資源簡(jiǎn)介

2024-2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)知識(shí)串講（優(yōu)等生培優(yōu)版）
第2章 一元二次方程
（思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+易錯(cuò)點(diǎn)撥+20大考點(diǎn)講練+優(yōu)選真題難度分層練 共80題）
講義簡(jiǎn)介 2
思維導(dǎo)圖指引 2
章節(jié)知識(shí)回顧梳理 2
易錯(cuò)考點(diǎn)點(diǎn)撥匯總 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：一元二次方程的定義與形式 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：解法中的易錯(cuò)點(diǎn) 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：根的判別式與系數(shù)關(guān)系的誤用 6
期末真題考點(diǎn)匯編講練 6
期末考向一：一元二次方程 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：由一元二次方程的解求參數(shù) 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：一元二次方程的解的估算 7
期末考向二：一元二次方程的解法 8
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：解一元二次方程--直接開(kāi)平方法 8
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：解一元二次方程--配方法 11
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：配方法的應(yīng)用 14
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：公式法解一元二次方程 17
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：因式分解法解一元二次方程 23
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：換元法解一元二次方程 25
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況 28
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù) 31
期末考向三：一元二次方程的應(yīng)用 34
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：傳播問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 34
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：增長(zhǎng)率問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 36
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：與圖形有關(guān)的問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 38
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：數(shù)字問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 40
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：營(yíng)銷問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 42
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 44
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：工程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 48
重點(diǎn)考點(diǎn)講練18：行程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 50
重點(diǎn)考點(diǎn)講練19：其他問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 52
期末考向四：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 54
重點(diǎn)考點(diǎn)講練20：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 54
優(yōu)選真題難度分層練 57
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力 57
壓軸題—強(qiáng)化解題技能 63
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知識(shí)點(diǎn)梳理01：一元二次方程的有關(guān)概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.
對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
知識(shí)點(diǎn)梳理02：一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解
法，再考慮用公式法．
知識(shí)點(diǎn)梳理03：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
1.一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.
（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問(wèn)題：
　　(1)不解方程判定方程根的情況；
　　(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
　　(3)解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
　　(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
　　(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
知識(shí)點(diǎn)梳理04：列一元二次方程解應(yīng)用題
1.列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：
　　一是整體地、系統(tǒng)地審題；
　　二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；
　　三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.
2.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
3.解決應(yīng)用題的一般步驟：
　　　審 (審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
　　　設(shè) (設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
　　　列 (根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn) (檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）；
　　　答 (寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).
4.常見(jiàn)應(yīng)用題型
　　數(shù)字問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題、形積問(wèn)題等.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
　　列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：一元二次方程的定義與形式
忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為零
錯(cuò)誤表現(xiàn)：將形如 ax +bx+c=0 的方程默認(rèn)為一元二次方程，未驗(yàn)證 a≠0
示例：若方程 (k 1)x +3x=0是一元二次方程，需滿足 k≠1，否則退化為一次方程。
混淆整式方程與分式方程
錯(cuò)誤點(diǎn)：將分母含未知數(shù)的方程（如 ）誤認(rèn)為一元二次方程，正確一元二次方程必須是整式方程。
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：解法中的易錯(cuò)點(diǎn)
1. 因式分解法（十字相乘）
錯(cuò)誤類型：
未將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式 ax +bx+c=0 直接分解。
分解后漏寫(xiě)解或符號(hào)錯(cuò)誤（如 (x+2)(x 3)=0的解應(yīng)為 x=-2 或 x=3 ，誤寫(xiě)成 x=2 或 x=-3
示例：解 x 5x+6=0 ，正確分解為 (x 2)(x 3)=0 ，解為 x=2 或 x=3 ，若分解為 (x+2)(x+3)=0 則錯(cuò)誤
2. 配方法
常見(jiàn)錯(cuò)誤：
配方時(shí)未保持方程平衡（如僅給一邊加上配方項(xiàng)）。
二次項(xiàng)系數(shù)非1時(shí)未先化系數(shù)為1（如 2x +4x=1需先化為 x +2x=1
示例：解 3x 6x+1=0 正確步驟：
系數(shù)化為1：x 2x=；
配方：x 2x+1=→ (x 1) =
3. 公式法
易錯(cuò)點(diǎn)：
求根公式 x=中符號(hào)錯(cuò)誤（如漏寫(xiě)“-b”或分母未乘2a）=
未計(jì)算判別式 Δ=b 4ac 直接求根，可能誤判根的情況。
示例：解 x 4x+5=0 ，Δ=( 4) 4×1×5= 4<0 ，方程無(wú)實(shí)根，若強(qiáng)行代入公式則錯(cuò)誤。
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：根的判別式與系數(shù)關(guān)系的誤用
忽略判別式的前提條件
錯(cuò)誤表現(xiàn)：使用根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）時(shí)，未驗(yàn)證 Δ≥0 導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。
示例：若方程 x +x+1=0的兩根為 x1,x2，直接應(yīng)用x1+x2= -1 雖代數(shù)正確，但實(shí)際無(wú)實(shí)根，討論無(wú)意義
誤判根的情況
錯(cuò)誤點(diǎn)：認(rèn)為 Δ>0時(shí)兩根一定為正或負(fù)，忽略實(shí)際符號(hào)需結(jié)合系數(shù)分析。
示例：方程 x 5x+6=0 ，Δ=1>0 兩根均為正；而 x +5x+6=0，兩根均為負(fù)。
期末考向一：一元二次方程
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：由一元二次方程的解求參數(shù)
【母題精講】（20-21九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為1，則m的值為（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解關(guān)于m的一元一次方程即可．
【規(guī)范解答】解：∵一元二次方程的一個(gè)根為1，
∴，
解得，
故選：C．
【訓(xùn)練1】（20-21八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）若一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根．根據(jù)一元二次方程的一個(gè)根是，把代入方程可得關(guān)于的一元一次方程，解方程求出的值．
【規(guī)范解答】解：一元二次方程的一個(gè)根是，
，
解得：
故答案為： ．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·北京延慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為 ．
【答案】1
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程求出m的值即可．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，
∴，
∴，
故答案為：．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：一元二次方程的解的估算
【母題精講】（23-24九年級(jí)上·廣東河源·階段練習(xí)）下列表格的對(duì)應(yīng)值判斷方程 (,a,b,c為常數(shù)）的一個(gè)解x的取值范圍是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】利用，，而，，則可判斷方程 (,a,b,c為常數(shù)）的一個(gè)解的范圍是．
【規(guī)范解答】解：，，
，，
時(shí)，存在某個(gè)x的值，使得，
即方程 (,a,b,c為常數(shù)）的一個(gè)解的范圍是．
故選：C．
【訓(xùn)練1】．（22-23八年級(jí)下·安徽六安·期中）根據(jù)下表的對(duì)應(yīng)值，試判斷一元二次方程 的一個(gè)解的取值范圍是（　　）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】利用表中數(shù)據(jù)得到，于是可判斷x在范圍內(nèi)取某一個(gè)值時(shí)，，所以得到一元二次方程的一解的取值范圍．
【規(guī)范解答】解：∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)x在中取一個(gè)值時(shí)，，
∴一元二次方程的某一個(gè)解的取值范圍是．
故答案為：C．
【訓(xùn)練2】（20-21八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個(gè)近似解為（　　　）
x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可判斷代數(shù)式的值為4.61和4.56時(shí)，對(duì)應(yīng)x的值為 1.12和 1.11，觀察原方程可理解為求代數(shù)式的值為4.6時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，由此判斷即可．
【規(guī)范解答】解：∵x= 1.12時(shí)，；x= 1.11時(shí)，；
∴時(shí)，對(duì)應(yīng)x應(yīng)滿足 1.12∴原方程的近似解為： 1.117．
故選C．
期末考向二：一元二次方程的解法
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：解一元二次方程--直接開(kāi)平方法
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，把兩張小正方形紙片分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，拼成一張面積為的大正方形紙片．
(1)小方形紙片的邊長(zhǎng)為 ；
(2)在（1）的條件下，設(shè)小正方形紙片的邊長(zhǎng)的值的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值；
(3)若沿此大正方形紙片邊的方向剪出一張長(zhǎng)方形紙片，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片a的長(zhǎng)寬之比為，且面積為？若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用、無(wú)理數(shù)的估算、無(wú)理數(shù)的混合運(yùn)算和開(kāi)平方的應(yīng)用，
（1）先根據(jù)小正方形的面積是大正方形面積的一半求得小正方形的面積，進(jìn)而求得小正方形的邊長(zhǎng)即可；
（2）結(jié)合（1）小方形紙片的邊長(zhǎng)和二次根式的運(yùn)算得到小正方形紙片的邊長(zhǎng)的值的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，代入代數(shù)式計(jì)算即可；
（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是和．根據(jù)剪出的大長(zhǎng)方形的面積列方程求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再與大正方形的邊長(zhǎng)進(jìn)行比較即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，小正方形的面積是大正方形面積的一半，
∴小正方形的面積為，
設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，
則，
∴（負(fù)值舍去），
故答案為：；
（2）解：由（1）小方形紙片的邊長(zhǎng)，
∵，且，
∴，
∴小正方形紙片的邊長(zhǎng)的值的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
則；
（3）解：不能，理由如下：
∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為，
∴設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，．
∴，
，
∵，
，
∴沿著大正方形邊的方向不能裁出符合要求的長(zhǎng)方形．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)下·北京平谷·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【思路點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接開(kāi)平方法．
（1）先移項(xiàng)得到，然后利用直接開(kāi)平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【規(guī)范解答】（1）解：，
