，已知：交于E點，連接，，．且與互為余角，與互為補角，則__________度，若，求的長．
【答案】（1）；（2）；（3），
【思路點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理.注意掌握輔助線的作法.
（1）由可證得四邊形是平行四邊形，即可得，即可得,然后利用勾股定理,求得的值；
（2）首先連接，由四邊形是平行四邊形,四邊形是矩形，易證得四邊形是平行四邊形，繼而證得是等邊三角形,則可求得答案；
（3）首先得出，進而得出最后求出的度數；以為鄰邊作平行四邊形，連接，得出，再求出，然后過A作交的延長線于P，過點M作于N，再根據勾股定理得出結果．
【規范解答】解：（1）解:，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
，
，
，
∴．
故答案為：
（2）連接，如圖．
∵四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，
∴．
∴．
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
∵，
∴．
∴是等邊三角形．
∴
∵，
∴．
（3）①∵，
，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案為：
②以為鄰邊作平行四邊形，連接，如圖，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，．
∴
在四邊形中，
∵，
∴
∴
過A作交的延長線于P，過點M作于N．
∵，
∴
∴
在中，
在中，
∵，
∴
在中，．
∴．
∴的長為．
【訓練2】（23-24八年級下·上海閔行·期末）已知：如圖，點、分別是雙曲線在第一象限內分支上的兩點，．過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，兩線交于點，連接．如果，那么等于 度．

【答案】21
【思路點撥】作軸，交軸于，交于，連接，與的交點為，根據題意設，，得到，用待定系數法求得直線的解析式，代入點橫坐標，得到其縱坐標為，推出軸，結合題意可推出四邊形是矩形，然后根據等腰三角形性質和三角形外角定義，結合，推出，最后根據軸，得到，從而推出，即可得到答案．
【規范解答】作軸，交軸于，交于，連接，與的交點為，如圖所示
點、在雙曲線上，
設點坐標為，點坐標為
軸，軸
點坐標為
設直線的解析式為：
，即
直線的解析式為：
，交于
點的橫坐標為，且點在上
，即點的坐標為
，
軸
軸，軸，軸
，，
四邊形是平行四邊形
又軸
平行四邊形是矩形
，
又，
軸
，
故答案為：21．
重點考點講練03：根據矩形的性質與判定求線段長
【母題精講】（24-25八年級上·山東淄博·期末）【命題證明】證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（參考圖1，寫出已知、求證以及證明過程．）
【結論應用】如圖2，在四邊形中，，，點E，F分別是的中點，當，時，求的長．
【答案】（1）見解析（2）3
【思路點撥】（1）根據題意，寫出已知，求證，延長到點E，使，連接，證明四邊形是矩形，即可得證；
（2）連接，，利用斜邊上的中線推出，三線合一，得到，勾股定理求出的長即可．
【規范解答】解：（1）已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線，
求證：．
證明：延長到點E，使，連接，
則，
∵是斜邊上的中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，，
∵，E為中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是中點，
∴，
∵，，E，F分別是邊，的中點，
∴，，
∴在中，．
【訓練1】（24-25八年級上·山東棗莊·期末）如圖，四邊形是長方形，O是平面直角坐標系的原點，點A，C分別在軸、上，點B的坐標是則直線對應的函數表達式為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】本題考查了一次函數表達式的求解以及長方形的性質知識點．
先根據長方形性質和點坐標求出A，C兩點坐標，然后設直線對應的函數表達式為為常數，，將兩點坐標代入表達式，進而得到直線的函數表達式．
【規范解答】因為四邊形是長方形，是平面直角坐標系的原點，點A，C分別在軸，上，點的坐標是
根據長方形的性質，對邊相等且平行，
所以的長度等于點的橫坐標3，即點坐標為；
的長度等于點的縱坐標4，即點坐標為．
設直線對應的函數表達式為為常數，．
把分別代入中，得到方程組．
將代入，可得，移項得到，
解得．
所以直線AC對應的函數表達式為．
故選A．
【訓練2】（22-23八年級下·河南·期末）如圖，，，，為矩形的四個頂點，，，動點、分別從點，同時出發，都以的速度運動，其中點由運動到停止，點由點運動到點停止．

(1)求四邊形的面積；
(2)、兩點從出發開始到幾秒時，點、、組成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)秒或秒或秒或秒
【思路點撥】（1）設運動時間為，則，，由矩形的性質可得，，，進而可得，然后根據梯形的面積公式即可得出答案；
（2）設、兩點從出發開始到秒時，點、、組成的三角形是等腰三角形，于是可得，，然后分三種情況討論：①當時，②當時，③當時，分別列方程求解即可．
【規范解答】（1）解：設運動時間為，
則，，
四邊形是矩形，
，，，
，
∴四邊形的面積；
（2）解：設、兩點從出發開始到秒時，點、、組成的三角形是等腰三角形，
，
，
分三種情況討論：
①當時，
如圖，過作于，

易得四邊形為矩形，
，，
，
，
，
，
解得：或；
②當時，
如圖，過作于，

易得四邊形為矩形，
，，
，
，
，
解得：；
③當時，
，
，
，
，
解得：；
綜上所述，當秒或秒或秒或秒時，點、、組成的三角形是等腰三角形．
重點考點講練04：根據矩形的性質與判定求面積
【母題精講】（23-24八年級下·北京西城·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于點，．點在第一象限，且四邊形是矩形．
(1)使用直尺和圓規，按照下面的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
作法：以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限相交于點，連接，，則四邊形是矩形．
(2)根據（1）中的作法，完成下面的證明：
證明：
∵，　　　　，
∴四邊形是平行四邊形．（　　　　）（填推理的依據）
∵，
∴四邊形是矩形，（　　　　）（填推理的依據）
(3)若直線的表達式為，直接寫出矩形的面積和直線的表達式．
【答案】(1)作圖見解析
(2)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形
(3)，
【思路點撥】（1）由題意作圖即可；
（2）根據矩形的判定定理即可得證；
（3）確定點、、的坐標分別為、、，即可求解．
【規范解答】（1）解：由題意作圖如下：
（2）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形．（兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形）
∵，
∴四邊形是矩形，（有一個角為直角的平行四邊形為矩形）
故答案為：；兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形；有一個角為直角的平行四邊形為矩形；
（3）解：∵直線：與軸，軸分別交于點，，
當時，，當時，，
∴，，
∴，，
∴矩形的面積為：，
∵四邊形是矩形，，
∴，，
則線段向上平移個單位與線段重合，其中點是點的對應點，點是點的對應點，
∴，
設直線的表達式為，過點，
∴，
解得：，
∴直線的表達式為．
【訓練1】（23-24八年級下·浙江衢州·期末）如圖，中，為鈍角，以為邊向外作，為鈍角，連結，．設的面積分別為，則的面積可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點撥】此題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，三角形的面積，理解平行四邊形的性質，熟練掌握矩形的判定與性質，三角形的面積公式是解決問題的關鍵．
如圖，過作于，交的延長線于，過作于，過作于，交于，再證明四邊形是矩形，結合三角形的面積公式計算即可．
【規范解答】解：如圖，過作于，交的延長線于，過作于，過作于，交于，
∵平行四邊形，
，
，
∴四邊形是矩形，
，
，
故選：C．
【訓練2】（23-24八年級下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形中，，與相交于點O，且O是的中點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若是等邊三角形，且，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【思路點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、矩形的判定與性質等知識點，掌握矩形的判定與性質成為解題的關鍵．
（1）根據平行線的性質可得，再證明可得人然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明結論；
（2）根據平行四邊形的性質可得、，再結合等邊三角形的性質可得是矩形；再根據勾股定理求得，最后根據矩形的面積公式即可解答．
【規范解答】（1）證明：，
．
又，，
，
．
又，
四邊形是平行四邊形．
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，．
是等邊三角形，且，
，
，
是矩形，
，，
，
四邊形的面積．
期末考向二：菱形
重點考點講練05：根據菱形的性質與判定求角度
【母題精講】（23-24八年級下·湖南永州·期末）如圖所示，E，F分別在和上，，則 ．
【答案】80
【思路點撥】本題考查了菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，四邊形內角和，平行線的判定與性質，根據已知可判定出四邊形為菱形，得到，，根據平行線性質，等邊對等角可得到，根據等邊三角形的判定與性質可得，利用四邊形內角和求出，利用平行線性質即可求出結果．
【規范解答】解：，
四邊形為菱形，
，，
，
，
，
，
又，
，
同理，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：80．
【訓練1】（23-24八年級下·山東臨沂·期末）如圖，在中，對角線與相交于點O，平分，過點B作交于點E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【思路點撥】該題主要考查了平行四邊形的性質，菱形的性質和判定，勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點，
（1）根據平分，得到，結合四邊形是平行四邊形，證出，，得出四邊形是菱形，即可得．
（2）根據四邊形是平行四邊形，得到，根據勾股定理得出，設，則，即可求解；
【規范解答】（1）證明：∵平分，
，
∵四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵，，
，
，
設，則，
解得：，
．
【訓練2】（23-24八年級下·北京東城·期末）在平面直角坐標系中，對于點和線段，如果點，，，按逆時針方向排列構成菱形，則稱線段是點的“菱線段”，點是點的“菱點”．例如，圖1中線段是點的“菱線段”．

(1)如圖，已知點的坐標是．
點，，，，其中點的“菱點”有__________；
若線段是點的“菱線段”，且菱形的面積是2，求點的坐標；
(2)記，若線段與線段都是點的“菱線段”，且線段與線段都經過點，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)①，；②或
(2)
【思路點撥】（1）①根據菱形的性質可知，利用勾股定理逐一計算即可得到答案；②根據題意，點由兩種情況，作軸，根據菱形的性質和面積可知，，利用勾股定理求得的長度，當點在點的上方，得到，當點在點的上方，得到，即可得到點坐標；
（2）過點作的平行線，以、為圓心，長為半徑作，，當，分別與直線有兩個交點，且線段、線段經過點時，滿足條件．根據菱形的性質、等腰三角形性質和三角形內角和可證明，當線段與線段完全重疊時，點只有一條“菱線段”符合題意，此時取得最小值，可根據計算得到；當線段與線段的點與點重疊時，此時t取得最大值，根據點、在可得到，即可得到答案．
【規范解答】（1）解：① 的坐標是
四邊形是菱形
點，，，
，，，
點，點的“菱點”
故答案為：，．
②根據題意，點有兩種情況，
四邊形是菱形
，
如圖所示，作軸交軸于，則
菱形的面積是2
，即
當點在點的正上方，
當點在點的正下方，
點的坐標為或．
（2）如圖1，過點作的平行線，以、為圓心，長為半徑作，，當，分別與直線有兩個交點，且線段、線段經過點時，滿足條件．

