資源簡介

第三章 整式的乘除
3.2單項式的乘法
《單項式乘法》是浙教版初中數學七年級下冊第三章第二節的內容．單項式乘法是整式乘法的重要內容，是多項式乘法的基礎．它是以冪的運算性質為基礎，根據乘法交換律、結合律和分配律進行計算的．進行單項式乘法運算時，首先弄清每個單項式的系數，字母及各個字母的指數，注意單項式的系數包括前面的符號，對于只在一個單項式中出現的字母不能漏掉，單項式與多項式相乘時要特別注意分配律應用時項的符號處理．
學生學習本節課之前有了一定的知識儲備，已經掌握了有理數運算、整式概念及同底數冪乘法等知識，由于學生之間存在個體差異，部分學生對系數運算，尤其含負系數或分數系數時易出錯，同時，將知識運用到實際問題上有難度，難以準確分析問題列式．因此，在教學過程中，教師需要關注學生的個體差異，采取因材施教的教學策略．
1．經歷單項式與單項式相乘，單項式與多項式相乘的運算法則的探究過程，體會乘法結合律的作用和轉化思想，會進行單項式與單項式的乘法運算．
2．通過探究單項式乘單項式，單項式與多項式相乘的運算法則，培養學生的語言表達能力，邏輯思維能力．
3．通過運用單項式乘單項式，單項式與多項式相乘的運算法則，調動學生的學習積極性、主動性增強學生學習數學的自信心．
重點：單項式乘單項式和單項式乘多項式的法則及應用．
難點：轉化思想及法則應用的依據．
情境導入
天安門廣場位于北京市中心，呈南北向為長、東西向為寬的長方形，其面積之大在世界上屈指可數．一位旅行者想估計天安門廣場的面積，他先從南走到北，記下所走的步數為1100步；再從東走到西，記下所走的步數為625步．
探究新知
活動一：單項式與單項式相乘的法則
問題1：（1）如果節前語中旅行者的步長用a（m）表示，你能用含a的代數式表示廣場的面積嗎？假設這位旅行者的步長為0.8m，那么廣場的面積大約是多少平方米？
（2）通過解決上述問題，你認為兩個單項式相乘應怎樣運算？運算的依據是什么？
解：（1）旅行者的步長用a（m）表示，則廣場從南到北長：1100a（m），從東到西長：625a（m），廣場的面積：1100a×625a=687500a2（m2）．假設這位旅行者的步長為0.8m，那么廣場的面積大約是：687500×0.82=440000（m2）．
（2）兩個單項式相乘可以隨意交換相乘順序，運算的依據是乘法交換律．
問題2：怎樣計算(3×105)×(5×102)？
解：(3×105)×(5×102)
=(3×5)×(105×102)
=15×107
=1.5×108
計算過程中用到哪些運算律及運算性質
乘法交換律 結合律 同底數冪的乘法
問題3：如果將上式中的數字改為字母，比如2ac5·3bc2，怎樣計算這個式子？
分析：利用 乘法交換律、結合律、 同底數冪的乘法
解：2ac5·3bc2
=(2×3)(a·b)(c5×c2)
=6abc5+2
=6abc7
問題4：觀察下面兩個單項式相乘的計算過程:
4xy·5x2 y=(4×5)(x·x2)(y·y)=20x3y2
( 3mn2)·( 2m2)=[( 3)×( 2)](m·m2)n2=6m3n2
請思考下面的問題:
（1）積的系數是怎樣確定的？系數相乘
（2）積的字母與字母的指數是怎樣確定的？相同字母的冪相乘
一般地，單項式與單項式相乘有以下的法則：
單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
注意：（1）系數相乘；
（2）同底數冪相乘；
（3）其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：通過情景建立模型，數與數相乘，同底數冪相乘，讓學生在觀察、討論、概括中總結出單項式與單項式相乘這一運算的本質特征，并組織語言歸納．
活動二：單項式與多項式相乘的法則
一幅畫的尺寸如圖 ．
（1）用兩種不同的方法表示這幅畫的面積．
（2）用這兩種方法表示的面積應當相等你能用運算律加以解釋嗎？
（3）通過上面的討論，你能總結出單項式與多項式相乘的運算規律嗎？
請舉例驗證你總結的規律是否成立．
(請與你的同伴交流)
解：（1）S=a（b-2m） S=ab-2am
a（b-2m）= ab-2am
運用了乘法分配律
（3）20a·（14a+0.5）