，
所以，；
（2）解：，
，
或，
所以，．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·江西南昌·期末）（1）解方程：
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，在圖中畫(huà)出滿足條件的直線 保留畫(huà)圖痕跡．
【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的解法和無(wú)刻度直尺作圖，掌握直接開(kāi)平方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）利用直接開(kāi)平法解題即可；
（2）連接交y軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)G的直線即為．
【規(guī)范解答】（1）
，
，
或，
，；
（2）如圖，直線即為所作；
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：解一元二次方程--配方法
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·四川廣安·期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【思路點(diǎn)撥】本題考查了配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟練掌握以上方法是解此題的關(guān)鍵．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【規(guī)范解答】（1）解：，
∴，
∴，即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）一元二次方程配方后可變形為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】解：
故選A．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值
解：．
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．
請(qǐng)根據(jù)上述閱讀材料，解決下列問(wèn)題：
(1)用配方法因式分解：___________；
(2)若，則的最小值為_(kāi)__________；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路點(diǎn)撥】（1）找到常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后整理成完全平方公式，再運(yùn)用公式法進(jìn)行分解因式，即可作答；
（2）類比例題求的最小值即可；
（3）根據(jù)配方法把等式配成的形式，根據(jù)，具有非負(fù)性，，即可求出答案．
本題主要考查配方法的運(yùn)用、公式法分解因式，一個(gè)數(shù)或整數(shù)的平方具有非負(fù)性和因式分解法計(jì)算與運(yùn)用，合理利用配方法是解決本題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】（1）解：依題意，，
（2）解：
，
，
的最小值為；
（3）解：，
，
，
又，，，
，，，
，，
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：配方法的應(yīng)用
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期末）【閱讀材料】
配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指把形如的二次三項(xiàng)式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫(xiě)，即 ，配方法在解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等問(wèn)題中都有著廣泛應(yīng)用．
例：求代數(shù)式的最小值．
解：，
，．
當(dāng)時(shí)，的最小值為1．
【類比探究】
（1）按照上述方法，用配方法求代數(shù)式最小值；
【靈活運(yùn)用】
（2）試說(shuō)明：無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義．
【答案】（1）5；（2）見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查了配方法的應(yīng)用、二次根式有意義的條件，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．
（1）仿照題干所給例子求解即可；
（2）仿照題干所給例子求出當(dāng)時(shí)，的最小值為5，再根據(jù)二次根式有意義的條件判斷即可得解．
【規(guī)范解答】（1）解：，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值是5；
（2）無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義，理由如下：
，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為5．
又，
無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．
解決問(wèn)題：
（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a、b是整數(shù)）的形式______；
（2）已知，則______；
探究問(wèn)題；
（3）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由；
拓展結(jié)論；
（4）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最值．
【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由見(jiàn)解析；（4）
【思路點(diǎn)撥】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．
（1）把拆成兩個(gè)整數(shù)的平方即可；
（2）利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，代入計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出的值即可；
（4）表示出，代入中，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）當(dāng)時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：
，
∵，為整數(shù)，
∴，也是整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，S為“完美數(shù)”；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的值最大，為．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）悅悅在學(xué)習(xí)有關(guān)配方的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：關(guān)于x的多項(xiàng)式，由于，所以當(dāng)取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值是相等的，例如，當(dāng)，即或1時(shí)，的值均為4：當(dāng)，即或0時(shí)，的值均為7，于是悅悅給出一個(gè)定義：關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，例如關(guān)于對(duì)稱．
請(qǐng)結(jié)合悅悅的思考過(guò)程，運(yùn)用此定義解決下列問(wèn)題：
(1)多項(xiàng)式關(guān)于______對(duì)稱；多項(xiàng)式關(guān)于______對(duì)稱；
(2)若關(guān)于x的多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，求n的值；
(3)若整式關(guān)于對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值．
【答案】(1)1；
(2)
(3)
【思路點(diǎn)撥】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗?xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．
（1）依據(jù)題意，讀懂題目，僅需配方即可得解；
（2）依據(jù)題意，由多項(xiàng)式，又多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，從而可以得解；
（3）依據(jù)題意，由，進(jìn)而可以判斷得解．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意，∵，
∴多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱．
∵，
∴多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱．
故答案為：1；．
（2）解：由題意，多項(xiàng)式，
∴多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱．
又多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱．
，
．
（3）解：由題意：得
，
∴關(guān)于對(duì)稱．
又∵關(guān)于對(duì)稱，
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：公式法解一元二次方程
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）解方程：
(1)解一元二次方程：；
(2)解方程：．
【答案】(1)，
(2)，
【思路點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程：
（1）先移項(xiàng)，再利用公式法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【規(guī)范解答】（1）解：，
整理得：，
，，，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
或，
解得，．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·重慶·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：點(diǎn)與圖形上的動(dòng)點(diǎn)的連線段為，當(dāng)最大時(shí)，，叫點(diǎn)與圖形的“遠(yuǎn)距”點(diǎn)，其長(zhǎng)度記為．當(dāng)最小時(shí)，，叫點(diǎn)與圖形的“近距”點(diǎn)，其長(zhǎng)度記為．其中．若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)叫點(diǎn)與圖形的“中距”點(diǎn)．已知矩形的坐標(biāo)分別為，，，．
(1)如圖1，若，，則 ， ．
(2)如圖2，若
①當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的“中距”點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)，則最小值為 ，的最大值為 ．
(3)如圖3，若“中距”點(diǎn)在矩形的內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)與矩形的“遠(yuǎn)距”點(diǎn)的距離為，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍（用含式子表示）．
【答案】(1)，
(2)①或；②，
(3)
【思路點(diǎn)撥】（1）將，，代入得出，根據(jù)新定義以及勾股定理求得的值，即可求解；
（2）①根據(jù)的坐標(biāo)得出點(diǎn)在上，進(jìn)而分類討論，或，根據(jù)勾股定理，解方程，即可求解；
②根據(jù)在矩形的內(nèi)部，求得臨界值，則在線段上，取的中點(diǎn)，求得的最大值和的最小值，即可求解；
（3）根據(jù)題意得出過(guò)點(diǎn)，在線段上，過(guò)點(diǎn)，根據(jù)新定義，由（2）中的位置，即為的位置，根據(jù)已知得，，進(jìn)而勾股定理，即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：∵，，
∴，即，
∴，，
依題意，，；
故答案為：，．
（2）∵，
∴，，
∵，
∴點(diǎn)在上，
∵
∴或，
∴①或②；
解①得：（舍去）或，則
解②得：或（舍去），則
∴為的中點(diǎn)或的中點(diǎn)，
∴或
即或
②∵，，，，，．
∴在矩形的內(nèi)部，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
如圖所示，設(shè)，則在線段上，取的中點(diǎn)
∴到的距離最小值為，此時(shí)的最大值為，
如圖所示，連接，，
∵，
∴，
∴，
則最小值為
故答案為：，．
（3）解：∵，
∴點(diǎn)在上，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，
∴過(guò)點(diǎn)，在線段上，過(guò)點(diǎn)
如圖所示，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上，
由（2）可得，
∵，
∴，，
∵，，，，設(shè)，
當(dāng)在點(diǎn)時(shí)， ，
解得：或（舍去），
∴，
當(dāng)在點(diǎn)位置時(shí)，，設(shè)
∴
解得：或（舍去），
∵，
∴．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)當(dāng)時(shí)，解這個(gè)方程；
(2)試判斷方程根的情況，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，由一元二次方程的判別式判斷其根的情況．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵．
（1）當(dāng)時(shí)，原方程為，即，再直接解方程即可；
（2）根據(jù)方程可求出，即可得出原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【規(guī)范解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程為，即為，
∴，
∴；
（2）解：由題意可知，，，
∴，
∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：因式分解法解一元二次方程
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·北京東城·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用公式法解答即可；
（2）運(yùn)用因式分解法解答即可．
【規(guī)范解答】（1）解：，
．
．
方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
即．
（2）解：，
移項(xiàng)，得，
因式分解，得．
于是得，或，
∴
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期末）定義：如果一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)解，其中一個(gè)是一元一次不等式組的解，而另一個(gè)不是，那么稱該一元二次方程為該不等式組的“半隱二次方程”．例如：方程的解為，，不等式組的解集為，因?yàn)椋苑Q方程是不等式組的半隱二次方程．
(1)方程是不是不等式組的半隱二次方程？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若關(guān)于的一元二次方程是不等式組的半隱二次方程，求的取值范圍．
【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程、解一元一次不等式組、新定義、數(shù)軸與不等式的解集，理解題意新定義是解題的關(guān)鍵．
（1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式組，根據(jù)“半隱二次方程”的定義，分析得出答案即可；
（2）先解一元二次方程，再解不等式組，畫(huà)出數(shù)軸圖，根據(jù)“半隱二次方程”的定義，得出且，解出答案即可．
【規(guī)范解答】（1）解：是，理由如下，
將方程左邊因式分解，變形得：，
∴或，
解得：，；
解得：，
∴是不等式組的一個(gè)解，不是不等式組的解，
∴方程是不等式組的半隱二次方程；
（2）解：
移項(xiàng)得：，
將方程左邊因式分解，提取，變形得：，
∴或，
解得：，；
解得：，
如圖，畫(huà)出數(shù)軸圖，
∵若關(guān)于的一元二次方程是不等式組的半隱二次方程，
∴且，
解得：．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若該方程有一個(gè)根是，求的值及方程的另一個(gè)根．
【答案】(1)且
(2)，方程的另一個(gè)根是
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根的意義．
（1）方程有實(shí)數(shù)根，則，建立關(guān)于的不等式，求出的取值范圍；
（2）把代入方程求得的數(shù)值，進(jìn)而求出原方程，最后解方程即可求方程的另一個(gè)根．
【規(guī)范解答】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
，，
且；
（2）當(dāng)時(shí)，，
解 得：，
原方程為，
解得：，，
方程的另一個(gè)根是．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：換元法解一元二次方程
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程，掌握換元法成為解題的關(guān)鍵.
（1）先用直接開(kāi)平方法整體求出，進(jìn)而求得方程的解；
（2）設(shè)，則有，然后用因式分解法求得y，進(jìn)而完成解答.
【規(guī)范解答】（1）解：，
，
所以.
（2）解：設(shè)，則有，
，
∴，
∵，
∴.
