資源簡介

第四章 因式分解
4.2提取公因式
《提取公因式》是浙教版初中數學七年級下冊第四章第二節的內容，本節課是因式分解這一章節的重要基礎方法．因式分解在初中數學代數知識體系中占據關鍵地位，它是對整式運算的進一步深化，同時也是后續學習分式運算、解方程（特別是一元二次方程）以及二次函數等知識的重要工具．提取公因式作為因式分解最基本、最常用的方法，為后續學習其他因式分解方法，如運用公式法、分組分解法等奠定了基礎．通過提取公因式，能將多項式化簡，使復雜的數學問題變得更加簡單，便于學生進一步分析和解決．
學生在學習提取公因式之前，已經掌握了整式的基本運算，包括單項式的乘法、多項式的乘法等．這些知識為學生理解公因式的概念和提取公因式的方法提供了必要的基礎．通過對上一節課的學習，學生對因數分解有一定的了解，并且在小學階段學習整數的因數分解時，已經熟悉了尋找一個數的因數的方法，這與尋找多項式公因式的過程有相似之處，學生可以通過類比來理解公因式的概念．
1．熟練掌握提取公因式法分解因式的一般步驟和方法，培養學生的邏輯推理素養．
2．在運用提取公因式法簡化復雜數學表達式的過程中，提升學生的數學運算素養．
3．應用提取公因式法解決實際數學問題，提升學生運用數學知識解決問題的能力，體會從特殊到一般的數學思想方法．
重點：掌握提取公因式法并加以運用．
難點：應用提取公因式法解決實際數學問題．
復習回顧
因式分解:
一般地，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫作因式分解，有時我們也把這一過程叫分解因式．
師生活動：學生代表回答，如出現錯誤或者不完整，請其他學生修正或者補充，教師點評．
設計意圖：通過復習因式分解的定義，為本節課深入學習提取公因式法進行因式分解及綜合運用做好知識上的準備．
探究新知
活動一：探究提取公因式法的概念
觀察下列多項式，它們有什么共同特點？
一般地，一個多項式中每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式.
如果一個多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進行因式分解，這種分解因式的方法，叫做提取公因式法．
活動二：利用提取公因式法進行因式分解
把下列各式分解因式.
分析：提公因式法步驟(分三步)
第一步:確定應提取的公因式；
第二步:用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式；
第三步:把多項式寫成這兩個因式的積的形式．
(公因式必須時各項系數的最大公約數（當系數是整數時）與各項都含有的相同字母的最低次冪的積).
解：(1)
；
(2)
活動三：利用因式分解求整式的值
已知，，求的值．
解：，
原式
方法總結：含，的求值題，通常要將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用和表示的式子，然后將，的值整體帶入即可.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：讓學生使用提公因式法進行因式分解練習，加深學生對提公因式法的理解．
應用新知
例1. 把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)
解： (1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
例2． 把 分解因式．
解：
在本題中，我們把 加上括號，變形成，而不改變的值，這種方法叫做添括號．一般地，添括號的法則如下：
括號前面添 “+” 號，括到括號里的各項都不變號；括號前面添 “-” 號，括到括號里的各項都變號.
例3．已知，求的值.
解：
.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示，規范書寫格式．
設計意圖：通過典型例題鞏固新知，讓學生學會解題格式并思考過程，同時讓學生領會提公因式法的運用方法以及需注意的問題．
課堂練習
1．添括號（填空）：
(1)；
(2) ；
(3) .
解：(1)；
(2) ；
(3) .
2．下面的因式分解對嗎？如果不對，怎樣改正？
(1)；
(2)；
(3)；
(4) ．
解： (1) 不對，；
(2) 不對，；
(3) 不對，；
(4) 不對，
3．已知: ，求代數式的值．
解：
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，完善過程，學生代表板演做題的過程，然后給大家講解，教師再總結提升．
設計意圖：讓學生用所學知識解決問題，加深學生對提公因式法的應用和理解，進一步掌握解題技巧，激發學生興趣．
課堂檢測
1．添括號（填空）：
(1) ；
(2) ；
(3) .
解: (1) ；
(2) ；
(3) .
2．先寫出多項式各項的公因式，然后分解因式．
解：多項式各項的公因式為，
分解因式得：
3．分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
4．若，求的值．
解：
.
又
．
5．化簡求值：，其中 ．
解：原式
當時，原式.
6．的三邊長分別為，且，請判斷的形狀，并說明理由．
解：整理得，，
，
或，
即或(舍去)，
是等腰三角形．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
設計意圖：學生通過做題，熟練運用提公因式法解決因式分解問題，提高學生解決問題的能力．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．提公因式法需要注意的事項有哪些？
設計意圖：在教師的引導下，學生自主歸納，使學生對所學知識及時納入學生的認知結構．
本節課是第四章“因式分解”的第二節《提取公因式》的內容，在教學中，多數學生掌握基礎知識，但知識遷移和綜合運用不足． 講授法雖系統但互動欠缺，實例演練需優化實例選擇及加強指導． 學生積極性有差異，基礎薄弱者難理解原理，學優生覺練習簡單．
改進措施包括優化教學內容，分層設計練習；豐富教學手段，如多媒體、小組競賽、探究活動；強化學習評價，納入課堂表現、競賽成績、作業質量等，以提升教學質量．

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