=20a·14a+20a·0.5
=280a2+10a
一般地，單項式與多項式相乘有以下的法則：
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．例如，a(b-2m)=ab-2am
注意:（1）依據是乘法分配律；
（2）積的項數與多項式的項數相同；
（3）計算時，要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：用計算出的面積直觀展示，讓學生感悟單項式乘多項式可以轉化成單項式乘多項式中的每一項再相加，學會轉化思想，培養學生獨立思考的能力．
應用新知
例1．計算：
（1）3b3×b2；
（2）( 6ay3)( a2)
（3）( 3x)3·(5x2y)
（4）(2×104)(6×103)×107 (結果用科學計數法表示)．
解：（1）3b3×b2=（3×）（b3×b2）=b 5
（2）( 6ay3)( a2)=[( 6)×( 1)](a·a2)·y3=6a3y3
（3）( 3x)3·(5x2y)=( 27x3)·(5x2y)=-135x5y
（4）(2×104)(6×103)×107=（2×6）（104×103×107）=12×1014=1.2×1015
方法總結：
單項式與單項式相乘 有理數的乘法與同底數冪的乘法
例2．下面的計算是否正確？如果不正確，請改正過來．
（1）2x2·3x3=5x5 （2）4a3·a4=4a12
（3）2x·5x2=10x2 （4）6a4·2a2=12a2
解：（1）不正確，應為:2x2·3x3=(2×3)(x2·x3)=6x5
（2）不正確，應為：4a3·a4=4a7
（3）不正確，應為:2x·5x2=(2×5)(x·x2)=10x3
（4）不正確，應為:6a4·2a2=(6×2)(a4·a2)=12a6
例3．（1）2a3b(ab 3ab2) （2）(x xy)·( 12y)
解：（1）2a3b(ab 3ab2)=2a3b·ab+2a3b·( 3ab2) =a3b2 6a3b3
（2）(x xy)·( 12y)=x·( 12y)+( xy)·( 12y)= 4xy+9xy2
方法總結：
單項式與多項式相乘 單項式與單項式相乘
例4．計算:
（1）2x·(3x2y+4xy2) （2） ( 2mn)2·(2m+3n 1)
解：（1）2x·(3x2y+4xy2)=2x·3x2y+2x·4xy2=6x3y+8x2y2
（2）( 2mn)2·(2m+3n 1)=4m2n2·(2m+3n 1)=4m2n2·2m+4m2n2·3n 4m2n2=8m3n2+12m2n3 4m2n2
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：學生通過做題形成程序化記憶，明白運算的順序，正確解答，提高學生解決問題的能力．
課堂練習
1．計算：
（1） 3a·(2b)
（2）1.5x2·( 2x3)
（3）( st2)·( s2t)
（4）( 2a)3·2ab2
解：（1） 3a·(2b)=（ 3×2）ab= 6ab
（2）1.5x2·( 2x3)=[1.5×( 2)]×(x2·x3)= 3x5
（3）( st2)·( s2t)=[( )×( )]×(st2)·(s2t)=s3t3
（4）( 2a)3·2ab2=（ 23×2）×a3·ab2= 24a4b2
2．1cm3干潔空氣中大約有2.5×1019cm3個分子，6×103干潔空氣中大約有多少個分子？
解：2.5×1019×6×103
=15×1022
=1.5×1023（個）
答：6×103cm3干潔空氣中大約有1.5×1023個分子．
3．計算：
（1） 2（a b+c) （2）(x 3y)·( 6x)
（3） 3a2(5a2 a) （4）4xy(x2 3xy y2)
解：（1） 2（a b+c)= 2a+2b 2c
（2）(x 3y)·( 6x)=x×( 6x) 3y×( 6x)= 6x2+18xy
（3） 3a2(5a2 a)= 3a2×5a2 ( 3a2)×a= 15a4+a3
（4）4xy(x2 3xy y2)=4xy×x2 4xy×3xy 4xy×y2=x3y 12x2y2 xy3