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．
解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋淼茫?br/>∴，∵，∴，
上面這種方法稱為“換元法”，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程．
(1)設(shè)，滿足等式，求的值；
(2)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為，求這四個(gè)連續(xù)正整數(shù)．
【答案】(1)；
(2)，，，．
【思路點(diǎn)撥】（）由已知等式設(shè)，得出，結(jié)合可得答案；
（）根據(jù)題意設(shè)最小數(shù)為，列出關(guān)系式，進(jìn)而利用換元法即可求解；
本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及換元思想．
【規(guī)范解答】（1）設(shè)，則，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（2）設(shè)最小正整數(shù)為，則，
即：，
設(shè)，則，解得：，，
∵為正整數(shù)，
∴，解得，（舍去），
∴這四個(gè)連續(xù)正整數(shù)為，，，．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，試求的值．
解：設(shè)，原方程可化為，即，解得．
∵，∴．上面的這種方法稱為“換元法”．
請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，解決問(wèn)題．
（1）若實(shí)數(shù)，滿足，則的值為 ．
（2）若一元二次方程的兩根分別為，3，則方程的根是 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，掌握換元法是解題的關(guān)鍵：
（1）設(shè)，將，轉(zhuǎn)化為，求出的值，進(jìn)而求出的值即可；
（2）根據(jù)題意，得到，解方程即可．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)，則：，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）∵一元二次方程的兩根分別為，3，
∴則方程的根為或（舍去），
∴，
解得：；
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；
故答案為：．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況
【母題精講】（21-22八年級(jí)上·上海靜安·期末）下列關(guān)于的方程說(shuō)法正確的是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．有實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．（其中是實(shí)數(shù)）一定有實(shí)數(shù)根
【答案】D
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況，理解并掌握一元二次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵．關(guān)于的一元二次方程，其根的判別式為．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．據(jù)此逐項(xiàng)分析判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A.對(duì)于方程，整理可得，
因?yàn)椋栽摲匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；
B.對(duì)于方程，
因?yàn)椋栽摲匠虩o(wú)實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；
C. 對(duì)于方程，
因?yàn)椋栽摲匠虩o(wú)實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；
D.對(duì)于方程，
因?yàn)椋?br/>又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，
所以，
所以，即，
所以該方程一定有實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)下·安徽滁州·期末）如圖，四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的圖形，a、b、c是和邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
(1)寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”　 ．
(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根．
(3)若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且的面積是25，求四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，一元二次方程根的定義以及的判別式，掌握一元二次方程的判別式是解題關(guān)鍵．
（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式百合勾股定理，得到，再根據(jù)平方的非負(fù)性，得出，即可證明結(jié)論；
（3）根據(jù)一元二次方程的根的定義，得到，由三角形面積公式，得到，再結(jié)合勾股定理，得出，，即可求出四邊形的周長(zhǎng)．
【規(guī)范解答】（1）解：3、4、5為勾股數(shù)，
令，，，
寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”為，
故答案為：；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；
（3）解：是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，
，
，
的面積是25，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍），
，
四邊形的周長(zhǎng)為：．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于的方程．
(1)判斷此方程根的情況；
(2)若是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的解，熟練掌握“當(dāng)根的判別式時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出，由此得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）將代入原方程可求出，將其代入代數(shù)式中即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：將代入方程，得，即，
，
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）已知關(guān)于x的方程．
(1)若該方程有一根為2，求a的值及方程的另一根；
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？求出此時(shí)a的值及方程的根．
【答案】(1)，方程的另一根為
(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
【思路點(diǎn)撥】此題考查方程的解，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
（1）把代入方程，求出a的值，再把a(bǔ)代入原方程，進(jìn)一步解方程即可；
（2）利用求出a的值，再代入解方程即可．
【規(guī)范解答】（1）解：將代入方程，得，
解得：，
將代入原方程得，
解得： ，；
∴，方程的另一根為．
（2）解：∵方程總有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴
由得，
解得：或0；
當(dāng)時(shí)，原方程為：，
解得：；
當(dāng)時(shí)，原方程為：，
解得：．
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）（1）解方程：；
（2）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．求的取值范圍．
【答案】（1），
（2）且
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）對(duì)方程左邊分解因式，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求解即可；
（2）由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知，，求解該一元一次不等式并結(jié)合即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：（1），
分解因式，得：，
或，
，；
（2）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
移項(xiàng)，得：，
系數(shù)化為，得：，
又，
的取值范圍是且．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)已知等腰三角形的底邊，若恰好是另外兩條腰的長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．
(3)閱讀材料：若三邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，那么可以根據(jù)秦九韶—海倫公式可得：的面積，其中．
解答問(wèn)題：請(qǐng)?jiān)冢?）的條件下，根據(jù)“閱讀材料”中的信息解答下列問(wèn)題：

①求等腰三角形的面積；
②如圖，若和的角平分線交于點(diǎn)I，請(qǐng)求出的面積．
【答案】(1)
(2)10
(3)①；②
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可知一元二次方程根的判別式大于或等于0列出不等式求解即可；
（2）根據(jù)恰好是等腰的腰長(zhǎng)，令，解一元二次方程求得，然后運(yùn)用三角形的周長(zhǎng)公式即可解答；
（3）①由(2)知：的三邊長(zhǎng)為，代入公式求得面積；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及的面積看求得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得：，
解得：．
（2）解：由題意知：恰好是等腰的腰長(zhǎng)，
∴，
∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
∴，
解得，
∵，
∴的周長(zhǎng)為：．
（3）解：①由(2)知：的三邊長(zhǎng)為，
∴，
∴．
②過(guò)I分別作，

∵和的角平分線交于點(diǎn)I，
∴，
∴
，
解得，
∴．
期末考向三：一元二次方程的應(yīng)用
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：傳播問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·遼寧·期末）區(qū)教育局要組織轄區(qū)內(nèi)學(xué)校進(jìn)行足球友誼賽，賽制為單循環(huán)形式，即每?jī)伤鶎W(xué)校之間都賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排28場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少所學(xué)校參加比賽
【答案】應(yīng)邀請(qǐng)8所學(xué)校參加比賽
【思路點(diǎn)撥】設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x所學(xué)校參加比賽，根據(jù)列一元二次方程，求解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x所學(xué)校參加比賽，
由題意得：，
解得：，（不符合題意舍去），
答：應(yīng)邀請(qǐng)8所學(xué)校參加比賽．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平均一個(gè)人傳染個(gè)人，有一個(gè)人患流感，第一輪有人患流感，第二輪共有人，即64人患流感，由此列出方程求解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，第一輪有人患流感，第二輪共有人，根據(jù)題意可得：，
整理得：，
故選：D．
【訓(xùn)練2】（21-22八年級(jí)下·浙江紹興·期末）請(qǐng)根據(jù)圖片內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
(1)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？
(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設(shè)每輪傳染人數(shù)相同）？
【答案】(1)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人
(2)第三輪將新增1210名感染者
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染了x人，第一輪傳染后一共有（1+x）名感染者；第二輪傳染時(shí)這（1+x）人每人又傳染了x人，則第二輪傳染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人．
則可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人．
（2）（名）．
答：按照這樣的速度傳染，第三輪將新增1210名感染者．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：增長(zhǎng)率問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（24-25九年級(jí)上·遼寧遼陽(yáng)·期末）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某地計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了300個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了432個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，則所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
利用該市第三個(gè)月新建智能充電樁個(gè)數(shù)=該市第一個(gè)月新建智能充電樁個(gè)數(shù)×（1+該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【規(guī)范解答】解：設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意得：．
故選：A．
【訓(xùn)練1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；
(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
【答案】(1)
(2)50元/個(gè)
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為，根據(jù)6月份銷售量4月份銷售量建立方程，解方程即可得；
（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為元/個(gè)，根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷售量建立方程，解方程求出的值，再選擇較小的的值即可．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為，
由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為．
（2）解：設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為元/個(gè)，
由題意得：，
整理得：，
解得：，，
∵盡可能讓顧客得到實(shí)惠，
∴，
答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·浙江寧波·期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)，某商店以每件35元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58元的價(jià)格出售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；
(2)從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件．當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元？
【答案】(1)
(2)該款吉祥物售價(jià)為50或63元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該款吉祥物月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，列方程，求解即可；
（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為件，列方程，求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)該款吉祥物月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：該款吉祥物月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）解：設(shè)該吉祥物售價(jià)為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為件，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：該款吉祥物售價(jià)為或63元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)元．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：與圖形有關(guān)的問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（24-25九年級(jí)上·福建莆田·期末）在一幅長(zhǎng)，寬的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是，設(shè)金色紙邊的寬為，那么滿足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的運(yùn)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程式解題的關(guān)鍵．
根據(jù)等量關(guān)系是掛圖的面積等于，而掛圖的長(zhǎng)和寬分別等于原風(fēng)景畫(huà)的長(zhǎng)和寬加上兩個(gè)金色紙邊的寬度，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，列出方程，即可解答。
【規(guī)范解答】解：設(shè)金色紙邊的寬為，依題意得：


．
故選：B.
【訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)下·四川廣安·階段練習(xí)）如圖，利用一面墻（墻最長(zhǎng)可利用），圍成一個(gè)矩形花園，與墻平行的一邊上要預(yù)留寬的入口（如圖中所示，不用砌墻），現(xiàn)有砌長(zhǎng)的墻的材料．
(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)為多少米時(shí)，矩形花園的面積為；
(2)能否圍成面積為的矩形花園，為什么？
【答案】(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)為25米時(shí)，矩形花園的面積為；
(2)不能圍成面積為的矩形花園，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)為，則，依題意列出方程，求解方程再檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，即可解答；
（2）依題意列出方程，求解方程再檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為，則，
由題意得，，
整理得：，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
．
答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為25米時(shí)，矩形花園的面積為．
（2）不能圍成面積為的矩形花園，理由如下：
設(shè)矩形的長(zhǎng)為，則，
由題意得，，
整理得：，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
不能圍成面積為的矩形花園．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，某農(nóng)場(chǎng)準(zhǔn)備圍建一塊矩形菜地．其中一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度不超過(guò)），另外三邊用長(zhǎng)為的籬笆圍成．
(1)怎樣圍才能使矩形菜地的面積為？
(2)能否使所圍矩形菜地的面積為？為什么？
【答案】(1)當(dāng)所圍矩形的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能使矩形的面積為；
(2)不能使所圍矩形菜地的面積為，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)，則，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）設(shè)，則，根據(jù)題意列出方程，然后利用判別式求解即可．
【規(guī)范解答】（1）設(shè)，則，
依題意，得，
解得 ，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，符合題意．
答：當(dāng)所圍矩形的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能使矩形的面積為；
（2）設(shè)，則，
依題意，得，
整理，得
∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴不能使所圍矩形菜地的面積為．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：數(shù)字問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為，則這9個(gè)數(shù)中最小數(shù)為（ ）

A．18 B．13 C．7 D．3
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為，求出兩數(shù)，再利用上下對(duì)應(yīng)數(shù)字關(guān)系得出其它數(shù)即可．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖象可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為，設(shè)最小數(shù)為：，則最大數(shù)為，根據(jù)題意得出：
，
解得：（不合題意舍去），
故最小的三個(gè)數(shù)為：7，
故選：C．
【訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個(gè)數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，列出方程即可．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖表可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設(shè)最小數(shù)為，則最大數(shù)為，
根據(jù)題意得出：，
故選：B．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）某足球比賽，要求每?jī)芍蜿?duì)之間都要比賽一場(chǎng)，若共比賽場(chǎng)，則有 支球隊(duì)參加比賽．
【答案】10
【思路點(diǎn)撥】先列出x支籃球隊(duì)，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，共可以比賽x（x-1）場(chǎng)，再根據(jù)題意列出方程為x（x-1）=45．
【規(guī)范解答】∵有x支球隊(duì)參加籃球比賽，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，
∴共比賽場(chǎng)數(shù)為x（x-1），
∴共比賽了45場(chǎng)，
∴x（x-1）=45，
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
故答案為：10.
