資源簡(jiǎn)介

2024-2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)知識(shí)串講（優(yōu)等生培優(yōu)版）
第1章 二次根式
（思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+易錯(cuò)點(diǎn)撥+17大考點(diǎn)講練+優(yōu)選真題難度分層練 共71題）
講義簡(jiǎn)介 2
思維導(dǎo)圖指引 2
章節(jié)知識(shí)回顧梳理 2
易錯(cuò)考點(diǎn)點(diǎn)撥匯總 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：二次根式定義條件 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：混淆“最簡(jiǎn)二次根式”標(biāo)準(zhǔn) 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：誤判“同類(lèi)二次根式” 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)04：加減法未先化簡(jiǎn)（運(yùn)算法則混淆） 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)05：乘除法規(guī)則錯(cuò)用（運(yùn)算法則混淆） 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)06：分配律濫用（運(yùn)算法則混淆） 6
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)07：隱含條件忽視 6
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)08：符號(hào)與變形錯(cuò)誤 6
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)09：應(yīng)用場(chǎng)景誤區(qū) 6
期末真題考點(diǎn)匯編講練 6
期末考向一：二次根式 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：求二次根式的值 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：求二次根式中的參 7
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：二次根式有意義的條件 8
期末考向二：二次根式的性質(zhì) 11
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn) 11
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn) 13
期末考向三：二次根式的運(yùn)算 17
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：二次根式的乘除混合運(yùn)算 17
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：最簡(jiǎn)二次根式的判斷 19
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：化為最簡(jiǎn)二次根式 21
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù) 26
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：同類(lèi)二次根式 27
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：二次根式的加減運(yùn)算 28
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：二次根式的混合運(yùn)算 31
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：分母有理化 35
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：已知字母的值，化簡(jiǎn)求值 36
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：已知條件式，化簡(jiǎn)求值 38
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：比較二次根式的大小 40
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：二次根式的應(yīng)用 43
優(yōu)選真題難度分層練 46
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力 46
壓軸題—強(qiáng)化解題技能 50
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知識(shí)點(diǎn)梳理01：二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】二次根式有意義的條件是，即只有被開(kāi)方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.
2.二次根式的性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】（1） 一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫(xiě)成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.
（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).
（4）與的異同
不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；
=，=（）.
相同點(diǎn)：被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.
3. 最簡(jiǎn)二次根式
1）被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；
2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方的因數(shù)或因式.
滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.
4.同類(lèi)二次根式
幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】判斷是否是同類(lèi)二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開(kāi)方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類(lèi)二次根式.
知識(shí)點(diǎn)梳理02：二次根式的運(yùn)算
1. 乘除法
（1）乘除法法則：
類(lèi)型
法則
逆用法則
二次根式的乘法
積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：
二次根式的除法
商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開(kāi)方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.
2.加減法
將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類(lèi)二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類(lèi)二次根式，最后合并同類(lèi)二次根式.如.
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：二次根式定義條件
學(xué)生容易忽略被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)這一核心條件。例如，題目中出現(xiàn)類(lèi)似“”的式子時(shí)，未意識(shí)到隱含條件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能為0且被開(kāi)方數(shù)需非負(fù)的雙重限制
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：混淆“最簡(jiǎn)二次根式”標(biāo)準(zhǔn)
最簡(jiǎn)二次根式需滿足三個(gè)條件：
被開(kāi)方數(shù)不含分母；
被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)方的因數(shù)；
分母中不含根號(hào)。
常見(jiàn)錯(cuò)誤如未將化簡(jiǎn)為，或未對(duì)分母進(jìn)行有理化處理。
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：誤判“同類(lèi)二次根式”
同類(lèi)二次根式需先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式后，再看被開(kāi)方數(shù)是否相同。例如，和化簡(jiǎn)為和才可合并，但學(xué)生可能因未化簡(jiǎn)而誤以為不能合并
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)04：加減法未先化簡(jiǎn)（運(yùn)算法則混淆）
二次根式加減必須先將所有項(xiàng)化為最簡(jiǎn)形式，再合并同類(lèi)項(xiàng)。典型錯(cuò)誤如直接合并為，或未發(fā)現(xiàn)與是同類(lèi)項(xiàng)
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)05：乘除法規(guī)則錯(cuò)用（運(yùn)算法則混淆）
乘法時(shí)未正確應(yīng)用（需a,b≥0）；
除法中未注意分母有理化，或誤將拆分為但忽略分母限制
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)06：分配律濫用（運(yùn)算法則混淆）
錯(cuò)誤將根號(hào)與加減法結(jié)合，如，或，此類(lèi)錯(cuò)誤常因?qū)Ω?hào)性質(zhì)理解不透導(dǎo)致
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)07：隱含條件忽視
1. 雙重非負(fù)性忽略
二次根式的結(jié)果和被開(kāi)方數(shù)均非負(fù)，但學(xué)生可能在涉及代數(shù)式時(shí)未考慮符號(hào)。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意題目中隱含的變量取值范圍
2. 分母有理化不徹底
有理化時(shí)需找到正確的有理化因式，如對(duì) ，應(yīng)乘以而非僅處理分母中的單項(xiàng)根式。學(xué)生可能僅處理部分項(xiàng)，導(dǎo)致分母仍含根號(hào)
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)08：符號(hào)與變形錯(cuò)誤
1. 變形時(shí)符號(hào)處理不當(dāng)
例如，將直接寫(xiě)成a-2，而忽略a可能小于2的情況，正確結(jié)果應(yīng)為∣a 2∣
2. 綜合運(yùn)算順序混亂
混合運(yùn)算時(shí)未遵循先乘除后加減、先括號(hào)內(nèi)后外的規(guī)則，或因跳步過(guò)多導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。例如，在計(jì)算“”時(shí)，可能漏乘括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)09：應(yīng)用場(chǎng)景誤區(qū)
1. 實(shí)際問(wèn)題建模錯(cuò)誤
例如，用勾股定理求斜邊時(shí)，若已知兩直角邊為和，學(xué)生可能直接相加而非平方后求和再開(kāi)方
2. 與數(shù)軸結(jié)合時(shí)符號(hào)誤判
當(dāng)二次根式與數(shù)軸上的點(diǎn)結(jié)合時(shí)，未根據(jù)點(diǎn)的位置判斷被開(kāi)方數(shù)的正負(fù)性，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤
期末考向一：二次根式
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：求二次根式的值
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·四川綿陽(yáng)·期末）將一次函數(shù)的圖象向上平移9個(gè)單位得到直線，則的值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)平移的性質(zhì)和規(guī)律求出k、b，然后把k、b的值代入所求式子計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：∵將一次函數(shù)的圖象向上平移9個(gè)單位得到直線，
∴，，
∴．
故選：A．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)下·湖北咸寧·期末）代數(shù)式的最小值為 ．
【答案】2
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式成立的條件即可解答．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意可得，
∴
，
∴的最小值為2，
故答案為：．
【訓(xùn)練2】（19-20八年級(jí)下·北京·期末）下列式子中，是二次根式的是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，據(jù)此可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：A、是二次根式，符合題意；
B、是三次根式，不合題意；
C、當(dāng)x＜0時(shí)，無(wú)意義，不合題意；
D、x屬于整式，不合題意；
故選：A．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：求二次根式中的參
【母題精講】（21-22八年級(jí)上·河南開(kāi)封·期末）＝2，則a＝ ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)二次根式有意義的條件得到，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可得出結(jié)果．
【規(guī)范解答】解： ，
，解得，
故答案為：．
【訓(xùn)練1】（19-20八年級(jí)下·山西·期末）已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的最小值為 ．
【答案】2
【思路點(diǎn)撥】先分解質(zhì)因式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可．
【規(guī)范解答】解：∵98=72×2，
