資源簡介

第三章 整式的乘除
3.7整式的除法
《整式的除法》是浙教版初中數學七年級下冊第三章第七節的內容.本節課的學習內容為掌握單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算，并能夠綜合運用所學知識解決實際問題.整式的除法在整式的運算中的地位和作用是很重要的，是對代數式運算的深化，也為后續分式、方程等知識學習鋪就道路.教材編排遵循從特殊到一般、由淺入深的規律，借助實例引導學生自主推導法則，同時結合實際問題，強化知識應用，提升學生解決問題的能力.
學生學習本節課之前有了一定的知識儲備，已掌握同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方，對冪運算規則有基本認知，能借助同底數冪除法法則推導，然而，由于學生之間存在個體差異，部分學生主動探究意識薄弱，面對復雜運算容易產生畏難情緒，需要教師在教學中給予更多引導與鼓勵.
1.理解和掌握單項式除以單項式和多項式除以單項式的運算法則．
2.熟練、準確地進行計算各種類型的單項式除以單項式算式和多項式除以單項式算式．
3.理解除法運算的算理，發展有條理的思考及表達能力.
4.經歷探索整式除法運算法則的過程，進一步體會類比方法的作用，發展運算能力.
重點：引導學生歸納總結出單項式除以單項式和多項式除以單項式的運算法則.
難點：熟練運用這些法則進行有關計算.
情景導入
2021年10月16日，神舟十三號載人飛船與空間站組合體完成自主快速交會對接.如果中國空間站組合體環繞地球飛行一周所需的時間為5.5×103秒，行程為4.22×107米，那么它的速度為每秒多少米？
速度=米/秒.
師生活動：老師提出問題，學生根據所學知識回答.
設計意圖：從實際問題引入同底數冪的除法運算，激發學生興趣.
探究新知
活動一：探究單項式除以單項式
問題1：解決節前語中的問題時，你是怎樣計算的？由此你能找到計算(3a8)÷(2a4)的方法嗎？計算(6a3b4)÷(3a2b)呢？
方法一：
理解:
①分數線相當于除號；
②除以一個數等于乘以這個數的倒數.
可以嘗試用約分的方法進行計算——分數的分子分母同時除以一個相同（不為0）的數，分數值不變.
方法二：
提示：利用同底數冪除法，把數字和每種字母分類計算.
思考交流：如何進行單項式除以單項式的運算？
規律：
（1）商的系數=被除式的系數÷除式的系數；
（2）相同字母：按同底數冪的除法計算；
（3）只在被除式中含有的字母，連同它的指數作為商的一個因式.
單項式除以單項式
單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.
商式=系數·同底的冪·被除式里單獨有的冪
例如：
師生活動：學生組內交流，合作解決，教師引導學生歸納法則.
設計意圖：在教學中運用探究式教學模式，使學生體驗教學再創造的思維過程，培養學生的創造意識和科學精神.
活動二：探究多項式除以單項式
問題2：先填空，再用適當的方法驗證計算的正確性.
（1）(625+125+50)÷25=( )÷( )+( )÷( )+( )÷( )=____；
（2）(4a+6)÷2=( )÷2+( )÷2=____；
（3）(2a-a)÷(-2a)=( )÷(-2a)+( )÷(-2a)=_____.
從上述第（2），（3）題的計算中，你能歸納出多項式除以單項式的運算方法嗎？
計算:
注意：計算時先判斷符號的正負.
運用多項式除以單項式法則時應注意什么？
1.在用多項式的每一項除以單項式時，注意每一項都要帶著前面的符號.
2.所得商的項數應和多項式的項數保持一致.
多項式除以單項式
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.
例如：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0).
師生活動：通過老師提出層層遞進的問題，同學之間交流合作，讓學生從不同的角度，嘗試探究出多項式除以單項式的運算法則．
設計意圖：學生在探索多項式除以單項式運算法則的過程中，讓學生自主探索法則，鍛煉思維，提升知識運用能力.
應用新知
例1.計算（1） （2） （3）
解：（1）
解：（2）
解： （3）
例2.計算：（1） （2）
解：（1）
（2）
例3.解：（1）
解：（2）
解：（3）xy=3xy)-()3xy)=3x-2y
例4.根據多項式除以單項式法則，請你說一說下面計算正確嗎？說出你的理由！
答：計算不對，有兩個錯誤：
①丟項，被除式有三項，商式只有二項，丟了最后一項1；
②符號上錯誤，商式第二項的符號.
正確：
例5.解：（1）
解：（2）
師生活動：學生先獨立解決問題.然后進行交流、探討，教師巡視并予以指導.
設計意圖：通過典型例題鞏固新知，讓學生學會解題格式并思考過程，同時讓學生領會單項式
除以單項式和多項式除以單項式法則的運用方法以及需注意的問題.
課堂練習
1.計算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
2.填空：
（1）a
解：a=-3
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
3.下列計算錯在哪里？應怎樣改正？
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
4.一個長方體模型的長、寬、高分別為4a(cm)，3a(cm)，2a(cm).某種油漆每千克可漆面積為a()，問:漆這個模型需要油漆多少千克？
解：長方體的表面積為：
（cm2）
（千克）
答：漆這個模型需要油漆104a千克.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，完善過程，學生代表板演做題的過程，然后給大家講解，教師再總結提升.
設計意圖：通過分層題型覆蓋法則應用，結合典型題強化運算能力，提升學生熟練度，同時暴露易錯點進行針對性指導.
課堂檢測
1.計算：
（1） （2）
解：（1）
（2）
2.填空
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
3.計算：
（1） （2）
解：（1）
（2）
4. 先化簡，再求值：
，其中m=2，n=-2.
解：
代入m=2，n=-2，
原式=2×2-3×.
5.我們所處的銀河系是一個龐大的星系.據科學家探測，銀河系的直徑約為97800光年.如果火箭的速度為9×103米/秒，那么火箭從銀河系直徑的一端飛到另一端，大的需要多少年(精確到108位)？
解：銀河系的直徑約為97800光年，1光年等于光在一年中走的距離，即米/秒×365×24×60 ×60秒，銀河系的直徑約為米，火箭從銀河系直徑的一端飛到另一端需要時間為：（年）.
師生活動：學生先獨立思考再作答．
設計意圖：通過檢測反饋學習效果，發現問題并針對性輔導，鞏固整式除法運算能力.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1.本節課你學到了什么？
2.單項式除以單項式的運算法則？
3.多項式除以單項式的運算法則？
設計意圖：在教師的引導下，學生自主歸納，提煉數學思想，培養學生善思樂學的學習習慣.
實踐作業
聰聰在一次數學課外活動中發現了一個奇特的現象：他隨便想一個非零的有理數，把這個數平方，再加上這個數，然后把結果除以這個數，最后減去這個數，所得結果總是1.你能說明其中的道理嗎？
本節課是第三章“整式的乘除”的第七節《整式的除法》的內容，在教學時注重知識的銜接與遷移，依托學生已有的同底數冪乘法基礎，引導他們類比推導運算法則.比如推導單項式除以單項式法則，學生憑借對同底數冪乘法指數運算的理解，快速掌握相除時指數的變化規則，讓新知識的學習水到渠成，強化了知識間的聯系；在探究多項式除以單項式方法時，小組討論熱烈，不同思維相互碰撞，學生不僅深化了對法則的理解，合作交流和表達能力也得到鍛煉，課堂氛圍活躍且高效；教學全程強調思維與方法滲透，借助乘除互逆關系，巧妙將多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式，培養學生轉化思想，提升其思維靈活性與邏輯性，為今后解決復雜數學問題筑牢根基.

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