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：營(yíng)銷問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·重慶江北·期末）為傳承端午文化，2024年的端午節(jié)期間全國(guó)各地舉行了豐富多彩的賽龍舟活動(dòng)．某商家以每套75元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批龍舟訓(xùn)練比賽服裝，定價(jià)每套120元進(jìn)行售賣．
(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，3月份該服裝銷售量為256件，5月份該服裝銷售量為400件．求該服裝銷售量的月平均增長(zhǎng)率；
(2)今年端午節(jié)在6月份，此段時(shí)間龍舟比賽服的銷量將有大幅提升，但端午節(jié)過(guò)后銷量又會(huì)下滑，為了在6月份端午期間擴(kuò)大銷量減少庫(kù)存，商家決定對(duì)龍舟比賽服進(jìn)行降價(jià)促銷．經(jīng)過(guò)調(diào)研，在5月份的銷售數(shù)量基礎(chǔ)上每降價(jià)5元，銷量將提高15件，商家將比賽服的售價(jià)定為多少時(shí)，才能獲得13350元的利潤(rùn)．
【答案】(1)該服裝3月份到5月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為
(2)商家將比賽服的售價(jià)定為105元時(shí)，才能獲得13350元的利潤(rùn)．
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該服裝3月份到5月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)3月份的銷售量為256件，5月份的銷售量為400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）設(shè)該服裝售價(jià)為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為（件，根據(jù)獲得13350元的利潤(rùn)，列出一元二次方程，解之取滿足題意的值即可．
【規(guī)范解答】（1）設(shè)該服裝3月份到5月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，則5月份的銷售量為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該服裝3月份到5月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）設(shè)該服裝售價(jià)為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為（件，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：商家將比賽服的售價(jià)定為105元時(shí)，才能獲得13350元的利潤(rùn)．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·重慶·期末）習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某社區(qū)圖書(shū)室積極推廣全社區(qū)閱讀活動(dòng)，決定下半年逐月加大圖書(shū)購(gòu)置經(jīng)費(fèi)的投入．其中七月計(jì)劃購(gòu)買甲與乙兩種書(shū)籍共100本．已知書(shū)籍甲的單價(jià)是68元，書(shū)籍乙的單價(jià)是50元，共花費(fèi)5720元．
(1)請(qǐng)問(wèn)七月計(jì)劃購(gòu)買甲、乙書(shū)籍各多少本？
(2)經(jīng)過(guò)比較，圖書(shū)室工作人員最終決定在新星書(shū)城購(gòu)買書(shū)籍甲和乙．書(shū)籍甲的單價(jià)減少了元，購(gòu)買數(shù)量增加了本．書(shū)籍乙的單價(jià)不變，購(gòu)買甲、乙書(shū)籍的總數(shù)量也不變，總費(fèi)用比原計(jì)劃減少了元，請(qǐng)求出的值．
【答案】(1)甲40本，乙60本
(2)6
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次方程及一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，找出等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)計(jì)劃購(gòu)買書(shū)籍甲本，書(shū)籍乙本，根據(jù)甲乙兩種書(shū)籍共花費(fèi)5720元列一元一次方程求解即可；
（2）根據(jù)購(gòu)買甲、乙書(shū)籍的總數(shù)量也不變，總費(fèi)用比原計(jì)劃減少了元，列一元二次方程求解即可得解．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)計(jì)劃購(gòu)買書(shū)籍甲本，書(shū)籍乙本．由題得：
解得：
答：計(jì)劃購(gòu)買書(shū)籍甲40本，書(shū)籍乙60本；
（2）解：由題得：
∴
∴（舍），
答：的值為6．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）每年5月份的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”．康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定降價(jià)銷售，但每輛輪椅利潤(rùn)不低于180元．全國(guó)助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤(rùn)12160元，請(qǐng)問(wèn)這天售出了多少輛輪椅？
【答案】這天售出了64輛輪椅．
【思路點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
設(shè)每輛輪椅降價(jià)元，利用利潤(rùn)=日銷售量×單車?yán)麧?rùn)列方程可求出x的值，根據(jù)每輛輪椅利潤(rùn)不低于180元即可得答案．
【規(guī)范解答】解：設(shè)每輛輪椅降價(jià)元，由題意，
得．
解得，．
，
．
（不合題意，舍去）．
（輛）．
所以，這天售出了64輛輪椅．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期末）如圖，已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：
(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，的長(zhǎng)為？
(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，的面積等于長(zhǎng)方形面積的？
【答案】(1)經(jīng)過(guò)或之后，的長(zhǎng)為cm；
(2)秒或秒．
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）設(shè)經(jīng)過(guò)后，則，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）設(shè)經(jīng)過(guò)秒，由題意得，，，由的面積等于長(zhǎng)方形面積的，列出方程，然后解方程即可；
【規(guī)范解答】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)后，則，，，的長(zhǎng)為cm，
根據(jù)題意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：經(jīng)過(guò)或之后，的長(zhǎng)為cm；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒，的面積等于矩形面積的，
由題意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面積為：，
∴的面積，
整理得：，
解得，，
答：經(jīng)過(guò)秒或秒，的面積等于長(zhǎng)方形面積的．
【訓(xùn)練1】（21-22九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn) P 從點(diǎn)A 開(kāi)始向點(diǎn) B 以的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開(kāi)始沿 邊向點(diǎn) C 以的速度移動(dòng)，當(dāng) P、Q 兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，則同時(shí)停 止運(yùn)動(dòng)．
(1)如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，的面積等于？
(2)如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)， 的長(zhǎng)度等于
【答案】(1)秒
(2)秒
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，用的代數(shù)式表示出和的長(zhǎng)列出方程即可．
（2）利用勾股定理列出方程即可．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒以后，的面積等于，
由題意可知：，
此時(shí)，，
由，
得，
整理得，
解得（舍），
故經(jīng)過(guò)秒時(shí)，的面積等于；
（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒之后，PQ 的長(zhǎng)度等于，
由，
得，
解得，．
故經(jīng)過(guò)秒時(shí)， 的長(zhǎng)度等于．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒．

(1)填空：______，______；（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)t為幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，，，結(jié)合已知解答即可．
（2）根據(jù)勾股定理，列式計(jì)算即可．
（3）根據(jù)列式計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】（1）∵，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．
∴，，
∴，
故答案為：，．
（2）∵， ，
，
∴，
整理，得，
解得，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，的長(zhǎng)度等于．
（3）∵， ，
，
∴，
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，四邊形的面積等于面積的．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：工程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（2021·湖北宜昌·中考真題）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時(shí)每畝用水量分別是漫灌時(shí)的和．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗(yàn)田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．
（1）請(qǐng)問(wèn)用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗(yàn)田各用水多少噸？
（2）今年該公司加大對(duì)農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗(yàn)田的面積都增加了，漫灌試驗(yàn)田的面積減少了．同時(shí)，該公司通過(guò)維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了．經(jīng)測(cè)算，今年的灌溉用水量比去年減少，求的值．
（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)為2.5元，請(qǐng)判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗(yàn)田分別用水10000、3000、2000噸；（2）20；（3）節(jié)省水費(fèi)大于兩項(xiàng)投入之和
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意，設(shè)漫灌方式每畝用水噸，列出方程求解即可；
（2）由（1）結(jié)果，結(jié)合題意列出方程，求解方程；
（3）分別求出節(jié)省的水費(fèi)，維修費(fèi)，添加設(shè)備費(fèi)，比較大小即可．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)漫灌方式每畝用水噸，則
，
，
漫灌用水：，
噴灌用水：，
滴灌用水：，
答：漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗(yàn)田分別用水10000、3000、2000噸．
（2）由題意得，
，
解得（舍去），，所以．
（3）節(jié)省水費(fèi)：元，
維修投入：元，
新增設(shè)備：元，
，
答：節(jié)省水費(fèi)大于兩項(xiàng)投入之和．
【訓(xùn)練1】（2014·安徽安慶·二模）為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，安慶火車站從去年開(kāi)始啟動(dòng)了擴(kuò)建工程，其中某項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間比乙隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間多5個(gè)月，并且兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍．求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾個(gè)月？
【答案】甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要15個(gè)月，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要10個(gè)月
【思路點(diǎn)撥】設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x個(gè)月，則乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要（x﹣5）個(gè)月，根據(jù)兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍建立方程求出其解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x個(gè)月，則乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要（x﹣5）個(gè)月，由題意，得
x（x﹣5）=6（x+x﹣5），
解得：x1=2（舍去），x2=15．
∴乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要15﹣5=10個(gè)月
答：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要15個(gè)月，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要10個(gè)月．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）問(wèn)題：“某工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條長(zhǎng)3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度？”
條件：（1）實(shí)際每天修建的長(zhǎng)度比原計(jì)劃多；
（2）原計(jì)劃每天修建的長(zhǎng)度比實(shí)際少75米．
在上述的2個(gè)條件中選擇1個(gè)________________（僅填序號(hào)）補(bǔ)充在問(wèn)題的橫線上，并完成解答．
【答案】選（1）或（2）；選（1）原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米；選（2）原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米
【思路點(diǎn)撥】選擇（1）時(shí)，設(shè)原計(jì)劃每天修建米，則實(shí)際每天修建米，根據(jù)提前2天完成這一任務(wù)，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；
選擇（2）時(shí)，設(shè)原計(jì)劃每天修建盲道米，則實(shí)際每天修建米，根據(jù)提前2天完成這一任務(wù)，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；
【規(guī)范解答】選（1）或（2）
（1）解：設(shè)原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米
經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解
答：原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米．
（2）解：設(shè)原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米
（舍）
經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解．
答：原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練18：行程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為每秒1.5米，乙的速度為每秒1米，乙一直向東走，甲先向南走10米，后又朝北偏東某個(gè)方向走了一段后與乙相遇，則乙走了 米．
【答案】24
【思路點(diǎn)撥】本題一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，設(shè)兩人走了秒，利用勾股定理列出方程進(jìn)行求解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)兩人走了秒，則：乙的路程為米，甲在北偏東某個(gè)方向走的路程為：米，
由題意，得：，
解得：或（舍去）；
∴乙的路程為米，
故答案為：24．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·浙江杭州·期末）已知，一輛汽車在筆直的公路上剎車后，該車的速度米秒與時(shí)間秒之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示；

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知汽車在該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，一段時(shí)間內(nèi)向前滑行的距離等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度乘以時(shí)間該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平均速度 ，表示這段時(shí)間起始時(shí)刻的速度，表示這段時(shí)間結(jié)束時(shí)刻的速度．若該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米，求的值．
【答案】(1)
(2)該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米
【思路點(diǎn)撥】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，路程等于速度乘以時(shí)間，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：將點(diǎn)，代入，