圖1中，四邊形、是菱形，
，，，
，，，
，
，
當線段與線段完全重疊時，點只有一條“菱線段”，
此時取得最小值，如圖2所示，
四邊形是菱形，
，
又
，
此時
，解得：
當線段與線段的點與點重疊時，點有兩條“菱線段”，此時取得最大值，如圖3所示，
此時點、在
當時，滿足條件．
故答案為：．
重點考點講練06：根據菱形的性質與判定求線段長
【母題精講】（23-24八年級下·陜西咸陽·期末）如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形，若測得兩點之間的距離為，兩點之間的距離為，則這兩張紙條的寬為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點撥】本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理，作于，于，連接、于，證明四邊形是菱形，再根據勾股定理求出，再由菱形面積公式計算即可得出答案．
【規范解答】解：如圖，作于，于，連接、于，
由題意得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵兩個矩形等寬，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，，，
∵測得兩點之間的距離為，兩點之間的距離為，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴這兩張紙條的寬為，
故選：C．
【訓練1】（23-24八年級下·山東德州·期末）如圖，在中，，點D是的中點，連接，過點B作，過點C作，、相交于點E．
(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；
(2)過點D作于點F，交于點G，連接EG．若，，求的長．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析
(2)
【思路點撥】（1）根據題意證明四邊形是平行四邊形，再利用直角三角形性質得到，即可證明四邊形是菱形；
（2）利用直角三角形性質得到，利用勾股定理得到，結合菱形性質得到，并證明，利用全等的性質結合勾股定理即可得到的長．
【規范解答】（1）解：四邊形是菱形．理由如下：
，，
四邊形是平行四邊形，
在中，，且點D是的中點，
，
四邊形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
，
四邊形是菱形，
，，
，
在與中，
，
，
，
，
，
．
【訓練2】（23-24八年級下·山東聊城·期末）如圖，在矩形中，點為對角線的中點，過點作交于點，連接，若，．
(1)求的周長．
(2)延長交于點，連接，求的長．
【答案】(1)；
(2)．
【思路點撥】（）由題意可得垂直平分，即得，進而得到，據此即可求解；
（）證明得到，即可得四邊形為平行四邊形，進而得到四邊形為菱形，得到，設，在中，由勾股可得，解方程即可求解；
本題考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，勾股定理，掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．
【規范解答】（1）解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵是的中點，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
，
∴的周長為；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形，
∴，
設，則，
在中，，
∴，
解得，
∴的長為．
重點考點講練07：根據菱形的性質與判定求面積
【母題精講】（23-24八年級下·廣東湛江·期末）如圖，在矩形中，O為的中點，過點O作分別交，于點E，F．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)24
【思路點撥】本題考查了菱形的判定定理，矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理．熟練掌握相關判定和性質是解題的關鍵．
（1）先證四邊形為平行四邊形，然后根據平行四邊形對角線垂直證得菱形；
（2）利用勾股定理求出，根據菱形的性質，求出，，根據菱形的面積公式求解．
【規范解答】（1）證明：如圖，

∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵O為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形．
（2）解：四邊形是菱形，，，
，
，，
四邊形的面積為：．
【訓練1】（23-24八年級下·山西大同·期末）綜合與實踐
問題情境：如圖，在平行四邊形中，，的平分線交于點，交于點．
問題解決：
(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；
(2)若，，平行四邊形的面積為120，直接寫出的長．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析
(2)2.5
【思路點撥】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
（1）根據平行四邊形的性質得出，結合可得出四邊形是平行四邊形，再證明為等腰三角形，易得，即可證明結論；
（2）根據菱形的性質和勾股定理，求得菱形的面積，進而根據得出，即可求解．
【規范解答】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴菱形的面積，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【訓練2】（23-24八年級下·甘肅武威·期末）如圖是一張對邊平行的紙片，點，分別在平行邊上，連接．
(1)求作：菱形，使點，落在紙片的同一邊上；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)證明：四邊形是菱形．
(3)在（1）的條件下，，交于點，若，，求菱形的面積．
【答案】(1)作圖見解析
(2)證明見解析
(3)
【思路點撥】（1）作線段的垂直平分線，交紙片的平行邊于兩點，，連接、；
（2）根據垂直平分線的性質得，，由，得，，證明，得，推出四邊形為平行四邊形，即可得證；
（3）先根據菱形的性質得到，，，根據勾股定理得，然后根據菱形的面積公式計算即可．
【規范解答】（1）解：如圖，作線段的垂直平分線，交紙片的平行邊于兩點，，連接、，
則四邊形即為所作；
（2）證明：設，交于點，
根據作圖可知：垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形；
（3）解：∵四邊形為菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴菱形的面積為．
期末考向三：正方形
重點考點講練08：正方形折疊問題
【母題精講】（22-23八年級下·內蒙古鄂爾多斯·期末）如圖所示，把正方形紙片沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為，再過點折疊紙片，使點落在上的點處，折痕為．若的長為2，則的長為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【思路點撥】根據折疊和正方形的性質求出，再利用求解即可．
【規范解答】解：由題意得：
由折疊性質可得：，
∴
∴
故選：B．
【訓練1】（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，是正方形內一點，，連接，將沿翻折，得到，延長，與的平分線相交于．
(1)當四邊形為菱形時，填空：______；
(2)試求的度數；
(3)如圖，連接，交于，連接，當三點共線時，求證：四邊形是菱形．
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析．
【思路點撥】（）根據四邊形為菱形，四邊形是正方形，得，，，證明是等邊三角形，則，通過等邊對等角及角度和差即可求解；
（）由折疊性質得，則有，，設，則，通過角度和差及角平分線的定義即可求解；
（）由折疊性質得，則有，，由四邊形是正方形，則，，由，，得，由平分，可得，證明，，，通過全等三角形的性質和菱形的判定方法求解．
【規范解答】（1）解：∵四邊形為菱形，四邊形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）∵四邊形是正方形，
∴，，
∵將沿翻折得到，
∴，
∴，，
設，則，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）∵將沿翻折，得到，
∴，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由()得:，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三點共線，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形．
【訓練2】（23-24八年級下·山東東營·期末）如圖，在邊長為8的正方形紙片中，E是邊上的一點，，連接，將正方形紙片折疊，使點D落在線段上的點G處，折痕為，則的長為
【答案】
【思路點撥】本題考查了翻折變換、勾股定理、正方形的性質．根據四邊形是邊長為8的正方形紙片，，可得，由翻折可得，在和中，根據勾股定理即可求出的長．
【規范解答】解：∵四邊形是邊長為8的正方形紙片，，
由翻折可知：
在和中，
解得．
故答案為：．
重點考點講練09：求正方形重疊部分面積
【母題精講】（20-21八年級下·四川達州·期末）一位同學拿了兩塊45°的三角尺、做了一個探究活動，將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設．
（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______．
（2）將圖1中的繞頂點逆時針旋轉45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為______．
（3）如果將繼續繞頂點逆時針旋到如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并加以驗證．
【答案】（1），（2），（3），驗證見解析．
【思路點撥】（1）如圖（1）中，由題目已知條件可得,，根據勾股定理即可得到的值，再根據是的中點，得出，即可求出重疊部分的面積；
（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，邊長為，面積為；
（3）如圖（3）中，過點M作、的垂線、，垂足為、，求得≌，則陰影部分的面積等于正方形的面積．
【規范解答】解：（1）如圖（1）中，
∵，，
∴，
∵是的中點，
∴=，
∵，
∴，
∴重疊部分的面積為：
（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，
∴邊長為：，
∴面積為：
（3）如圖（4），過點分別作，的垂線、，垂足分別為、，
∵是斜邊的中點，，
∴，，
∴，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴陰影部分的面積等于正方形的面積，
∵正方形的面積是，
∴陰影部分的面積是．
【訓練1】（2023·四川自貢·一模）如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AEFG的位置，則圖中陰影部分的面積為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【規范解答】解：作MH⊥DE于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，
∵正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AEFG的位置，
∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°，
∴∠2=60°，
∴△AED為等邊三角形，
∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1，
∴∠5=∠6=30°，
∴△MDE為等腰三角形，
∴DH=EH=，
在Rt△MDH中，MH=DH=×=，
∴S△MDE=×1×=．
故選D．
【訓練2】（2020·浙江·中考真題）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為 （用含a，b的代數式表示）．
【答案】
【思路點撥】如圖，連接AE、AF，先證明△GAE≌△HAF，由此可證得，進而同理可得，根據正方形ABCD的面積等于四個相同四邊形的面積之和及小正方形的面積即可求得答案．
【規范解答】解：如圖，連接AE、AF，
∵點A為大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE與△HAF 中，
∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故答案為：．
重點考點講練10：根據正方形的性質與判定求角度
【母題精講】（21-22八年級下·湖南長沙·期末）如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連結CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM＝CP，過點M作MNOA，交BO于點N，連結ND、BM，設OP＝t．
(1)求點M的坐標（用含t的代數式表示）；
(2)求直線OB的解析式；
(3)求線段MN的長度．
【答案】(1)(t+4，t)
(2)y＝x
(3)4
【思路點撥】（1）作ME⊥x軸于E，則∠MEP＝90°，先證出∠PME＝∠CPO，再證明△MPE≌△PCO，得出ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，求出OE，即可得出點M的坐標；
（2）利用待定系數法可求解析式；
（3）連接AM，AB與MN交于點F，先證明四邊形AEMF是正方形，得出∠MAE＝45°＝∠BOA，AM∥OB，再證出四邊形OAMN是平行四邊形，即可得出MN＝OA＝4．
【規范解答】（1）解：作ME⊥x軸于E，如圖所示，則∠MEP＝90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME＝90°，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠POC＝90°，OA＝OC＝AB＝BC＝4，∠BOA＝45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM＝90°，
∴∠MPE+∠CPO＝90°，
∴∠PME＝∠CPO，
在△MPE和△PCO中，，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，
∴OE＝t+4，
∴點M的坐標為：（t+4，t）；
（2）∵AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，
∴點B（4，4），
設直線OB解析式為y＝kx，
∴4＝4k，
∴k＝1，
∴直線OB解析式為y＝x；
（3）連接AM，AB與MN交于點F，如圖所示：
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA＝90°，
∴四邊形AEMF是矩形，
又∵EP＝OC＝OA，
∴AE＝PO＝t＝ME，
∴四邊形AEMF是正方形，
∴∠MAE＝45°＝∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四邊形OAMN是平行四邊形，
∴MN＝OA＝4．
【訓練1】（20-21八年級下·廣東深圳·期末）如圖，已知，P是y軸上一動點，線段PA繞著點P按逆時針方向旋轉至線段PB位置，連接AB、OB．
（1）設P點坐標為，請求出B點坐標；
（2）求BO+BA的最小值．
【答案】（1）B點坐標為（m，m+8）；（2）BO+AB的最小值為
【思路點撥】（1）作BC⊥y軸于點C，利用△BPC≌△PAO求得BC＝OP，PC＝AO，即可求出B點坐標；
（2）設直線y＝x+8與x軸交于點E，與y軸交于點F，作點O關于y＝x+8的對稱點D，連接DE，DF，DA，DB，則EF垂直平分OD，轉化為“軸對稱—最短距離”模型即可求出BO+BA的最小值．
【規范解答】解：（1）如圖，作BC⊥y軸于點C，
∵線段PA繞著點P按逆時針方向旋轉90°至線段PB位置，
∴PA＝PB，∠BPA＝90°，
∵BC⊥y軸，∠POA＝90°，
∴∠BCP＝∠POA＝90°，
∴∠OAP+∠OPA＝90°，∠CPB+∠OPA＝90°，
∴∠CPB＝∠OAP，
∴△BPC≌△PAO（AAS），
∴BC＝OP，PC＝AO，
∵P（0，m），A（8，0），
∴BC＝OP＝m，PC＝AO＝8，
∴B點坐標為（m，m+8）；
（2）如圖，
∵B（m，m+8）
∴B點在直線y＝x+8上，
設直線y＝x+8與x軸交于點E，與y軸交于點F，作點O關于y＝x+8的對稱點D，連接DE，DF，DA，DB，則EF垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∴OB+AB＝BD+AB≥AD，
∴BD+AB的最小值為AD，即BO+AB的最小值為AD，
∵OE＝OF＝8，
∴∠FEO＝∠EFO＝45°，
∴四邊形DEOF為正方形，
∴∠DEA＝90°，DE＝8，EA＝16，
∴AD＝，
∴BO+AB的最小值為．
【訓練2】（20-21八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，，，和分別是其外角和的角平分線，延長和相交于點E，則 度， ．
【答案】 45° 6
【思路點撥】根據角平分線的定義和三角形外角的性質和三角形內角和定理，即可求得∠D，過點D作DH⊥AC于點H，過點D作DM⊥BG于點M，過點D作DN⊥BG于點N， 先證明Rt Rt，可得AH=AM，同理：CH=CN，設CN=x，則AM=5-x，根據正方形的性質，列出方程，即可求解．
【規范解答】解：∵和分別是其外角和的角平分線，
∴∠DCA=∠FCA，∠DAC=∠GAC，
又∵∠FCA=∠CAB+90°，∠GAC=∠ACB+90°，
∴∠DCA+∠DAC=(∠FCA+∠GAC)= (∠CAB+90°+∠ACB+90°)= ×270°=135°，
∴∠D=180°-(∠DCA+∠DAC)=180°-135°=45°．
過點D作DH⊥AC于點H，過點D作DM⊥BG于點M，過點D作DN⊥BG于點N，則四邊形DMBN是矩形，
∵和分別是其外角和的角平分線，
∴DN=DH，DM=DH，即：DN=DH=DM，
∴四邊形DMBN是正方形，
在Rt和Rt中，
∵，
∴Rt Rt（HL），
∴AH=AM，
同理：CH=CN，
∵在中，，，，
∴AC=，
∴AM+ CN=AC=5，
設CN=x，則AM=5-x，
∴4+x=3+5-x，解得：x=2，
∴AM=5-2=3，DM=BN=4+2=6，
在Rt和Rt中，
∵，
∴Rt Rt，
∴BE=DM=6．
故答案是：45°，6．
重點考點講練11：根據正方形的性質與判定求線段長
【母題精講】（2014·河南·中考真題）如圖，矩形中，，．點E為上一個動點，把沿折疊，當點D的對應點落在的角平分線上時，的長為 ．
【答案】或
【思路點撥】連接，過作，交于點,于點,作交于點,先利用勾股定理求出的長，然后分兩種情況利用勾股定理解題即可．
【規范解答】解：連接，過作，交于點,于點,作交于點,則是直角三角形，
∵四邊形 是矩形，點的對應點落在的角平分線上，
，，
∴四邊形是矩形，
，
，
則四邊形是正方形.
設 ，
，
，
又
，
在中，根據勾股定理，得即，
解得或,
或.
設,當時， ，
根據勾股定理，得，即
解得；
同理，當時,
根據勾股定理，得
解得
綜上，或
故答案為：或 ．
【訓練1】（2023·湖北襄陽·二模）折疊矩形紙片時，發現可以進行如下操作：①把翻折，點落在邊上的點處，折痕為，點在邊上；②把紙片展開并鋪平；③把翻折，點落在線段上的點處，折痕為，點在邊上，若，，則 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了折疊的性質，矩形的性質和勾股定理．設，則，利用折疊的性質得，，，則可判斷四邊形為正方形，所以，再根據折疊的性質得，當，然后根據勾股定理得到，再解方程求出即可．
【規范解答】解：設，則，
把翻折，點落在邊上的點處，
，，，
四邊形為正方形，
，
把翻折，點落在直線上的點處，折痕為，點在邊上，
，
，
當，
在中，，
，
整理得，解得，（舍去），
即的長為．
故答案為：．
【訓練2】（23-24八年級下·云南普洱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點、分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（）是方程組的解，點C是直線與直線的交點，點在線段上，．
(1)求點的坐標．
(2)求直線的解析式．
(3)當點P在直線上運動時，在平面內是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或；
【思路點撥】（1）根據解方程組，可得A、B的坐標，根據待定系數法，可得函數解析式，根據解方程組，可得點C的坐標；
（2）根據D在上，求解，利用勾股定理建立方程，可得D點坐標，根據待定系數法，可得的函數解析式；
（3）結合菱形的性質，分情況討論：若P在x軸上方，若P在x軸下方，進行討論即可得到答案．
【規范解答】（1）解：∵，即，
解得，
∴，
即、．
設直線的解析式，
把A、B點的坐標代入函數解析式，得，
解得．
直線的解析式，
由點C是直線與直線的交點，
得，
解得，
∴C點的坐標是；
（2）解：由點D在線段上，C點的坐標是
∴，
∵，
∴，
設，
∴，
解得（不符合題意的根舍去），
即D點坐標是；
設的函數解析式為，
把A、D點的坐標代入，得，
解得．
∴的函數解析式為；
（3）解：過D作軸，由（2）中D，A的坐標可知，，
∴，
∵以O、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形，分情況討論如下：
若P在x軸上方，是菱形， 則，，
如圖所示，
過P作軸，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
結合平移的性質可得：；
當是菱形，記對角線的交點為，
∴，，，
由可得，
∴，
∴；
如圖，當四邊形為菱形時，
此時，，
∴為與軸的交點，
∴，四邊形是正方形，
∴；
當在軸下方，四邊形為菱形時，則，．過P作軸，
如圖所示，
同理可得：，
∴，
結合平移可得：，
綜上：或或或；
重點考點講練12：根據正方形的性質與判定求面積
【母題精講】（22-23八年級下·浙江湖州·期末）定義：對角線垂直的四邊形叫做“對垂四邊形”．如圖，在“對垂四邊形”中，對角線與交于點O，．若點E、F、G、H分別是邊、、、的中點，且四邊形是“對垂四邊形”，則四邊形的面積是 ．
【答案】2
【思路點撥】連接，，交于點M，根據三角形中位線定理得到，，，可得四邊形是平行四邊形，再根據“對垂四邊形”的性質得到垂直線段，從而逐步證明四邊形是正方形，最后計算面積即可．
【規范解答】解：連接，，交于點M，
∵在四邊形中，點E、F、G、H分別是邊、、、的中點，
∴，，，
∴，同理：，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是“對垂四邊形”，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵四邊形是“對垂四邊形”，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴四邊形的面積為．
【訓練1】（22-23八年級下·上海靜安·期末）已知：如圖，梯形中，，，E、F、G、H分別是的中點，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)如果，，且，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)8
【思路點撥】（1）首先根據三角形中位線的性質得到，，證明出四邊形是平行四邊形，然后利用，得到，進一步證明出四邊形是菱形；
（2）延長交于點M，首先證明出，得到，，，然后得到四邊形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．
【規范解答】（1）如圖所示，連接

∵E、F、G、H分別是的中點，
∴是的中位線，是的中位線，
∴，，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形
∵梯形中，，，
∴四邊形是等腰梯形
∴
∵同理可得，是的中位線
∴
∴
∴四邊形是菱形；
（2）如圖所示，延長交于點M，