又∵n是正整數(shù)，是整數(shù)，
∴符合n的最小值是2，
故答案為：2．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)上·北京平谷·期末）已知是正偶數(shù)，則實(shí)數(shù)的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】如果實(shí)數(shù)n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶數(shù)，而最小的正偶數(shù)是2，則＝2，從而得出結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：當(dāng)?shù)扔谧钚〉恼紨?shù)2時(shí)，
n取最大值,則n＝8，
故選：C
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：二次根式有意義的條件
【母題精講】（21-22八年級(jí)下·四川涼山·期末）已知，則的值為 ．
【答案】/
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件，分式的求值，根據(jù)二次根式有意義的條件，得到，進(jìn)而求出分式的值即可．
【規(guī)范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·四川眉山·期末）當(dāng) 時(shí)，分式有意義．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了分式有意義的條件、二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，掌握分式的有意義的條件為分母不等于零、二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于零是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式和二次根式有意義的條件求解即可．
【規(guī)范解答】解：∵分式有意義，
∴，解得：．
故答案為：．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·期末）任意一個(gè)無(wú)理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無(wú)理數(shù)，（其中為連續(xù)的整數(shù)），則稱無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”為，如，所以的“臻美區(qū)間”為．
(1)無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”是______．
(2)若一個(gè)無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”為，且滿足，其中是關(guān)于的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求的值．
(3)實(shí)數(shù)滿足如下關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“臻美區(qū)間”．
【答案】(1)
(2)37
(3)
【思路點(diǎn)撥】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根據(jù)無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”進(jìn)行解答即可；
（2）先根據(jù)已知條件，求出滿足題意的，的值，從而求出，，然后根據(jù)二元一次方程解的定義，把、、和的值分別代入，求出即可；
（3）先根據(jù)二次根式的非負(fù)性，求出，從而得到，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，列出關(guān)于，的兩個(gè)含有字母參數(shù)的二元一次方程，從而求出的值，然后估算的算術(shù)平方根的大小，求出的“臻美區(qū)間”即可．
【規(guī)范解答】（1）解： ，
，
，
無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”是，
故答案為：；
（2）解：、為連續(xù)的整數(shù)，是關(guān)于，的二元一次方程的一組正整數(shù)解，
是正整數(shù)，，
一個(gè)無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”為，
，
，
當(dāng)，即時(shí)，不存在，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，不滿足不等式，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，滿足不等式，則；
當(dāng)，即時(shí)，不存在，舍去；
滿足題意的，的值為，
，則；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，，
①，②，
①②得，則，即，解得，
，即，
的算術(shù)平方根的“臻美區(qū)間”為．
期末考向二：二次根式的性質(zhì)
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖1，中，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)、兩點(diǎn)之間的距離為，、兩點(diǎn)之間的距離為，表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，則線段的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了從函數(shù)圖象中獲取信息、等腰三角形的三線合一、勾股定理、二次根式的應(yīng)用，從函數(shù)圖象中正確獲取信息是解題關(guān)鍵．先根據(jù)函數(shù)圖象可得，，當(dāng)時(shí)，，再當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)線段和差、勾股定理可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【規(guī)范解答】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，
如圖，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，，
∴在中，，
故答案為：．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期末）設(shè)，則與最接近的整數(shù)是 ．
【答案】2025
【思路點(diǎn)撥】此題是數(shù)字規(guī)律題，主要考查了二次根式的加減法，解答此類(lèi)題目要探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法．
由可化為，即可求解．
【規(guī)范解答】解：∵n為任意正整數(shù)，
∴
．
．
∴與S最接近的數(shù)是2025．
故答案為：2025．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）閱讀下列解題過(guò)程
例：若代數(shù)式的值是2，求的取值范圍
解：原式，
當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）；
當(dāng)時(shí)，原式，符合條件；
當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）．
∴的取值范圍是．
上述解題過(guò)程主要運(yùn)用了分類(lèi)討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)的值為或7
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解絕對(duì)值方程．掌握二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可確定，，從而化簡(jiǎn)二次根式的性質(zhì)即可；
（2）由閱讀材料可知，再分類(lèi)討論，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可．
【規(guī)范解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，
∴．
（2）解：原式，
當(dāng)時(shí)，原式，解得，符合條件；
當(dāng)時(shí)，原式，舍去；
當(dāng)時(shí)，原式，解得，符合條件．
∴的值為或7．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·湖南婁底·期末）閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)．形如，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使，且，則可變形為．從而達(dá)到化去一層根號(hào)的目的．例如化簡(jiǎn)，且，
．
(1)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：______；
(2)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)．
【答案】(1)，，
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確應(yīng)用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．
（1）將8寫(xiě)成，將寫(xiě)成，然后將被開(kāi)方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
（2）將x寫(xiě)成，然后將被開(kāi)方數(shù)變形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
【規(guī)范解答】（1）解：
，
故答案為：，，；
（2），
，
，
，
，
．
【訓(xùn)練1】（20-21八年級(jí)下·山東聊城·期末）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
例1：
；
例2：
請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：
(1)化簡(jiǎn)：；
(2)化簡(jiǎn)：；
(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a的值為或
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目提供的方法將，化簡(jiǎn)為，進(jìn)而得到答案；
（2）根據(jù)題目提供的方法將，化簡(jiǎn)為，進(jìn)而得到答案；
（3）將化簡(jiǎn)為，繼而得到，， 再根據(jù)為正整數(shù)，即可求出其值，代入即可．
【規(guī)范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又 為正整數(shù)，
，或者，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，，
綜上所述，a的值為或．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)上·湖南永州·期末）觀察下列各式及其化簡(jiǎn)過(guò)程：
，
．
(1)按照上述兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)過(guò)程的基本思路，將化簡(jiǎn)；
(2)化簡(jiǎn)；
(3)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，．
【思路點(diǎn)撥】（1）將31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；
（2）先將7分解成，計(jì)算第二層根式，再將35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；
（3）將等式兩邊同時(shí)平方即可求出答案．
【規(guī)范解答】（1）
（2）
（3）
兩邊平方可得：
∴，
期末考向三：二次根式的運(yùn)算
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：二次根式的乘除混合運(yùn)算
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）計(jì)算：．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了平方差公式，二次根式的乘除，算術(shù)平方根等知識(shí)．熟練掌握平方差公式，二次根式的乘除，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．
利用平方差公式計(jì)算二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的除法計(jì)算，求算術(shù)平方根，最后合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
【規(guī)范解答】解：
．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·山東濰坊·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形⑤…依此規(guī)律，則第2023個(gè)等腰直角三角形的面積是 ．

【答案】
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據(jù)確定第2個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)，
∴第1個(gè)等腰直角三角形的兩腰長(zhǎng)為2，
∴第1個(gè)等腰直角三角形的面積，
∵，
∴第2個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，
∴第2個(gè)等腰直角三角形的面積，
∵，
∴第3個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為，
∴第3個(gè)等腰直角三角形的面積，
…
第n個(gè)等腰直角三角形的面積
則第2023個(gè)等腰直角三角形的面積是；
故答案為：．
【訓(xùn)練2】（2023·山東濰坊·中考真題）從、，中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計(jì)算該算式的結(jié)果是 ．（只需寫(xiě)出一種結(jié)果）
【答案】（或或，寫(xiě)出一種結(jié)果即可）
【思路點(diǎn)撥】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得．
【規(guī)范解答】解：①選擇和，
則
．
②選擇和，
則
．
③選擇和，
則
．
故答案為：（或或，寫(xiě)出一種結(jié)果即可）．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：最簡(jiǎn)二次根式的判斷