，
解得：，
∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：依題意，， ，，
則
依題意，，
即
解得：或（舍去）
答：該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō)：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請(qǐng)問(wèn)甲走的步數(shù)是 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出值，將其正值代入中即可求出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，則
依題意得：，
整理得：，
解得：（不合題意，舍去），
∴．
故甲走的步數(shù)是．
故答案為：．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練19：其他問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）科研人員在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行某種藥液的臨床試驗(yàn)，他用一個(gè)容器盛滿了純藥液4升，第一次倒出若干升后，用水加滿，充分混合后，第二次又倒出同樣體積的溶液，此時(shí)容器里溶液中的純藥液還剩下1升．
(1)每次倒出溶液多少升？
(2)若用水加滿再充分混合，則第三次倒出同樣體積的溶液后，溶液中的純藥液還剩多少？
【答案】(1)每次倒出溶液2升
(2)純藥液還剩0.5升
【思路點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵；
（1）設(shè)每次倒出溶液x升．根據(jù)兩次倒出后容器里溶液中的純藥液還剩下1升建立方程求解即可；
（2）由剩下的再減去第三次倒出的即可得到答案；
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)每次倒出溶液x升．
由題意，得．
整理得．
解得，．
∵不合題意，故舍去．
∴．
所以，每次倒出溶液2升．
（2）解：．
所以，純藥液還剩0.5升．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）一次圍棋比賽采用單循環(huán)賽制（即每位選手與其他選手各比賽1局），且參賽者少于15人．小珺和小哲對(duì)比賽的總局?jǐn)?shù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)：
(1)若參賽者共5人，按賽制應(yīng)該進(jìn)行幾局比賽？
(2)小哲說(shuō)的有道理嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
(3)他們經(jīng)過(guò)查詢，小珺的統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，是有一人中途退出比賽，請(qǐng)直接寫(xiě)出報(bào)名本次比賽的人數(shù)．
【答案】(1)10；
(2)小哲說(shuō)的有道理，理由見(jiàn)解析；
(3)13．
【思路點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．
（1）由題意，得5個(gè)人需比賽的局?jǐn)?shù)為；
（2）小哲說(shuō)的有道理，理由見(jiàn)詳解；
（3）設(shè)有一人比賽了場(chǎng)后退出比賽，由題意，整理并求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意，得5個(gè)人需比賽的局?jǐn)?shù)為；
（2）小哲說(shuō)的有道理，理由如下：
設(shè)有人報(bào)名參賽，由題意得，整理得，
解得，不為整數(shù)，
∴方程的解不符合實(shí)際，小哲說(shuō)的有道理；
（3）設(shè)有一人比賽了場(chǎng)后退出比賽，由題意，
得，整理得，
解得，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
∴共有13名參賽者報(bào)名本次比賽．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·重慶·期末）端午節(jié)吃粽子是中國(guó)人民的傳統(tǒng)習(xí)俗．五月初利民副食店購(gòu)進(jìn)鮮肉粽、蜜棗粽兩種粽子，其中鮮肉粽進(jìn)價(jià)為15元/袋，售價(jià)為27元/袋，蜜棗粽進(jìn)價(jià)為10元/袋，售價(jià)為19元/袋．利民副食店用660元購(gòu)進(jìn)鮮肉粽、蜜棗粽兩種粽子共50袋．（注：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）
(1)求購(gòu)進(jìn)鮮肉粽、蜜棗粽各多少袋？
(2)臨近端午節(jié)，蜜棗粽售完，鮮肉粽還有剩余．副食店決定端午節(jié)當(dāng)天對(duì)鮮肉粽降價(jià)銷售，如果按原價(jià)銷售，平均每天可售2袋．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，鮮肉粽每降價(jià)1元，平均每天可多售2袋．剩余的鮮肉粽在降價(jià)當(dāng)天全部售完，50袋粽子共獲利506元，每袋鮮肉粽應(yīng)降價(jià)多少元？
【答案】(1)購(gòu)進(jìn)購(gòu)進(jìn)袋鮮肉粽，袋蜜棗粽
(2)每袋鮮肉粽應(yīng)降價(jià)4元
【思路點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)x袋鮮肉粽，y袋蜜棗粽，根據(jù)題意列出可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)每袋鮮肉粽應(yīng)降價(jià)元，此時(shí)每一袋的利潤(rùn)為：元，則降價(jià)當(dāng)天的銷售量為：件，降價(jià)之前鮮肉粽的銷量為：根據(jù)題意得，解方程即可作答．
【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)x袋鮮肉粽，y袋蜜棗粽，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購(gòu)進(jìn)購(gòu)進(jìn)袋鮮肉粽，袋蜜棗粽；
（2）解：設(shè)每袋鮮肉粽應(yīng)降價(jià)元，此時(shí)每一袋的利潤(rùn)為：元，
則降價(jià)當(dāng)天的銷售量為：件，
∴降價(jià)之前鮮肉粽的銷量為：
根據(jù)題意得，
整理得：，
解得：（負(fù)值舍去）．
答：每袋鮮肉粽應(yīng)降價(jià)4元．
期末考向四：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
重點(diǎn)考點(diǎn)講練20：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【母題精講】（21-22九年級(jí)上·四川瀘州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求a的取值范圍；
(2)若滿足，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)之間的關(guān)系，解一元二次方程：
（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，列出不等式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到，根據(jù)，得到關(guān)于的方程進(jìn)行求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意，得：，
解得：；
（2）解：由題意，得：，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，且關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，則的值為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，分為底邊長(zhǎng)或腰長(zhǎng)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．分為底邊長(zhǎng)或腰長(zhǎng)兩種情況考慮：當(dāng)為底時(shí)，由及即可求出、的值，利用三角形的三邊關(guān)系確定此種情況存在，再利用根與系數(shù)的關(guān)系找出即可；當(dāng)為腰時(shí)，則、中有一個(gè)為，則另一個(gè)為，由、、不能圍成三角形可排除此種情況．綜上即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，則，
∵關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，
∴，，
．
，，能圍成三角形，
，
解得：；
當(dāng)為腰長(zhǎng)時(shí)，
∵關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，
∴，
∵為腰長(zhǎng)，
∴、中有一個(gè)為，
∴另一個(gè)為，
，，不能圍成三角形，
此種情況不存在．
故答案為：．
【訓(xùn)練2】（21-22八年級(jí)下·安徽六安·期末）已知關(guān)于的方程．
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；
(2)若方程的一個(gè)根為1，求的值及方程的另一個(gè)根．
【答案】(1)
(2)，方程的另一個(gè)根為
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)根的判別式得到，解不等式，從而求得的范圍；
（2）把代入方程求出的值，設(shè)方程的另一根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程，即可求出方程的另一根．
【規(guī)范解答】（1）解：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）解：將代入原方程得：，
解得：，
原方程為，
設(shè)方程的另一個(gè)根為，
，
，
的值為，方程的另一根為．
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力
1．（24-25八年級(jí)上·上海普陀·期末）在下列關(guān)于的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，分別求出每個(gè)方程的解，進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A、，
∴；不符合題意；
B、，
∴；符合題意；
C、，此方程無(wú)解；不符合題意；
D、，
∴，
∴；不符合題意；
故選B．
2．（24-25八年級(jí)上·福建漳州·期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
根據(jù)根的判別式列出關(guān)于的不等式，求解不等式得到的取值范圍．
【規(guī)范解答】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式，
可得，
即，
所以的取值范圍是．
故答案選A．
3．（24-25八年級(jí)上·上海楊浦·期末）下列方程中，一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的識(shí)別，根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程，進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A、是一元一次方程，不符合題意；
B、是分式方程，不符合題意；
C、，化簡(jiǎn)，得：，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋环项}意；
D、，化簡(jiǎn)，得：，是一元二次方程，符合題意；
故選D．
4．（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）若m， n是方程的兩個(gè)根，則 的值為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出的值，再將代入原方程，結(jié)合整體思想即可解決問(wèn)題．本題主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】解：∵，是方程的兩個(gè)根，
∴，，
則，
∴．
故答案為：．
5．（23-24八年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，則 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
【規(guī)范解答】解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，
∴，
故答案為：．
6．（22-23八年級(jí)下·山東泰安·期末）若用配方法解方程，時(shí)，原方程可變形為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了配方法解一元二次方程，先將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，最后方程兩邊再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方即可得解．
【規(guī)范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
7．（24-25八年級(jí)上·四川眉山·期末）閱讀理解：我們一起來(lái)探究代數(shù)式的值，探究一：當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為6，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為11，可見(jiàn)，代數(shù)式的值隨x的值的變化而變化．
探究二：把代數(shù)式進(jìn)行變形，如：，可得：當(dāng)_____時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為_(kāi)____．
請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成探究二，直接在橫線處填空；
(2)當(dāng)取何值時(shí)，代數(shù)式有最大值，最大值為多少
(3)如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花園（圍墻最長(zhǎng)可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長(zhǎng)的墻的材料，問(wèn)：當(dāng)為多少米，圍成長(zhǎng)方形花園的面積有最大值，最大面積是多少
(4)
【答案】(1)，
(2)，最大值為
(3)時(shí)，長(zhǎng)方形花園的面積有最大值，最大面積是
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查代數(shù)式的運(yùn)用，配方法求最值，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方數(shù)的非負(fù)性，可得，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，由此即可求解；
（2）根據(jù)材料提示，運(yùn)用配方法得到代數(shù)式，，結(jié)合（1）的方法即可求解；
（3）設(shè)，則，則有，結(jié)合（1）的方法即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：∵，則，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為，
故答案為：，；
（2）解：代數(shù)式變形得，
∵，則，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最大值，最大值為；
（3）解：四邊形是長(zhǎng)方形，
∴設(shè)，則，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形花園的面積有最大值，最大面積是，．
8．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，學(xué)校在教學(xué)樓后面搭建了兩個(gè)簡(jiǎn)易的矩形自行車車棚，一邊利用教學(xué)樓的后墻（可利用墻長(zhǎng)為），其他的邊用總長(zhǎng)的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開(kāi)一個(gè)1m的出口后，不銹鋼柵欄狀如“山”字形．（備注信息：距院墻7米處，規(guī)劃有機(jī)動(dòng)車停車位）
(1)若設(shè)車棚寬度為，則車棚長(zhǎng)度為_(kāi)_____m；
(2)若車棚面積為，試求出自行車車棚的長(zhǎng)和寬；
(3)若學(xué)校擬利用現(xiàn)有柵欄對(duì)車棚進(jìn)行擴(kuò)建，請(qǐng)問(wèn)能圍成面積為的自行車車棚嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)自行車車棚的寬為，自行車車棚的長(zhǎng)為
(3)不能，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查用代數(shù)式表示式，一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題干條件可得自行車車棚由三條寬和一條長(zhǎng)構(gòu)成，且左右兩條寬邊需要開(kāi)出一個(gè)的出口，然后根據(jù)自行車車棚不銹鋼柵欄總長(zhǎng)減去三條寬邊長(zhǎng)即可得出長(zhǎng)邊的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)（1）結(jié)果即可列出關(guān)于自行車車棚面積的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行車車棚的長(zhǎng)和寬，需注意的是一元二次方程的解需滿足自行車車棚的長(zhǎng)不超過(guò)，寬不超過(guò)7米；
（3）根據(jù)（2）中方法列出關(guān)于自行車車棚面積的一元二次方程，再利用根的判別式判斷，即可解題．
【規(guī)范解答】（1）解：搭建自行車車棚為矩形，車棚寬度為，左右兩側(cè)各開(kāi)一個(gè)的出口，
不銹鋼柵欄總長(zhǎng)，不銹鋼柵欄狀如“山”字形，
（），
故答案為：；
（2）解：由（1）可得，車棚面積為：
解得：或，
又距院墻7米處，規(guī)劃有機(jī)動(dòng)車停車位，
，將代入得：，滿足題干條件，
自行車車棚的寬為：，
自行車車棚的長(zhǎng)為：；
（3）解：不能，理由如下：
要圍成面積為的自行車車棚，則由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
不能圍成面積為的自行車車棚．
9．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）解下列方程：
(1)（用配方法）；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解法．熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用配方法求解即可．配方法的核心是在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左邊配成完全平方式．
（2）利用因式分解法求解即可．首先將方程化為一般形式，然后通過(guò)提取公因式將方程化為兩個(gè)因式乘積等于0的形式．
【規(guī)范解答】（1）解：
移項(xiàng)得：，
配方得：，即，
開(kāi)平方得：，
所以，．
（2）解：
移項(xiàng)得，
即，
提公因式，得，
所以或，解得，．
10．（20-21八年級(jí)下·浙江杭州·期末）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降價(jià)5元，則平均每天銷售數(shù)量為 件；
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？
【答案】(1)30
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．
（1）根據(jù)平均每天銷售量降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)每件商品降價(jià)元，則平均每天可銷售件，根據(jù)總利潤(rùn)每件利潤(rùn)銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：（件）．