∵，，
∴，，
∵
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴四邊形是正方形
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴，即
∴．
∴四邊形的面積為8．
【訓練2】（21-22八年級下·四川成都·期末）如圖，，，，且點在內部，連接，，的延長交線段于點．
(1)求證：；
(2)判斷與的位置關系并證明；
(3)連接，若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
(3)1
【思路點撥】(1)證出，根據證明 ；
(2)和交于點，由全等三角形的性質得出，則可得出結論；
(3)過點作于點，，交的延長線于點，證明 ，由全等三角形的性質得出，證出四邊形為正方形，證明 ，得出，則可得出答案．
【規范解答】（1）證明：，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
證明：如圖，和交于點，
，
，
，，
，
；
（3）解：過點作于點，，交的延長線于點，
，
四邊形為矩形，
，，，
，
，
四邊形為正方形，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
重點考點講練13：根據正方形的性質與判定證明
【母題精講】（23-24八年級下·廣東廣州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，、、三點坐標分別為、、，把沿翻折，點恰好落在軸的點處，為折痕．
(1)求直線的解析式；
(2)在平面直角坐標系中，有一個動點使得，動點的縱坐標是否為橫坐標的函數？若是，求出關于的函數解析式；若否，請說明理由；
(3)連接、，點為邊的中點，，且交外角的平分線于點，求證．
【答案】(1)
(2)是，或
(3)見解析
【思路點撥】（1）由翻折的性質可得，，待定系數法求直線的解析式即可；
（2）由題意知，，則，由勾股定理得，，設到的距離為，依題意得，，可求，即點在距離為的直線上運動，如圖1，記與軸的交點為，與軸的交點為，作于，則，可求，由勾股定理得，，則，，設直線的解析式為；將代入，可求，則直線的解析式為；同理，直線的解析式為；
（3）如圖2，延長交的延長線于，記與軸的交點為，則，證明四邊形是正方形，，證明，則，由，可得，如圖2，作于，軸于，證明四邊形是正方形，則，，，證明，則，證明，進而可證．
【規范解答】（1）解：由翻折的性質可得，，
設直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為；
（2）解：由題意知，，
∴，
由勾股定理得，，
設到的距離為，
依題意得，，
解得，，
∴點在距離為的直線上運動，如圖1，記與軸的交點為，與軸的交點為，作于，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
同理可得，，
設直線的解析式為；
將代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為；
同理，直線的解析式為；
∴動點的縱坐標是橫坐標的函數，關于的函數解析式為或；
（3）證明：如圖2，延長交的延長線于，記與軸的交點為，
∴，
∵，
∴四邊形是正方形，，
∴外角為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如圖2，作于，軸于，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【訓練1】（23-24八年級下·河南新鄉·期末）四邊形是正方形，點E為對角線上一動點，連接，過點E作，交射線于點F，以為邊作平行四邊形．
(1)如圖1，當時，點F落在邊上，小明同學觀察圖形，認為四邊形是一種特殊的平行四邊形，經過思考，他過點E作，垂足分別為M，N，通過推理證明， 得到平行四邊形是___；
(2)當時，點F落在的延長線上，小明的結論還成立嗎，請說明理由；
(3)當，且時，連接，直接寫出的長．
【答案】(1)正方形
(2)成立，理由見解析
(3)
【思路點撥】（1）利用正方形性質、全等三角形的判定與性質和正方形判定定理解答即可；
（2）過點E作，垂足分別為M，N，利用（1）中方法解答即可;
（3）利用正方形的性質得到點F和點C重合，再利用勾股定理和等腰直角三角形性質解答即可．
【規范解答】（1）解：，
∴四邊形是矩形；
∵四邊形是正方形，
平分，
，
∴四邊形是正方形，
，
，
；
；
，
平行四邊形是矩形，
平行四邊形是正方形，
故答案為：正方形；
（2）解：成立，理由如下：
如圖，過點E作，垂足分別為M，N，
，
∵四邊形是正方形，
平分，
，
∴四邊形是正方形，
，
，，
平行四邊形是矩形，
，
，
平行四邊形是正方形，
故答案為：正方形；
（3）解：如圖，過點E作，垂足分別為M，N，
，
，
四邊形是正方形，
點E為中點，
，
，
，
平行四邊形是矩形，
∴此時點F與點C重合，即平行四邊是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【訓練2】（23-24八年級下·廣西南寧·期末）在正方形中，點P在對角線上，點E，F分別在邊，上，且于點P．
(1)特例發現：如圖1，當點P在對角線，的交點處時，求證：；
(2)探究證明：如圖2，當點P不在對角線，的交點處時，判斷與的數量關系，并說明理由；
(3)拓展運用：在（2）的條件下，若，，連接，請直接寫出的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
(3)
【思路點撥】（1）證明，即可得證；
（2）過點P分別作的垂線，垂足分別為M，N ．證明，即可得出結論；
（3）勾股定理求出的長，證明是等腰直角三角形，進一步進行求解即可．
【規范解答】（1）解：∵四邊形是正方形，
∴．
∴都是等腰直角三角形．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
在和中
∴．
∴．
（2）解：過點P分別作的垂線，垂足分別為M，N ．
∵四邊形是正方形，
∴．
∴四邊形是矩形．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四邊形是正方形．
∴．
∴即．
在和中
∴．
∴．
（3）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
重點考點講練14：中點四邊形
【母題精講】（23-24八年級下·山西呂梁·期末）順次連接某四邊形各邊中點得到一個相鄰兩邊分別為，的四邊形，則原四邊形兩條對角線長度之和為（ ）
A．20 B．18 C．36 D．無法確定
【答案】B
【思路點撥】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．
連接、，根據三角形中位線定理求得，，即可計算．
【規范解答】解：如圖，連接、，
∵、分別是、的中點，
∴，
∵、分別是、的中點，
，
，
同理，
∵順次連接某四邊形各邊中點得到一個相鄰兩邊分別為，的四邊形，
∴，
故選：B．
【訓練1】（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖①，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點．求證：．
【應用】如圖②，連結圖①中的，并取中點，連結、．
（1）若，則四邊形的周長為 ．
（2）圖③，若，且，則四邊形的面積為 ．
【答案】見解析；（1）①四邊形的周長為；（2）
【思路點撥】運用三角形中位線定理和等腰三角形性質即可證得結論；
（1）運用三角形中位線定理可得，，再由，可得，即可得出答案；
（2）由（1）得，得出四邊形是菱形，再證得，得出四邊形是正方形，即可求得答案．
【規范解答】證明：如圖①，
、、分別是、、的中點，
、分別是、的中位線，
，，
，
，
．
（1）如圖②，
、、、分別是、、、的中點，
，，
，
，
四邊形的周長為16；
（2）：如圖③，
、、、分別是、、、的中點，
，，，，
，，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
菱形是正方形，
．
【訓練2】（23-24八年級下·山東東營·期末）如圖，依次連接四邊形各邊中點得四邊形，要使四邊形為菱形，添加的條件正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】本題考查了三角形中位線的性質，平行四邊形的性質與判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
根據中點四邊形可得四邊形是平行四邊形，進而添加一個直角或者對角先線相等，可得矩形，而添加鄰邊相等得出四邊形為菱形，據此即可求解．
【規范解答】解：如圖，連接，
依題意，．
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
A．添加，則四邊形為矩形，故該選不符合題意；
B．添加，可得四邊形為菱形，符合題意；
C．添加，可得四邊形為矩形，故該選不符合題意；
D．添加，則，可得四邊形為矩形，故該選不符合題意；
故選：B．
重點考點講練15：(特殊)平行四邊形的動點問題
【母題精講】（22-23八年級下·湖南懷化·期末）如圖，以矩形的頂點為原點，以邊，所在的直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系，已知，．點在線段上，以每秒1個單位的速度從點向終點運動；點在線段上，以每秒3個單位的速度沿循環運動、連接．規定點，同時運動，且當點運動到終點時，點同時停止運動，設運動時間為．

(1)當點第一次從點向點運動時，___________．（用含有t的代數式表示）
(2)當點第一次從點返回點時，四邊形的面積是10，求出此時的值和點的坐標．
(3)當四邊形AOEF恰好是矩形時，求出此時t的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)，或
【思路點撥】（1）根據矩形的性質可得，即可求解；
（2）根據梯形的面積公式進行求解得到的值，求得的值，即可求解；
（3）根據矩形的性質可得，結合，分類討論點的運動狀態進行求解即可．
【規范解答】（1）解：根據題意可知，
∵，
∴．
（2）解：當點第一次從點返回點時，，，，
∵四邊形是梯形，
∴四邊形是的面積為：，
即：，
解得．
把代入得，，
∴．
（3）解：要使四邊形恰好是矩形，只需滿足．
∵，，∴四邊形AOEF是平行四邊形．
又∵，∴四邊形是矩形．
又∵，且，
∴①當點第一次從點向點運動時，，
由，得，，解得；
②當點F第一次從點返回點時，，
由，得，，解得；
③當點F第二次從點向點運動時，；
由，得，，解得；
綜上所述，當四邊形恰好是矩形時，此時，或．
【訓練1】（22-23八年級下·北京順義·期末）如圖，在矩形中，分別是邊上的動點，點從出發到停止運動，點從出發到停止運動，若兩點以相同的速度同時出發，勻速運動．下面四個結論中，①存在四邊形是矩形；②存在四邊形是菱形；③存在四邊形是矩形；④存在四邊形是正方形．所有正確結論的序號是 ．

【答案】①②③
【思路點撥】設兩點速度為每秒1個單位長度，則，，由題意可得四邊形是平行四邊形，再利用矩形，菱形，正方形的性質分別進行求解即可．
【規范解答】解：設兩點速度為每秒1個單位長度，則，，
∵四邊形是矩形，，
∴，，，
∴四邊形是平行四邊形，
當時，點與點重合，點與點重合，此時四邊形是矩形，故①正確；
當四邊形是菱形時，，
則，解得：，符合題意，
即：當時，四邊形是菱形，故②正確；
當四邊形是矩形時，，則，解得，
即：當時，四邊形是矩形，故③正確；
當四邊形是正方形時，，
則，解得，但此時，不符合題意，故④不正確，
綜上，正確的有①②③，
故答案為：①②③．
【訓練2】（22-23八年級下·湖南懷化·期末）如圖1，在四邊形中，， 點M從點D出發，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作于點P，連接交于點Q，連接，設運動時間為t秒．

(1)_________，_________．（用含t的代數式表示）
(2)當四邊形為平行四邊形時，求t的值．
(3)如圖2，將沿翻折，得，當四邊形為正方形時，則_________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【思路點撥】（1）由題意得，根據條件證明為矩形，即可表示出；
（2）根據第（1）問和平行四邊形性質即可求解；
（3）根據正方形性質可得，進而得到，即可求出．
【規范解答】（1）解：由題意得，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形
∴
∴；
（2）解：∵四邊形為平行四邊形時，，
∴，
解得：；
（3）解：∵四邊形為正方形．
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
重點考點講練16：四邊形中的線段最值問題
【母題精講】（21-22八年級上·浙江紹興·期末）如圖，，平分，平分，和交于點，，分別是線段和線段上的動點，且，若，，則的最小值為 ．
【答案】
【思路點撥】先根據平分，平分，證明四邊形是菱形．在上取點，使，連接，作點關于的對稱點，連接、．
作于點，作于點，則，得出，所以，當、、三點在同一直線上時，取最小值為．再根據勾股定理求出即可．
【規范解答】解：平分，平分，
∴，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．
如圖．在上取點，使，連接，作點關于的對稱點，連接、．
作于點，作于點．
，
，，，
，
，
，
當、、三點在同一直線上時，取最小值為．
，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
即的最小值為．
故答案為：．
【訓練1】（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）如圖，在正方形中，點E、F、G分別在、、上，，，，，與交于點P．連接，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】過點作于點，取的中點，連接、，根據正方形的性質證明≌，然后根據直角三角形性質可得，當、、共線時，有最小值，根據勾股定理即可解決問題．
【規范解答】解：如圖，過點作于點，取的中點，連接、，

四邊形是正方形，
，，，
四邊形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，是的中點，
，
，，
，
，
，
當、、共線時，有最小值，
，，
，
，
的最小值為．
故選A．
【訓練2】（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據以上定義，解決下列問題：
(1)如圖1，以菱形的一邊為邊向外作正方形，、分別是菱形和正方形的對角線交點，連接．

求證：四邊形是“直等補”四邊形．
②若，求四邊形的面積．
(2)如圖2，已知四邊形是“直等補”四邊形，其中，，過點作于點且，連接，若點是線段上的動點，請你直接寫出周長的最小值．