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是最簡(jiǎn)二次根式，滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，解題關(guān)鍵是正確理解最簡(jiǎn)二次根式的概念．
【規(guī)范解答】解：A、，故選項(xiàng)不符合題意；
B、，故選項(xiàng)不符合題意；
C、是最簡(jiǎn)根式，故選項(xiàng)符合題意；
D、，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·陜西安康·期末）定義：若兩個(gè)二次根式m、n滿足，且p是有理數(shù)，則稱m與n是關(guān)于p的和諧二次根式．已知最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，請(qǐng)問(wèn)的算術(shù)平方根與是關(guān)于4的和諧二次根式嗎？并說(shuō)明理由．
【答案】的算術(shù)平方根與是關(guān)于4的和諧二次根式，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式、算術(shù)平方根、二次根式的乘法運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，理解和諧二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義求得a的值，然后求得a的算術(shù)平方根，最后根據(jù)和諧二次根式的定義判斷即可．
【規(guī)范解答】解：的算術(shù)平方根與是關(guān)于4的和諧二次根式，理由如下：
∵最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，
∴，即，
∴的算術(shù)平方根為，
∵，
∴的算術(shù)平方根與是關(guān)于4的和諧二次根式．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·河南三門(mén)峽·期末）下面是小美同學(xué)進(jìn)行二次根式運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．
………第一步
………第二步
………第三步
任務(wù)：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最簡(jiǎn)二次根式的是______；
(2)第______步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是______；
(3)第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是______；
(4)請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．
【答案】(1)、
(2)一，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒(méi)有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；
(3)乘法分配律
(4)見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義、去括號(hào)法則，二次根式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐一判斷即可；
（2）根據(jù)去括號(hào)法則分析即可；
（3）根據(jù)去括號(hào)的依據(jù)解答即可；
（4）先計(jì)算二次根式乘法、去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
【規(guī)范解答】（1）解：，不是最簡(jiǎn)二次根式；
，不是最簡(jiǎn)二次根式；
，不是最簡(jiǎn)二次根式；
、是最簡(jiǎn)二次根式，
故答案為：、
（2）解：第一步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒(méi)有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；
故答案為：一，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒(méi)有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；
（3）解：第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是乘法分配律，
故答案為：乘法分配律；
（4）解：
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：化為最簡(jiǎn)二次根式
【母題精講】．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為6，兩邊、在坐標(biāo)軸上，為線段上一點(diǎn)，且，連接、．
(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿折線的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接，將的面積記為，請(qǐng)用含的式子表示；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為6，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合點(diǎn)在y軸的正半軸，計(jì)算坐標(biāo)即可．
（2）根據(jù)題意，得，分點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)和在上運(yùn)動(dòng)，兩種情況解答即可．
（3）根據(jù)題意，分，，三種情況解答即可．
【規(guī)范解答】（1）解：∵正方形的邊長(zhǎng)為6，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)在y軸的正半軸，
∴．
（2）解：根據(jù)題意，得，
當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
；

當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
；
故．
（3）解：∵正方形的邊長(zhǎng)為6，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M一定在上，此時(shí)點(diǎn)M記作，
此時(shí)，
根據(jù)勾股定理，得，
∴，
故；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M一定在上，此時(shí)點(diǎn)M記作，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
解得，
此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M可能在上，也可能在上，當(dāng)點(diǎn)M在上記作，當(dāng)點(diǎn)M在上記作，
過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，
則，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
此時(shí)；
根據(jù)題意，得，
此時(shí)；

綜上所述，符合題意的M的坐標(biāo)為，，，．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·廣西貴港·期末）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧分別交邊，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
(1)求證：平分；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)的周長(zhǎng)
【思路點(diǎn)撥】（1）連接，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）證明：連接，，
由作圖知，，，
在與中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周長(zhǎng)．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·期末）如圖，在中，于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，則由勾股定理可得，據(jù)此利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
【規(guī)范解答】解：在中，∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴．
在中，。
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)
【母題精講】（21-22八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）當(dāng)a = 時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式．
【答案】2
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義列方程求解．
【規(guī)范解答】解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，
∴，
∴
∴
故答案為： 2
【訓(xùn)練1】（20-21八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期末）已知最簡(jiǎn)二次根式與2可以合并成一項(xiàng)，則a，b的值分別為（　　）
A．a(chǎn)＝1，b＝2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 C．a(chǎn)＝1，b＝0 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝2
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和合并同類(lèi)二次根式的法則得出方程組，求出方程組的解即可．
【規(guī)范解答】∵最簡(jiǎn)二次根式與2可以合并成一項(xiàng)，
∴，
解得：a＝1，b＝0，
故選：C．
【訓(xùn)練2】（20-21八年級(jí)上·山東濱州·期末）若最簡(jiǎn)二次根式和可以合并，則 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】由最簡(jiǎn)二次根式的定義，以及同類(lèi)二次根式的定義，先求出a、b的值，然后進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
【規(guī)范解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式和可以合并，
∴和是同類(lèi)二次根式，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：同類(lèi)二次根式
【母題精講】（20-21八年級(jí)上·四川成都·期末）下列二次根式能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】本題考查了同類(lèi)二次根式、二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法是解題關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)二次根式，再找出同類(lèi)二次根式即可得．
【規(guī)范解答】解：A、，與是同類(lèi)二次根式，可以合并，則此項(xiàng)符合題意；
B、，與不是同類(lèi)二次根式，不可以合并，則此項(xiàng)不符合題意；
C、，與不是同類(lèi)二次根式，不可以合并，則此項(xiàng)不符合題意；
D、，與不是同類(lèi)二次根式，不可以合并，則此項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，那么使有意義的x的取值范圍是 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了同類(lèi)二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義列方程求出a的值，代入，再根據(jù)二次根式的定義列出不等式求解即可．
【規(guī)范解答】解：∵最簡(jiǎn)根式與是同類(lèi)二次根式，
∴，解得：，
∵有意義，
∴，即，解得：．
故答案為：．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知二次根式．
(1)求使得該二次根式有意義的的取值范圍；
(2)已知是最簡(jiǎn)二次根式，且與可以合并，
求的值；
求與的乘積．
【答案】(1)；
(2)；．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)最簡(jiǎn)根式和同類(lèi)二次根式的定義可得，解方程即可得到答案；
根據(jù)所求利用二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可；
本題主要考查了二次根式有意義的條件，最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】（1）∵二次根式有意義，
∴，
解得：；
（2） ，
∵與可以合并，
∴，
解得：；
由得：，
，
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：二次根式的加減運(yùn)算
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·期末）（1）計(jì)算：
（2）解方程組：
【答案】（1）；（2）
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的減法運(yùn)算，解二元一次方程組：
（1）先化簡(jiǎn)，再合并同類(lèi)二次根式即可；
（2）加減消元法解方程組即可．
【規(guī)范解答】解：（1）原式
（2）
②，得③
得，，解得：
把代入②，得：
所以方程組的解是．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·安徽銅陵·期末）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，二次根式的運(yùn)算．先估算得出，，，再利用二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．
【規(guī)范解答】解：∵，
∴，
∴的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，
即，，
∴．
故選：C．
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）我們約定：關(guān)于x的代數(shù)式A，B，若不論x為何值，都有（m為常數(shù)），則稱代數(shù)式A，B互為“差值代數(shù)式”，m為“差值”例如：，因?yàn)椋訟，B互為“差值代數(shù)式”，“差值”為2．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題．
