資源簡介

2024-2025學年浙教版數學八年級下學期期末復習知識串講（優等生培優版）
第4章 平行四邊形
（思維導圖+知識梳理+易錯點撥+27大考點講練+優選真題難度分層練 共101題）
講義簡介 2
思維導圖指引 3
章節知識回顧梳理 3
知識點梳理01：平行四邊形的定義 3
知識點梳理02：平行四邊形的性質定理 3
知識點梳理03：平行四邊形的判定定理 4
知識點梳理04：平行線間的距離 4
知識點梳理05：三角形的中位線 5
知識點梳理06：多邊形內角和、外角和 5
易錯考點點撥匯總 5
易錯知識點01：平行四邊形的定義與性質 5
易錯知識點02：行四邊形的判定 6
易錯知識點03：特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形） 6
易錯知識點04：三角形的中位線定理 7
易錯知識點05：綜合應用與幾何變換 7
易錯知識點06：典型錯誤題型示例 7
期末真題匯編考點講練 7
期末考向一：多邊形 7
重點考點講練01：多邊形截角后的邊數問題 7
重點考點講練02：多邊形對角線的條數問題 9
重點考點講練03：對角線分成的三角形個數問題 11
重點考點講練04：多邊形內角和問題 12
重點考點講練05：正多邊形的內角問題 15
重點考點講練06：多(少)算一個角問題 17
重點考點講練07：多邊形截角后的內角和問題 18
重點考點講練08：復雜圖形的內角和 20
重點考點講練09：正多邊形的外角問題 22
重點考點講練10：多邊形外角和的實際應用 24
重點考點講練11：多邊形內角和與外角和綜合 26
重點考點講練12：平面鑲嵌 28
期末考向二：中心對稱 30
重點考點講練13：根據中心對稱的性質求面積、長度、角度 30
重點考點講練14：在方格紙中補畫圖形使之成為中心對稱圖形 33
重點考點講練15：中心對稱圖形規律問題 36
重點考點講練16：已知兩點關于原點對稱求參數 39
重點考點講練17：按圖形的變換要求畫出另一個圖形 40
期末考向三：平行四邊形的判定定理 45
重點考點講練18：求與已知三點組成平行四邊形的點的個數 45
重點考點講練19：全等三角形拼平行四邊形問題 54
重點考點講練20：利用平行四邊形的判定與性質求解 56
重點考點講練21：利用平行四邊形性質和判定證明 63
重點考點講練22：平行四邊形性質和判定的應用 68
期末考向四：三角形的中位線 74
重點考點講練23：與三角形中位線有關的求解問題 74
重點考點講練24：與三角形中位線有關的證明 77
重點考點講練25：三角形中位線的實際應用 82
期末考向五：反證法 90
重點考點講練26：反證法證明中的假設 90
重點考點講練27：用反證法證明命題 91
優選真題難度分層練 95
中檔題—夯實基礎能力 95
壓軸題—強化解題技能 100
同學你好，本套講義針對課本內容同步制作，貼合書本內容。講義包含導圖指引，全章節知識點梳理，易錯點考點點撥，期末真題考點匯編講練，優選題難度分層訓練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期中期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識點梳理01：平行四邊形的定義
平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
【細節剖析】平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.
知識點梳理02：平行四邊形的性質定理
【高頻考點精講】
平行四邊形的對角相等；
平行四邊形的對邊相等；
平行四邊形的對角線互相平分；
【細節剖析】（1）平行四邊形的性質定理中邊的性質可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質可以證明線段的相等關系或倍半關系.
（2）由于平行四邊形的性質內容較多，在使用時根據需要進行選擇.
（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應聯系三角形三邊的不等關系來解決.
知識點梳理03：平行四邊形的判定定理
1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【細節剖析】這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個
行四邊形時，應選擇較簡單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據，也可作為“畫平行四邊形”的依據.
知識點梳理04：平行線間的距離
1.兩條平行線間的距離：
（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.
2．平行線性質定理及其推論
夾在兩條平行線間的平行線段相等.
平行線性質定理的推論：
夾在兩條平行線間的垂線段相等.
知識點梳理05：三角形的中位線
三角形的中位線
1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
【細節剖析】（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數量關系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
知識點梳理06：多邊形內角和、外角和
邊形的內角和為(－2)·180°(≥3)．
【細節剖析】(1)內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數；
(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；
多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.
易錯知識點01：平行四邊形的定義與性質
定義混淆
易錯點：誤認為“一組對邊平行且相等”或“兩組對角相等”可以直接作為平行四邊形的定義。
糾正：平行四邊形的定義是兩組對邊分別平行，其他性質（如對邊相等、對角相等）均是由定義推導出的性質，不能直接作為定義使用。
性質應用錯誤
邊與角的性質：解題時忽略“對邊相等”“對角相等”的隱含條件。
示例：若已知平行四邊形一個角為60°，誤認為鄰角也為60°（正確：鄰角互補，應為120°）。
對角線性質：對角線互相平分，但誤認為對角線相等（僅矩形、正方形對角線相等）。
示例：在非矩形的平行四邊形中，直接使用對角線相等解題導致錯誤。
易錯知識點02：行四邊形的判定
判定條件混淆
易錯點：將性質當作判定條件使用。例如，用“對角相等”直接判定平行四邊形（需結合其他條件）。
正確判定方法：
兩組對邊分別平行；
一組對邊平行且相等；
兩組對邊分別相等；
對角線互相平分；
兩組對角分別相等（需結合其他條件）。
邏輯不嚴謹
示例：證明四邊形是平行四邊形時，僅說明“一組對邊平行”而忽略“另一組對邊也平行”或“這組對邊相等”，導致判定不完整。
易錯知識點03：特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）
矩形與菱形的混淆
易錯點：誤將矩形的性質（如對角線相等）套用到菱形上，或反之。
關鍵區別：
矩形：四個角均為直角，對角線相等且平分。
菱形：四條邊相等，對角線垂直且平分對角。
正方形：同時具有矩形和菱形的所有性質。
正方形判定錯誤
易錯點：直接認為“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”，但需注意前提條件（如鄰邊相等或對角線垂直）。
正確判定：
先證明是矩形，再證明鄰邊相等；
先證明是菱形，再證明有一個角是直角。
對角線性質應用錯誤
示例：在菱形中，已知邊長為5，對角線長為6，誤用勾股定理計算另一條對角線時未除以2（正確：對角線互相平分，半長分別為3和未知，由勾股定理得另一對角線為8）。
易錯知識點04：三角形的中位線定理
中位線與中線的混淆
易錯點：誤將中位線（連接兩邊中點的線段）與中線（連接頂點與對邊中點的線段）混淆。
關鍵結論：
三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；
中位線定理的逆定理需謹慎使用（需附加平行條件）。
多中點問題遺漏條件
示例：在多邊形中，已知多個中點但未構造完整中位線，導致無法找到平行或比例關系。
易錯知識點05：綜合應用與幾何變換
動態問題分析不足
易錯點：在涉及平移、旋轉的題目中，忽略平行四邊形對稱性和不變性（如旋轉后對邊仍平行）。
應對：畫圖輔助分析，標出旋轉角或平移距離。
輔助線缺失
常見場景：
連接對角線將平行四邊形轉化為三角形；
作高將問題轉化為直角三角形；
平移線段構造中位線或全等三角形。
易錯知識點06：典型錯誤題型示例
條件遺漏
題目：“已知四邊形ABCD的對角線AC與BD互相平分，添加一個條件使其成為矩形。”
易錯：直接填“AC=BD”而忽略需先證明四邊形是平行四邊形（需補充“四邊形ABCD是平行四邊形”）。
坐標系中的計算錯誤
示例：在坐標系中求平行四邊形第四個頂點坐標時，未利用對邊平行或對角線中點公式，導致坐標錯誤。
期末考向一：多邊形
重點考點講練01：多邊形截角后的邊數問題
【母題精講】（22-23八年級上·黑龍江牡丹江·期末）一個多邊形的外角和是內角和的，若這個多邊形截去一個角后，則所形成的多邊形是 邊形．
【答案】六或七或八
【思路點撥】首先求得多邊形的邊數，再分三種情況討論即可。
【規范解答】解：設多邊形的邊數為，依題意，得：
，
解得：，
如圖，剪切有下列三種情況：
①不經過頂點剪，則所形成的多邊形是八邊形；
②只過一個頂點剪，則所形成的多邊形是七邊形；
③過兩個相鄰頂點剪，則所形成的多邊形是六邊形。
故答案為：六或七或八。
【訓練1】（20-21八年級上·河北唐山·期末）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【思路點撥】首先求出截角后的多邊形邊數，然后再求原來的多邊形邊數．　
【規范解答】解：設截角后的多邊形邊數為n，則有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的圖可得原來的邊數為10或11或12：
故選D．
【訓練2】（22-23八年級上·四川自貢·期末）將一個四邊形截去一個角后，它不可能是（　　）
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
【答案】A
【規范解答】試題解析：當截線為經過四邊形對角2個頂點的直線時，剩余圖形為三角形；
當截線為經過四邊形一組對邊的直線時，剩余圖形是四邊形；
當截線為只經過四邊形一組鄰邊的一條直線時，剩余圖形是五邊形；
∴剩余圖形不可能是六邊形，
故選A.
重點考點講練02：多邊形對角線的條數問題
【母題精講】（22-23八年級下·湖南株洲·期末）如圖，邊形，從邊形的一個頂點出發可以作 條對角線．若過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，邊形對角線的總條數等于邊數，則 ．
【答案】 12
【思路點撥】從邊形的一個頂點出發連對角線，不可以連自身和相鄰的兩個點，所以可以連的是個點，邊形有n個頂點，一共可以連條線，但是每條線都重復了一次，所以還要除以2，據此求解即可．
【規范解答】解：邊形，從邊形的一個頂點出發可以作條對角線，
過邊形的一個頂點有7條對角線，則這個n邊形是十邊形，，
邊形沒有對角線，則它是三角形，，
邊形對角線的總條數等于邊數，則，
解得：（舍去）或，
∴，
故答案為：，12．
【訓練1】（22-23八年級下·安徽淮北·期末）一個多邊形的每一個內角都比相鄰的外角的3倍還多20°，則這個多邊形對角線的條數是（ ）
A．27 B．20 C．9 D．14
【答案】A
【思路點撥】設相鄰外角的度數為，則內角為；再根據相鄰內角和外角的關系列方程可得該多邊形為9邊形，然后再根據多邊形的對角線公式求解是解答本題的關鍵．
【規范解答】解：設相鄰外角的度數為，則內角為，
由題意可得：，解得：；
所以該多邊形的邊數為
∴這個多邊形對角線的條數是．
故選A．
【訓練2】（22-23八年級下·浙江紹興·期末）在學習多邊形的相關知識時，小張同學和小王同學對老師布置“探究多邊形的對角線條數”的作業很感興趣，小張同學探究得到了邊形的對角線條數的公式，并通過上網查證自己探究的結論是正確的．下圖是兩位同學進行交流的情景．小王同學把哪個多邊形對角線的條數數錯了？請你通過計算或者畫圖來說明．