【答案】(1)①詳見解析；②1
(2)周長的最小值：
【思路點撥】（1）①由正方形的性質和菱形的性質可得，，，即可解答；
②過點作于點，交的延長線于點，“”可證，所以，即，由正方形的面積公式，即可解答；
（2）先證四邊形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答．
【規范解答】（1）證明：①如圖1中，
四邊形是菱形，
，，
四邊形是正方形，
，，
，，
又，
四邊形是“直等補”四邊形；
②如圖1中，過點作于點，交的延長線于點，
，
四邊形是矩形，
，
即，
，
在和中，，
，
，，
四邊形是正方形，
；
（2）周長的最小值：；
延長到點，過作于點，
四邊形是“直等補”四邊形，，，
，
，即，
，，
，，
四邊形是矩形，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
矩形是正方形，
，；
∵，
即當點C、P、三點共線時，的最小值是，
在中，，，
，；
在中，，，
，
周長的最小值為：。
重點考點講練17：四邊形其他綜合問題
【母題精講】（22-23八年級下·安徽宿州·期末）在平行四邊形中，點是對角線的中點，點在邊上，的延長線與邊交于點．

(1)如圖1，連接，，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)圖2，若，，過點作，垂足為，與，分別交于點，．
①當，時，求的長；
②探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析；
(2)①2；②，理由見解析．
【思路點撥】（1）通過證明，得，又，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）①過點作于點，先根據勾股定理求出，由得，即可求出答案；
②根據，，得，，則有，再證，得出，然后證明，得，進而根據等腰直角三角形的性質即可解決問題．
【規范解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，點是對角線的中點，
，，
．
在和中，
，
，
．
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：①如圖2，過點作于點，
，，，
，
，
，，
，
，
；

②，理由如下：
如圖2，過點作于點，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
．
【訓練1】（22-23八年級下·河南洛陽·期末）【教材呈現】如圖是華師版八年級下冊數學教材第121頁的部分內容．

如圖，在正方形中，，求證：．請結合圖①（設、交于點G），寫出完整的證明過程．
【結論應用】
（1）如圖②，在正方形中，，連接、，若正方形的邊長為3，四邊形的面積為8，則的長為_________；
（2）如圖③，在正方形中，．
①四邊形與的面積關系為：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”）
②若正方形的邊長為5，且圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為3：5，則的周長為___________．
【答案】【教材呈現】見解析；【結論應用】（1）；（2）①=；②．
【教材呈現】根據四邊形是正方形，利用證明，即得；
【結論應用】（1）由【教材呈現】知，設，根據四邊形的面積為8，得，解得，即得；
（2）①由，得，即可得 ；
②由正方形的邊長為5，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為3：5，可得 ，即，，在中，，可得，從而，即可得出答案．
【規范解答】證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
解：（1）由【教材呈現】知，當時，，
設，
∵四邊形的面積為8，
∴，
∴，
∴，即，
∴（負值已舍去），
∴，
∵正方形的邊長為3，
∴
故答案為：；
（2）①由【教材呈現】知，當時，，
∴，
∴
即 ，
故答案為：＝；
②∵正方形的邊長為5，
∴正方形的面積為25，
∵圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為3：5，
∴圖中陰影部分的面積為，
∴
由①知 ，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴（負值已舍去），
∴，即△CDG的周長為，
故答案為：．
【訓練2】（22-23八年級下·河南駐馬店·期末）學習了特殊的四邊形——平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．通過探究，我們得出垂美四邊形的面積S等于兩對角線乘積的一半．