(1)判斷下列各式是否互為“差值代數(shù)式”．若是，則在括號(hào)中的劃“√”，若不是，則劃“×”．
①與（ ） ②與（ ） ③與（ ）
(2)已知關(guān)于x的整式，若M，N互為“差值代數(shù)式”，且“差值”為4，求a的值；
(3)已知關(guān)于x的整式，若S，T互為“差值代數(shù)式”，且滿足．
①求b，c，d的值；
②求代數(shù)式的最小值．
【答案】(1)①√ ②× ③√
(2)或
(3)① ；②的最小值為
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義解答即可得解；
先由定義得出或，解方程即可得解；
①恒等變形得出，然后由新定義即可得解，②先將代數(shù)式變形成，然后通過(guò)配方利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，最后代入即可得解．
【規(guī)范解答】（1）∵，
∴①與互為“差值代數(shù)式”，
∵，
∴②與不互為“差值代數(shù)式”，
∵，
∴③與互為“差值代數(shù)式”，
故答案為：①√ ②× ③√；
（2）由題可知，
∴或，
∴或，
綜上所述或；
（3）①，
，
，
，
，
互為“差整值代數(shù)式”，
，
②，
，
，
的最小值為．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：二次根式的混合運(yùn)算
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，在中，，分別垂直平分，交線段于M，N；的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，設(shè)O為中點(diǎn)，連接．

(1)求的度數(shù)；
(2)證明：；
(3)若的周長(zhǎng)為12，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，從而得出角相等，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出，即可求解；
（2）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，證出，再根據(jù)點(diǎn)O是的中點(diǎn)，即可求解；
（3）在四邊形中，根據(jù)四邊形內(nèi)角和算出，從而證明，同理，．即可算出，求出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)和勾股定理得出的長(zhǎng)，從而得出的長(zhǎng)，根據(jù)（1）可知，再利用垂直平分線性質(zhì)可以求出的長(zhǎng)，從而求出結(jié)果．
【規(guī)范解答】（1）解：分別垂直平分，
，
，
，
．
．
又，
；
（2）證明：連接．
分別垂直平分，
．
．
在線段的垂直平分線上．
又∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
；
（3）如圖，連接，

在四邊形中，，
，
．
即．
，
．
同理，．
則
，
是中點(diǎn)，且，
．
，
．
，
當(dāng)A在延長(zhǎng)線上時(shí)，上式等號(hào)成立，為最小值，
則
，
，
，
，
，
的周長(zhǎng)為，
由（1）知，．
，
點(diǎn)A在延長(zhǎng)線上，是中點(diǎn)，且，
為的垂直平分線，
，
，
，即
，
的周長(zhǎng)為．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·甘肅張掖·期末）【新考向】
如圖，在中，，點(diǎn)表示的數(shù)是，，以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，C點(diǎn)表示的數(shù)為．
(1)求的值；
(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是（1）中求出的實(shí)數(shù)．
【答案】(1)的值為
(2)，
【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，分式的化簡(jiǎn)求值．
（1）利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及直角三角形三邊的關(guān)系（勾股定理）進(jìn)行解答即可求得a的值；
（2）括號(hào)內(nèi)先通分進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的乘除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把（1）中a的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得．
【規(guī)范解答】（1）解：在中，點(diǎn)表示的數(shù)為1，，，
，，
，
以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，
，
點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是，
即的值為；
（2）解：
；
當(dāng)時(shí)，原式．
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)上·重慶·期末）估算的值應(yīng)在（ ）
A．和之間 B．和之間
C．和之間 D．和之間
【答案】B
【思路點(diǎn)撥】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，先將原式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行估算求值．解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用算術(shù)平方根知識(shí)進(jìn)行求解．也考查了不等式的性質(zhì)．
【規(guī)范解答】解：，
∵，即，
∴，
∴，
即的值應(yīng)在和之間．
故選：B．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：分母有理化
【母題精講】（2022九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及分母有理化，熟練掌握分式的化簡(jiǎn)求值及分母有理化是解題的關(guān)鍵．先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代值求解即可．
【規(guī)范解答】解：
．
；
當(dāng)時(shí)，原式．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·湖南懷化·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】，
【思路點(diǎn)撥】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值；先對(duì)括號(hào)內(nèi)進(jìn)行通分運(yùn)算，同時(shí)對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進(jìn)行約分，結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式，然后代值計(jì)算，即可求解；掌握分式化簡(jiǎn)的步驟是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】解：原式
；
當(dāng)時(shí)，
原式
．
【訓(xùn)練2】（24-25九年級(jí)上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【思路點(diǎn)撥】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把的值代入計(jì)算即可求解，掌握分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：已知字母的值，化簡(jiǎn)求值
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）已知，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
先根據(jù)題意求出，再利用完全平方公式把代數(shù)式變形為，代入求值即可解答．
【規(guī)范解答】解：，
，
，
，
，
故答案為：．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)上·河南漯河·期末）化簡(jiǎn)求值
(1)先化簡(jiǎn)，再?gòu)?，1，2中選取一個(gè)合適的x的值代入求值；
(2)先化簡(jiǎn)，再求值，已知，求的值．
【答案】(1)，當(dāng)x取1時(shí)，原式的值為
(2)，
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式有意義的條件，分母有理化；
（1）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的x的值代入計(jì)算可得．
（2）先得出，則；進(jìn)而根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將的x的值代入計(jì)算可得．
【規(guī)范解答】（1）解：
，
且，，
，
當(dāng)時(shí)，原式 ．
（2）解：∵
∴
當(dāng)時(shí)，原式
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）設(shè)，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）將的值代入，分母有理化即可得出答案；
（2）先計(jì)算出，把變形為，然后整體代入求值即可．
【規(guī)范解答】（1）解：，
；
（2）解： ，
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：已知條件式，化簡(jiǎn)求值
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·江蘇·期末）已知，求．
【答案】．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)得，則，，將原式化為，再整體代入即可求解．
【規(guī)范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原式
．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)上·河南商丘·期末）計(jì)算：
(1)已知，求的值；
(2)已知實(shí)數(shù)滿足，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【思路點(diǎn)撥】（1）先求出的值，再利用完全平方和與完全平方差的關(guān)系求出的值，即可求解；
（2）利用完全平方公式將原式變形為，求出和的值，代入求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴的值為；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴的值為．
【訓(xùn)練2】（21-22八年級(jí)下·山東臨沂·期末）已知，，y＞0，求y的值．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】將代入計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：∵，
∴
,
∴,
∵y＞0，
∴
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：比較二次根式的大小
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）比較大小： ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將化成，根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算、二次根式的化簡(jiǎn)可得，由此即可得．
【規(guī)范解答】解：，
∵，
，即，
故答案為：．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）閱讀下列解題過(guò)程∶
請(qǐng)回答下列問(wèn)題∶
(1)仿照上面的解題過(guò)程化簡(jiǎn)∶ ____________________．
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出的化簡(jiǎn)結(jié)果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的結(jié)論，不計(jì)算近似值，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)，理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大小：
（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；
（2）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；
（3）根據(jù)，把所求式子的每一項(xiàng)進(jìn)行分母有理化，然后合并化簡(jiǎn)即可得到答案；
（4）根據(jù)，且，即可得到答案．
【規(guī)范解答】（1）解：
；
故答案為：，，；
（2）解：
；
故答案為：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
與
，
∵，
∴，
∴
∴．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)上·山東青島·期末）觀察下列一組等式，然后解答問(wèn)題：
，
，
，
……
(1)觀察以上規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)等式：___________（為正整數(shù)）；
(2)利用上面的規(guī)律，計(jì)算：；
(3)請(qǐng)利用上面的規(guī)律，比較與的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題干，觀察規(guī)律，即可得到第個(gè)等式；
（2）先將各項(xiàng)分母有理化，在進(jìn)行有理數(shù)計(jì)算即可得到答案；
（3）根據(jù)平方差公式，可化成分子相同的數(shù)，根據(jù)相同的分子，分母越大的數(shù)越小進(jìn)行比較，即可得到答案．
【規(guī)范解答】（1）解：通過(guò)觀察可知，，
故答案為：；
（2）解：原式
，
；
（3）解：，，
，
．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：二次根式的應(yīng)用
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·廣西來(lái)賓·期末）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，則該三角形的面積為現(xiàn)在已知的三邊長(zhǎng)分別是，，，則三角形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的面積公式解答．
根據(jù)題目中的面積公式可以求得的三邊長(zhǎng)分別是，，的面積，從而可以解答本題．