故答案為：30；
（2）解：設(shè)每件商品降價(jià)元，則平均每天可銷售件，
依題意，得：，
整理，得：，
解得：，．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
．
答：當(dāng)每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．
壓軸題—強(qiáng)化解題技能
11．（23-24八年級(jí)下·浙江麗水·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則方程的另一個(gè)根是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由題意得出，求出的值，從而得出方程為，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，
∴，
解得：，
∴方程為，
∴，
∴或，
解得：，，
∴方程的另一個(gè)根是，
故選：C．
12．（22-23八年級(jí)下·上海·期末）下列命題正確的是（ ）
A．關(guān)于的方程：的解是
B．關(guān)于的方程：的解是
C．關(guān)于的二項(xiàng)方程：（是正整數(shù)）總有實(shí)數(shù)解
D．方程：的解只有兩個(gè)
【答案】D
【思路點(diǎn)撥】本題考查一元方程，根據(jù)一元一次方程的解、一元二次方程根的判別式逐個(gè)判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A. 關(guān)于的方程：當(dāng)時(shí)，的解是，故原命題不正確；
B. 關(guān)于的方程：的解是，故原命題不正確；
C. 關(guān)于的二項(xiàng)方程：當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，（是正整數(shù)）沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故原命題不正確；
D. 由于方程：的解為，只有兩個(gè)，故命題正確；
故選D．
13．（22-23八年級(jí)下·上海浦東新·期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，偶次冪和算術(shù)平方根的非負(fù)性，根據(jù)偶次冪和算術(shù)平方根的非負(fù)性以及解分式方程的方法和步驟逐個(gè)判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A、∵，∴，∵，∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不符合題意；
B、∵，∴，∵，∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不符合題意；
C、，
，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，故該方程有實(shí)數(shù)根，符合題意；
D、∵，∴，∵，∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不符合題意；
故選：C．
14．（22-23八年級(jí)下·浙江麗水·期末）如圖，以a，b為邊長(zhǎng)的矩形面積為，以c為邊長(zhǎng)的正方形面積為，已知．
（1）當(dāng)時(shí)，則c的值是 ；
（2）若c為整數(shù)，，則矩形和正方形的周長(zhǎng)之和的值是 ．
【答案】 2 28或
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)矩形與正方形的面積公式可得，，代入，得出．
（1）將代入，解方程即可求出的值；
（2）由可得．代入，變形得出，根據(jù)為整數(shù)，求出可能為2或1．再求出的值，進(jìn)而得到矩形和正方形的周長(zhǎng)之和．
【規(guī)范解答】解：由題意可得，，
，
．
（1）當(dāng)時(shí)，
，
解得（負(fù)值舍去），
即．
故答案為：2；
（2），
．
，
，
，
為整數(shù)，
可能取值有：4或1，
可能為2或1．
當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值舍去）；
當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值舍去），
矩形和正方形的周長(zhǎng)之和為：
．
當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，．
故答案為：28或．
15．（22-23八年級(jí)下·浙江·期末）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點(diǎn)．若，則的值為 ．
【答案】48
【思路點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、兩點(diǎn)之間的距離公式、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入計(jì)算即可得．
【規(guī)范解答】解：由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
將點(diǎn)代入得：，
故答案為：48．
16．（23-24八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）若方程的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 ．
【答案】或
【思路點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式，根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于k的方程即可．
【規(guī)范解答】解：，
，，，
，
整理得：，即
或，
故答案為：或．
17．（22-23九年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)的值為．
【思路點(diǎn)撥】（）計(jì)算一元二次方程根的判別式，進(jìn)而即可求解；
（）利用根與系數(shù)的關(guān)系，，然后代入求解即可；
此題考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；熟記：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值為．
18．（22-23八年級(jí)下·廣東江門·期末）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，則平均每周的銷售量可增加4千克．
(1)若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請(qǐng)回答：
①每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？
②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？
(2)在降價(jià)情況下，該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利能達(dá)到50000元嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)①30元或80元②八折
(2)該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：
（1）①設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元，利用銷售量每件利潤(rùn)元列出方程求解即可；②為了讓利于顧客因此應(yīng)下降價(jià)80元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折．
（2）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)y元，列方程整理后為，代入根的判別式得，方程無(wú)解，故不能達(dá)到要求．
【規(guī)范解答】（1）解：①設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元．
根據(jù)題意，得：，
整理得
解得：．
答：每千克茶葉應(yīng)降價(jià)30元或80元．
②由①可知每千克茶葉可降價(jià)30元或80元．因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應(yīng)降價(jià)80元．
此時(shí)，售價(jià)為：元，．
答：該店應(yīng)按原售價(jià)的八折出售．
（2）解：該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元，理由如下：
設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)y元．根據(jù)題意，得：
,
整理得：，
∵，
∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
即該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元．
19．（23-24九年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；
(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.2元/個(gè)，則月銷售量將減少2個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
【答案】(1)月增長(zhǎng)率為
(2)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)50元
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，根據(jù)月銷售利潤(rùn)每個(gè)頭盔的利潤(rùn)月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解： 設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，
由題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為．
（2）解：設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，
由題意得：，
整理得：，
解得：（不合題意，舍去），
答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)50元．
20．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若的兩邊長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5，求m的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)12或3
【思路點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式，勾股定理，公式法解一元二次方程．
（1）先計(jì)算出，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）先利用公式法求出方程的解為，，然后分類討論，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【規(guī)范解答】（1）證明： ，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：一元二次方程的解為，即，，
，
不可能是斜邊長(zhǎng)度，
當(dāng)是斜邊長(zhǎng)度時(shí)，，解得，
當(dāng)5是斜邊長(zhǎng)度時(shí)，，
解得或（舍棄負(fù)數(shù)值），
綜合上述，的值為12或3．2024-2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)知識(shí)串講（優(yōu)等生培優(yōu)版）
第2章 一元二次方程
（思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+易錯(cuò)點(diǎn)撥+20大考點(diǎn)講練+優(yōu)選真題難度分層練 共80題）
講義簡(jiǎn)介 2
思維導(dǎo)圖指引 2
章節(jié)知識(shí)回顧梳理 2
易錯(cuò)考點(diǎn)點(diǎn)撥匯總 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：一元二次方程的定義與形式 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：解法中的易錯(cuò)點(diǎn) 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：根的判別式與系數(shù)關(guān)系的誤用 6
期末真題考點(diǎn)匯編講練 6
期末考向一：一元二次方程 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：由一元二次方程的解求參數(shù) 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：一元二次方程的解的估算 6
期末考向二：一元二次方程的解法 7
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：解一元二次方程--直接開(kāi)平方法 7
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：解一元二次方程--配方法 8
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：配方法的應(yīng)用 9
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：公式法解一元二次方程 11
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：因式分解法解一元二次方程 12
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：換元法解一元二次方程 13
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況 14
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù) 15
期末考向三：一元二次方程的應(yīng)用 16
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：傳播問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 16
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：增長(zhǎng)率問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 17
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：與圖形有關(guān)的問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 18
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：數(shù)字問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 19
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：營(yíng)銷問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 20
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 21
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：工程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 23
重點(diǎn)考點(diǎn)講練18：行程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 24
重點(diǎn)考點(diǎn)講練19：其他問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用) 25
期末考向四：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 26
重點(diǎn)考點(diǎn)講練20：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 26
優(yōu)選真題難度分層練 27
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力 27
壓軸題—強(qiáng)化解題技能 29
同學(xué)你好，本套講義針對(duì)2025年最新版本教材設(shè)定制作，貼合書(shū)本內(nèi)容。講義包含導(dǎo)圖指引，全章節(jié)知識(shí)點(diǎn)梳理，易錯(cuò)點(diǎn)考點(diǎn)點(diǎn)撥，期末真題考點(diǎn)匯編講練，優(yōu)選題難度分層訓(xùn)練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優(yōu)拔尖的同學(xué)使用，講義可作為章節(jié)復(fù)習(xí)，期中期末強(qiáng)化鞏固學(xué)習(xí)使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識(shí)點(diǎn)梳理01：一元二次方程的有關(guān)概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.
對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
知識(shí)點(diǎn)梳理02：一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解
法，再考慮用公式法．
知識(shí)點(diǎn)梳理03：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
1.一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.
（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問(wèn)題：
　　(1)不解方程判定方程根的情況；
　　(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
　　(3)解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
　　(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
　　(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
知識(shí)點(diǎn)梳理04：列一元二次方程解應(yīng)用題
1.列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：
　　一是整體地、系統(tǒng)地審題；
　　二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；
　　三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.
2.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
3.解決應(yīng)用題的一般步驟：
　　　審 (審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
　　　設(shè) (設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
　　　列 (根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn) (檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）；
　　　答 (寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).