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是______．
(2)問題解決：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，．
①求證：四邊形為垂美四邊形；
②四邊形的面積是_______．
【答案】(1)菱形、正方形
(2)①證明見解析；②
【思路點撥】（1）根據題干信息進行解答即可；
（2）①證明，得出，，根據，，得出，即可得出，證明四邊形為垂美四邊形；
②根據勾股定理求出，得出，根據勾股定理求出，得出，根據求出三角形的面積即可．
【規范解答】（1）解：∵菱形和正方形的對角線互相垂直，平行四邊形的對角線和矩形的對角線不一定互相垂直，
∴在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是菱形、正方形；
故答案為：菱形、正方形．
（2）①證明：連接、，交于，交于，如圖2所示：
四邊形和四邊形是正方形，
，，，
，即，
在和中，
，
，，
又，，
，
，
四邊形為垂美四邊形；
②，，，
，
，
在中，，
，
四邊形為垂美四邊形，
四邊形的面積．
故答案為：130．
中檔題—夯實基礎能力
1．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是 （ ）
A．對角線互相平分 B．兩組對角相等 C．對角線互相垂直 D．兩組對邊相等
【答案】C
【思路點撥】本題考查了平行四邊形，菱形的性質，理解并識記它們的性質是解題的關鍵．
根據平行四邊形的性質“對邊平行且相等；對角相等；鄰角互補；對角線互相平分”，菱形的性質除了具備平行四邊形的性質，還具有“四條邊長度相等；對角線垂直且平分”，由此進行分析判斷即可求解．
【規范解答】解：A、平行四邊形、菱形都具備對角線互相平分，不符合題意；
B、平行四邊形、菱形都具備兩組對角相等，不符合題意；
C、平行四邊形的對角線不一定垂直、菱形的對角線互相垂直，符合題意；
D、平行四邊形、菱形都具備兩組對邊相等，不符合題意；
故選：C ．
2．（23-24八年級下·河南周口·期末）如圖，在矩形中，對角線交于點O，添加下列一個條件，能使矩形成為正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】根據矩形的性質及正方形的判定來添加合適的條件．本題考查了矩形的性質，正方形的判定的應用，解題的關鍵是能熟記正方形的判定定理．
【規范解答】解：要使矩形成為正方形，可根據正方形的判定定理解答：
（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，
（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成為正方形．
故選：B．
3．（23-24八年級下·安徽黃山·期末）如圖，在反映特殊四邊形之間關系的知識結構圖中，①②③④表示需要添加的條件，則下列描述錯誤的是（ ）
A．①表示有一組鄰角相等 B．②表示有一組鄰邊相等
C．③表示對角線平分一組對角 D．④表示對角線互相垂直
【答案】D
【思路點撥】本題考查特殊的平行四邊形的判定，熟練掌握特殊四邊形的各種判定方法是解題的關鍵．根據特殊的平行四邊形的判定方法判斷即可．
【規范解答】解：A、有一組鄰角相等，則平行四邊形為矩形是正確的，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
由選項A得：，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
故本選項不符合題意；
B、根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形這一判定定理得該選項正確，不符合題意；
C、該選項正確，理由如下：
如圖，∵矩形，
∴，
由題意得平分，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
故本選項不符合題意；
D、菱形本身對角線就互相垂直，故該選項錯誤，符合題意，
故選：D．
4．（22-23八年級下·四川宜賓·期末）如圖，是菱形的對角線，是上的一個動點，過點分別作和的垂線，垂足分別是點和，若菱形的周長是，面積是，則的值是 ．
【答案】1.5
【思路點撥】此題考查菱形的性質，是解題的關鍵．注意掌握輔助線的作法和數形結合思想的應用．連接，根據菱形的面積公式和三角形的面積公式得，把相應的值代入即可．
【規范解答】解：連接，
∵四邊形是菱形，且周長是，面積是，
∴ ，
∵是菱形的對角線，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴，
故答案為：．
5．（22-23八年級下·河南南陽·期末）如圖，矩形紙片中，，，將紙片沿折疊，使點C與點A重合，的長為 ．
【答案】3
【思路點撥】本題考查了翻折變換的性質，矩形的性質，勾股定理．設根據折疊性質與矩形性質，用表示，在中，由勾股定理列出的方程便可求得答案．
【規范解答】解：四邊形是矩形，
，，，
由折疊知，，，，
設則
在中，由勾股定理得，，
解得，，
，
故答案為：3．
6．（22-23八年級下·江蘇常州·期末）如圖，是菱形的一條對角線，若，則 度．
【答案】50
【思路點撥】此題主要考查了菱形的性質、等腰的性質和三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握菱形的性質．
根據菱形的性質得，根據等邊對等角和三角形的內角和公式即可求得的度數．
【規范解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
∴，
故答案為：50．
7．（22-23八年級下·四川涼山·期末）如圖，在矩形中，點E、F分別在和上，若．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】證明見解析．
【思路點撥】本題考查矩形的性質，平行四邊形的判定．根據一組對邊平行且相等判斷四邊形是平行四邊形即可．
【規范解答】證明：四邊形是矩形，
，，
，
，，
四邊形是平行四邊形．
8．（23-24八年級下·遼寧大連·期末）如圖，四邊形為矩形，過點作交的延長線于點．求證：．
【答案】見解析
【思路點撥】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質．由矩形的性質得出，，由，證出四邊形是平行四邊形，得出對邊相等，即可得出結論．
【規范解答】證明：四邊形是矩形，
∴，，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，
．
9．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，在菱形中，垂直且平分，垂足為點E，連接．求的大小．
【答案】
【思路點撥】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質，根據菱形的性質和線段垂直平分線的性質得到，進而證得和都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質求解即可．
【規范解答】解：∵四邊形是菱形，
∴，
又∵垂直且平分，
∴，
∴，
∴和都是等邊三角形，
∴，
∴．
10．（23-24八年級下·吉林·期末）如圖1，點在線段上，分別以為邊在線段的同側作正方形和，連接．
(1)若，則______；
(2)如果點在線段的延長線上，如圖2，其他條件不變，求證：．
【答案】(1)6
(2)見解析
【思路點撥】本題考查正方形的性質和全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．
（1）利用證明即可求解；
（2）利用證明即可推出結論．
【規范解答】（1）解：四邊形和四邊形是正方形，
，，，
在和中，
，
；
故答案為：6；
（2）證明：四邊形、是正方形，
，，
∴，
．
壓軸題—強化解題技能
11．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）如圖所示，折疊矩形的一邊，使點D落在邊上點F處，若，則的長為（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】B
【思路點撥】本題考查矩形的性質、折疊性質、勾股定理，熟練掌握折疊性質和勾股定理求解是解答的關鍵．
設，由折疊性質得到，，然后利用勾股定理求解即可．
【規范解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∵折疊，
∴，，
在中， ，
∴，
設
在中，，
∴，解得，
故選：A．
12．（24-25八年級上·浙江·期末）如圖，在中，，，點在邊上，連結．點是的中點，連接．若，則的長是（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】本題考查了三角形的中位線、矩形的性質與判定、勾股定理，熟練掌握以上知識點，結合圖形取中點構造三角形的中位線是解題的關鍵．取中點為點，過點作于點，連接，先利用勾股定理和三角形的面積公式求出的長，再利用矩形的判定證明是矩形，得出即可解答．
【規范解答】解：如圖，取中點為點，過點作于點，連接，
，，點為中點，
，，
在中，，
，
，，
，
，
，
點是的中點，點為中點，
是的中位線，
，
，
，
四邊形是矩形，
．
故選：B．
13．（24-25八年級上·山東濰坊·期末）如圖，在正方形中，點E，F分別是對角線，上的點，連接，，，若，且，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路點撥】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，平行線的性質，三角外角的性質．熟練掌握正方形的性質和全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．先證明，從而證得，再證明，得，然后利用三角形外角性質求解即可．
【規范解答】解：四邊形是正方形，對角線、相交于點，
，，，
，
，，
，
∴，
在和中，
，
，
，　
故選：D．
14．（24-25八年級上·寧夏銀川·期末）如圖，在長方形紙片中，已知，，折疊紙片使邊與對角線重合，點B落在點F處，折痕為，則的長為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理；由矩形的性質得，，由勾股定理得，設，由勾股定理得，即可求解；掌握折疊的性質，矩形的性質，能熟練利用勾股定理進行求解是解題的關鍵．
【規范解答】解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
設，
，
由折疊得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故的長為；
故答案：．
15．（24-25八年級上·北京順義·期末）如圖，在中，，，是的中點，，分別是線段，上的動點（點不與點，重合），且滿足，給出下面四個結論：
①；
②；
③四邊形的面積為；
④點到點距離的最小值為．
上述結論中，所有正確結論的序號是 ．
【答案】
【思路點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，正方形的判定與性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
取、中點、，連接，，利用可證得，然后根據全等三角形的性質即可判斷結論①；根據是的中點，得到，進而可推出，據此即可判斷結論②；根據，可求出四邊形的面積，于是可判斷結論③；根據，即可求得點到點距離的最小值，進而可判斷結論④；綜上，即可得出答案．
【規范解答】解：取、中點、，連接，，
，為的中位線，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，故結論①正確；
四邊形為正方形，
，
是的中點，，
，
，故結論②正確；
，
，故結論③錯誤；
，，
當點移動到，移動到點時，達到最小值，
，
，故結論④正確；
綜上，正確的結論有：，
故答案為：．
16．（23-24八年級下·重慶·期末）如圖，正方形，E，F分別是，的中點，，相交于點G，連接，若，則的長為 ．
【答案】2
【思路點撥】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
延長、相交于H，先證明，得到，從而得到，再證明，得到，從而得到，即可由直角三角形的性質得出，即可求解．
【規范解答】解：延長、相交于H，如圖，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵E，F分別是，的中點，
∴，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案為：2．
17．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點．
(1)求直線的函數表達式；
(2)將直線繞點逆時針旋轉，交軸于點，求直線的函數表達式；
(3)點是（2）中直線上一點，若，求點的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3)點坐標為．
【思路點撥】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）如圖，作，垂足為，過點作軸，垂足為，作，垂足為．先證明（）得，，由可得，，從而得，，，進而利用待定系數法即可得解；
（3）分在軸左側，和在軸右側，兩種情況，利用解方程組求得交點坐標即可得解．
【規范解答】（1）解：將，代入得
，解得，
∴直線的函數表達式為．
（2）解：如圖，作，垂足為，過點作軸，垂足為，作，垂足為．則四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴（）
∴，，
中，令，得，解得，
當時，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴
設，
將，和，，分別代入得
，
解得，
∴直線的函數表達式為．
（3）解：若在軸左側，
∵
∴，
∵直線的函數表達式為．
∴
∴，
解得，
即 ；
若在軸右側，作出點關于軸對稱點，
設直線為，把代入得，
解得，
∴，
聯立和得
，
解得，
∴，此時在軸左側，不符合題意，應舍去，
綜上所述，點坐標為．
18．（24-25八年級上·四川成都·期末）如圖，在邊長為2正方形中，E為邊上一動點（點E不與B，C重合），連接，以為直角邊作等腰直角三角形，其斜邊與正方形邊相交于點N，連接．
(1)求證：；
(2)當E運動到的中點時，求線段的長度；
(3)如圖2，連接交與點P，G是的中點，連接，，當等于多少時，的最小，并求出最小值？
【答案】(1)見解析
(2)線段的長度為
(3)的最小值為
【思路點撥】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性質，再結合等角的余角相等，即可證明結論成立；
（2）設，則，延長至，使，連接，，證明，推出，，再證明，推出，在中，利用勾股定理列式計算即可求解；
（3）連接，，先證明，得到，當共線時，有最小值，最小值為的長，據此求解即可．
【規范解答】（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵點E是的中點，
∴，
設，則，
延長至，使，連接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴線段的長度為；
（3）解：連接，，
∵是等腰直角三角形，四邊形是正方形，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當共線時，有最小值，最小值為的長，
∵G是的中點，
∴，
∴的最小值為．
19．（24-25八年級上·福建福州·期末）如圖1，正方形中，點是邊上的一點（不與點、重合），連接，點、關于對稱，連接并延長，交于點，交于點．
(1)求證：；
(2)如圖2，當點為中點時，連接，求的值；
(3)如圖3，連接并延長，交的延長線于點，連接，探索線段、、之間的等量關系，請寫出關系式，并加以證明．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)．理由見解析
【思路點撥】（1）證明，即可得到；
（2）證明是的中位線，得到，再證明，推出是等腰直角三角形，據此求解即可；
（3）連接，作于點，先求得，再證明，和以及是等腰直角三角形，根據，進一步計算即可求解．
【規范解答】（1）證明：∵點、關于對稱，
∴垂直平分，即，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵點、關于對稱，
∴，，
∵點為中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∴；
（3）解：．理由如下，
連接，作于點，
∵點、關于對稱，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．（24-25八年級上·浙江臺州·期末）在平面內，對于一個等腰三角形，若存在一個點到一條腰兩端點的距離相等，且到三角形第三個頂點的距離等于腰長，則我們稱這個點為等腰三角形的“雙合點”．如圖1，在等腰中，，且，則點為等腰的“雙合點”．
(1)如圖2，在等腰中，，請用無刻度的直尺和圓規作出該等腰三角形的一個“雙合點”（保留作圖痕跡）；
(2)在等腰中，，
①如圖3，當“雙合點”恰好在邊上時，且滿足，求度數；②當“雙合點”在邊的延長線上時，則___________；
(3)如圖4，在等腰中，，，為內一點，連接，，當時，求證：點為等腰的“雙合點”．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
(3)見解析
【思路點撥】（1）作的垂直平分線，以點C為圓心，以長為半徑畫弧交的垂直平分線于點P，P即為所求作
（2）①根據已知得，，，根據，，得，即得②根據已知得，，，根據，得，得，即得；
（3）將沿翻折，得，得四邊形是正方形，根據，得，得，得，得，可得是等邊三角形，證明，得，即得點為等腰的“雙合點”．
【規范解答】（1）如圖，點P即是
（2）解：①∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，∴，
②∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）解：將沿翻折，得，
則，
∴，
∴四邊形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點為等腰的“雙合點”．2024-2025學年浙教版數學八年級下學期期末復習知識串講（優等生培優版）
第5章 特殊平行四邊形
（思維導圖+知識梳理+易錯點撥+17大考點講練+優選真題難度分層練 共71題）
講義簡介 2
思維導圖指引 2
章節知識回顧梳理 3
知識點梳理01：平平行四邊形 3
知識點梳理02：菱形 3
知識點梳理03：矩形 4
知識點梳理04：正方形 4
易錯考點點撥匯總 5
易錯知識點01：矩形、菱形、正方形的性質混淆 5
易錯知識點02：面積公式的誤用 5
易錯知識點03：幾何變換中的邏輯漏洞 5
易錯知識點04：證明題中的典型錯誤 6
易錯知識點05：綜合題避坑指南 6
易錯知識點06：高頻錯題示例 6
期末真題考點匯編講練 6
期末考向一：矩形 6
重點考點講練01：矩形與折疊問題 6
重點考點講練02：根據矩形的性質與判定求角度 8
重點考點講練03：根據矩形的性質與判定求線段長 10
重點考點講練04：根據矩形的性質與判定求面積 11
期末考向二：菱形 13
重點考點講練05：根據菱形的性質與判定求角度 13
重點考點講練06：根據菱形的性質與判定求線段長 14
重點考點講練07：根據菱形的性質與判定求面積 15
期末考向三：正方形 17
重點考點講練08：正方形折疊問題 17
重點考點講練09：求正方形重疊部分面積 18
重點考點講練10：根據正方形的性質與判定求角度 19
重點考點講練11：根據正方形的性質與判定求線段長 21
重點考點講練12：根據正方形的性質與判定求面積 22
重點考點講練13：根據正方形的性質與判定證明 24
重點考點講練14：中點四邊形 26
重點考點講練15：(特殊)平行四邊形的動點問題 27
重點考點講練16：四邊形中的線段最值問題 28
重點考點講練17：四邊形其他綜合問題 30
優選真題難度分層練 32
中檔題—夯實基礎能力 32
壓軸題—強化解題技能 35
同學你好，本套講義針對課本內容同步制作，貼合書本內容。講義包含導圖指引，全章節知識點梳理，易錯點考點點撥，期末真題考點匯編講練，優選題難度分層訓練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期中期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識點梳理01：平平行四邊形
1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
2．性質：（1）對邊平行且相等；
（2）對角相等；鄰角互補；
（3）對角線互相平分；
（4）中心對稱圖形.
3．面積：
4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（5）任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．
邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【細節剖析】平行線的性質：
（1）平行線間的距離都相等；
（2）等底等高的平行四邊形面積相等.
知識點梳理02：菱形
【高頻考點精講】
1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2．性質：（1）具有平行四邊形的一切性質；
（2）四條邊相等；
（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：
4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四邊相等的四邊形是菱形.
知識點梳理03：矩形
【高頻考點精講】
1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2．性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；
（2）四個角都是直角；
（3）對角線互相平分且相等；
（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：
４．判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.
【細節剖析】由矩形得直角三角形的性質：
（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
（2）直角三角形中，30度角所對應的直角邊等于斜邊的一半．
知識點梳理04：正方形
【高頻考點精講】
1. 定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.
2．性質：（1）對邊平行；
（2）四個角都是直角；
（3）四條邊都相等；
（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；
（5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；
（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線
4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；
（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；
（3）對角線相等的菱形是正方形；
（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；
（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.
易錯知識點01：矩形、菱形、正方形的性質混淆
性質混淆
矩形：對角線相等且平分，四個角為直角；
菱形：對角線互相垂直平分，四邊相等；
正方形：同時具備矩形和菱形的所有性質。
易錯點：誤用正方形的對角線性質到矩形或菱形中，例如認為“矩形的對角線互相垂直”或“菱形的對角線相等”。
判定條件混淆
矩形判定：需先證明是平行四邊形，再滿足對角線相等或一個角為直角；
菱形判定：需先證明是平行四邊形，再滿足對角線垂直或鄰邊相等；
正方形判定：必須同時滿足矩形和菱形的條件。
易錯點：未驗證基礎條件（如是否為平行四邊形）直接套用判定定理，例如僅憑“對角線垂直”直接判定為菱形。
易錯知識點02：面積公式的誤用
菱形面積計算
公式：菱形面積=底×高=對角線乘積的一半（易忽略后者）。
易錯點：當已知對角線長度時，未用“對角線乘積的一半”簡化計算，導致步驟繁瑣或錯誤。
特殊圖形的最值問題
動點問題中，學生可能忽略幾何變換（如折疊、旋轉）對圖形面積的影響，或未利用對稱性簡化分析。
易錯知識點03：幾何變換中的邏輯漏洞
折疊問題
折疊后對應邊、角相等，但需注意折疊前后圖形的全等性及對稱軸的位置。
易錯點：未標注折疊后的對應點，導致角度或邊長關系分析錯誤。
動點與存在性問題
動態分析時需分段討論圖形形狀的變化，例如從平行四邊形到矩形的臨界條件。
易錯點：忽略分類討論或未結合坐標系建立等量關系。
易錯知識點04：證明題中的典型錯誤
判定定理缺失
例如，證明菱形時僅說明“對角線垂直”而忽略“對角線平分”或未先證明其為平行四邊形。
邏輯鏈不完整
例如，證明正方形時僅說明“四邊相等”或“四個角為直角”，未同時滿足矩形和菱形的條件。
易錯知識點05：綜合題避坑指南
坐標系中的特殊四邊形
計算頂點坐標時，需驗證對角線是否滿足特定性質（如中點重合、垂直或相等）。
示例：若四邊形對角線中點重合且垂直，則為菱形；若進一步滿足相等，則為正方形。
最值問題
利用對稱性轉化線段和的最值，例如將軍飲馬模型在矩形或菱形中的應用。
易錯知識點06：高頻錯題示例
題目：對角線相等的四邊形一定是矩形。
錯因：忽略“平行四邊形”前提，反例：等腰梯形的對角線也相等。
題目：菱形的面積為對角線長度之和的一半。
錯因：混淆公式，正確公式應為“對角線乘積的一半”。
期末考向一：矩形
重點考點講練01：矩形與折疊問題
【母題精講】（24-25八年級上·天津南開·期末）如圖，一塊矩形紙片的寬為，點E在上，如果沿圖中的對折，點B的對應點為，若點恰好落在上，此時，則的長為 （）．
【訓練1】（22-23八年級下·四川廣安·期末）將一矩形放在直角坐標系中，為原點，在x軸上，，．
(1)如圖（1），在上取一點，將沿折疊，使點落在上的，求點的坐標；
(2)如圖（2），在點、邊上選取適當的點、，將沿折疊，使點落在邊上的點，過作交于點，交于點，求證：；
(3)在（2）的條件下，設T
①探求：與之間的函數關系式．
②指出變量x的取值范圍．
【訓練2】（23-24八年級下·湖北襄陽·期末）如圖，在矩形 中，，，對角線 相交于點，過 作 于點，將沿 折疊，點恰好落在線段的點處， 則的長為 （ ）
A． B． C． D．
重點考點講練02：根據矩形的性質與判定求角度
【母題精講】（23-24八年級下·廣西玉林·期末）如圖，矩形中， ，為上一點，且，連接．以下說法中：①；②當點在邊上時，則；③當時，則；④的最小值為．其中正確的結論是 (填寫序號)．
【訓練1】（23-24八年級下·四川廣元·期末）【問題情景】通過作平行線來實現問題轉化是我們常用到的方法．
如圖1，在中，分別交AB于D，交AC于E．已知，，，求的值，我們可以過點D作BE的平行線（如圖2），也可過點E作CD的平行線解決問題．
【問題解決】
（1）請回答：的值為__________．
【類比探究】（2）如圖3，已知和矩形，與交于點G，，參考上述思考問題的方法，求的度數．
【遷移應用】
如圖4，已知：交于E點，連接，，．且與互為余角，與互為補角，則__________度，若，求的長．
【訓練2】（23-24八年級下·上海閔行·期末）已知：如圖，點、分別是雙曲線在第一象限內分支上的兩點，．過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，兩線交于點，連接．如果，那么等于 度．