【規(guī)范解答】解：，
的三邊長(zhǎng)分別是，，的面積為：，
故選：B．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期末）細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問(wèn)題：
，（是的面積）；
，（是的面積）；
，（是的面積）；
…
(1)請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：______，______；
(2)在線段，，，…，中，長(zhǎng)度為正整數(shù)的線段共有______條
(3)求的值；
【答案】(1)n，
(2)45
(3)18
【思路點(diǎn)撥】考查了新定義的理解，二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是理解新定義和有關(guān)二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．
（1）認(rèn)真閱讀新定義，根據(jù)已知內(nèi)容歸納總結(jié)即可；
（2）通過(guò)分析數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)邊長(zhǎng)正好是根號(hào)下一個(gè)正整數(shù)的平方時(shí)，出現(xiàn)的就是正整數(shù)．分析2025最接近哪個(gè)正整數(shù)的平方．
（3）代入化簡(jiǎn)整理求值即可；
【規(guī)范解答】（1）觀察所給式子：，，，以此類(lèi)推，可得．
對(duì)于，，，所以（n為正整數(shù)）．
故答案為：n，．
（2）解：∵，
∴
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
…
當(dāng)（k為正整數(shù)）時(shí)，，
∵，，
∴1到2025有45個(gè)完全平方數(shù)，
∴線段，，，…，中，長(zhǎng)度為正整數(shù)的線段共有45條．
故答案為：45．
（3）解：∵，，，
∴原式
．
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)上·湖南株洲·期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)為，寬為，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇即圖中陰影部分，長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為，寬為．
(1)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
(2)除修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為的地磚（假設(shè)地磚沒(méi)有損耗），要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？
【答案】(1)
(2)元
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的應(yīng)用；
（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算出空白部分的面積，然后再用空白部分的面積乘以單價(jià)即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)
答：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是．
（2）鋪地磚的面積
故購(gòu)買(mǎi)地磚的花費(fèi)為(元)
答：購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)元．
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力
1．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期末）下列式子正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的減法、乘法運(yùn)算，據(jù)此相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．
【規(guī)范解答】解：A、，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、，故該選項(xiàng)符合題意；
D、，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2．（24-25八年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列代數(shù)式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．
本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】A. ，不符合題意；
B. ，不是二次根式，不符合題意；
C. ，符合題意；
D. ，不符合題意；
故選：C．
3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)：，即可得出結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：；
故選C．
4．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列出不等式，解不等式即可．
【規(guī)范解答】解：∵二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得：．
故答案為：．
5．（24-25八年級(jí)上·浙江紹興·期末）在二次根式中，字母x的取值范圍是 ．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式有意義的條件．根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解．
【規(guī)范解答】解：∵二次根式有意義，
∴，解得，
故答案為：．
6．（24-25八年級(jí)上·湖南懷化·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
【答案】/
【思路點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算．
【規(guī)范解答】解：
．
故答案為：．
7．（24-25八年級(jí)上·湖南懷化·期末）計(jì)算：．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式乘除計(jì)算．根據(jù)絕對(duì)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式乘除計(jì)算法則求解即可．
【規(guī)范解答】解：
．
8．（24-25八年級(jí)上·河北石家莊·期末）定義：已知，都是實(shí)數(shù)，若，則稱與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”．
(1)4與_____是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，則是_____，表示的值的點(diǎn)落在數(shù)軸上的位置位于_____．
(2)若，判斷與是否是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)；；④
(2)是；理由見(jiàn)解析
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的乘除運(yùn)算和加減運(yùn)算．掌握本題的關(guān)鍵是：①能理解題述1 的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”的定義，并據(jù)此作出計(jì)算；②掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類(lèi)二次根式的合并．
（1）根據(jù)所給的例子，可得出實(shí)驗(yàn)數(shù)的求法，由此即可計(jì)算4與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”；
（2）根據(jù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算與的和，根據(jù)所求得結(jié)果即可判斷．
【規(guī)范解答】（1）解：∵，
∴與是關(guān)于的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”；
∵，
∴與是關(guān)于的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，即；
∵，
∴，
∴表示的值的點(diǎn)落在數(shù)軸上的位置位于1和2之間，即位置④；
（2）解：與是關(guān)于的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”．理由如下：
∵，
∴
，
∴與是關(guān)于的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”．
9．（24-25八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）計(jì)算：．
【答案】
【思路點(diǎn)撥】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，先化簡(jiǎn)二次根式，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)行零指數(shù)冪的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【規(guī)范解答】解：原式．
10．（23-24八年級(jí)下·云南普洱·期末）閱讀理解:
愛(ài)思考的張華在做題時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知，求的值．
他是這樣分析與解答的：
，即
請(qǐng)你根據(jù)張華的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
(1)計(jì)算：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數(shù)式的變形，變形各式后利用整體代入的思想是解決本題的關(guān)鍵．
（1）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；
（2）將m分母有理化得，移項(xiàng)并平方得到，變形后代入求值．
【規(guī)范解答】（1）解：原式；
（2）解：，
，
，即，
，
．
壓軸題—強(qiáng)化解題技能
11．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．連接、、、．若正方形的面積為，陰影部分的面積為．則的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明，整式的混合運(yùn)算．由陰影部分的面積為，得到，得到，根據(jù)三角形的面積公式列方程得到，求得，于是得到．
【規(guī)范解答】解：由題意得，
∵正方形的面積為，
∴，
∵陰影部分的面積為，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴(負(fù)值已舍)，
∴，
故選：C．
12．（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、立方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)次根式的性質(zhì)以及立方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A、，則運(yùn)算錯(cuò)誤，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、，則運(yùn)算錯(cuò)誤，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、，則運(yùn)算錯(cuò)誤，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、，則運(yùn)算正確，故D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
13．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，積的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，先把原式變形為，進(jìn)一步變形得到，據(jù)此計(jì)算求解即可．
【規(guī)范解答】解：
，
故選：A．
14．（24-25八年級(jí)上·福建三明·期末）計(jì)算結(jié)果是 ．
【答案】5
【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得．
【規(guī)范解答】解：
，
故答案為：5．
15．（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期末）若，求的值是 ．
【答案】2
【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式組，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵；根據(jù)二次根式有意義的條件得出一元一次不等式組，解不等式組，在求出y，代入中即可解答．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
則，
∴，
故答案為：2．
16．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且對(duì)勾股定理進(jìn)行理論證明．三國(guó)時(shí)期，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法對(duì)勾股定理進(jìn)行詳細(xì)證明，這幅．“勾股圓方圖”就是著名的“趙爽弦圖”．如圖，小明利用正方形紙張畫(huà)出內(nèi)接的“趙爽弦圖”，正方形的各頂點(diǎn)均在正方形的邊上．記正方形、正方形、正方形的面積分別為．若正方形的邊長(zhǎng)為，則 ．
【答案】21
【思路點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，完全平方公式，正確理解題意是解題關(guān)鍵．設(shè)8個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊分別為，根據(jù)題意，得到，由勾股定理得到，進(jìn)行求解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)8個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊分別為，
則：，，
∴；
故答案為：．
17．（24-25八年級(jí)上·上海徐匯·期末）已知，如圖：是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊所在的直線上，以為直角邊作等腰直角三角形，其中，探究并解決下列問(wèn)題：