【答案】對角線為10條的數錯了，見解析
【思路點撥】方法一：用公式做，已知邊形的對角線條數為，若邊形的對角線條數為10，則，，不是完全平方數，因為為正整數，所以方程的解不符合題意，所以多邊形的對角線條數為10條是錯誤的．
方法二：畫圖說明，邊形的對角線條數隨的增大而增大，畫出六邊形、七邊形的對角線條數分別9條、14條（如下圖），10個于9與14之間，所以10條是錯誤的．
【規范解答】解：對角線為10條的數錯了．
方法一：用公式做，
已知邊形的對角線條數為，
若邊形的對角線條數為10，則，
化簡得，
，不是完全平方數，因為為正整數，所以方程的解不符合題意，
所以多邊形的對角線條數為10條是錯誤的．
（直接解得，，兩個解均不符合題意，由此得到這個多邊形的對角線條數為10條是錯誤的）
或：若邊形的對角線條數為14，則，解得（舍去），．
所以對角線是14條是正確的，10條是錯誤的．
方法二：畫圖說明
邊形的對角線條數隨的增大而增大，畫出六邊形、七邊形的對角線條數分別9條、14條（如下圖），
10個于9與14之間，所以10條是錯誤的．
六邊形： 七邊形：
重點考點講練03：對角線分成的三角形個數問題
【母題精講】（22-23七年級上·重慶沙坪壩·期末）過多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成4個三角形，那么這個多邊形是（ ）
A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形
【答案】A
【思路點撥】根據n邊形從一個頂點出發可引出條對角線，可組成個三角形，依此可得n的值．
【規范解答】解：設這個多邊形是n邊形，
由題意得，，
解得：，
即這個多邊形是六邊形，
故選：A
【訓練1】（22-23八年級上·湖北恩施·期末）我們知道，三角形的穩定性在日常生活中被廣泛運用.要使不同的木架不變形，四邊形木架至少要再釘1根木條；五邊形木架至少要再釘2根木條；…按這個規律，要使邊形木架不變形至少要再釘 根木條.（用表示，為大于3的整數）
【答案】n-3
【思路點撥】根據三角形具有穩定性，需要的木條數等于過多邊形的一個頂點的對角線的條數．
【規范解答】過n邊形的一個頂點可以作（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形，
所以，要使一個n邊形木架不變形，至少需要（n-3）根木條固定．
故答案為：（n-3）．
【訓練2】（22-23七年級下·四川巴中·期末）從一個邊形的同一個頂點出發，分別連結這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形分割為個三角形，則的值是 ．
【答案】8
【思路點撥】根據從一個n邊形的某個頂點出發，可以引（n-3）條對角線，把n邊形分為（n-2）的三角形作答．
【規范解答】設多邊形有n條邊，
則n 2=6，
解得n=8.
故答案為8.
重點考點講練04：多邊形內角和問題
【母題精講】（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖， 度．
【答案】360
【思路點撥】本題考查了三角形外角性質和四邊形內角和定理，解題關鍵是利用三角形外角性質將所求的六個角轉化為四邊形的四個內角．
首先根據三角形外角的性質可知，這幾個角是一個四邊形的四個內角，再根據四邊形的內角和即可求解．
【規范解答】解：設與交點為，與交點為，
在中，；
在中，．
∵，
∴．
故答案為：360．
【訓練1】（21-22八年級上·河南信陽·期末）如圖，在四邊形中，，，E，F分別是，上的點，當的周長最小時，的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，四邊形內角和定理，三角形外角的性質．首先作點A關于的對稱點M，N，延長到點G，根據軸對稱的性質可得，，，，由“兩點之間線段最短”可知當M，F，E，N四點共線時，的周長最小，由四邊形內角和為可得，再由三角形的外角等于不相鄰的兩個內角之和，進行角的和差計算，即可得到答案．
【規范解答】解：如圖，作點A關于的對稱點M，N，延長到點G，
∴，，
∴，，
∴的周長，
∴當M，F，E，N四點共線時，的周長最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
．
故選：A．
【訓練2】（22-23七年級下·河南周口·期末）閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
(1)這個“多加的銳角”是__________度．
(2)小明求的是幾邊形內角和？
(3)若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內角是多少度？
【答案】(1)
(2)小明求的是邊形內角和
(3)這個正多邊形的一個內角是
【思路點撥】本題考查了多邊形的內角和，一元一次方程的應用．熟練掌握多邊形的內角和，一元一次方程的應用是解題的關鍵．
（1）由題意知，多邊形的內角和為，是的整數倍，根據，計算求解即可；
（2）由題意知，，計算求解即可；
（3）根據這個正多邊形的一個內角是，計算求解即可．
【規范解答】（1）解：由題意知，多邊形的內角和為，是的整數倍，
∴這個“多加的銳角”是 ，
故答案為：；
（2）解：由題意知，，
解得，，
∴小明求的是邊形內角和；
（3）解：由題意知，這個正多邊形的一個內角是，
∴這個正多邊形的一個內角是．
重點考點講練05：正多邊形的內角問題
【母題精講】（23-24七年級下·河南南陽·階段練習）用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個結，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】本題主要考查了三角形的內角和外角之間的關系以及等腰三角形的性質．根據多邊形的內角和公式，求出五邊形內角的度數，再根據等腰三角形的性質求出和的度數，最后根據三角形外角的性質解答即可．
【規范解答】解：因為正五邊形的每個內角都相等，邊長相等，
所以，
∵正五邊形的每條邊相等，
∴和是等腰三角形，
∴，
∴．
∴．
故選：B．
【訓練1】（22-23八年級上·浙江臺州·期末）在平面內有個點，其中每三個點都能構成等腰三角形，我們把具有這樣性質的個點構成的點集稱為愛爾特希點集．如圖，四邊形的四個頂點構成愛爾特希點集，且，則 ，若平面內存在一個點與也構成愛爾特希點集，則 ．
【答案】 /度 或
【思路點撥】本題考查了等腰三角形的性質，正多邊形的內角，三角形內角和定理；由題意知為某正五邊形的任意四個頂點時，即滿足題意．
【規范解答】解：依題意由題意知為某正五邊形的任意四個頂點時，
∴．
當為正五邊形的中心點時即滿足題意，
當為正五邊形的頂點時，．
故答案為：，或．
【訓練2】（22-23八年級下·四川成都·期末）足球有12個正五邊形，20個正六邊形，一共32個面．通常由黑白兩種顏色組成．之所以如此設計，是因為用正六邊形的兩個內角和正工邊形的一個內角加起來略微小于，這樣由平面折疊而成的多面體充氣后最終就呈現為球形．如圖，在折疊前的平面上，拼接點處的縫隙的大小為 ．
【答案】/12度
【思路點撥】本題考查正多邊形的性質，求出正六邊形，正五邊形的每個內角度數，即可求出的度數，關鍵是掌握正多邊形的每個內角相等．
【規范解答】解：∵正六邊形的每個內角，
正五邊形的每個內角，
∴，
故答案為：．
重點考點講練06：多(少)算一個角問題
【母題精講】（20-21八年級下·四川達州·期末）已知一個多邊形多算了一個內角得到內角和是1960°，則這個多邊形是（ ）
A．十一邊形 B．十二邊形 C．十三邊形 D．十五邊形
【答案】B
【思路點撥】設這個多邊形的邊數為n，多算的一個內角為x°，利用多邊形的內角和定理和已知條件列出等式，根據多邊形的內角的性質列出不等式，利用不等式的整數解即可求得結論．
【規范解答】解：設這個多邊形的邊數為n，多算的一個內角為x°，
則：（n-2） 180+x=1960，
∴x=2320-180n．
∵0°＜x＜180°，
∴0＜2320-180n＜180，
解得
∵n為正整數，
∴n=12．
故選：B．
【訓練1】（22-23八年級上·浙江寧波·期末）下列說法正確的是（ ）．
①若 ，則一元二次方程 必有一根為 -2．
②已知關于x 的方程 有兩實根，則k 的取值范圍是 ﹒
③一個多邊形對角線的條數等于它的邊數的 4倍，則這個多邊形的內角和為1620度 ．
④一個多邊形剪去一個角后，內角和為1800度 ，則原多邊形的邊數是 11或 12．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④
【答案】A
【思路點撥】①由可得4a-2b+c=0，當x=-2時，4a-2b+c=0成立，即可判定；②運用一元二次方程根的判別式求出k的范圍進行比較即可判定；③設這個多邊形的邊數為n，根據多邊形內角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直線過多邊形一個頂點、兩個頂點和不過頂點三種剪法進行判定即可．
【規范解答】解：①b=2a+c，則4a-2b+c=0，
一元二次方程必有一個根為-2．故①說法正確；
②：有兩實數根，
:原方程是一元二次方程．
，故②說法錯誤；
③設這個多邊形的邊數為n，
則
解得n=11或0(舍去）
:這個多邊形是11邊形．
:這個多邊形的內角和為：
(11-2)×180°=9×180°=1620°．
故③說法正確；
一個多邊形剪去一個角的剪法有過多邊形一個頂點、兩個頂點和不過頂點三種剪法，會有三個結果，故④錯．
故選：A．
【訓練2】（22-23八年級下·甘肅張掖·期末）小明在計算內角和時，不小心漏掉了一個內角，其和為1160，則漏掉的那個內角的度數是 ．
【答案】100°
【思路點撥】根據n邊形的內角和是（n-2） 180°，少計算了一個內角，結果得1160，可以解方程（n-2） 180°≥1160，由于每一個內角應大于0°而小于180度，則多邊形的邊數n一定是最小的整數值，從而求出多邊形的邊數，內角和，進而求出少計算的內角．
【規范解答】解：設多邊形的邊數是n．
依題意有（n-2） 180°≥1160°，
解得：
則多邊形的邊數n=9；
九邊形的內角和是（9-2） 180=1260度；
則未計算的內角的大小為1260-1160°=100°．
故答案為：100°
重點考點講練07：多邊形截角后的內角和問題
【母題精講】（24-25八年級上·湖北荊州·期末）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【思路點撥】先根據多邊形的內角和公式求出截出一個角后的多邊形的邊數，再根據截出一個角后邊數增加，不變，減少討論得解．
【規范解答】解：設多邊形截去一個角的邊數為，
則，
解得，
多邊形截去一個角后邊數有增加，不變，減少，
原來多邊形的邊數是或或．
故選：．
【訓練1】（20-21八年級下·河北保定·期末）在一個凸n邊形的紙板上切下一個三角形后，剩下一個內角和為1080°的多邊形，則n的值為 ．
【答案】7或8或9
【思路點撥】根據多邊形的內角和公式列方程求出切下一個三角形后多邊形的邊數，再分新多邊形的邊數比原多邊形的邊數增加1，減少1，不變三種情況求解．
【規范解答】解：設切下一個三角形后多邊形的邊數x，
由題意得，（x﹣2）×180°＝1080°，
解得x＝8，
所以，n＝8﹣1＝7，
n＝8+1＝9，
或n＝x＝8．
故答案為：7或8或9．
【訓練2】（20-21八年級下·河北石家莊·期末）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內角和相等，則符合條件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【思路點撥】根據多邊形內角和定理逐一判斷即可得答案．
【規范解答】三角形內角和為180°，四邊形內角和為360°，五邊形內角和為（5-2）×180°=540°，
①剪開后的兩個圖形是四邊形，它們的內角和都是360°，符合條件，
②剪開后的兩個圖形是五邊形和三角形，它們的內角和分別是540°和180°，不符合條件，
③剪開后的兩個圖形都是三角形，它們的內角和是180°，符合條件，
④剪開后的兩個圖形是三角形和四邊形，它們的內角和分別是180°和360°，不符合條件，
∴符合條件的剪法是①③，
故選：B．
重點考點講練08：復雜圖形的內角和
【母題精講】（24-25八年級上·海南三亞·期末）如圖，順次連接圖中六個點，得到以下圖形，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點撥】本題考查了復雜圖形的內角和，熟練掌握三角形內角和為，四邊形內角和為是解題的關鍵．連接，記與交于點，利用三角形內角和定理推出，再將轉化為四邊形的內角和，即可解答．
【規范解答】解：如圖，連接，記與交于點，
，，
，
又，
，
，
，
，
．
故選：C．
【訓練1】（19-20七年級下·江蘇揚州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【答案】540°
【思路點撥】連接ED，由三角形內角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五邊形的內角和定理得出結論．
【規范解答】連接ED，
∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，
∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，
∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°，
即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．
故答案為：540°．
【訓練2】（22-23七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，六邊形ABCDEF內部有一點G，連結BG、DG. 若，則∠BGD的大小為 度.
【答案】80
【思路點撥】由多邊形的內角和公式，即可求得六邊形ABCDEF的內角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度數，繼而求得答案．
【規范解答】∵六邊形ABCDEF的內角和為：180°×（6-2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-440°=280°，
∴∠BGD=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）=80°．
故答案是：80°．
重點考點講練09：正多邊形的外角問題
【母題精講】（22-23八年級上·山西呂梁·期末）若一個正多邊形的外角與其相鄰的內角之比為，則該正多邊形的內角和的度數為 ．
【答案】/1800度
【思路點撥】設正多邊形的每個外角度數為x，則與它相鄰的內角的度數為，根據鄰補角的性質列出方程得到，再根據多邊形的外角和為，得到出多邊形的邊數為12，最后利用多邊形的內角和公式即可計算該正多邊形的內角和的度數．
【規范解答】解：設正多邊形的每個外角度數為x，則與它相鄰的內角的度數為，
，
，
這個多邊形的每個外角是，
該正多邊形的邊數為，
該正多邊形的內角和的度數為，
故答案為：．
【訓練1】（20-21七年級下·云南昆明·期末）如圖是一塊正多邊形的碎瓷片，經測得且，則這個正多邊形的邊數是 ．
【答案】12
【思路點撥】根據瓷片為正多邊形及，可知正多邊形的外角為，進而可求得正多邊形的邊數．
【規范解答】解：如圖，延長DC，可知∠ECB為正多邊形的外角，
∵BC//AD，
∴∠ECB=∠ACD=30°，
∵正多邊形的外角和為360°，∠ECB為正多邊形的一個外角
∴正多邊形的邊數為：，
故答案為：12．
【訓練2】（20-21七年級下·河南南陽·期末）如圖，五邊形中，，則的度數是 ．
【答案】
【思路點撥】根據補角的性質，得；再根據多邊形外角和的性質計算，即可得到答案．
【規范解答】如圖，延長，
∴
故答案為：．
重點考點講練10：多邊形外角和的實際應用
【母題精講】（22-23八年級下·四川達州·期末）如圖，的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路點撥】題目主要考查三角形外角的性質及多邊形的外角和，根據題意，利用三角形外角得出，然后利用多邊形外角和求解即可．
【規范解答】解：如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
【訓練1】（22-23八年級上·貴州遵義·期末）一個正多邊形，它的一個內角恰好是一個外角的倍，則這個正多邊形的邊數是（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十二
【答案】C
【思路點撥】可設正多邊形一個外角為x，則一個內角為4x，根據一個內角和一個外角互補列方程解答即可求出一個外角的度數，再根據多邊形的外角和為360°解答即可．
【規范解答】設正多邊形一個外角為x，則一個內角為4x，根據題意得：
x+4x=180°
x=36°
360°÷36°=10
故這個正多邊形為十邊形．
故選：C
【訓練2】（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖，小明從點A出發，前進10m后向右轉20°，再前進10m后又向右轉20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發點A為止，他所走的路徑構成了一個多邊形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）這個多邊形的內角和是多少度？