重點考點講練03：根據矩形的性質與判定求線段長
【母題精講】（24-25八年級上·山東淄博·期末）【命題證明】證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（參考圖1，寫出已知、求證以及證明過程．）
【結論應用】如圖2，在四邊形中，，，點E，F分別是的中點，當，時，求的長．
【訓練1】（24-25八年級上·山東棗莊·期末）如圖，四邊形是長方形，O是平面直角坐標系的原點，點A，C分別在軸、上，點B的坐標是則直線對應的函數表達式為（）
A． B． C． D．
【訓練2】（22-23八年級下·河南·期末）如圖，，，，為矩形的四個頂點，，，動點、分別從點，同時出發，都以的速度運動，其中點由運動到停止，點由點運動到點停止．

(1)求四邊形的面積；
(2)、兩點從出發開始到幾秒時，點、、組成的三角形是等腰三角形？
重點考點講練04：根據矩形的性質與判定求面積
【母題精講】（23-24八年級下·北京西城·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于點，．點在第一象限，且四邊形是矩形．
(1)使用直尺和圓規，按照下面的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
作法：以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限相交于點，連接，，則四邊形是矩形．
(2)根據（1）中的作法，完成下面的證明：
證明：
∵，　　　　，
∴四邊形是平行四邊形．（　　　　）（填推理的依據）
∵，
∴四邊形是矩形，（　　　　）（填推理的依據）
(3)若直線的表達式為，直接寫出矩形的面積和直線的表達式．
【訓練1】（23-24八年級下·浙江衢州·期末）如圖，中，為鈍角，以為邊向外作，為鈍角，連結，．設的面積分別為，則的面積可表示為（ ）
A． B． C． D．
【訓練2】（23-24八年級下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形中，，與相交于點O，且O是的中點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若是等邊三角形，且，求四邊形的面積．
期末考向二：菱形
重點考點講練05：根據菱形的性質與判定求角度
【母題精講】（23-24八年級下·湖南永州·期末）如圖所示，E，F分別在和上，，則 ．
【訓練1】（23-24八年級下·山東臨沂·期末）如圖，在中，對角線與相交于點O，平分，過點B作交于點E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【訓練2】（23-24八年級下·北京東城·期末）在平面直角坐標系中，對于點和線段，如果點，，，按逆時針方向排列構成菱形，則稱線段是點的“菱線段”，點是點的“菱點”．例如，圖1中線段是點的“菱線段”．

(1)如圖，已知點的坐標是．
點，，，，其中點的“菱點”有__________；
若線段是點的“菱線段”，且菱形的面積是2，求點的坐標；
(2)記，若線段與線段都是點的“菱線段”，且線段與線段都經過點，直接寫出的取值范圍．
重點考點講練06：根據菱形的性質與判定求線段長
【母題精講】（23-24八年級下·陜西咸陽·期末）如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形，若測得兩點之間的距離為，兩點之間的距離為，則這兩張紙條的寬為（ ）
A． B． C． D．
【訓練1】（23-24八年級下·山東德州·期末）如圖，在中，，點D是的中點，連接，過點B作，過點C作，、相交于點E．
(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；
(2)過點D作于點F，交于點G，連接EG．若，，求的長．
【訓練2】（23-24八年級下·山東聊城·期末）如圖，在矩形中，點為對角線的中點，過點作交于點，連接，若，．
(1)求的周長．
(2)延長交于點，連接，求的長．
重點考點講練07：根據菱形的性質與判定求面積
【母題精講】（23-24八年級下·廣東湛江·期末）如圖，在矩形中，O為的中點，過點O作分別交，于點E，F．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求四邊形的面積．
【訓練1】（23-24八年級下·山西大同·期末）綜合與實踐
問題情境：如圖，在平行四邊形中，，的平分線交于點，交于點．
問題解決：
(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；
(2)若，，平行四邊形的面積為120，直接寫出的長．
【訓練2】（23-24八年級下·甘肅武威·期末）如圖是一張對邊平行的紙片，點，分別在平行邊上，連接．
(1)求作：菱形，使點，落在紙片的同一邊上；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)證明：四邊形是菱形．
(3)在（1）的條件下，，交于點，若，，求菱形的面積．
期末考向三：正方形
重點考點講練08：正方形折疊問題
【母題精講】（22-23八年級下·內蒙古鄂爾多斯·期末）如圖所示，把正方形紙片沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為，再過點折疊紙片，使點落在上的點處，折痕為．若的長為2，則的長為（ ）
A． B． C． D．1
【訓練1】（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，是正方形內一點，，連接，將沿翻折，得到，延長，與的平分線相交于．
(1)當四邊形為菱形時，填空：______；
(2)試求的度數；
(3)如圖，連接，交于，連接，當三點共線時，求證：四邊形是菱形．
【訓練2】（23-24八年級下·山東東營·期末）如圖，在邊長為8的正方形紙片中，E是邊上的一點，，連接，將正方形紙片折疊，使點D落在線段上的點G處，折痕為，則的長為
重點考點講練09：求正方形重疊部分面積
【母題精講】（20-21八年級下·四川達州·期末）一位同學拿了兩塊45°的三角尺、做了一個探究活動，將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設．
（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______．
（2）將圖1中的繞頂點逆時針旋轉45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為______．
（3）如果將繼續繞頂點逆時針旋到如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并加以驗證．
【訓練1】（2023·四川自貢·一模）如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AEFG的位置，則圖中陰影部分的面積為( )
A． B． C． D．
【訓練2】（2020·浙江·中考真題）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為 （用含a，b的代數式表示）．
重點考點講練10：根據正方形的性質與判定求角度
【母題精講】（21-22八年級下·湖南長沙·期末）如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連結CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM＝CP，過點M作MNOA，交BO于點N，連結ND、BM，設OP＝t．
(1)求點M的坐標（用含t的代數式表示）；
(2)求直線OB的解析式；
(3)求線段MN的長度．
【訓練1】（20-21八年級下·廣東深圳·期末）如圖，已知，P是y軸上一動點，線段PA繞著點P按逆時針方向旋轉至線段PB位置，連接AB、OB．
（1）設P點坐標為，請求出B點坐標；
（2）求BO+BA的最小值．
【訓練2】（20-21八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，，，和分別是其外角和的角平分線，延長和相交于點E，則 度， ．
重點考點講練11：根據正方形的性質與判定求線段長
【母題精講】（2014·河南·中考真題）如圖，矩形中，，．點E為上一個動點，把沿折疊，當點D的對應點落在的角平分線上時，的長為 ．
【訓練1】（2023·湖北襄陽·二模）折疊矩形紙片時，發現可以進行如下操作：①把翻折，點落在邊上的點處，折痕為，點在邊上；②把紙片展開并鋪平；③把翻折，點落在線段上的點處，折痕為，點在邊上，若，，則 ．
【訓練2】（23-24八年級下·云南普洱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點、分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（）是方程組的解，點C是直線與直線的交點，點在線段上，．
(1)求點的坐標．
(2)求直線的解析式．
(3)當點P在直線上運動時，在平面內是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
重點考點講練12：根據正方形的性質與判定求面積
【母題精講】（22-23八年級下·浙江湖州·期末）定義：對角線垂直的四邊形叫做“對垂四邊形”．如圖，在“對垂四邊形”中，對角線與交于點O，．若點E、F、G、H分別是邊、、、的中點，且四邊形是“對垂四邊形”，則四邊形的面積是 ．
【訓練1】（22-23八年級下·上海靜安·期末）已知：如圖，梯形中，，，E、F、G、H分別是的中點，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)如果，，且，求四邊形的面積．
【訓練2】（21-22八年級下·四川成都·期末）如圖，，，，且點在內部，連接，，的延長交線段于點．
(1)求證：；
(2)判斷與的位置關系并證明；
(3)連接，若，求四邊形的面積．
重點考點講練13：根據正方形的性質與判定證明
【母題精講】（23-24八年級下·廣東廣州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，、、三點坐標分別為、、，把沿翻折，點恰好落在軸的點處，為折痕．
(1)求直線的解析式；
(2)在平面直角坐標系中，有一個動點使得，動點的縱坐標是否為橫坐標的函數？若是，求出關于的函數解析式；若否，請說明理由；
(3)連接、，點為邊的中點，，且交外角的平分線于點，求證．
【訓練1】（23-24八年級下·河南新鄉·期末）四邊形是正方形，點E為對角線上一動點，連接，過點E作，交射線于點F，以為邊作平行四邊形．
(1)如圖1，當時，點F落在邊上，小明同學觀察圖形，認為四邊形是一種特殊的平行四邊形，經過思考，他過點E作，垂足分別為M，N，通過推理證明， 得到平行四邊形是___；
(2)當時，點F落在的延長線上，小明的結論還成立嗎，請說明理由；
(3)當，且時，連接，直接寫出的長．
【訓練2】（23-24八年級下·廣西南寧·期末）在正方形中，點P在對角線上，點E，F分別在邊，上，且于點P．
(1)特例發現：如圖1，當點P在對角線，的交點處時，求證：；
(2)探究證明：如圖2，當點P不在對角線，的交點處時，判斷與的數量關系，并說明理由；
(3)拓展運用：在（2）的條件下，若，，連接，請直接寫出的長．
重點考點講練14：中點四邊形
【母題精講】（23-24八年級下·山西呂梁·期末）順次連接某四邊形各邊中點得到一個相鄰兩邊分別為，的四邊形，則原四邊形兩條對角線長度之和為（ ）
A．20 B．18 C．36 D．無法確定
【訓練1】（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖①，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點．求證：．
【應用】如圖②，連結圖①中的，并取中點，連結、．
（1）若，則四邊形的周長為 ．
（2）圖③，若，且，則四邊形的面積為 ．
【訓練2】（23-24八年級下·山東東營·期末）如圖，依次連接四邊形各邊中點得四邊形，要使四邊形為菱形，添加的條件正確的是（　　）
A． B． C． D．
重點考點講練15：(特殊)平行四邊形的動點問題
【母題精講】（22-23八年級下·湖南懷化·期末）如圖，以矩形的頂點為原點，以邊，所在的直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系，已知，．點在線段上，以每秒1個單位的速度從點向終點運動；點在線段上，以每秒3個單位的速度沿循環運動、連接．規定點，同時運動，且當點運動到終點時，點同時停止運動，設運動時間為．