(1)如圖①，若點(diǎn)P在線段上，且，，則：
①線段__________，__________；
②猜想：，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；
(2)如圖②，若點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你給出證明過(guò)程；
(3)若動(dòng)點(diǎn)滿足，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)見(jiàn)解析
(3)的值為或
【思路點(diǎn)撥】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得的長(zhǎng)；②過(guò)作于點(diǎn)，則可求得，把和都用和表示出來(lái)，在中，由勾股定理得到和的關(guān)系，從而可得到三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）過(guò)作于點(diǎn)，把和都用和表示出來(lái)，在中，由勾股定理得到和的關(guān)系，從而可證得結(jié)論；
（3）分點(diǎn)在線段上和線段的延長(zhǎng)線上，分別利用得到和的關(guān)系，從而可得到和的關(guān)系，在和中，利用勾股定理可分別得到和的關(guān)系，從而可求得的值．
【規(guī)范解答】（1）解：①∵是等腰直角三角形，，
，
，
；
②，
證明：如圖1，過(guò)作于點(diǎn)，
∵為等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
，
∵為等腰直角三角形，且，
，
，
故答案為：；
（2）證明：如圖 2，過(guò)作于點(diǎn)，
∵為等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
∵為等腰直角三角形，且，
，
．
（3）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
∴點(diǎn)只能在線段上或在線段的延長(zhǎng)線上，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
在 中，由勾股定理可得，
；
如圖4，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 的延長(zhǎng)線上時(shí)，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
在 中，由勾股定理可得，
，
綜上，的值為或．
18．（24-25八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知，在等邊中，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，，請(qǐng)求解線段的長(zhǎng)；
(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，若點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，用等式表示線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在（2）條件下，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
【答案】(1)
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)
【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理依次計(jì)算即可解題；
（2）過(guò)點(diǎn)作平行線交于點(diǎn)，連接，得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，即可得到，然后過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)M，利用勾股定理解題即可；
（3）過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)N，連，設(shè)，，由（2）可得為等邊三角形，，即可得到，，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，利用角的直角三角形計(jì)算，長(zhǎng)，然后在中利用勾股定理解題即可．
【規(guī)范解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，
∵，
∴，
∴，
又∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
過(guò)點(diǎn)作平行線交于點(diǎn)，連接，
由題意得，
∵，
，
∴，
又∵，
為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴
過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)M，
則，，
∴，
∴；
（3）解：由題可知，，
過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)N，連，設(shè)，，
則，
又∵為等腰三角形，
∴，
由（2）可得：為等邊三角形，，
∴，，，
∴，
過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴．
19．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）閱讀下列解題過(guò)程： ，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)觀察上面解題過(guò)程，計(jì)算
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出的結(jié)果．
(3)利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：
【答案】(1)
(2)
(3)9
【思路點(diǎn)撥】本題考查分母有理化，熟練掌握分母有理化，是解題的關(guān)鍵：
（1）利用分母有理化進(jìn)行求解即可；
（2）利用分母有理化進(jìn)行求解即可；
（3）先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：原式；
（2）；
（3）原式．
20．（24-25八年級(jí)上·河南平頂山·期末）計(jì)算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．
（1）先將二次根式化簡(jiǎn)，然后相加減即可得到結(jié)果；
（2）分子分母同乘，同時(shí)運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：
；
（2）解：
．2024-2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)知識(shí)串講（優(yōu)等生培優(yōu)版）
第1章 二次根式
（思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+易錯(cuò)點(diǎn)撥+17大考點(diǎn)講練+優(yōu)選真題難度分層練 共71題）
講義簡(jiǎn)介 2
思維導(dǎo)圖指引 2
章節(jié)知識(shí)回顧梳理 2
易錯(cuò)考點(diǎn)點(diǎn)撥匯總 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：二次根式定義條件 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：混淆“最簡(jiǎn)二次根式”標(biāo)準(zhǔn) 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：誤判“同類(lèi)二次根式” 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)04：加減法未先化簡(jiǎn)（運(yùn)算法則混淆） 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)05：乘除法規(guī)則錯(cuò)用（運(yùn)算法則混淆） 5
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)06：分配律濫用（運(yùn)算法則混淆） 6
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)07：隱含條件忽視 6
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)08：符號(hào)與變形錯(cuò)誤 6
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)09：應(yīng)用場(chǎng)景誤區(qū) 6
期末真題考點(diǎn)匯編講練 6
期末考向一：二次根式 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：求二次根式的值 6
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：求二次根式中的參 7
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：二次根式有意義的條件 7
期末考向二：二次根式的性質(zhì) 8
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn) 8
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn) 9
期末考向三：二次根式的運(yùn)算 10
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：二次根式的乘除混合運(yùn)算 10
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：最簡(jiǎn)二次根式的判斷 11
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：化為最簡(jiǎn)二次根式 12
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù) 13
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：同類(lèi)二次根式 13
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：二次根式的加減運(yùn)算 14
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：二次根式的混合運(yùn)算 15
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：分母有理化 16
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：已知字母的值，化簡(jiǎn)求值 16
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：已知條件式，化簡(jiǎn)求值 17
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：比較二次根式的大小 18
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：二次根式的應(yīng)用 19
優(yōu)選真題難度分層練 20
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力 20
壓軸題—強(qiáng)化解題技能 22
同學(xué)你好，本套講義針對(duì)學(xué)校課本內(nèi)容同步制作，貼合書(shū)本內(nèi)容。講義包含導(dǎo)圖指引，全章節(jié)知識(shí)點(diǎn)梳理，易錯(cuò)點(diǎn)考點(diǎn)點(diǎn)撥，期末真題考點(diǎn)匯編講練，優(yōu)選題難度分層訓(xùn)練！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，解析思路清晰，難度中上，非常適合培優(yōu)拔尖的同學(xué)使用，講義可作為章節(jié)復(fù)習(xí)，期中期末強(qiáng)化鞏固學(xué)習(xí)使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
知識(shí)點(diǎn)梳理01：二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】二次根式有意義的條件是，即只有被開(kāi)方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.
2.二次根式的性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】（1） 一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫(xiě)成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.
（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).
（4）與的異同
不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；
=，=（）.
相同點(diǎn)：被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.
3. 最簡(jiǎn)二次根式
1）被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；
2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方的因數(shù)或因式.
滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.
4.同類(lèi)二次根式
幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】判斷是否是同類(lèi)二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開(kāi)方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類(lèi)二次根式.
知識(shí)點(diǎn)梳理02：二次根式的運(yùn)算
1. 乘除法
（1）乘除法法則：
類(lèi)型
法則
逆用法則
二次根式的乘法
積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：
二次根式的除法
商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開(kāi)方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.
2.加減法
將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類(lèi)二次根式.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類(lèi)二次根式，最后合并同類(lèi)二次根式.如.