【答案】（1）小明一共走了180米；（2）這個多邊形的內角和是2880度．
【思路點撥】（1）根據題意易得小明第一次回到出發點A需要向右轉：360°÷20°=18（次），繼而求得答案；
（2）根據多邊形內角和公式進行求解即可得.
【規范解答】（1）∵所經過的路線正好構成一個外角是20度的正多邊形，
∴360÷20=18，18×10=180（米），
答：小明一共走了180米；
（2）根據題意得：
（18﹣2）×180°=2880°，
答：這個多邊形的內角和是2880度．
重點考點講練11：多邊形內角和與外角和綜合
【母題精講】（23-24八年級上·河南商丘·期末）已知一個邊形的每一個外角都等于．
(1)該邊形是否一定是正邊形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求這個邊形的內角和；
(3)從這個邊形的一個頂點出發，可以畫出______條對角線．
【答案】(1)不一定是
(2)
(3)
【思路點撥】本題考查正多邊形的定義，多邊形的內角與外角，多邊形的對角線，
（1）根據各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形判斷即可；
（2）先求出這個多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可；
（3）根據從邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，據此列式解答即可；
熟記多邊形的內角和、外角和以及對角線的條數的求法是解題的關鍵．
【規范解答】（1）解：∵一個邊形的每一個外角都等于，
∴該邊形的每一個內角都等于：，
但該n邊形的各邊不一定都相等，
故該邊形不一定是正邊形，
故答案為：不一定是；
（2）∵多邊形的外角和是，
∴，
∴內角和是：，
∴這個邊形的內角和為；
（3）從邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，
∵，
∴，
∴從這個邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線．
故答案為：．
【訓練1】（23-24八年級上·湖北黃石·期末）一個正多邊形的內角和是，則它的一個外角是 度．
【答案】
【思路點撥】本題主要考查了多邊形內角和及外角和定理，任何多邊形的外角和是，首先根據多邊形的內角和定理求得多邊形的邊數，然后求出每個外角的度數，進而求出答案，熟練掌握多邊形的外角和與內角和公式是解題的關鍵．
【規范解答】解：設正多邊形的邊數為，
由題意得：，解得：，
∴正十四邊形的每個外角為：，
故答案為：．
【訓練2】（22-23八年級下·河北保定·期末）某數學興趣小組在學習了“多邊形內角和與外角和”后深入思考，繼續探究多邊形的一個外角與它不相鄰的內角之和具有的數量關系．

(1)如圖1，與，之間的數量關系為______．若，，則______．
(2)如圖2，是四邊形ABCD的外角，求證：．
(3)若n邊形的一個外角為，與其不相鄰的內角之和為，則x，y與n的數量關系是______．
【答案】(1)，；
(2)見解析；
(3)．
【思路點撥】本題考查了多邊形內角與外角，解題的關鍵是掌握n邊形的內角和公式：（且n為整數）．
（1）根據三角形的內角和和鄰補角的性質即可得出答案；
（2）根據四邊形的內角和和鄰補角的性質即可得出結論；
（3）根據n邊形的內角和和鄰補角的性質即可得出答案．
【規范解答】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴
故答案為：，；
（2）證明：∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵n邊形的某一個外角的度數是，
∴與這個外角相鄰的內角是，
∵與這個外角不相鄰的所有內角的和是，
∴，
整理得：，
故答案為：．
重點考點講練12：平面鑲嵌
【母題精講】（23-24八年級下·河南周口·期末）用一些全等的正五邊形按如圖的方式可以拼成一個環狀，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，圖中所示的是前三個正五邊形拼接的情況（每兩個正五邊形所夾的銳角都相等，即），拼接一圈后，若中間形成一個正六邊形，則每兩個正五邊形所夾的銳角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點撥】本題考查了正多邊形，多邊形的內角和等知識，求出正五邊形和正六邊形的每個內角，即可求解，掌握多邊形的內角和公式是解題的關鍵．
【規范解答】解：正五邊形的每個內角為：
，
正六邊形的每個內角為：
，
∴每兩個正五邊形所夾的銳角為：
，
故選：C．
【訓練1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間沒有空隙、也不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．下列形狀的瓷磚，不可以鑲嵌平面的是（　　）
A．正方形 B．長方形 C．正六邊形 D．正八邊形
【答案】D
【思路點撥】此題考查鑲嵌問題，正確掌握各正多邊形的每個內角的度數及鑲嵌的計算方法是解題的關鍵．進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應是，因此我們只需要驗證是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內角度數的整數倍即可．
【規范解答】A、正方形每個內角的度數為，，所以正方形可以鑲嵌平面,故該選項不符合題意；
B、長方形每個內角的度數為，，所以長方形可以鑲嵌平面,故該選項不符合題意；
C、正六邊形的每個內角的度數為，，所以正六邊形可以鑲嵌平面,故該選項不符合題意；
D、正八邊形的每個內角的度數為，，所以正六邊形不可以鑲嵌平面,故該選項符合題意．
故選：D．
【訓練2】（23-24八年級上·山東煙臺·期末）小穎家買了新樓，她想在邊長相同的①正三角形、②正方形、③正五邊形、④正六邊形四種瓷磚中，選擇一些瓷磚進行地面的鑲嵌（彼此之間不留空隙、不重疊）．
(1)她想選用兩種瓷磚，若已選用正三角形瓷磚，則可以再選擇的是______瓷磚（填寫序號）；
(2)她發現僅用正五邊形瓷磚不能鑲嵌地面，若將三塊相同的正五邊形瓷磚按如圖所示放置，求的度數．
【答案】(1)②或④，
(2)．
【思路點撥】此題考查鑲嵌問題，正確掌握各正多邊形的每個內角的度數及鑲嵌的計算方法是解題的關鍵．
（1）進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應是，因此我們只需要驗證是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內角度數的整數倍即可；
（2）求出正五邊形的三個內角和，再用減掉即可．
【規范解答】（1）解：正三角形一個內角是，
正方形的一個內角是，
正五邊形的一個內角是，
正六邊形的一個內角是，
∴可以進行地面的鑲嵌是②或④．
（2）解：正五邊形的每個內角度數為．
所以，．
期末考向二：中心對稱
重點考點講練13：根據中心對稱的性質求面積、長度、角度
【母題精講】（23-24八年級下·江西宜春·期末）（1）解方程：；
（2）如圖，與關于C點成中心對稱，若，，，求的長．
【答案】（1）；（2）
【思路點撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，中心對稱圖形的性質，全等的性質，勾股定理等知識．
（1）利用因式分解的方法解出方程即可；
（2）根據與關于C點成中心對稱，可得，即可得，，，進而有，在中，利用勾股定理即可求解．
【規范解答】（1）解：∵，
∴，
則或，
解得；
（2）解：∵與關于C點成中心對稱，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，有：．
即．
【訓練1】（22-23八年級下·福建寧德·期末）如圖，直線：與y軸交于點A，與直線：交于點B，直線與y軸交于點C，點在射線上，過點P作直線軸，垂足為E，直線交直線于點Q．

(1)求點B的坐標及線段的長；
(2)當點P在線段的延長線上，且線段與關于點B成中心對稱時，求點P 的坐標；
(3)當時，求m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【思路點撥】（1）根據直線上點的坐標特征求得A、C的坐標，即可求得，解析式聯立，解方程組即可求得B點的坐標；
（2）根據題意得出，即可得到，解得m的值，即可求得P的坐標；
（3）根據，借助圖象即可得到當時，則，解得；當時，則，解得．
【規范解答】（1）在直線中，令，則，
∴，
在直線中，令，則，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（2）設，則，
∵線段與關于點B成中心對稱　
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）設，則，
由題意可知，，
當時，則，
解得；
當時，則，
解得，
綜上，m的取值范圍是或．

【訓練2】（22-23八年級下·遼寧朝陽·期末）如圖，與關于點成中心對稱，，，，則 ．

【答案】1
【思路點撥】根據中心對稱的性質，得出，，再根據勾股定理求出，即可求解．
【規范解答】解：∵與關于點成中心對稱，，
∴，，
∵，，
∴根據勾股定理可得：，
∴，
故答案為：1．
重點考點講練14：在方格紙中補畫圖形使之成為中心對稱圖形
【母題精講】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖，在的方格中，每個小正方形的邊長為1，請按下列要求畫出格點四邊形（頂點均為小正方形的頂點）．
(1)在圖1中畫一個以為邊的四邊形，且該四邊形為中心對稱圖形；
(2)在圖2中畫一個以為邊，面積為8的菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【思路點撥】本題考查了中心對稱圖形、菱形、勾股定理與網格問題，熟練掌握中心對稱圖形和菱形是解題關鍵．
（1）結合網格和勾股定理，畫出正方形即可得；
（2）結合網格和勾股定理，畫出菱形即可得．
【規范解答】（1）解：如圖，四邊形即為所作．
（2）解：如圖，菱形即為所作．
【訓練1】（23-24八年級下·河北保定·期末）請按下列要求畫圖（每小問各畫出一種即可）．
(1)在圖1中添加1個正方形，使它成軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．
(2)在圖2中添加1個正方形，使它成中心對稱圖形但不是軸對稱圖形．
(3)在圖3中改變1個正方形的位置，從而得到一個新圖形，并使它既成中心對稱圖形，又成軸對稱圖形，在圖4中畫出符合條件的圖形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【思路點撥】本題綜合考查了中心對稱圖形及軸對稱圖形的性質，及其作圖的方法，找對稱軸及對稱點是關鍵．
（1）根據軸對稱圖形的性質，先找出對稱軸，再思考如何畫圖；
（2）先找一個中心，再根據中心對稱的性質，畫圖即可；
（3）根據中心對稱和軸對稱的性質畫一個圖形．
【規范解答】（1）解：如圖，
（2）解：如圖，
（3）解：如圖，
【訓練2】（23-24八年級下·重慶南岸·期末）如圖所示，在平面直角坐標系內，三個頂點坐標分別為，，．

(1)在圖中，畫出向右平移7個單位得到的；
(2)在圖中，畫出以點為對稱中心，與成中心對稱圖形，并寫出點，，的坐標；
(3)在軸上存在點，使得最短，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析，
(3)
【思路點撥】本題主要考查了平移作圖、中心對稱作圖、最短路徑問題等知識點，正確作出圖形是解題的關鍵．
（1）先將三點向右平移7個單位得到，然后順次連接即可；
（2）先根據中心對稱作出的對應點，然后順次連接即可完成作圖，再讀出，，即可；
（3）如圖：作關于y軸的對稱點,連接,與y軸的交點即為P點，然后根據圖像確定點P的坐標即可．
【規范解答】（1）解：如圖：即為所求．
（2）解：如圖：即為所求；
．
（3）解：如圖：作關于y軸的對稱點,連接,與y軸的交點即為P點，由圖像可得．

重點考點講練15：中心對稱圖形規律問題
【母題精講】（22-23八年級上·山東濟南·期末）在平面直角坐標系中，點，的對稱中心是點A，另取兩點，．有一電子青蛙從點處開始依次作關于點A，B，C的循環對稱跳動，即第一次跳到點關于點A的對稱點處，接著跳到點關于點B的對稱點處，第三次再跳到點關于點C的對稱點處，第四次再跳到點關于點A的對稱點處，…，則點的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【思路點撥】本題考查了坐標規律探究，中心對稱，坐標與圖形變化對稱，利用中心對稱找出坐標規律是解題的關鍵．
首先利用題目所給公式一次求出前幾個點的坐標，→→→→→→→…由此得到的坐標和的坐標相同，的坐標和的坐標相同，即坐標以6為周期循環，利用這個規律即可求出點的坐標．
【規范解答】解：∵點關于點的對稱點，
∴，
∴，，
∴，
同理可得點，，，，，…
∴點P每6次一循環，
∵
∴點與點坐標相同，即．
故選：D．
【訓練1】（22-23八年級上·河北保定·期末）已知點，點，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關于點的對稱點（即，，三點共線，且），關于點的對稱點，關于點的對稱點，…按此規律繼續以，，三點為對稱點重復前面的操作．依次得到點，，…，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】先利用定義依次求出各點，再總結規律即可求解．
【規范解答】解：由題意，，，，，，，， ……
可得每6次為一個循環，
∵，
∴點的坐標是，
故選：A．
【訓練2】（22-23八年級下·江西撫州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標為，，，各頂點的坐標為，，．

(1)在圖中作出關于軸對稱的圖形；
(2)若與關于點成中心對稱，則點的坐標是______；
(3)在軸上找一點，使得最小，并寫出點的坐標．（不寫解答過程，直接寫出結果）
【答案】(1)作圖見解析
(2)
(3)作圖見解析，
【思路點撥】（1）由題意確定點，，的位置，再連線即可；
（2）根據中心對稱的性質求解即可；
（3）作點關于軸的對稱點，連接，交軸的交點即為所求的點．
【規范解答】（1）解：如圖所示：
即為所求；
（2）解： 由與關于點成中心對稱，如圖所示，則與是對稱點，
，，
點的橫坐標為，縱坐標為，即點的坐標為，
故答案為：；
（3）解：如圖所示：
點即為所求，．
重點考點講練16：已知兩點關于原點對稱求參數
【母題精講】（22-23八年級上·貴州畢節·期末）在平面直角坐標系中，若點與點關于原點對稱，則點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【思路點撥】根據關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數，求得的值，即可求解．
【規范解答】解：∵點與點關于原點對稱，
∴,
∴,
∴在第三象限，
故選：C．
【訓練1】（21-22八年級下·廣東深圳·期末）若點P（a－1，5）與點Q（5，1－b）關于原點成中心對稱，則a＋b＝ ．
【答案】2
【思路點撥】根據關于原點對稱的性質得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，問題得解．
【規范解答】解：∵點P（a－1，5）與點Q（5，1－b）關于原點成中心對稱，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案為：2
【訓練2】（20-21九年級上·河南·期末）已知點M（2+m，m﹣1）關于原點的對稱點在第二象限，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【思路點撥】直接利用關于原點對稱點的性質得出對應點，進而利用第二象限點的坐標特點得出答案．
【規范解答】解：點M（2+m，m﹣1）關于原點的對稱點為：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案為：﹣2＜m＜1．
重點考點講練17：按圖形的變換要求畫出另一個圖形
【母題精講】（19-20八年級下·山東濟南·期末）在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系，的位置如圖所示，先作與關于原點中心對稱的，再把向上平移個單位長度得到．