4.常見(jiàn)應(yīng)用題型
　　數(shù)字問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題、形積問(wèn)題等.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
　　列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：一元二次方程的定義與形式
忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為零
錯(cuò)誤表現(xiàn)：將形如 ax +bx+c=0 的方程默認(rèn)為一元二次方程，未驗(yàn)證 a≠0
示例：若方程 (k 1)x +3x=0是一元二次方程，需滿足 k≠1，否則退化為一次方程。
混淆整式方程與分式方程
錯(cuò)誤點(diǎn)：將分母含未知數(shù)的方程（如 ）誤認(rèn)為一元二次方程，正確一元二次方程必須是整式方程。
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：解法中的易錯(cuò)點(diǎn)
1. 因式分解法（十字相乘）
錯(cuò)誤類型：
未將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式 ax +bx+c=0 直接分解。
分解后漏寫(xiě)解或符號(hào)錯(cuò)誤（如 (x+2)(x 3)=0的解應(yīng)為 x=-2 或 x=3 ，誤寫(xiě)成 x=2 或 x=-3
示例：解 x 5x+6=0 ，正確分解為 (x 2)(x 3)=0 ，解為 x=2 或 x=3 ，若分解為 (x+2)(x+3)=0 則錯(cuò)誤
2. 配方法
常見(jiàn)錯(cuò)誤：
配方時(shí)未保持方程平衡（如僅給一邊加上配方項(xiàng)）。
二次項(xiàng)系數(shù)非1時(shí)未先化系數(shù)為1（如 2x +4x=1需先化為 x +2x=1
示例：解 3x 6x+1=0 正確步驟：
系數(shù)化為1：x 2x=；
配方：x 2x+1=→ (x 1) =
3. 公式法
易錯(cuò)點(diǎn)：
求根公式 x=中符號(hào)錯(cuò)誤（如漏寫(xiě)“-b”或分母未乘2a）=
未計(jì)算判別式 Δ=b 4ac 直接求根，可能誤判根的情況。
示例：解 x 4x+5=0 ，Δ=( 4) 4×1×5= 4<0 ，方程無(wú)實(shí)根，若強(qiáng)行代入公式則錯(cuò)誤。
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：根的判別式與系數(shù)關(guān)系的誤用
忽略判別式的前提條件
錯(cuò)誤表現(xiàn)：使用根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）時(shí)，未驗(yàn)證 Δ≥0 導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。
示例：若方程 x +x+1=0的兩根為 x1,x2，直接應(yīng)用x1+x2= -1 雖代數(shù)正確，但實(shí)際無(wú)實(shí)根，討論無(wú)意義
誤判根的情況
錯(cuò)誤點(diǎn)：認(rèn)為 Δ>0時(shí)兩根一定為正或負(fù)，忽略實(shí)際符號(hào)需結(jié)合系數(shù)分析。
示例：方程 x 5x+6=0 ，Δ=1>0 兩根均為正；而 x +5x+6=0，兩根均為負(fù)。
期末考向一：一元二次方程
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：由一元二次方程的解求參數(shù)
【母題精講】（20-21九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為1，則m的值為（　　）
A． B． C．1 D．2
【訓(xùn)練1】（20-21八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）若一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為 ．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·北京延慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為 ．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：一元二次方程的解的估算
【母題精講】（23-24九年級(jí)上·廣東河源·階段練習(xí)）下列表格的對(duì)應(yīng)值判斷方程 (,a,b,c為常數(shù)）的一個(gè)解x的取值范圍是（ ）
x
A． B． C． D．
【訓(xùn)練1】．（22-23八年級(jí)下·安徽六安·期中）根據(jù)下表的對(duì)應(yīng)值，試判斷一元二次方程 的一個(gè)解的取值范圍是（　　）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練2】（20-21八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個(gè)近似解為（　　　）
x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
期末考向二：一元二次方程的解法
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：解一元二次方程--直接開(kāi)平方法
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，把兩張小正方形紙片分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，拼成一張面積為的大正方形紙片．
(1)小方形紙片的邊長(zhǎng)為 ；
(2)在（1）的條件下，設(shè)小正方形紙片的邊長(zhǎng)的值的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值；
(3)若沿此大正方形紙片邊的方向剪出一張長(zhǎng)方形紙片，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片a的長(zhǎng)寬之比為，且面積為？若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)下·北京平谷·期末）解方程：
； (2)．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·江西南昌·期末）（1）解方程：
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，在圖中畫(huà)出滿足條件的直線 保留畫(huà)圖痕跡．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：解一元二次方程--配方法
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·四川廣安·期末）解方程
(2)
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）一元二次方程配方后可變形為（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值
解：．
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．
請(qǐng)根據(jù)上述閱讀材料，解決下列問(wèn)題：
(1)用配方法因式分解：___________；
(2)若，則的最小值為_(kāi)__________；
(3)已知，求的值．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：配方法的應(yīng)用
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期末）【閱讀材料】
配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指把形如的二次三項(xiàng)式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫(xiě)，即 ，配方法在解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等問(wèn)題中都有著廣泛應(yīng)用．
例：求代數(shù)式的最小值．
解：，
，．
當(dāng)時(shí)，的最小值為1．
【類比探究】
（1）按照上述方法，用配方法求代數(shù)式最小值；
【靈活運(yùn)用】
（2）試說(shuō)明：無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．
解決問(wèn)題：
（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a、b是整數(shù)）的形式______；
（2）已知，則______；
探究問(wèn)題；
（3）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由；
拓展結(jié)論；
（4）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最值．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）悅悅在學(xué)習(xí)有關(guān)配方的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：關(guān)于x的多項(xiàng)式，由于，所以當(dāng)取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值是相等的，例如，當(dāng)，即或1時(shí)，的值均為4：當(dāng)，即或0時(shí)，的值均為7，于是悅悅給出一個(gè)定義：關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，例如關(guān)于對(duì)稱．
請(qǐng)結(jié)合悅悅的思考過(guò)程，運(yùn)用此定義解決下列問(wèn)題：
(1)多項(xiàng)式關(guān)于______對(duì)稱；多項(xiàng)式關(guān)于______對(duì)稱；
(2)若關(guān)于x的多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，求n的值；
(3)若整式關(guān)于對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：公式法解一元二次方程
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）解方程：
(1)解一元二次方程：；
(2)解方程：．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·重慶·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：點(diǎn)與圖形上的動(dòng)點(diǎn)的連線段為，當(dāng)最大時(shí)，，叫點(diǎn)與圖形的“遠(yuǎn)距”點(diǎn)，其長(zhǎng)度記為．當(dāng)最小時(shí)，，叫點(diǎn)與圖形的“近距”點(diǎn)，其長(zhǎng)度記為．其中．若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)叫點(diǎn)與圖形的“中距”點(diǎn)．已知矩形的坐標(biāo)分別為，，，．
(1)如圖1，若，，則 ， ．
(2)如圖2，若
①當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的“中距”點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)，則最小值為 ，的最大值為 ．
(3)如圖3，若“中距”點(diǎn)在矩形的內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)與矩形的“遠(yuǎn)距”點(diǎn)的距離為，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍（用含式子表示）．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)當(dāng)時(shí)，解這個(gè)方程；
(2)試判斷方程根的情況，并說(shuō)明理由．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：因式分解法解一元二次方程
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·北京東城·期末）解方程：
； (2)．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期末）定義：如果一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)解，其中一個(gè)是一元一次不等式組的解，而另一個(gè)不是，那么稱該一元二次方程為該不等式組的“半隱二次方程”．例如：方程的解為，，不等式組的解集為，因?yàn)椋苑Q方程是不等式組的半隱二次方程．
(1)方程是不是不等式組的半隱二次方程？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若關(guān)于的一元二次方程是不等式組的半隱二次方程，求的取值范圍．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若該方程有一個(gè)根是，求的值及方程的另一個(gè)根．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：換元法解一元二次方程
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）解方程：
； (2).
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．
解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋淼茫?br/>∴，∵，∴，
上面這種方法稱為“換元法”，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程．
(1)設(shè)，滿足等式，求的值；
(2)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為，求這四個(gè)連續(xù)正整數(shù)．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，試求的值．
解：設(shè)，原方程可化為，即，解得．
∵，∴．上面的這種方法稱為“換元法”．
請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，解決問(wèn)題．
（1）若實(shí)數(shù)，滿足，則的值為 ．
（2）若一元二次方程的兩根分別為，3，則方程的根是 ．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況
【母題精講】（21-22八年級(jí)上·上海靜安·期末）下列關(guān)于的方程說(shuō)法正確的是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．有實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．（其中是實(shí)數(shù)）一定有實(shí)數(shù)根
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)下·安徽滁州·期末）如圖，四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的圖形，a、b、c是和邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
(1)寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”　 ．
(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根．
(3)若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且的面積是25，求四邊形的周長(zhǎng)．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于的方程．
(1)判斷此方程根的情況；
(2)若是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）已知關(guān)于x的方程．
(1)若該方程有一根為2，求a的值及方程的另一根；
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？求出此時(shí)a的值及方程的根．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）（1）解方程：；
（2）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．求的取值范圍．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)已知等腰三角形的底邊，若恰好是另外兩條腰的長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．
(3)閱讀材料：若三邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，那么可以根據(jù)秦九韶—海倫公式可得：的面積，其中．
解答問(wèn)題：請(qǐng)?jiān)冢?）的條件下，根據(jù)“閱讀材料”中的信息解答下列問(wèn)題：

①求等腰三角形的面積；
②如圖，若和的角平分線交于點(diǎn)I，請(qǐng)求出的面積．
期末考向三：一元二次方程的應(yīng)用
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：傳播問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·遼寧·期末）區(qū)教育局要組織轄區(qū)內(nèi)學(xué)校進(jìn)行足球友誼賽，賽制為單循環(huán)形式，即每?jī)伤鶎W(xué)校之間都賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排28場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少所學(xué)校參加比賽
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（21-22八年級(jí)下·浙江紹興·期末）請(qǐng)根據(jù)圖片內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
(1)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？
(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設(shè)每輪傳染人數(shù)相同）？
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：增長(zhǎng)率問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（24-25九年級(jí)上·遼寧遼陽(yáng)·期末）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某地計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了300個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了432個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，則所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；
(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·浙江寧波·期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)，某商店以每件35元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58元的價(jià)格出售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；
(2)從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件．當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元？
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：與圖形有關(guān)的問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（24-25九年級(jí)上·福建莆田·期末）在一幅長(zhǎng)，寬的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是，設(shè)金色紙邊的寬為，那么滿足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)下·四川廣安·階段練習(xí)）如圖，利用一面墻（墻最長(zhǎng)可利用），圍成一個(gè)矩形花園，與墻平行的一邊上要預(yù)留寬的入口（如圖中所示，不用砌墻），現(xiàn)有砌長(zhǎng)的墻的材料．