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：二次根式定義條件
學(xué)生容易忽略被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)這一核心條件。例如，題目中出現(xiàn)類(lèi)似“”的式子時(shí)，未意識(shí)到隱含條件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能為0且被開(kāi)方數(shù)需非負(fù)的雙重限制
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：混淆“最簡(jiǎn)二次根式”標(biāo)準(zhǔn)
最簡(jiǎn)二次根式需滿足三個(gè)條件：
被開(kāi)方數(shù)不含分母；
被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)方的因數(shù)；
分母中不含根號(hào)。
常見(jiàn)錯(cuò)誤如未將化簡(jiǎn)為，或未對(duì)分母進(jìn)行有理化處理。
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：誤判“同類(lèi)二次根式”
同類(lèi)二次根式需先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式后，再看被開(kāi)方數(shù)是否相同。例如，和化簡(jiǎn)為和才可合并，但學(xué)生可能因未化簡(jiǎn)而誤以為不能合并
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)04：加減法未先化簡(jiǎn)（運(yùn)算法則混淆）
二次根式加減必須先將所有項(xiàng)化為最簡(jiǎn)形式，再合并同類(lèi)項(xiàng)。典型錯(cuò)誤如直接合并為，或未發(fā)現(xiàn)與是同類(lèi)項(xiàng)
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)05：乘除法規(guī)則錯(cuò)用（運(yùn)算法則混淆）
乘法時(shí)未正確應(yīng)用（需a,b≥0）；
除法中未注意分母有理化，或誤將拆分為但忽略分母限制
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)06：分配律濫用（運(yùn)算法則混淆）
錯(cuò)誤將根號(hào)與加減法結(jié)合，如，或，此類(lèi)錯(cuò)誤常因?qū)Ω?hào)性質(zhì)理解不透導(dǎo)致
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)07：隱含條件忽視
1. 雙重非負(fù)性忽略
二次根式的結(jié)果和被開(kāi)方數(shù)均非負(fù)，但學(xué)生可能在涉及代數(shù)式時(shí)未考慮符號(hào)。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意題目中隱含的變量取值范圍
2. 分母有理化不徹底
有理化時(shí)需找到正確的有理化因式，如對(duì) ，應(yīng)乘以而非僅處理分母中的單項(xiàng)根式。學(xué)生可能僅處理部分項(xiàng)，導(dǎo)致分母仍含根號(hào)
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)08：符號(hào)與變形錯(cuò)誤
1. 變形時(shí)符號(hào)處理不當(dāng)
例如，將直接寫(xiě)成a-2，而忽略a可能小于2的情況，正確結(jié)果應(yīng)為∣a 2∣
2. 綜合運(yùn)算順序混亂
混合運(yùn)算時(shí)未遵循先乘除后加減、先括號(hào)內(nèi)后外的規(guī)則，或因跳步過(guò)多導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。例如，在計(jì)算“”時(shí)，可能漏乘括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)
易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)09：應(yīng)用場(chǎng)景誤區(qū)
1. 實(shí)際問(wèn)題建模錯(cuò)誤
例如，用勾股定理求斜邊時(shí)，若已知兩直角邊為和，學(xué)生可能直接相加而非平方后求和再開(kāi)方
2. 與數(shù)軸結(jié)合時(shí)符號(hào)誤判
當(dāng)二次根式與數(shù)軸上的點(diǎn)結(jié)合時(shí)，未根據(jù)點(diǎn)的位置判斷被開(kāi)方數(shù)的正負(fù)性，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤
期末考向一：二次根式
重點(diǎn)考點(diǎn)講練01：求二次根式的值
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·四川綿陽(yáng)·期末）將一次函數(shù)的圖象向上平移9個(gè)單位得到直線，則的值為（ ）
A．3 B． C． D．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)下·湖北咸寧·期末）代數(shù)式的最小值為 ．
【訓(xùn)練2】（19-20八年級(jí)下·北京·期末）下列式子中，是二次根式的是(　　　)
A． B． C． D．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練02：求二次根式中的參
【母題精講】（21-22八年級(jí)上·河南開(kāi)封·期末）＝2，則a＝ ．
【訓(xùn)練1】（19-20八年級(jí)下·山西·期末）已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的最小值為 ．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)上·北京平谷·期末）已知是正偶數(shù)，則實(shí)數(shù)的最大值為（　　）
A． B． C． D．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練03：二次根式有意義的條件
【母題精講】（21-22八年級(jí)下·四川涼山·期末）已知，則的值為 ．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·四川眉山·期末）當(dāng) 時(shí)，分式有意義．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·期末）任意一個(gè)無(wú)理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無(wú)理數(shù)，（其中為連續(xù)的整數(shù)），則稱無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”為，如，所以的“臻美區(qū)間”為．
(1)無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”是______．
(2)若一個(gè)無(wú)理數(shù)的“臻美區(qū)間”為，且滿足，其中是關(guān)于的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求的值．
(3)實(shí)數(shù)滿足如下關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“臻美區(qū)間”．
期末考向二：二次根式的性質(zhì)
重點(diǎn)考點(diǎn)講練04：利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖1，中，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)、兩點(diǎn)之間的距離為，、兩點(diǎn)之間的距離為，表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，則線段的長(zhǎng)為 ．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期末）設(shè)，則與最接近的整數(shù)是 ．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）閱讀下列解題過(guò)程
例：若代數(shù)式的值是2，求的取值范圍
解：原式，
當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）；
當(dāng)時(shí)，原式，符合條件；
當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）．
∴的取值范圍是．
上述解題過(guò)程主要運(yùn)用了分類(lèi)討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：______．
(2)解方程：．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練05：復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·湖南婁底·期末）閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)．形如，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使，且，則可變形為．從而達(dá)到化去一層根號(hào)的目的．例如化簡(jiǎn)，且，
．
(1)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：______；
(2)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)．
【訓(xùn)練1】（20-21八年級(jí)下·山東聊城·期末）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
例1：
；
例2：
請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：
(1)化簡(jiǎn)：；
(2)化簡(jiǎn)：；
(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)上·湖南永州·期末）觀察下列各式及其化簡(jiǎn)過(guò)程：
，
．
(1)按照上述兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)過(guò)程的基本思路，將化簡(jiǎn)；
(2)化簡(jiǎn)；
(3)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．
期末考向三：二次根式的運(yùn)算
重點(diǎn)考點(diǎn)講練06：二次根式的乘除混合運(yùn)算
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）計(jì)算：．
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·山東濰坊·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形⑤…依此規(guī)律，則第2023個(gè)等腰直角三角形的面積是 ．

【訓(xùn)練2】（2023·山東濰坊·中考真題）從、，中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計(jì)算該算式的結(jié)果是 ．（只需寫(xiě)出一種結(jié)果）
重點(diǎn)考點(diǎn)講練07：最簡(jiǎn)二次根式的判斷
【母題精講】（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·陜西安康·期末）定義：若兩個(gè)二次根式m、n滿足，且p是有理數(shù)，則稱m與n是關(guān)于p的和諧二次根式．已知最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，請(qǐng)問(wèn)的算術(shù)平方根與是關(guān)于4的和諧二次根式嗎？并說(shuō)明理由．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·河南三門(mén)峽·期末）下面是小美同學(xué)進(jìn)行二次根式運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．
………第一步
………第二步
………第三步
任務(wù)：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最簡(jiǎn)二次根式的是______；
(2)第______步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是______；
(3)第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是______；
(4)請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練08：化為最簡(jiǎn)二次根式
【母題精講】．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為6，兩邊、在坐標(biāo)軸上，為線段上一點(diǎn)，且，連接、．
(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿折線的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接，將的面積記為，請(qǐng)用含的式子表示；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·廣西貴港·期末）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧分別交邊，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
(1)求證：平分；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·期末）如圖，在中，于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練09：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)
【母題精講】（21-22八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）當(dāng)a = 時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式．