(1)作出和；
(2)與關于某點成中心對稱，則對稱中心的坐標是______．
【答案】(1)見解析
(2)
【思路點撥】（1）根據中心對稱與平移的性質，畫出和；
（2）連接則的中點即為所求．
【規范解答】（1）如圖所示．如圖所示．

（2）連接則的中點即為所求，
∵，
∴，
∴對稱中心為；

【訓練1】（22-23八年級下·北京昌平·期末）對于點和圖形，若點關于圖形上任意的一點的對稱點為點，所有點組成的圖形為，則稱圖形為點關于圖形的“對稱圖形”．在平面直角坐標系中，已知點，，，．
(1)①在點，，中，是點關于線段的“對稱圖形”上的點有 ．
②畫出點關于四邊形的“對稱圖形”；
(2)點是軸上的一動點．
①若點關于四邊形的“對稱圖形”與關于四邊形的“對稱圖形”有公共點，求的取值范圍；
②直線與軸交于點，與軸交于點，線段上存在點，使得點是點關于四邊形的“對稱圖形”上的點，直接寫出的取值范圍
【答案】(1)①點E，點F，②圖見解析．
(2)①，②或
【思路點撥】根據點關于圖形的“對稱圖形”的定義，可以在圖形上找幾個特殊點（線段的端點），作出點關于這些特殊點的對稱點，大體描繪圖形的形狀．
（1）①作出點關于點、的對稱點、，得到點關于線段的“對稱圖形”是一條線段；
②先畫出點關于四邊形的四個頂點中心對稱的對應點，再順次連接可以得到點關于四邊形的“對稱圖形”是一個正方形；
（2）①點關于四邊形的“對稱圖形”也是一個正方形，與關于四邊形的“對稱圖形”大小一樣，只是隨的變化左右移動，可以用數形結合求解；
②是動線段與動正方形的交點問題，沿用數形結合求解．
【規范解答】（1）解：①根據點關于圖形的“對稱圖形”的定義，點關于線段的“對稱圖形”是線段，如圖所示其中點，．故點，在線段上．
故答案為：點，點；
②點關于四邊形的“對稱圖形”為四邊形．
（2）①動點關于四邊形的“對稱圖形”為四邊形，如圖所示．利用中點坐標公式可得到點，，，．四邊形隨的變化左右移動，當四邊形與四邊形有公共點時，應滿足：
，
，
②要使得點是四邊形上的點，需滿足：
或，
或．
【訓練2】（21-22八年級下·遼寧沈陽·期末）如圖，平面直角坐標系中， 三個頂點的坐標分別為．
(1)平移到，其中點A的對應點的坐標為，請在圖中畫出；
(2)以點O為旋轉中心，將按順時針方向旋轉得，請在圖中畫出；
(3)與關于某點成中心對稱，請直接寫出該點的坐標為____________．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)（－3，1）
【思路點撥】（1）利用點和點的坐標特征得到平移的方向和距離，然后利用此規律得到、的坐標，然后順次連接即可；
（2）根據關于原點對稱點的性質分別得到、、的坐標，然后順次連接即可；
（3）如圖，連接、、，則、、都經過點，故可知點為對稱中心，再根據坐標系寫出坐標即可．
【規范解答】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：如圖，可知與關于點成中心對稱，
故答案為：（－3，1）．
期末考向三：平行四邊形的判定定理
重點考點講練18：求與已知三點組成平行四邊形的點的個數
【母題精講】（23-24八年級下·湖北武漢·期末）如圖（1），在平面直角坐標系中，直線（k是常數，）與坐標軸分別交于點A，點B，且點B的坐標為．
(1)求點A的坐標；
(2)P是x軸上一點，已知，求點P的坐標；
(3)如圖（2），已知AC平分，D為的中點．
①請直接寫出直線的解析式；
②點M在直線上，在x軸上取點N，使以M、A、N、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點N的坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)①；②或或
【思路點撥】（1）把點代入，求出k值，從而得到一次函數解析式，再令，求出x值，即可求得點A坐標；
（2）分兩種情況：①當點P在點A右側時，②當點P在點A右側時，分別求解艱險可；
（3）①過點C作于E，證明，得到，，從而求得點，再用待定系數法求得直線解析式為，然后令，求出x的值，即可得點P坐標；
②分兩種情況：a)當為四邊形對角線時，有平行四邊形；b)當為四邊形的邊時，i)當點M、N在左側時，則有平行四邊形；ii)當點M、N在右側時，則有平行四邊形；分別 求解即可．
【規范解答】（1）解：把點代入，得
解得：，
∴
令，則，
解得：，
∴．
（2）解：由得，
由得，
分兩種情況：①當點P在點A右側時，過點A作于D，且，連接與x軸交于點P，過點D作軸于E，
則，
∴
∴
又∵
∴
∴，，
∴
∴，
設直線解析式為，
把，代入，得
，解得，
∴直線解析式為，
令，則
解得：，
∴；
②當點P在點A右側時，過點A作，且，連接，則與x軸交于點p，
同理可得，
同樣用待定系數法可求得直線解析式為；
令，則，
解得：，
∴，
綜上，點P的坐標為或．
（3）解：①過點C作于E，如圖，
∵，，
∴，
∵D為的中點，
∴，
∵AC平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得
即
解得：，
∴，
設直線解析式為：，
把，代入，得
，解得：，
∴直線解析式為；
②分兩種情況：a)當為四邊形對角線時，有平行四邊形，如圖，
∵
∴與互相平分，
∵D為的中點，
∴D為的中點，
∴此時，點N是直線與x軸的交點，
∵直線解析式為；
令，則，
∴；
b)當為四邊形的邊時，i)當點M、N在左側時，則有平行四邊形，
∴，
∴點M的縱坐標與點B縱坐標相等，為8，
把代入，解得：，
∴
∴
∴，
ii)當點M、N在右側時，則有平行四邊形，
∴，
則，，
∴，
∴
∴
∴
∴此時；
綜上，以M、A、N、B為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的坐標為或或．
【訓練1】（22-23八年級下·陜西西安·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于點A、B，直線交直線AB于點C，交軸于點D，點D的坐標為，點C的橫坐標為4．

(1)求直線的函數解析式；
(2)在坐標平面內是否存在這樣的點F，使以A、C、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點F的坐標為或或
【思路點撥】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出點C的坐標，根據點C，D的坐標，利用待定系數法即可求出直線的函數解析式；
（2）存在，設點F的坐標為，分為對角線，為對角線及為對角線三種情況考慮，利用平行四邊形的性質（對角線互相平分），即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點F的坐標．
【規范解答】（1）（1）當時，，
∴點C的坐標為；
設直線的函數解析式為，
將點，代入，
得：，
所以
則直線的函數解析式：
（2）解：存在，設點F的坐標為，
當時，，
解得：，
∴點A的坐標為．
若使以A、C、D、F為頂點的四邊形為平行四邊形，分三種情況討論：

①當為對角線時，記為點，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
解得，
所以的坐標為；
②當為對角線時，記為點F2，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
解得：，
∴點的坐標為（11，4）；
③當為對角線時，記為點，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
解得：，
∴點的坐標為；
綜上所述，存在點F，使以A、C、D、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點F的坐標為或或．
【訓練2】（22-23八年級下·廣東中山·期末）定義“點對圖形的可視度”：在平面直角坐標系中，對于點P和圖形，若圖形上所有的點都在的內部或的邊上，則的最小值稱為點對圖形的可視度．如圖1，點對線段的可視度為的度數．

(1)如圖2，已知點，，，．連接，，則的度數為點對的可視度．求證：；
(2)如圖3，已知四邊形為正方形，其中點，．直線與軸交于點，與軸交于點，其中點對正方形的可視度為．求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標系內是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形 若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)點的坐標為
(3)存在，點的坐標為或或
【思路點撥】（1）如圖，過點作于點，構成直角三角形和直角三角形，利用，，的坐標先求出，，，的值，再由勾股定理求出和的值，證得，即可得出結論；
（2）如圖，連接，，令與軸的交點為，由題意得，先求出點坐標為，證得軸垂直平分，再證明是等邊三角形，由勾股定理求出的值，進而求出的值，即可得出的坐標，再用待定系數法求出直線的函數解析式，令，即可求得出的坐標；
（3）根據平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的平行四邊形是平行四邊形，可判斷在平面直角坐標系內存在點M，使以點A，B，E，M為頂點的四邊形為平行四邊形，并根據已知點，，的坐標求出的坐標即可．
【規范解答】（1）證明：過點作于點，
∵，，，
∴軸，，，，，
∴，，
，
∴，
∴．

（2）解：如圖，連接，，令與軸的交點為，則的度數為點對正方形的可視度，即，
∵，，四邊形為正方形，
∴，∴，
∴點，關于軸對稱，
∴軸垂直平分，
∴，，
∵，∴為等邊三角形.，
∴，∴，
∴，
∴點的坐標為，
將點坐標代入中，得，
∴直線的解析式為，
令，得，
∴點的坐標為．

（3）解：存在，如圖，
過點作的平行線，在平行線上可取得兩點分別為，，使得，，可以得平行四邊形和平行四邊形，
得， ，
令與軸交點為，則，在軸上取，則，與 互相平分，連接，，，，即得到平行四邊形，
點的坐標為或或．

重點考點講練19：全等三角形拼平行四邊形問題
【母題精講】（22-23八年級下·河南南陽·期末）將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，可以拼得不同形狀的平行四邊形的個數是 個．
【答案】3
【思路點撥】利用兩全等三角形拼接，根據平行四邊形的性質進行判斷即可．
【規范解答】解：如圖所示，
將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，
可以拼得不同形狀的平行四邊形的有：，，，共3個．
故答案為：3．

【訓練1】（2021·青海·中考真題）如圖，在中，對角線，，垂足為，且，，則與之間的距離為 ．
【答案】．
【思路點撥】設與之間的距離為，由條件可知的面積是的面積的2倍，可求得的面積，，因此可求得的長．
【規范解答】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
設與之間的距離為，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
【訓練2】（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，由六個全等的正三角形拼成的圖中，平行四邊形的個數為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【思路點撥】本題主要考查了正多邊形的判定，以及平行四邊形的判定，由是由六個全等的正三角形拼成的，可得出是正六邊形，進而可得出，則四邊形是平行四邊形，同理可得出四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是平行四邊形．
【規范解答】解：∵是由六個全等的正三角形拼成的，
∴是正六邊形，
∴，，是正六邊形的對角線，
可得，
∴四邊形是平行四邊形，
同理：四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是平行四邊形，共6個，
故選C．
重點考點講練20：利用平行四邊形的判定與性質求解
【母題精講】（23-24八年級下·云南昭通·期末）如圖在平面直角坐標系中，點的坐標分、．且滿足，現將線段向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到，連接．
(1)求的值．
(2)點P是線段上的一個動點（不與重合），請找出之間的關系，并證明．
(3)點Q是線段上的動點，是否存在使四邊形面積最大，如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)，；
(2)，證明見解析
(3)存在，
【思路點撥】此題考查了平行四邊形的判定和性質、平移的性質、坐標與圖形等知識．
（1）根據絕對值的性質和二次根式的性質進行計算即可得；
（2）過點P作，利用平行線的性質得到，則，即可得到答案；
（3）求出點的坐標分、，則，，得到點R的坐標為，點S的坐標為，，四邊形是平行四邊形，則，作于點H，則，當點運動到點R時，取得最大值，即最大值為的長度，即，進一步即可求出答案．
【規范解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
如圖所示，過點P作，
∵
則，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，點Q的坐標為，理由如下：
由（1）可知，點的坐標分、．
∴，
∵線段向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到，
∴點R的坐標為，點S的坐標為，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
作于點H，則
∵點Q是線段上的動點，
∴當點運動到點R時，取得最大值，即最大值為的長度，即，
此時，即的最大值為，
∵四邊形的面積，
∴四邊形的面積最大值為，
此時點Q的坐標為；
【訓練1】（23-24八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在平行四邊形中，是的中點，連接．下列結論：①；②；③平分；④若，則平行四邊形的面積為24．其中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路點撥】根據平行四邊形性質得出，，，，根據，得出，即可判斷②正確；取的中點N，連接，證明四邊形為平行四邊形，得出，證明，根據等腰三角形的性質得出，，求出，即可判斷①正確；根據平行線的性質得出，根據，得出，證明，即可判斷③正確；求出，根據平行四邊形的性質得出，判斷④錯誤．
【規范解答】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正確；
取的中點N，連接，如圖所示：
則，
∵為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正確；
∵，，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，故④錯誤；
綜上分析可知：正確的有3個，故C正確．
故選：C．
【訓練2】（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖1，在四邊形中，，點E在上，平分，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，四邊形對角線交于點O，連接，
①探究之間的等量關系，并說明理由；
②若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①；理由見解析；②
【思路點撥】（1）根據角平分線的定義得出，，根據，得出，根據平行線的判定得出，根據，即可證明結論；
（2）①延長交于點F，證明，得出，，證明，，得出，根據直角三角形的性質得出，，證明，即可證明結論；
②過點E作于點M，過點O作于點N，根據中位線性質得出，，證明，得出，求出，證明四邊形為平行四邊形，得出，證明，得出，求出，根據勾股定理得出，，根據，求出，最后求出結果即可．
【規范解答】（1）證明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
（2）解：①；理由如下：
延長交于點F，如圖所示：
∵四邊形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點F為的中點，
∵為直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
②過點E作于點M，過點O作于點N，如圖所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，根據勾股定理得：，
∴在中，根據勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，負值舍去．
重點考點講練21：利用平行四邊形性質和判定證明
【母題精講】（21-22八年級下·廣東清遠·期末）如圖所示，在四邊形中，對角線相交于點O，于點 E，于點F， 連接， 若， 則下列結論：①；②③；④四 邊 形是平行四邊形． 其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【思路點撥】本題考查全等三角形的判定性質，平行四邊形的判定和性質．解題的關鍵是證明
．
證明，得到，進而得到，推出四邊形是平行四邊形；得到，進一步推出是平行四邊形，逐一進行判斷即可．
【規范解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴，
∴；故①正確；
∴，
∴四邊形是平行四邊形；故④正確；
∴，
∴即：；故②正確；
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，故③正確；
綜上，正確的有4個；
故選：D
【訓練1】（21-22八年級下·廣東清遠·期末）在一次數學課上，老師出示了這樣一道題目：如圖，是平行四邊形的對角 線，， 將沿折疊，使A 點落在上的點G 處，將邊沿折 疊，使點C 落在上的點H 處，求證：四邊形是平行四邊形．小麗選擇了先證明，再證明， 進而得到四邊形是平行四邊形，小明向老師提出 了另一種證明方法．
(1)小麗證明四邊形是平行四邊形的依據是______；
(2)按小明的想法寫出證明過程；
(3)當學生們完成了證明后，老師又提出如下問題，連接，，若，，試求四邊形的周長．
【答案】(1)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
(2)見解析
(3)
【思路點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是：
（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（2）根據平行四邊形的性質、折疊的性質可得出，根據平行線的判定得出，然后根據平行四邊形的定義即可得證；
（3）根據勾股定理求出，結合折疊可求出，在中，根據勾股定理可求出，在中，根據勾股定理可求出，同理求出，，即可求解．
【規范解答】（1）解：由題意知：在平行四邊形中，，，
∴，
∵折疊，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）證明：在平行四邊形中，，，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖，
∵，，，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
同理，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴四邊形的周長為．
【訓練2】（21-22八年級下·廣東清遠·期末）已知：如圖，點O是平行四邊形的對角線的中點，E，F 分別是和上的點， 且．
(1)求證：四邊形 是平行四邊形；
(2)求證：；
(3)求證：經過點O ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【思路點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定，掌握平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵．
（）利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可求證；
（）利用即可證明；
（3）連接，由點O是平行四邊形的對角線的中點，可得，再由四邊形是平行四邊形可證得結論．
【規范解答】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
即，
∴；
（3）證明：連接，
∵點O是平行四邊形的對角線的中點，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴經過點O．
重點考點講練22：平行四邊形性質和判定的應用
【母題精講】（22-23八年級下·陜西渭南·期末）問題背景：如圖，在等邊中，、兩點分別在邊、上，，以為邊作等邊，連接，，．