師生活動：學生獨立解決問題，然后小組內交流解決問題的過程，組內互助，完善過程，學生代表板演解決問題的過程，然后給大家講解，教師再總結提升．
設計意圖：使學生熟練運用單項式的乘法法則，進一步學生掌握解題技巧，激發學生興趣．
課堂檢測
1．計算：
（1）4y·( 2xy2)
（2）( x2)·( 4x)
（3）(3m2)·( 2m3)2
（4）( ab2c3)2·( a2b)3
解：（1）4y·( 2xy2)=4×（ 2）×y·xy2= 8xy3
（2）( x2)·( 4x)=（ ）×（ 4）×x2·x=10x3
（3）(3m2)·( 2m3)2=(3m2)·(4m6)=3×4×m2·m6 =12m8
（4）( ab2c3)2·( a2b)3=a2b4c6·( a6b3)= a8b7c6
2．計算：
（1） 5x(xy 2y2)
（2）(3a2b 2ab2)·3ab
解：（1） 5x(xy 2y2)=（ 5x)×xy （ 5x)×2y2= 5x2y+10xy2
（2）(3a2b 2ab2)·3ab=3a2b×3ab 2ab2×3ab=9a3b2 6a2b3
3．計算：
（1）2x2( 3xy2) x(x2y2 2x)
（2） 2(1 x) 4x(2 )
解：（1）2x2( 3xy2) x(x2y2 2x)= 6x3y2 x3y2+2x2= 7x3y2+2x2
（2） 2(1 x) 4x(2 )= 2+3x 8x+x2=+x2 5x 2
4．已知xy2=-6，求代數式-xy(x2y5-xy3-y)的值．
解：-xy(x2y5-xy3-y)=-xy×x2y5+(-xy)×(-xy3)+(-xy)×(-y)
=-x3y6+x2y4+xy2
=-(xy2)3+(xy2)2+xy2
因為xy2=-6，所以原式=-(-6)3+(-6)2+(-6)=216+36-6=246．
5．人類發射最多的宇宙飛船是衛星式載人飛船，這種飛船像衛星一樣在離地面幾百千米的近地軌道上飛行．如果衛星式載人飛船的飛行速度大約是7.9×103米/秒(物體能環繞地球最低運行軌道運動所需要的速度，稱為第一宇宙速度)，那么它飛行6×102秒所行的路程是多少？
解：7.9×103×6×102=47．4×105=4.74×106（米）．
答：它飛行6×102秒所行的路程是4.74×106米．
6．如圖，一張長方形紙片的長為a，寬為b(a>b)．若要從中裁得一張邊長為b的正方形紙片，則裁去部分的面積是多少？
解：由題意可得，裁去部分的面積是：（a b)b=ab b2．
7．一家農戶有農業和非農業兩類收入．今年農業收入為x元，非農業收入為農業收入的2倍．預計明年農業收入將增加a%，非農業收入將增加2a%，那么預計明年的總收入為多少元？
解：根據題意，得:今年的非農業收入為2x元，明年的農業收入為x(1+a%)元，明年的非農業收入為 2x(1+2a%)元，故明年的總收入為x(1+a%)+2x(1+2a%)=(3x+5xa%)元．
答:預計明年的總收入為(3x+5xa%)元．
師生活動：學生先獨立思考再作答．
設計意圖：檢測學生對單項式乘法知識的掌握情況，運算能力、應用能力和思維水平．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．單項式與單項式相乘的運算法則？
3．單項式與多項式相乘的運算法則？
設計意圖：在教師的引導下，學生自主歸納，使學生對所學知識及時納入學生的認知結構．
實踐作業
光的速度約為3×105km/s，太陽光照射到地球上需要的時間大約是5×102s，你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎？
本節課是第三章“整式的乘除”的第二節《單項式乘法》的內容，在教學中，通過具體實例逐步引導，學生能較好地掌握系數相乘、同底數冪相乘的基本運算方法．而且，多樣化的例題設置，從簡單到復雜，有效鞏固了學生對法則的運用．但教學中也存在不足，部分學生在處理系數的正負以及多個字母冪的運算時，容易出現錯誤，反映出對法則的理解還不夠深入，后續我會加強對易錯點的專項練習，增加個別輔導．

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