【訓(xùn)練1】（20-21八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期末）已知最簡(jiǎn)二次根式與2可以合并成一項(xiàng)，則a，b的值分別為（　　）
A．a(chǎn)＝1，b＝2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 C．a(chǎn)＝1，b＝0 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝2
【訓(xùn)練2】（20-21八年級(jí)上·山東濱州·期末）若最簡(jiǎn)二次根式和可以合并，則 ．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練10：同類(lèi)二次根式
【母題精講】（20-21八年級(jí)上·四川成都·期末）下列二次根式能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，那么使有意義的x的取值范圍是 ．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知二次根式．
(1)求使得該二次根式有意義的的取值范圍；
(2)已知是最簡(jiǎn)二次根式，且與可以合并，
求的值；
求與的乘積．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練11：二次根式的加減運(yùn)算
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·期末）（1）計(jì)算：
解方程組：
【訓(xùn)練1】（22-23八年級(jí)下·安徽銅陵·期末）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）我們約定：關(guān)于x的代數(shù)式A，B，若不論x為何值，都有（m為常數(shù)），則稱代數(shù)式A，B互為“差值代數(shù)式”，m為“差值”例如：，因?yàn)椋訟，B互為“差值代數(shù)式”，“差值”為2．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題．
(1)判斷下列各式是否互為“差值代數(shù)式”．若是，則在括號(hào)中的劃“√”，若不是，則劃“×”．
①與（ ） ②與（ ） ③與（ ）
(2)已知關(guān)于x的整式，若M，N互為“差值代數(shù)式”，且“差值”為4，求a的值；
(3)已知關(guān)于x的整式，若S，T互為“差值代數(shù)式”，且滿足．
①求b，c，d的值；
②求代數(shù)式的最小值．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練12：二次根式的混合運(yùn)算
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，在中，，分別垂直平分，交線段于M，N；的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，設(shè)O為中點(diǎn)，連接．

(1)求的度數(shù)；
(2)證明：；
(3)若的周長(zhǎng)為12，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，求的周長(zhǎng)．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·甘肅張掖·期末）【新考向】
如圖，在中，，點(diǎn)表示的數(shù)是，，以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，C點(diǎn)表示的數(shù)為．
(1)求的值；
(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是（1）中求出的實(shí)數(shù)．
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)上·重慶·期末）估算的值應(yīng)在（ ）
A．和之間 B．和之間
C．和之間 D．和之間
重點(diǎn)考點(diǎn)講練13：分母有理化
【母題精講】（2022九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·湖南懷化·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【訓(xùn)練2】（24-25九年級(jí)上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練14：已知字母的值，化簡(jiǎn)求值
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）已知，則代數(shù)式的值為 ．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)上·河南漯河·期末）化簡(jiǎn)求值
(1)先化簡(jiǎn)，再?gòu)?，1，2中選取一個(gè)合適的x的值代入求值；
(2)先化簡(jiǎn)，再求值，已知，求的值．
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）設(shè)，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練15：已知條件式，化簡(jiǎn)求值
【母題精講】（22-23八年級(jí)下·江蘇·期末）已知，求．
【訓(xùn)練1】（21-22八年級(jí)上·河南商丘·期末）計(jì)算：
(1)已知，求的值；
(2)已知實(shí)數(shù)滿足，求的值．
【訓(xùn)練2】（21-22八年級(jí)下·山東臨沂·期末）已知，，y＞0，求y的值．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練16：比較二次根式的大小
【母題精講】（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）比較大小： ．
【訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）閱讀下列解題過(guò)程∶
請(qǐng)回答下列問(wèn)題∶
(1)仿照上面的解題過(guò)程化簡(jiǎn)∶ ____________________．
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出的化簡(jiǎn)結(jié)果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的結(jié)論，不計(jì)算近似值，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．
【訓(xùn)練2】（22-23八年級(jí)上·山東青島·期末）觀察下列一組等式，然后解答問(wèn)題：
，
，
，
……
(1)觀察以上規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)等式：___________（為正整數(shù)）；
(2)利用上面的規(guī)律，計(jì)算：；
(3)請(qǐng)利用上面的規(guī)律，比較與的大小．
重點(diǎn)考點(diǎn)講練17：二次根式的應(yīng)用
【母題精講】（24-25八年級(jí)上·廣西來(lái)賓·期末）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，則該三角形的面積為現(xiàn)在已知的三邊長(zhǎng)分別是，，，則三角形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練1】（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期末）細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問(wèn)題：
，（是的面積）；
，（是的面積）；
，（是的面積）；
…
(1)請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：______，______；
(2)在線段，，，…，中，長(zhǎng)度為正整數(shù)的線段共有______條
(3)求的值；
【訓(xùn)練2】（24-25八年級(jí)上·湖南株洲·期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)為，寬為，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇即圖中陰影部分，長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為，寬為．
(1)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
(2)除修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為的地磚（假設(shè)地磚沒(méi)有損耗），要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？
中檔題—夯實(shí)基礎(chǔ)能力
1．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期末）下列式子正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列代數(shù)式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　　）
A． B． C．3 D．
4．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ．
5．（24-25八年級(jí)上·浙江紹興·期末）在二次根式中，字母x的取值范圍是 ．
6．（24-25八年級(jí)上·湖南懷化·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
7．（24-25八年級(jí)上·湖南懷化·期末）計(jì)算：．（結(jié)果保留根號(hào)）
8．（24-25八年級(jí)上·河北石家莊·期末）定義：已知，都是實(shí)數(shù)，若，則稱與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”．
(1)4與_____是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，則是_____，表示的值的點(diǎn)落在數(shù)軸上的位置位于_____．
(2)若，判斷與是否是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，并說(shuō)明理由．
9．（24-25八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）計(jì)算：．
10．（23-24八年級(jí)下·云南普洱·期末）閱讀理解:
愛(ài)思考的張華在做題時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知，求的值．
他是這樣分析與解答的：
，即
請(qǐng)你根據(jù)張華的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
(1)計(jì)算：；
(2)若，求的值．
壓軸題—強(qiáng)化解題技能
11．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．連接、、、．若正方形的面積為，陰影部分的面積為．則的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25八年級(jí)上·福建三明·期末）計(jì)算結(jié)果是 ．
15．（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期末）若，求的值是 ．
16．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且對(duì)勾股定理進(jìn)行理論證明．三國(guó)時(shí)期，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法對(duì)勾股定理進(jìn)行詳細(xì)證明，這幅．“勾股圓方圖”就是著名的“趙爽弦圖”．如圖，小明利用正方形紙張畫(huà)出內(nèi)接的“趙爽弦圖”，正方形的各頂點(diǎn)均在正方形的邊上．記正方形、正方形、正方形的面積分別為．若正方形的邊長(zhǎng)為，則 ．
17．（24-25八年級(jí)上·上海徐匯·期末）已知，如圖：是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊所在的直線上，以為直角邊作等腰直角三角形，其中，探究并解決下列問(wèn)題：
(1)如圖①，若點(diǎn)P在線段上，且，，則：
①線段__________，__________；
②猜想：，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；
(2)如圖②，若點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你給出證明過(guò)程；
(3)若動(dòng)點(diǎn)滿足，求的值．
18．（24-25八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知，在等邊中，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，，請(qǐng)求解線段的長(zhǎng)；
(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，若點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，用等式表示線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在（2）條件下，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
19．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）閱讀下列解題過(guò)程： ，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)觀察上面解題過(guò)程，計(jì)算
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出的結(jié)果．
(3)利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：
20．（24-25八年級(jí)上·河南平頂山·期末）計(jì)算
(1) (2)

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