問題探究：
(1)求證：為等邊三角形；
(2)求證：四邊形為平行四邊形；
(3)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)．
【思路點撥】（）證，得，， 再證，即可得出結論；
（）由等邊三角形的性質得，， 再證， 然后證，即可得出結論；
（）過作于，由（）可知，再由等邊三角形的性質得，然后用面積公式即可求解．
【規范解答】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）證明：由（）可知，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖，過作于，則，

由（）可知，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴．
【訓練1】（22-23八年級下·安徽安慶·期末）如圖，在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點滿足時，稱點Q是點P的等積點．已知點．

（1）在，，中，點P的等積點是 ．
（2）點Q是點P的等積點，點C在x正半軸上，以O，P，Q，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點C的坐標為 ．
【答案】
【思路點撥】（1）根據定義通過計算可知，即可知道點P的等積點；
（2）設，則，即，可知點Q在直線上，且，當點Q在x軸上方時，則；當點Q在x軸上方時，則，分別求出x的值再求出點C的坐標即可．
【規范解答】（1）解：根據題意得，
因為，所以不是點P的等積點，
因為，所以是點P的等積點，
因為，所以不是點P的等積點，
故答案為：；
（2）解：如圖1所示：

設，則，即，
可知點Q在直線上，且，
作軸于點D，軸于點F，則，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
若點Q在x軸上方，則，即，
所以；
當點Q在x軸上方時，則，即，
所以；
因為點C在x正半軸上，
所以點C的坐標為，
故答案為：．
【訓練2】（21-22八年級下·湖南永州·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與交于點A，兩直線與x軸分別交于點B和點C，D是直線AC上的一動點，E是直線AB上的一動點．若以E，D，O，A為頂點的四邊形恰好為平行四邊形，則點E的坐標為 ．
【答案】或
【思路點撥】當OEAC時，由相互平行的兩條直線的一次項系數相同，可得到直線OE的解析式，然后將OE和AB的解析式聯立，組成方程組從而可求得點E的坐標；當DEOA時，ODAB時，先求得OD的解析式，然后聯立OD、AC，求得點D的坐標，然后再求得DE的解析式，將DE和AB聯立，組成方程組可解得點E的坐標．
【規范解答】解：①如圖1：當OEAD時，
∵OEAC，
所以直線OE的解析式為y=-2x，
聯立OE、AB，得
，解得，
即E1(-,)；
②如圖2：當DEOA時，ODAB時，
∵ODAB，
∴直線OD的解析式為y=x，
聯立OD、AC，得，
解得，
∴D(,)．
聯立AB、AC得
，
解得，
A(1，2)．
OA的解析式為y=2x，
∵DEOA，
∴設直線DE的解析式為y=2x+b，
將點D的坐標代入直線的解析式得：y=2x-，
聯立DE、AB得
，
解得，
E2(,)．
③當OA為對角線時，則OEAC，如圖1，
E(-,)
綜上所述：點E的坐標為(-,)或(,)．
故答案為：(-,)或(,)．
期末考向四：三角形的中位線
重點考點講練23：與三角形中位線有關的求解問題
【母題精講】（23-24八年級下·陜西咸陽·期末）如圖，四邊形中，為上一點，連接，點、分別是、的中點，連接，則的長等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】本題主要考查了三角形中位線的判定以及性質，平行四邊形的判定和性質，先證明，且，再證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質即可得出．
【規范解答】解：∵點、分別是、的中點，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
故選：B．
【訓練1】（24-25九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在中，，點D，點E分別是邊上的動點，連結，點F，點M 分別是的中點，則的最小值為（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【思路點撥】本題考查了等腰三角形三線合一的性質及三角形中位線定理，正確得出的最小值是解題的關鍵．過點B作于H，連接；當取最小值時，的值最小，由垂線段最短可知，當于點E時，的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質求出的長，進而利用三角形等面積法求解即可．
【規范解答】解：如圖，過點B作于H，連接；

∵F，M分別是的中點，
∴，
當取最小值時，的值最小，
由垂線段最短可知，當于點E時，的值最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【訓練2】（22-23八年級下·陜西咸陽·期末）【問題背景】如圖，在中，，分別是邊，上的中線，與相交于點．
【問題探究】
(1)如圖1，連接，若平分，，求的長度；
(2)如圖2，連接，延長交于點，若，，，求的長度．
【答案】(1)6
(2)
【思路點撥】本題主要考查了中位線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．
（1）根據三角形中位線定義以及角平分線的定義，等腰三角形的判定可得，再根據中點的定義即可解答；
（2）先證明可得，進而證明可得，即；根據等腰三角形三線合一的性質可得為等邊三角形，且，，即；然后運用等邊三角形三線合一的性質以及勾股定理求解即可．
【規范解答】（1）解：∵，分別是邊，上的中線，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，分別是邊，上的中線，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，，；
∵是邊上的中線，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
重點考點講練24：與三角形中位線有關的證明
【母題精講】（24-25八年級上·山東淄博·期末）知識回顧：已知，如圖（1）中，點是邊的中點，點是邊的中點，連接．則與的關系為：_____（用符號語言表達）．
知識應用：已知，如圖（2），四邊形中，，點，分別為，的中點，連接．請猜想線段，，之間的關系，并說明理由．
【答案】知識回顧：，；知識應用：，理由見解析
【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的中位線的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
知識回顧：根據三角形的中位線的性質可得結論；
知識應用：連接并延長交的延長線于點G，證明，可得，，再結合三角形的中位線的性質可得結論．
【規范解答】解：知識回顧：由題意可得：與的關系為：，；
知識應用：
，理由如下：
連接并延長交的延長線于點G，

∵，
∴，，
∵N是的中點，
∴，
∴，
∴，，
∵M是的中點，N是的中點，
∴，
∴．
【訓練1】（24-25八年級上·山東東營·期末）（1）如圖1，，分別是的外角平分線，過點作，，垂足分別為，，連接，延長，，與直線分別交于點，，那么線段與三邊之間數量關系是__________（直接寫出結果）．
（2）如圖2，若，分別是的內角平分線，其他條件不變，那么線段與三邊之間數量關系是__________．
（3）如圖3，若為的內角平分線，為的外角平分線，其他條件不變，那么線段與三邊之間數量關系是__________．
【答案】（1）；（2）（3）
【思路點撥】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的性質和判定等知識點，解此題的關鍵是作輔助線構造全等三角形求解．
（1）根據證明，推出，，同理，，然后根據中位線的性質即可得出答案；
（2）延長，，與直線分別交于點，，與（1）類似可以證出答案；
（3）延長，，與直線分別交于點，，與（1）方法類同即可證出答案．
【規范解答】（1）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
同理，，，
∴是的中位線，
∴．
（2）解：．
證明：如圖2，延長，，與直線分別交于點，．

∵，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴，．
同理，，，
∴是的中位線，
∴．
（3）解：
如圖3，延長，，與直線分別交于點，．

∵，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴，．
同理，，，
∴是的中位線，
∴．
【訓練2】（24-25八年級上·山東威海·期末）如圖，在中，和的角平分線，交于邊上的點．
(1)求證：E為的中點；
(2)若點F為的中點，連接交于點G．寫出與間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)詳見解析
(2)，理由見解析
【思路點撥】（1）由平行四邊形的性質得，，則，，而，，所以，，則，，所以，則為的中點；
（2）取的中點，連接，由三角形的中位線定理得，，即可證明，，推導出，則，得，由，，得，則．
【規范解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
點在邊上，且平分，平分，
，，
，，
，，
，
為的中點．
（2）解：，理由如下：
取的中點，連接，
點為的中點，
，，
∵，，且，
，，
，
在和，
，
，
，
，
∵，
，
，且，
．
重點考點講練25：三角形中位線的實際應用
【母題精講】（23-24八年級下·山東德州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，過點的直線與軸交于點，直線交軸正半軸于點，，點是直線上的動點．
(1)求直線的解析式．
(2)如果三角形的面積等于三角形面積的三分之一，求點的坐標．
(3)已知點在線段上，連結、、．若，求線段的長．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【思路點撥】（1）把點代入直線得，設直線解析式為，代入得，即可求出直線解析式．
（2）設，當在延長線上時，，在計算即可，當在線段上時，，再計算，即可點的坐標．
（3）當時，得為中位線，故，即可求解．
【規范解答】（1）解：∵點在直線上，
∴，
∴，
∵，
∴，
設直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為．
（2）解：設，
當在延長線上時，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
當在線段上時，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：點的坐標為或．
（3）當時，如圖：
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴為中位線，
∴．
答：的長為．
【訓練1】（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，在中，，，，，．
(1)求線段的長；
(2)如圖2，連接，把線段繞點逆時針旋轉90°到，連接，取線段的中點，連接，請判斷線段與的數量關系，并說明理由；
(3)如圖3，點是線段上一點，把線段繞點逆時針旋轉45°得到，連接，請直接寫出線段的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由見詳解
(3)
【思路點撥】（1）由，可得，根據，可得，，又是等腰直角三角形，即得；
（2）連接，證明，得，從而，根據G為的中點，有，證明，得，故；
（3）在上取一點H，使，連接，證明，可得，當最小時，最小，此時，故的最小值為．
【規范解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴線段的長為；
（2），理由如下：
連接，如圖：
∵把線段繞點E逆時針旋轉到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵G為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）在上取一點H，使，連接，如圖：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵把線段繞點B逆時針旋轉得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當最小時，最小，此時，如圖：
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值為．
【訓練2】（22-23八年級下·安徽·期末）如圖，在中，，點D為形外一點，且，，M為的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，不需要證明）

(1)在圖1中，畫出的邊上的中線；
(2)在圖2中，先畫出邊的中點E，再畫出的邊上的高．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【思路點撥】（1）連接，與交于點，連接，即為所求；
（2）分別連接，交于一點，并連接與交于點，連接，即為所求．
【規范解答】（1）如圖所示；

作法：連接，與交于點，連接，即為所求；
證明：∵，M為的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又∵，M為的中點，
∴為的中位線，
∴是的中點，
即為的邊上的中線．
（2）如圖所示；