(1)當點第一次從點向點運動時，___________．（用含有t的代數式表示）
(2)當點第一次從點返回點時，四邊形的面積是10，求出此時的值和點的坐標．
(3)當四邊形AOEF恰好是矩形時，求出此時t的值．
【訓練1】（22-23八年級下·北京順義·期末）如圖，在矩形中，分別是邊上的動點，點從出發到停止運動，點從出發到停止運動，若兩點以相同的速度同時出發，勻速運動．下面四個結論中，①存在四邊形是矩形；②存在四邊形是菱形；③存在四邊形是矩形；④存在四邊形是正方形．所有正確結論的序號是 ．

【訓練2】（22-23八年級下·湖南懷化·期末）如圖1，在四邊形中，， 點M從點D出發，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作于點P，連接交于點Q，連接，設運動時間為t秒．

(1)_________，_________．（用含t的代數式表示）
(2)當四邊形為平行四邊形時，求t的值．
(3)如圖2，將沿翻折，得，當四邊形為正方形時，則_________．
重點考點講練16：四邊形中的線段最值問題
【母題精講】（21-22八年級上·浙江紹興·期末）如圖，，平分，平分，和交于點，，分別是線段和線段上的動點，且，若，，則的最小值為 ．
【訓練1】（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）如圖，在正方形中，點E、F、G分別在、、上，，，，，與交于點P．連接，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【訓練2】（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據以上定義，解決下列問題：
(1)如圖1，以菱形的一邊為邊向外作正方形，、分別是菱形和正方形的對角線交點，連接．

求證：四邊形是“直等補”四邊形．
②若，求四邊形的面積．
(2)如圖2，已知四邊形是“直等補”四邊形，其中，，過點作于點且，連接，若點是線段上的動點，請你直接寫出周長的最小值．

重點考點講練17：四邊形其他綜合問題
【母題精講】（22-23八年級下·安徽宿州·期末）在平行四邊形中，點是對角線的中點，點在邊上，的延長線與邊交于點．

(1)如圖1，連接，，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)圖2，若，，過點作，垂足為，與，分別交于點，．
①當，時，求的長；
②探究與的數量關系，并說明理由．
【訓練1】（22-23八年級下·河南洛陽·期末）【教材呈現】如圖是華師版八年級下冊數學教材第121頁的部分內容．

如圖，在正方形中，，求證：．請結合圖①（設、交于點G），寫出完整的證明過程．
【結論應用】
（1）如圖②，在正方形中，，連接、，若正方形的邊長為3，四邊形的面積為8，則的長為_________；
（2）如圖③，在正方形中，．
①四邊形與的面積關系為：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”）
②若正方形的邊長為5，且圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為3：5，則的周長為___________．
【訓練2】（22-23八年級下·河南駐馬店·期末）學習了特殊的四邊形——平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．通過探究，我們得出垂美四邊形的面積S等于兩對角線乘積的一半．

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是______．
(2)問題解決：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，．
①求證：四邊形為垂美四邊形；
②四邊形的面積是_______．
中檔題—夯實基礎能力
1．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是 （ ）
A．對角線互相平分 B．兩組對角相等 C．對角線互相垂直 D．兩組對邊相等
2．（23-24八年級下·河南周口·期末）如圖，在矩形中，對角線交于點O，添加下列一個條件，能使矩形成為正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年級下·安徽黃山·期末）如圖，在反映特殊四邊形之間關系的知識結構圖中，①②③④表示需要添加的條件，則下列描述錯誤的是（ ）
A．①表示有一組鄰角相等 B．②表示有一組鄰邊相等
C．③表示對角線平分一組對角 D．④表示對角線互相垂直
4．（22-23八年級下·四川宜賓·期末）如圖，是菱形的對角線，是上的一個動點，過點分別作和的垂線，垂足分別是點和，若菱形的周長是，面積是，則的值是 ．
5．（22-23八年級下·河南南陽·期末）如圖，矩形紙片中，，，將紙片沿折疊，使點C與點A重合，的長為 ．
（22-23八年級下·江蘇常州·期末）如圖，是菱形的一條對角線，若，則
度．
7．（22-23八年級下·四川涼山·期末）如圖，在矩形中，點E、F分別在和上，若．求證：四邊形是平行四邊形．
8．（23-24八年級下·遼寧大連·期末）如圖，四邊形為矩形，過點作交的延長線于點．求證：．
9．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，在菱形中，垂直且平分，垂足為點E，連接．求的大小．
10．（23-24八年級下·吉林·期末）如圖1，點在線段上，分別以為邊在線段的同側作正方形和，連接．
(1)若，則______；
(2)如果點在線段的延長線上，如圖2，其他條件不變，求證：．
壓軸題—強化解題技能
11．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）如圖所示，折疊矩形的一邊，使點D落在邊上點F處，若，則的長為（ ）
A．2 B．3 C． D．5
12．（24-25八年級上·浙江·期末）如圖，在中，，，點在邊上，連結．點是的中點，連接．若，則的長是（ ）

A．2 B． C． D．
13．（24-25八年級上·山東濰坊·期末）如圖，在正方形中，點E，F分別是對角線，上的點，連接，，，若，且，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25八年級上·寧夏銀川·期末）如圖，在長方形紙片中，已知，，折疊紙片使邊與對角線重合，點B落在點F處，折痕為，則的長為 ．
15．（24-25八年級上·北京順義·期末）如圖，在中，，，是的中點，，分別是線段，上的動點（點不與點，重合），且滿足，給出下面四個結論：
①；
②；
③四邊形的面積為；
④點到點距離的最小值為．
上述結論中，所有正確結論的序號是 ．
16．（23-24八年級下·重慶·期末）如圖，正方形，E，F分別是，的中點，，相交于點G，連接，若，則的長為 ．
17．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點．
(1)求直線的函數表達式；
(2)將直線繞點逆時針旋轉，交軸于點，求直線的函數表達式；
(3)點是（2）中直線上一點，若，求點的坐標．
18．（24-25八年級上·四川成都·期末）如圖，在邊長為2正方形中，E為邊上一動點（點E不與B，C重合），連接，以為直角邊作等腰直角三角形，其斜邊與正方形邊相交于點N，連接．
(1)求證：；
(2)當E運動到的中點時，求線段的長度；
(3)如圖2，連接交與點P，G是的中點，連接，，當等于多少時，的最小，并求出最小值？
19．（24-25八年級上·福建福州·期末）如圖1，正方形中，點是邊上的一點（不與點、重合），連接，點、關于對稱，連接并延長，交于點，交于點．
(1)求證：；
(2)如圖2，當點為中點時，連接，求的值；
(3)如圖3，連接并延長，交的延長線于點，連接，探索線段、、之間的等量關系，請寫出關系式，并加以證明．
20．（24-25八年級上·浙江臺州·期末）在平面內，對于一個等腰三角形，若存在一個點到一條腰兩端點的距離相等，且到三角形第三個頂點的距離等于腰長，則我們稱這個點為等腰三角形的“雙合點”．如圖1，在等腰中，，且，則點為等腰的“雙合點”．
(1)如圖2，在等腰中，，請用無刻度的直尺和圓規作出該等腰三角形的一個“雙合點”（保留作圖痕跡）；
(2)在等腰中，，
①如圖3，當“雙合點”恰好在邊上時，且滿足，求度數；②當“雙合點”在邊的延長線上時，則___________；
(3)如圖4，在等腰中，，，為內一點，連接，，當時，求證：點為等腰的“雙合點”．

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