(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)為多少米時(shí)，矩形花園的面積為；
(2)能否圍成面積為的矩形花園，為什么？
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，某農(nóng)場(chǎng)準(zhǔn)備圍建一塊矩形菜地．其中一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度不超過(guò)），另外三邊用長(zhǎng)為的籬笆圍成．
(1)怎樣圍才能使矩形菜地的面積為？
(2)能否使所圍矩形菜地的面積為？為什么？
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：數(shù)字問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為，則這9個(gè)數(shù)中最小數(shù)為（ ）

A．18 B．13 C．7 D．3
【訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個(gè)數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）某足球比賽，要求每?jī)芍蜿?duì)之間都要比賽一場(chǎng)，若共比賽場(chǎng)，則有 支球隊(duì)參加比賽．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：營(yíng)銷問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·重慶江北·期末）為傳承端午文化，2024年的端午節(jié)期間全國(guó)各地舉行了豐富多彩的賽龍舟活動(dòng)．某商家以每套75元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批龍舟訓(xùn)練比賽服裝，定價(jià)每套120元進(jìn)行售賣．
(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，3月份該服裝銷售量為256件，5月份該服裝銷售量為400件．求該服裝銷售量的月平均增長(zhǎng)率；
(2)今年端午節(jié)在6月份，此段時(shí)間龍舟比賽服的銷量將有大幅提升，但端午節(jié)過(guò)后銷量又會(huì)下滑，為了在6月份端午期間擴(kuò)大銷量減少庫(kù)存，商家決定對(duì)龍舟比賽服進(jìn)行降價(jià)促銷．經(jīng)過(guò)調(diào)研，在5月份的銷售數(shù)量基礎(chǔ)上每降價(jià)5元，銷量將提高15件，商家將比賽服的售價(jià)定為多少時(shí)，才能獲得13350元的利潤(rùn)．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·重慶·期末）習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某社區(qū)圖書(shū)室積極推廣全社區(qū)閱讀活動(dòng)，決定下半年逐月加大圖書(shū)購(gòu)置經(jīng)費(fèi)的投入．其中七月計(jì)劃購(gòu)買甲與乙兩種書(shū)籍共100本．已知書(shū)籍甲的單價(jià)是68元，書(shū)籍乙的單價(jià)是50元，共花費(fèi)5720元．
(1)請(qǐng)問(wèn)七月計(jì)劃購(gòu)買甲、乙書(shū)籍各多少本？
(2)經(jīng)過(guò)比較，圖書(shū)室工作人員最終決定在新星書(shū)城購(gòu)買書(shū)籍甲和乙．書(shū)籍甲的單價(jià)減少了元，購(gòu)買數(shù)量增加了本．書(shū)籍乙的單價(jià)不變，購(gòu)買甲、乙書(shū)籍的總數(shù)量也不變，總費(fèi)用比原計(jì)劃減少了元，請(qǐng)求出的值．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）每年5月份的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”．康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定降價(jià)銷售，但每輛輪椅利潤(rùn)不低于180元．全國(guó)助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤(rùn)12160元，請(qǐng)問(wèn)這天售出了多少輛輪椅？
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期末）如圖，已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：
(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，的長(zhǎng)為？
(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，的面積等于長(zhǎng)方形面積的？
【訓(xùn)練1】（21-22九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn) P 從點(diǎn)A 開(kāi)始向點(diǎn) B 以的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開(kāi)始沿 邊向點(diǎn) C 以的速度移動(dòng)，當(dāng) P、Q 兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，則同時(shí)停 止運(yùn)動(dòng)．
(1)如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，的面積等于？
(2)如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)， 的長(zhǎng)度等于
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒．

(1)填空：______，______；（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)t為幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：工程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（2021·湖北宜昌·中考真題）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時(shí)每畝用水量分別是漫灌時(shí)的和．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗(yàn)田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．
（1）請(qǐng)問(wèn)用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗(yàn)田各用水多少噸？
（2）今年該公司加大對(duì)農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗(yàn)田的面積都增加了，漫灌試驗(yàn)田的面積減少了．同時(shí)，該公司通過(guò)維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了．經(jīng)測(cè)算，今年的灌溉用水量比去年減少，求的值．
（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)為2.5元，請(qǐng)判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？
【訓(xùn)練1】（2014·安徽安慶·二模）為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，安慶火車站從去年開(kāi)始啟動(dòng)了擴(kuò)建工程，其中某項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間比乙隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間多5個(gè)月，并且兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍．求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾個(gè)月？
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）問(wèn)題：“某工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條長(zhǎng)3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度？”
條件：（1）實(shí)際每天修建的長(zhǎng)度比原計(jì)劃多；
（2）原計(jì)劃每天修建的長(zhǎng)度比實(shí)際少75米．
在上述的2個(gè)條件中選擇1個(gè)________________（僅填序號(hào)）補(bǔ)充在問(wèn)題的橫線上，并完成解答．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練18：行程問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為每秒1.5米，乙的速度為每秒1米，乙一直向東走，甲先向南走10米，后又朝北偏東某個(gè)方向走了一段后與乙相遇，則乙走了 米．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·浙江杭州·期末）已知，一輛汽車在筆直的公路上剎車后，該車的速度米秒與時(shí)間秒之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示；

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知汽車在該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，一段時(shí)間內(nèi)向前滑行的距離等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度乘以時(shí)間該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平均速度 ，表示這段時(shí)間起始時(shí)刻的速度，表示這段時(shí)間結(jié)束時(shí)刻的速度．若該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米，求的值．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō)：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請(qǐng)問(wèn)甲走的步數(shù)是 ．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練19：其他問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）科研人員在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行某種藥液的臨床試驗(yàn)，他用一個(gè)容器盛滿了純藥液4升，第一次倒出若干升后，用水加滿，充分混合后，第二次又倒出同樣體積的溶液，此時(shí)容器里溶液中的純藥液還剩下1升．
(1)每次倒出溶液多少升？
(2)若用水加滿再充分混合，則第三次倒出同樣體積的溶液后，溶液中的純藥液還剩多少？
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）一次圍棋比賽采用單循環(huán)賽制（即每位選手與其他選手各比賽1局），且參賽者少于15人．小珺和小哲對(duì)比賽的總局?jǐn)?shù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)：
(1)若參賽者共5人，按賽制應(yīng)該進(jìn)行幾局比賽？
(2)小哲說(shuō)的有道理嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
(3)他們經(jīng)過(guò)查詢，小珺的統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，是有一人中途退出比賽，請(qǐng)直接寫(xiě)出報(bào)名本次比賽的人數(shù)．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·重慶·期末）端午節(jié)吃粽子是中國(guó)人民的傳統(tǒng)習(xí)俗．五月初利民副食店購(gòu)進(jìn)鮮肉粽、蜜棗粽兩種粽子，其中鮮肉粽進(jìn)價(jià)為15元/袋，售價(jià)為27元/袋，蜜棗粽進(jìn)價(jià)為10元/袋，售價(jià)為19元/袋．利民副食店用660元購(gòu)進(jìn)鮮肉粽、蜜棗粽兩種粽子共50袋．（注：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）
(1)求購(gòu)進(jìn)鮮肉粽、蜜棗粽各多少袋？
(2)臨近端午節(jié)，蜜棗粽售完，鮮肉粽還有剩余．副食店決定端午節(jié)當(dāng)天對(duì)鮮肉粽降價(jià)銷售，如果按原價(jià)銷售，平均每天可售2袋．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，鮮肉粽每降價(jià)1元，平均每天可多售2袋．剩余的鮮肉粽在降價(jià)當(dāng)天全部售完，50袋粽子共獲利506元，每袋鮮肉粽應(yīng)降價(jià)多少元？
期末考向四：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
重點(diǎn)考點(diǎn)講練20：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【母題精講】（21-22九年級(jí)上·四川瀘州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求a的取值范圍；
(2)若滿足，求a的值．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，且關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，則的值為 ．
【訓(xùn)練2】（21-22八年級(jí)下·安徽六安·期末）已知關(guān)于的方程．
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；
(2)若方程的一個(gè)根為1，求的值及方程的另一個(gè)根．
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力
1．（24-25八年級(jí)上·上海普陀·期末）在下列關(guān)于的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年級(jí)上·福建漳州·期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級(jí)上·上海楊浦·期末）下列方程中，一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）若m， n是方程的兩個(gè)根，則 的值為 ．
5．（23-24八年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，則 ．
6．（22-23八年級(jí)下·山東泰安·期末）若用配方法解方程，時(shí)，原方程可變形為 ．
7．（24-25八年級(jí)上·四川眉山·期末）閱讀理解：我們一起來(lái)探究代數(shù)式的值，探究一：當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為6，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為11，可見(jiàn)，代數(shù)式的值隨x的值的變化而變化．
探究二：把代數(shù)式進(jìn)行變形，如：，可得：當(dāng)_____時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為_(kāi)____．
請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成探究二，直接在橫線處填空；
(2)當(dāng)取何值時(shí)，代數(shù)式有最大值，最大值為多少
(3)如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花園（圍墻最長(zhǎng)可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長(zhǎng)的墻的材料，問(wèn)：當(dāng)為多少米，圍成長(zhǎng)方形花園的面積有最大值，最大面積是多少
(4)
8．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，學(xué)校在教學(xué)樓后面搭建了兩個(gè)簡(jiǎn)易的矩形自行車車棚，一邊利用教學(xué)樓的后墻（可利用墻長(zhǎng)為），其他的邊用總長(zhǎng)的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開(kāi)一個(gè)1m的出口后，不銹鋼柵欄狀如“山”字形．（備注信息：距院墻7米處，規(guī)劃有機(jī)動(dòng)車停車位）
(1)若設(shè)車棚寬度為，則車棚長(zhǎng)度為_(kāi)_____m；
(2)若車棚面積為，試求出自行車車棚的長(zhǎng)和寬；
(3)若學(xué)校擬利用現(xiàn)有柵欄對(duì)車棚進(jìn)行擴(kuò)建，請(qǐng)問(wèn)能圍成面積為的自行車車棚嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）解下列方程：
(1)（用配方法）； (2)．
10．（20-21八年級(jí)下·浙江杭州·期末）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降價(jià)5元，則平均每天銷售數(shù)量為 件；
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？
壓軸題—強(qiáng)化解題技能
11．（23-24八年級(jí)下·浙江麗水·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則方程的另一個(gè)根是（　　）
A． B． C．1 D．
12．（22-23八年級(jí)下·上海·期末）下列命題正確的是（ ）
A．關(guān)于的方程：的解是
B．關(guān)于的方程：的解是
C．關(guān)于的二項(xiàng)方程：（是正整數(shù)）總有實(shí)數(shù)解
D．方程：的解只有兩個(gè)
13．（22-23八年級(jí)下·上海浦東新·期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23八年級(jí)下·浙江麗水·期末）如圖，以a，b為邊長(zhǎng)的矩形面積為，以c為邊長(zhǎng)的正方形面積為，已知．
（1）當(dāng)時(shí)，則c的值是 ；
（2）若c為整數(shù)，，則矩形和正方形的周長(zhǎng)之和的值是 ．
15．（22-23八年級(jí)下·浙江·期末）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點(diǎn)．若，則的值為 ．
16．（23-24八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）若方程的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 ．
17．（22-23九年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求的值．
18．（22-23八年級(jí)下·廣東江門·期末）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，則平均每周的銷售量可增加4千克．
(1)若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請(qǐng)回答：
①每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？
②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？
(2)在降價(jià)情況下，該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利能達(dá)到50000元嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．（23-24九年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；
(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.2元/個(gè)，則月銷售量將減少2個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
20．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若的兩邊長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5，求m的值．

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