作法：分別連接，交于一點，并連接與交于點，連接，即為所求；如圖：

證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴，是平行四邊形的對角線，
∴點是，的中點，
又∵為的中位線，
∴，
∴ 的中位線，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
即是的中點，
∵，
∴是的邊上的高．
期末考向五：反證法
重點考點講練26：反證法證明中的假設
【母題精講】（24-25八年級上·河南南陽·期末）用反證法證明命題“如果，那么”的第一步應假設 ．
【答案】
【思路點撥】本題主要考查反證法，熟練掌握反證法是解題的關鍵．根據反證法得到第一步假設即可得到答案．
【規范解答】解：“如果，那么”的第一步應假設，
故答案為：．
【訓練1】（24-25八年級上·河南南陽·期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．用反證法證明“”時，應假設
B．“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是真命題
C．帶根號的數一定是無理數
D．多項式與的公因式為
【答案】C
【思路點撥】本題考查了逆命題和真命題，反證法，平行線的判定與性質，無理數，因式分解．根據反證法，平行線的判定與性質，無理數的定義，因式分解以及逆命題和真命題的定義求解即可．
【規范解答】解：A．用反證法證明“”時，應假設，原說法正確，不符合題意；
B．“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是：兩直線平行，同位角相等，是真命題，原說法正確，不符合題意；
C．帶根號的數不一定是無理數，如是有理數，原說法錯誤，符合題意；
D．多項式與的公因式為，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
【訓練2】（23-24八年級上·河南洛陽·期末）用反證法證明命題：“已知，求證：．”第一步應先假設 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查了反證法，根據反證法的步驟，先假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立，進行作答即可，掌握反證法的步驟是解題的關鍵．
【規范解答】解：第一步應先假設，
故答案為：．
重點考點講練27：用反證法證明命題
【母題精講】（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，在中，，是的平分線，是邊上的中線．用反證法說明點與點不重合 ．
【答案】假設點M與點D重合，延長到N，使，連接，可證得，則有和，根據角平分線的性質得，可得到得出矛盾，假設不成立．
【思路點撥】本題主要考查反證法，涉及全等三角形的判定和性質、角平分線的性質以及等腰三角形的性質．假設點M與點D重合，延長到N，使，連接，可證得，有和，根據角平分線的性質得，可得到得出矛盾，假設不成立．
【規范解答】證明：假設點M與點D重合．延長到N，使，連接．
在和中，
∵是邊上的中線．
∴，
∵，，
∴；
∴，；
∵（）是的平分線，
∴，
∴，
則，
即，與相矛盾．
因而M與點D重合是錯誤的．
所以點M與點D不重合．
【訓練1】（23-24八年級上·湖南邵陽·期末）如圖，在中，，平分交于點D，平分交于點E，，交于點F．則下列說法正確的有（ ）
①；②；③若，則；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【思路點撥】①根據三角形內角和定理可得可得，然后根據平分，平分B，可得，再根據三角形內角和定理即可進行判斷；
②用反證法即可判斷；
③延長至G，使，連接，根據，證明，得，然后根據等腰三角形的性質進而可以進行判斷；
④作的平分線交于點G，證明，可得，進而可以判斷；
【規范解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正確，符合題意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知條件無法證明，
故②錯誤，不符合題意；
③如圖，延長至G，使，連接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵為角平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正確，符合題意；
④如圖，作的平分線交于點G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正確，符合題意；
故選C．
【訓練2】（23-24八年級上·山西臨汾·期末）反證法是數學證明的一種重要方法．請將下面運用反證法進行證明的過程補全．
已知：在中，．求證：．
證明：假設_____________________．
∵，
∴，
∴，
這與_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
【答案】；三角形內角和定理或三角形的內角和等于相矛盾；此假設
【思路點撥】根據反證法的證明步驟分析即可．
【規范解答】解：證明：假設
∵，
∴，
∴，
這與三角形內角和定理或三角形的內角和等于相矛盾．
∴此假設不成立．
∴，
故答案為：；三角形內角和定理或三角形的內角和等于相矛盾；此假設．
中檔題—夯實基礎能力
1．（24-25八年級上·福建泉州·期末）“證明：若，則”，用反證法證明這個結論時，應先假設（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點撥】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．根據反證法的步驟，直接得出答案即可．
【規范解答】用反證法證明若，則”時，應先假設．
故選B．
2．（24-25八年級上·遼寧盤錦·期末）若一個多邊形的每個內角都是，則該多邊形為（ ）
A．十邊形 B．八邊形 C．六邊形 D．四邊形
【答案】B
【思路點撥】本題主要考查了正多邊形內角和問題，設這個多邊形的邊數為n，根據n邊形內角和為列出方程求解即可．
【規范解答】解；設這個多邊形的邊數為n，
由題意得，，
解得：，
∴該多邊形的邊數為8，即該多邊形為八邊形，
故選：B．
3．（24-25八年級上·山西朔州·期末）石墨烯在材料學、微納加工、能源、生物醫學和藥物傳遞等方面具有重要的應用前景．它的分子結構如圖所示，六邊形的外角和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點撥】本題考查了多邊形的外角定理，根據多邊形的外角和為即可求解，掌握多邊形的外角和為是解題的關鍵．
【規范解答】解：六邊形的外角和為，
故選：．
4．（22-23八年級下·陜西西安·期末）如果點和點關于原點對稱，則點的坐標為 ．
【答案】
【思路點撥】本題考查點的對稱性，點關于原點對稱的點的坐標特征是：橫、縱坐標均互為相反數，熟記關于原點對稱的點的坐標特征是解決問題的關鍵．
【規范解答】解：若點與點關于原點對稱，則點的坐標為，
故答案為：．
5．（24-25八年級上·福建廈門·期末）如圖，以正六邊形的邊向內作正方形，則的度數為 ．
【答案】/30度
【思路點撥】本題考查正多邊形的性質，由正多邊形的每個內角相等，求出，進而得由．解題的關鍵是掌握正多邊形的每個內角相等．
【規范解答】解：∵正六邊形，
∴，
又∵正方形，
∴，
∴，
故答案為：．
6．（24-25八年級上·山東威海·期末）一個平行四邊形在平面直角坐標系中三個頂點的坐標為，，，則第四個頂點的坐標為
【答案】或或
【思路點撥】此題考查了平行四邊形的性質，二元一次方程組的應用，解題的關鍵是正確分情況討論．
設第四個頂點的坐標為，根據平行四邊形的性質分三種情況，然后分別列出方程組求解即可．
【規范解答】解：∵一個平行四邊形在平面直角坐標系中三個頂點的坐標為，，，
設第四個頂點的坐標為
當點和是對角頂點坐標時，
∴
∴第四個頂點的坐標為；
當點和是對角頂點坐標時，
∴
∴第四個頂點的坐標為；
當點和是對角頂點坐標時，
∴
∴第四個頂點的坐標為；
綜上所述，第四個頂點的坐標為或或．
故答案為：或或．
7．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，E、F分別是、邊上的一點（不與端點重合），．求證：．
【答案】見解析
【思路點撥】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由平行四邊形得到，，，結合，根據平行線的性質得到，即可證明全等．
【規范解答】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（21-22八年級下·廣東清遠·期末）如圖，在中 ，平分，交于點 F， 交的延長線于點E． 求證．
【答案】見解析
【思路點撥】本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的性質，是解決問題的關鍵．
由平行四邊形的性質得，，，從而，由角平分線得出，從而，進而可證結論成立．
【規范解答】證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
是的平分線，
，
，
，
．
9．（21-22八年級下·廣東清遠·期末）如圖，在平行四邊形中，點O 是對角線的中點，過點O， 交于點E，交于點F．求證：．
【答案】證明見解析
【思路點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定，先由平行四邊形對邊平行得到，則，再由線段中點的定義得到，據此可根據證明．
【規范解答】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點O 是對角線的中點，
∴，
∴．
10．（23-24八年級下·廣東清遠·期末）如圖，在 中 ，D、E 分別是、的中點，F 是 延長線上的點，且．
(1)圖中的平行四邊形有哪幾個 請選擇其中一個進行證明；
(2)與的面積相等嗎 請說明理由．
【答案】(1)平行四邊形，平行四邊形，證明見解析
(2)相等，理由見解析
【思路點撥】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，關鍵是掌握平行四邊形的判定定理，掌握平行四邊形對角線分成的四個小三角形面積相等．
（1）根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形ADCF是平行四邊形，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形；
（2）根據等底等高的三角形面積相等即可證明．
【規范解答】（1）（1）圖中的平行四邊形有：平行四邊形，平行四邊形，
理由是：∵E為的中點，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵D為的中點，
∴，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）由（1）知四邊形是平行四邊形，
∴ ，
∴．
壓軸題—強化解題技能
11．（23-24八年級下·黑龍江牡丹江·期末）一組數據，，，的平均數與中位數相同，則的值是（ ）
A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5
11．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，的周長是，對角線與交于點，，的周長2024-2025學年浙教版數學八年級下學期期末復習知識串講（優等生培優版）
第4章 平行四邊形
（思維導圖+知識梳理+易錯點撥+27大考點講練+優選真題難度分層練 共101題）
講義簡介 2
思維導圖指引 3
章節知識回顧梳理 3
知識點梳理01：平行四邊形的定義 3
知識點梳理02：平行四邊形的性質定理 3
知識點梳理03：平行四邊形的判定定理 4
知識點梳理04：平行線間的距離 4
知識點梳理05：三角形的中位線 5
知識點梳理06：多邊形內角和、外角和 5
易錯考點點撥匯總 5
易錯知識點01：平行四邊形的定義與性質 5
易錯知識點02：行四邊形的判定 6
易錯知識點03：特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形） 6
易錯知識點04：三角形的中位線定理 7
易錯知識點05：綜合應用與幾何變換 7
易錯知識點06：典型錯誤題型示例 7
期末真題匯編考點講練 7
期末考向一：多邊形 7
重點考點講練01：多邊形截角后的邊數問題 7
重點考點講練02：多邊形對角線的條數問題 8
重點考點講練03：對角線分成的三角形個數問題 8
重點考點講練04：多邊形內角和問題 9
重點考點講練05：正多邊形的內角問題 10
重點考點講練06：多(少)算一個角問題 10
重點考點講練07：多邊形截角后的內角和問題 11
重點考點講練08：復雜圖形的內角和 11
重點考點講練09：正多邊形的外角問題 12
重點考點講練10：多邊形外角和的實際應用 13
重點考點講練11：多邊形內角和與外角和綜合 13
重點考點講練12：平面鑲嵌 14
期末考向二：中心對稱 15
重點考點講練13：根據中心對稱的性質求面積、長度、角度 15
重點考點講練14：在方格紙中補畫圖形使之成為中心對稱圖形 16
重點考點講練15：中心對稱圖形規律問題 18
重點考點講練16：已知兩點關于原點對稱求參數 19
重點考點講練17：按圖形的變換要求畫出另一個圖形 20
期末考向三：平行四邊形的判定定理 22
重點考點講練18：求與已知三點組成平行四邊形的點的個數 22
重點考點講練19：全等三角形拼平行四邊形問題 24
重點考點講練20：利用平行四邊形的判定與性質求解 25
重點考點講練21：利用平行四邊形性質和判定證明 27
重點考點講練22：平行四邊形性質和判定的應用 28
期末考向四：三角形的中位線 30
重點考點講練23：與三角形中位線有關的求解問題 30
重點考點講練24：與三角形中位線有關的證明 31
重點考點講練25：三角形中位線的實際應用 32
期末考向五：反證法 34
重點考點講練26：反證法證明中的假設 34
重點考點講練27：用反證法證明命題 35
優選真題難度分層練 36
中檔題—夯實基礎能力 36
壓軸題—強化解題技能 38
同學你好，本套講義針對課本內容同步制作，貼合書本內容。講義包含導圖指引，全章節知識點梳理，易錯點考點點撥，期末真題考點匯編講練，優選題難度分層訓練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期中期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識點梳理01：平行四邊形的定義
平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
【細節剖析】平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.
知識點梳理02：平行四邊形的性質定理
【高頻考點精講】
平行四邊形的對角相等；
平行四邊形的對邊相等；
平行四邊形的對角線互相平分；
【細節剖析】（1）平行四邊形的性質定理中邊的性質可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質可以證明線段的相等關系或倍半關系.
（2）由于平行四邊形的性質內容較多，在使用時根據需要進行選擇.
（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應聯系三角形三邊的不等關系來解決.
知識點梳理03：平行四邊形的判定定理
1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【細節剖析】這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個
行四邊形時，應選擇較簡單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據，也可作為“畫平行四邊形”的依據.
知識點梳理04：平行線間的距離
1.兩條平行線間的距離：
（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.
2．平行線性質定理及其推論
夾在兩條平行線間的平行線段相等.
平行線性質定理的推論：
夾在兩條平行線間的垂線段相等.
知識點梳理05：三角形的中位線
三角形的中位線
1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
【細節剖析】（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數量關系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
知識點梳理06：多邊形內角和、外角和
邊形的內角和為(－2)·180°(≥3)．
【細節剖析】(1)內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數；
(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；
多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.
易錯知識點01：平行四邊形的定義與性質
定義混淆
易錯點：誤認為“一組對邊平行且相等”或“兩組對角相等”可以直接作為平行四邊形的定義。
糾正：平行四邊形的定義是兩組對邊分別平行，其他性質（如對邊相等、對角相等）均是由定義推導出的性質，不能直接作為定義使用。
性質應用錯誤
邊與角的性質：解題時忽略“對邊相等”“對角相等”的隱含條件。
示例：若已知平行四邊形一個角為60°，誤認為鄰角也為60°（正確：鄰角互補，應為120°）。
對角線性質：對角線互相平分，但誤認為對角線相等（僅矩形、正方形對角線相等）。
示例：在非矩形的平行四邊形中，直接使用對角線相等解題導致錯誤。
易錯知識點02：行四邊形的判定
判定條件混淆
易錯點：將性質當作判定條件使用。例如，用“對角相等”直接判定平行四邊形（需結合其他條件）。
正確判定方法：
兩組對邊分別平行；
一組對邊平行且相等；
兩組對邊分別相等；
對角線互相平分；
兩組對角分別相等（需結合其他條件）。
邏輯不嚴謹
示例：證明四邊形是平行四邊形時，僅說明“一組對邊平行”而忽略“另一組對邊也平行”或“這組對邊相等”，導致判定不完整。
易錯知識點03：特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）
矩形與菱形的混淆
易錯點：誤將矩形的性質（如對角線相等）套用到菱形上，或反之。
關鍵區別：
矩形：四個角均為直角，對角線相等且平分。
菱形：四條邊相等，對角線垂直且平分對角。
正方形：同時具有矩形和菱形的所有性質。
正方形判定錯誤
易錯點：直接認為“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”，但需注意前提條件（如鄰邊相等或對角線垂直）。
正確判定：
先證明是矩形，再證明鄰邊相等；
先證明是菱形，再證明有一個角是直角。
對角線性質應用錯誤
示例：在菱形中，已知邊長為5，對角線長為6，誤用勾股定理計算另一條對角線時未除以2（正確：對角線互相平分，半長分別為3和未知，由勾股定理得另一對角線為8）。
易錯知識點04：三角形的中位線定理
中位線與中線的混淆
易錯點：誤將中位線（連接兩邊中點的線段）與中線（連接頂點與對邊中點的線段）混淆。
關鍵結論：
三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；
中位線定理的逆定理需謹慎使用（需附加平行條件）。
多中點問題遺漏條件
示例：在多邊形中，已知多個中點但未構造完整中位線，導致無法找到平行或比例關系。
易錯知識點05：綜合應用與幾何變換
動態問題分析不足
易錯點：在涉及平移、旋轉的題目中，忽略平行四邊形對稱性和不變性（如旋轉后對邊仍平行）。
應對：畫圖輔助分析，標出旋轉角或平移距離。
輔助線缺失
常見場景：
連接對角線將平行四邊形轉化為三角形；
作高將問題轉化為直角三角形；
平移線段構造中位線或全等三角形。
易錯知識點06：典型錯誤題型示例
條件遺漏
題目：“已知四邊形ABCD的對角線AC與BD互相平分，添加一個條件使其成為矩形。”
易錯：直接填“AC=BD”而忽略需先證明四邊形是平行四邊形（需補充“四邊形ABCD是平行四邊形”）。
坐標系中的計算錯誤
示例：在坐標系中求平行四邊形第四個頂點坐標時，未利用對邊平行或對角線中點公式，導致坐標錯誤。
期末考向一：多邊形
重點考點講練01：多邊形截角后的邊數問題
【母題精講】（22-23八年級上·黑龍江牡丹江·期末）一個多邊形的外角和是內角和的，若這個多邊形截去一個角后，則所形成的多邊形是 邊形．
【訓練1】（20-21八年級上·河北唐山·期末）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【訓練2】（22-23八年級上·四川自貢·期末）將一個四邊形截去一個角后，它不可能是（　　）
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
重點考點講練02：多邊形對角線的條數問題
【母題精講】（22-23八年級下·湖南株洲·期末）如圖，邊形，從邊形的一個頂點出發可以作 條對角線．若過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，邊形對角線的總條數等于邊數，則 ．
【訓練1】（22-23八年級下·安徽淮北·期末）一個多邊形的每一個內角都比相鄰的外角的3倍還多20°，則這個多邊形對角線的條數是（ ）
A．27 B．20 C．9 D．14
【訓練2】（22-23八年級下·浙江紹興·期末）在學習多邊形的相關知識時，小張同學和小王同學對老師布置“探究多邊形的對角線條數”的作業很感興趣，小張同學探究得到了邊形的對角線條數的公式，并通過上網查證自己探究的結論是正確的．下圖是兩位同學進行交流的情景．小王同學把哪個多邊形對角線的條數數錯了？請你通過計算或者畫圖來說明．

重點考點講練03：對角線分成的三角形個數問題
【母題精講】（22-23七年級上·重慶沙坪壩·期末）過多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成4個三角形，那么這個多邊形是（ ）
A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形
【訓練1】（22-23八年級上·湖北恩施·期末）我們知道，三角形的穩定性在日常生活中被廣泛運用.要使不同的木架不變形，四邊形木架至少要再釘1根木條；五邊形木架至少要再釘2根木條；…按這個規律，要使邊形木架不變形至少要再釘 根木條.（用表示，為大于3的整數）
【訓練2】（22-23七年級下·四川巴中·期末）從一個邊形的同一個頂點出發，分別連結這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形分割為個三角形，則的值是 ．
重點考點講練04：多邊形內角和問題
【母題精講】（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖， 度．
【訓練1】（21-22八年級上·河南信陽·期末）如圖，在四邊形中，，，E，F分別是，上的點，當的周長最小時，的度數為（ ）
A． B． C． D．
【訓練2】（22-23七年級下·河南周口·期末）閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
(1)這個“多加的銳角”是__________度．
(2)小明求的是幾邊形內角和？
(3)若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內角是多少度？
重點考點講練05：正多邊形的內角問題
【母題精講】（23-24七年級下·河南南陽·階段練習）用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個結，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【訓練1】（22-23八年級上·浙江臺州·期末）在平面內有個點，其中每三個點都能構成等腰三角形，我們把具有這樣性質的個點構成的點集稱為愛爾特希點集．如圖，四邊形的四個頂點構成愛爾特希點集，且，則 ，若平面內存在一個點與也構成愛爾特希點集，則 ．
【訓練2】（22-23八年級下·四川成都·期末）足球有12個正五邊形，20個正六邊形，一共32個面．通常由黑白兩種顏色組成．之所以如此設計，是因為用正六邊形的兩個內角和正工邊形的一個內角加起來略微小于，這樣由平面折疊而成的多面體充氣后最終就呈現為球形．如圖，在折疊前的平面上，拼接點處的縫隙的大小為 ．
重點考點講練06：多(少)算一個角問題
【母題精講】（20-21八年級下·四川達州·期末）已知一個多邊形多算了一個內角得到內角和是1960°，則這個多邊形是（ ）
A．十一邊形 B．十二邊形 C．十三邊形 D．十五邊形
【訓練1】（22-23八年級上·浙江寧波·期末）下列說法正確的是（ ）．
①若 ，則一元二次方程 必有一根為 -2．
②已知關于x 的方程 有兩實根，則k 的取值范圍是 ﹒
③一個多邊形對角線的條數等于它的邊數的 4倍，則這個多邊形的內角和為1620度 ．
④一個多邊形剪去一個角后，內角和為1800度 ，則原多邊形的邊數是 11或 12．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④
【訓練2】（22-23八年級下·甘肅張掖·期末）小明在計算內角和時，不小心漏掉了一個內角，其和為1160，則漏掉的那個內角的度數是 ．
重點考點講練07：多邊形截角后的內角和問題
【母題精講】（24-25八年級上·湖北荊州·期末）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【訓練1】（20-21八年級下·河北保定·期末）在一個凸n邊形的紙板上切下一個三角形后，剩下一個內角和為1080°的多邊形，則n的值為 ．
【訓練2】（20-21八年級下·河北石家莊·期末）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內角和相等，則符合條件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
重點考點講練08：復雜圖形的內角和
【母題精講】（24-25八年級上·海南三亞·期末）如圖，順次連接圖中六個點，得到以下圖形，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【訓練1】（19-20七年級下·江蘇揚州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【訓練2】（22-23七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，六邊形ABCDEF內部有一點G，連結BG、DG. 若，則∠BGD的大小為 度.
重點考點講練09：正多邊形的外角問題
【母題精講】（22-23八年級上·山西呂梁·期末）若一個正多邊形的外角與其相鄰的內角之比為，則該正多邊形的內角和的度數為 ．
【訓練1】（20-21七年級下·云南昆明·期末）如圖是一塊正多邊形的碎瓷片，經測得且，則這個正多邊形的邊數是 ．
【訓練2】（20-21七年級下·河南南陽·期末）如圖，五邊形中，，則的度數是 ．
重點考點講練10：多邊形外角和的實際應用
【母題精講】（22-23八年級下·四川達州·期末）如圖，的度數為（　　）
A． B． C． D．
【訓練1】（22-23八年級上·貴州遵義·期末）一個正多邊形，它的一個內角恰好是一個外角的倍，則這個正多邊形的邊數是（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十二
【訓練2】（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖，小明從點A出發，前進10m后向右轉20°，再前進10m后又向右轉20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發點A為止，他所走的路徑構成了一個多邊形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）這個多邊形的內角和是多少度？

重點考點講練11：多邊形內角和與外角和綜合
【母題精講】（23-24八年級上·河南商丘·期末）已知一個邊形的每一個外角都等于．
(1)該邊形是否一定是正邊形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求這個邊形的內角和；
(3)從這個邊形的一個頂點出發，可以畫出______條對角線．
【訓練1】（23-24八年級上·湖北黃石·期末）一個正多邊形的內角和是，則它的一個外角是 度．
【訓練2】（22-23八年級下·河北保定·期末）某數學興趣小組在學習了“多邊形內角和與外角和”后深入思考，繼續探究多邊形的一個外角與它不相鄰的內角之和具有的數量關系．

(1)如圖1，與，之間的數量關系為______．若，，則______．
(2)如圖2，是四邊形ABCD的外角，求證：．
(3)若n邊形的一個外角為，與其不相鄰的內角之和為，則x，y與n的數量關系是______．
重點考點講練12：平面鑲嵌
【母題精講】（23-24八年級下·河南周口·期末）用一些全等的正五邊形按如圖的方式可以拼成一個環狀，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，圖中所示的是前三個正五邊形拼接的情況（每兩個正五邊形所夾的銳角都相等，即），拼接一圈后，若中間形成一個正六邊形，則每兩個正五邊形所夾的銳角為（ ）
A． B． C． D．
【訓練1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間沒有空隙、也不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．下列形狀的瓷磚，不可以鑲嵌平面的是（　　）
A．正方形 B．長方形 C．正六邊形 D．正八邊形
【訓練2】（23-24八年級上·山東煙臺·期末）小穎家買了新樓，她想在邊長相同的①正三角形、②正方形、③正五邊形、④正六邊形四種瓷磚中，選擇一些瓷磚進行地面的鑲嵌（彼此之間不留空隙、不重疊）．
(1)她想選用兩種瓷磚，若已選用正三角形瓷磚，則可以再選擇的是______瓷磚（填寫序號）；
(2)她發現僅用正五邊形瓷磚不能鑲嵌地面，若將三塊相同的正五邊形瓷磚按如圖所示放置，求的度數．
期末考向二：中心對稱
重點考點講練13：根據中心對稱的性質求面積、長度、角度
【母題精講】（23-24八年級下·江西宜春·期末）（1）解方程：；
（2）如圖，與關于C點成中心對稱，若，，，求的長．
【訓練1】（22-23八年級下·福建寧德·期末）如圖，直線：與y軸交于點A，與直線：交于點B，直線與y軸交于點C，點在射線上，過點P作直線軸，垂足為E，直線交直線于點Q．

(1)求點B的坐標及線段的長；
(2)當點P在線段的延長線上，且線段與關于點B成中心對稱時，求點P 的坐標；
(3)當時，求m的取值范圍．
【訓練2】（22-23八年級下·遼寧朝陽·期末）如圖，與關于點成中心對稱，，，，則 ．

重點考點講練14：在方格紙中補畫圖形使之成為中心對稱圖形
【母題精講】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖，在的方格中，每個小正方形的邊長為1，請按下列要求畫出格點四邊形（頂點均為小正方形的頂點）．
(1)在圖1中畫一個以為邊的四邊形，且該四邊形為中心對稱圖形；
(2)在圖2中畫一個以為邊，面積為8的菱形．
【訓練1】（23-24八年級下·河北保定·期末）請按下列要求畫圖（每小問各畫出一種即可）．
(1)在圖1中添加1個正方形，使它成軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．
(2)在圖2中添加1個正方形，使它成中心對稱圖形但不是軸對稱圖形．
(3)在圖3中改變1個正方形的位置，從而得到一個新圖形，并使它既成中心對稱圖形，又成軸對稱圖形，在圖4中畫出符合條件的圖形．
【訓練2】（23-24八年級下·重慶南岸·期末）如圖所示，在平面直角坐標系內，三個頂點坐標分別為，，．

(1)在圖中，畫出向右平移7個單位得到的；
(2)在圖中，畫出以點為對稱中心，與成中心對稱圖形，并寫出點，，的坐標；
(3)在軸上存在點，使得最短，直接寫出點的坐標．
重點考點講練15：中心對稱圖形規律問題
【母題精講】（22-23八年級上·山東濟南·期末）在平面直角坐標系中，點，的對稱中心是點A，另取兩點，．有一電子青蛙從點處開始依次作關于點A，B，C的循環對稱跳動，即第一次跳到點關于點A的對稱點處，接著跳到點關于點B的對稱點處，第三次再跳到點關于點C的對稱點處，第四次再跳到點關于點A的對稱點處，…，則點的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【訓練1】（22-23八年級上·河北保定·期末）已知點，點，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關于點的對稱點（即，，三點共線，且），關于點的對稱點，關于點的對稱點，…按此規律繼續以，，三點為對稱點重復前面的操作．依次得到點，，…，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【訓練2】（22-23八年級下·江西撫州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標為，，，各頂點的坐標為，，．

(1)在圖中作出關于軸對稱的圖形；
(2)若與關于點成中心對稱，則點的坐標是______；
(3)在軸上找一點，使得最小，并寫出點的坐標．（不寫解答過程，直接寫出結果）
重點考點講練16：已知兩點關于原點對稱求參數
【母題精講】（22-23八年級上·貴州畢節·期末）在平面直角坐標系中，若點與點關于原點對稱，則點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【訓練1】（21-22八年級下·廣東深圳·期末）若點P（a－1，5）與點Q（5，1－b）關于原點成中心對稱，則a＋b＝ ．
【訓練2】（20-21九年級上·河南·期末）已知點M（2+m，m﹣1）關于原點的對稱點在第二象限，則m的取值范圍是 ．
重點考點講練17：按圖形的變換要求畫出另一個圖形
【母題精講】（19-20八年級下·山東濟南·期末）在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系，的位置如圖所示，先作與關于原點中心對稱的，再把向上平移個單位長度得到．

(1)作出和；
(2)與關于某點成中心對稱，則對稱中心的坐標是______．
【訓練1】（22-23八年級下·北京昌平·期末）對于點和圖形，若點關于圖形上任意的一點的對稱點為點，所有點組成的圖形為，則稱圖形為點關于圖形的“對稱圖形”．在平面直角坐標系中，已知點，，，．
(1)①在點，，中，是點關于線段的“對稱圖形”上的點有 ．
②畫出點關于四邊形的“對稱圖形”；
(2)點是軸上的一動點．
①若點關于四邊形的“對稱圖形”與關于四邊形的“對稱圖形”有公共點，求的取值范圍；
②直線與軸交于點，與軸交于點，線段上存在點，使得點是點關于四邊形的“對稱圖形”上的點，直接寫出的取值范圍
【訓練2】（21-22八年級下·遼寧沈陽·期末）如圖，平面直角坐標系中， 三個頂點的坐標分別為．
(1)平移到，其中點A的對應點的坐標為，請在圖中畫出；
(2)以點O為旋轉中心，將按順時針方向旋轉得，請在圖中畫出；
(3)與關于某點成中心對稱，請直接寫出該點的坐標為____________．
期末考向三：平行四邊形的判定定理
重點考點講練18：求與已知三點組成平行四邊形的點的個數
【母題精講】（23-24八年級下·湖北武漢·期末）如圖（1），在平面直角坐標系中，直線（k是常數，）與坐標軸分別交于點A，點B，且點B的坐標為．
(1)求點A的坐標；
(2)P是x軸上一點，已知，求點P的坐標；
(3)如圖（2），已知AC平分，D為的中點．
①請直接寫出直線的解析式；
②點M在直線上，在x軸上取點N，使以M、A、N、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點N的坐標．
【訓練1】（22-23八年級下·陜西西安·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于點A、B，直線交直線AB于點C，交軸于點D，點D的坐標為，點C的橫坐標為4．

(1)求直線的函數解析式；
(2)在坐標平面內是否存在這樣的點F，使以A、C、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【訓練2】（22-23八年級下·廣東中山·期末）定義“點對圖形的可視度”：在平面直角坐標系中，對于點P和圖形，若圖形上所有的點都在的內部或的邊上，則的最小值稱為點對圖形的可視度．如圖1，點對線段的可視度為的度數．

(1)如圖2，已知點，，，．連接，，則的度數為點對的可視度．求證：；
(2)如圖3，已知四邊形為正方形，其中點，．直線與軸交于點，與軸交于點，其中點對正方形的可視度為．求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標系內是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形 若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．
重點考點講練19：全等三角形拼平行四邊形問題
【母題精講】（22-23八年級下·河南南陽·期末）將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，可以拼得不同形狀的平行四邊形的個數是 個．
【訓練1】（2021·青海·中考真題）如圖，在中，對角線，，垂足為，且，，則與之間的距離為 ．
【訓練2】（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，由六個全等的正三角形拼成的圖中，平行四邊形的個數為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
重點考點講練20：利用平行四邊形的判定與性質求解
【母題精講】（23-24八年級下·云南昭通·期末）如圖在平面直角坐標系中，點的坐標分、．且滿足，現將線段向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到，連接．
(1)求的值．
(2)點P是線段上的一個動點（不與重合），請找出之間的關系，并證明．
(3)點Q是線段上的動點，是否存在使四邊形面積最大，如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
【訓練1】（23-24八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在平行四邊形中，是的中點，連接．下列結論：①；②；③平分；④若，則平行四邊形的面積為24．其中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【訓練2】（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖1，在四邊形中，，點E在上，平分，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，四邊形對角線交于點O，連接，
①探究之間的等量關系，并說明理由；
②若，，求的長．
重點考點講練21：利用平行四邊形性質和判定證明
【母題精講】（21-22八年級下·廣東清遠·期末）如圖所示，在四邊形中，對角線相交于點O，于點 E，于點F， 連接， 若， 則下列結論：①；②③；④四 邊 形是平行四邊形． 其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【訓練1】（21-22八年級下·廣東清遠·期末）在一次數學課上，老師出示了這樣一道題目：如圖，是平行四邊形的對角 線，， 將沿折疊，使A 點落在上的點G 處，將邊沿折 疊，使點C 落在上的點H 處，求證：四邊形是平行四邊形．小麗選擇了先證明，再證明， 進而得到四邊形是平行四邊形，小明向老師提出 了另一種證明方法．
(1)小麗證明四邊形是平行四邊形的依據是______；
(2)按小明的想法寫出證明過程；
(3)當學生們完成了證明后，老師又提出如下問題，連接，，若，，試求四邊形的周長．
【訓練2】（21-22八年級下·廣東清遠·期末）已知：如圖，點O是平行四邊形的對角線的中點，E，F 分別是和上的點， 且．
(1)求證：四邊形 是平行四邊形；
(2)求證：；
(3)求證：經過點O ．
重點考點講練22：平行四邊形性質和判定的應用
【母題精講】（22-23八年級下·陜西渭南·期末）問題背景：如圖，在等邊中，、兩點分別在邊、上，，以為邊作等邊，連接，，．

問題探究：
(1)求證：為等邊三角形；
(2)求證：四邊形為平行四邊形；
(3)若，求四邊形的面積．
【訓練1】（22-23八年級下·安徽安慶·期末）如圖，在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點滿足時，稱點Q是點P的等積點．已知點．

（1）在，，中，點P的等積點是 ．
（2）點Q是點P的等積點，點C在x正半軸上，以O，P，Q，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點C的坐標為 ．
【訓練2】（21-22八年級下·湖南永州·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與交于點A，兩直線與x軸分別交于點B和點C，D是直線AC上的一動點，E是直線AB上的一動點．若以E，D，O，A為頂點的四邊形恰好為平行四邊形，則點E的坐標為 ．
期末考向四：三角形的中位線
重點考點講練23：與三角形中位線有關的求解問題
【母題精講】（23-24八年級下·陜西咸陽·期末）如圖，四邊形中，為上一點，連接，點、分別是、的中點，連接，則的長等于（ ）
A． B． C． D．
【訓練1】（24-25九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在中，，點D，點E分別是邊上的動點，連結，點F，點M 分別是的中點，則的最小值為（　　）
A． B． C．3 D．
【訓練2】（22-23八年級下·陜西咸陽·期末）【問題背景】如圖，在中，，分別是邊，上的中線，與相交于點．
【問題探究】
(1)如圖1，連接，若平分，，求的長度；
(2)如圖2，連接，延長交于點，若，，，求的長度．
重點考點講練24：與三角形中位線有關的證明
【母題精講】（24-25八年級上·山東淄博·期末）知識回顧：已知，如圖（1）中，點是邊的中點，點是邊的中點，連接．則與的關系為：_____（用符號語言表達）．
知識應用：已知，如圖（2），四邊形中，，點，分別為，的中點，連接．請猜想線段，，之間的關系，并說明理由．
【訓練1】（24-25八年級上·山東東營·期末）（1）如圖1，，分別是的外角平分線，過點作，，垂足分別為，，連接，延長，，與直線分別交于點，，那么線段與三邊之間數量關系是__________（直接寫出結果）．
（2）如圖2，若，分別是的內角平分線，其他條件不變，那么線段與三邊之間數量關系是__________．
（3）如圖3，若為的內角平分線，為的外角平分線，其他條件不變，那么線段與三邊之間數量關系是__________．
【訓練2】（24-25八年級上·山東威海·期末）如圖，在中，和的角平分線，交于邊上的點．
(1)求證：E為的中點；
(2)若點F為的中點，連接交于點G．寫出與間的數量關系，并說明理由．
重點考點講練25：三角形中位線的實際應用
【母題精講】（23-24八年級下·山東德州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，過點的直線與軸交于點，直線交軸正半軸于點，，點是直線上的動點．
(1)求直線的解析式．
(2)如果三角形的面積等于三角形面積的三分之一，求點的坐標．
(3)已知點在線段上，連結、、．若，求線段的長．
【訓練1】（23-24八年級下·四川成都·期末）如圖，在中，，，，，．
(1)求線段的長；
(2)如圖2，連接，把線段繞點逆時針旋轉90°到，連接，取線段的中點，連接，請判斷線段與的數量關系，并說明理由；
(3)如圖3，點是線段上一點，把線段繞點逆時針旋轉45°得到，連接，請直接寫出線段的最小值．
【訓練2】（22-23八年級下·安徽·期末）如圖，在中，，點D為形外一點，且，，M為的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，不需要證明）

(1)在圖1中，畫出的邊上的中線；
(2)在圖2中，先畫出邊的中點E，再畫出的邊上的高．
期末考向五：反證法
重點考點講練26：反證法證明中的假設
【母題精講】（24-25八年級上·河南南陽·期末）用反證法證明命題“如果，那么”的第一步應假設 ．
【訓練1】（24-25八年級上·河南南陽·期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．用反證法證明“”時，應假設
B．“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是真命題
C．帶根號的數一定是無理數
D．多項式與的公因式為
【訓練2】（23-24八年級上·河南洛陽·期末）用反證法證明命題：“已知，求證：．”第一步應先假設 ．
重點考點講練27：用反證法證明命題
【母題精講】（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，在中，，是的平分線，是邊上的中線．用反證法說明點與點不重合 ．
【訓練1】（23-24八年級上·湖南邵陽·期末）如圖，在中，，平分交于點D，平分交于點E，，交于點F．則下列說法正確的有（ ）
①；②；③若，則；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【訓練2】（23-24八年級上·山西臨汾·期末）反證法是數學證明的一種重要方法．請將下面運用反證法進行證明的過程補全．
已知：在中，．求證：．
證明：假設_____________________．
∵，
∴，
∴，
這與_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
中檔題—夯實基礎能力
1．（24-25八年級上·福建泉州·期末）“證明：若，則”，用反證法證明這個結論時，應先假設（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·遼寧盤錦·期末）若一個多邊形的每個內角都是，則該多邊形為（ ）
A．十邊形 B．八邊形 C．六邊形 D．四邊形
3．（24-25八年級上·山西朔州·期末）石墨烯在材料學、微納加工、能源、生物醫學和藥物傳遞等方面具有重要的應用前景．它的分子結構如圖所示，六邊形的外角和為（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年級下·陜西西安·期末）如果點和點關于原點對稱，則點的坐標為 ．
5．（24-25八年級上·福建廈門·期末）如圖，以正六邊形的邊向內作正方形，則的度數為 ．
6．（24-25八年級上·山東威海·期末）一個平行四邊形在平面直角坐標系中三個頂點的坐標為，，，則第四個頂點的坐標為
7．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，E、F分別是、邊上的一點（不與端點重合），．求證：．
8．（21-22八年級下·廣東清遠·期末）如圖，在中 ，平分，交于點 F， 交的延長線于點E． 求證．
9．（21-22八年級下·廣東清遠·期末）如圖，在平行四邊形中，點O 是對角線的中點，過點O， 交于點E，交于點F．求證：．
10．（23-24八年級下·廣東清遠·期末）如圖，在 中 ，D、E 分別是、的中點，F 是 延長線上的點，且．
(1)圖中的平行四邊形有哪幾個 請選擇其中一個進行證明；
(2)與的面積相等嗎 請說明理由．
壓軸題—強化解題技能
11．（23-24八年級下·黑龍江牡丹江·期末）一組數據，，，的平均數與中位數相同，則的值是（ ）
A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5
11．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，的周長是，對角線與交于點，，的周長比的周長多是的中點，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25八年級上·山東威海·期末）如圖，在中，，，，點為上的動點，點，分別為，的中點，則最小值為（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25八年級上·山東淄博·期末）如圖，平行四邊形的對角線交于點平分交于點E，且，連．下列結論：①；②；③，④，成立的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
14．（24-25八年級上·重慶·期末）如圖，在中，過上的點作，，、、、均在平行四邊形的邊上，且，，則四邊形的面積為 ．
15．（24-25八年級上·陜西西安·期末）如圖，在中，，，，點是邊上兩動點，連接，CE．若，則周長的最小值為 ．
16．（24-25八年級上·山東威海·期末）如圖，的面積為12，將沿方向平移到處，使點與C重合，連結交于點D，則的面積為 ．
17．（24-25八年級上·山東濟南·期末）如圖，的對角線，相交于點，過點的直線分別交、的延長線于點，．求證：．
18．（24-25八年級上·山東威海·期末）綜合實踐課上，老師讓同學們開展了的折紙活動，是邊上的一動點，是邊上的一動點，將沿直線折疊，使點落在邊上的點處，點的對應點為點，連接．

(1)【觀察發現】如圖1，若，，，則___________，___________．
(2)【操作探究】如圖2，當點落在的延長線上時，求證：四邊形為平行四邊形．
19．（24-25八年級上·山東煙臺·期末）如圖，的對角線，相交于點O，的平分線與邊相交于點E，P是的中點，若，，求的長．

20．（24-25八年級上·重慶·期末）在四邊形中，是的中點，連接，，是線段上一點，連接，，過作，交于點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如果，，，求的度數．

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