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熱點(diǎn)必刷題04 圓的綜合壓軸題
題型一 垂徑定理及其應(yīng)用綜合 1
題型二 圓中切線的判定與性質(zhì)綜合 15
題型三 圓心角、圓周角相關(guān)綜合 28
題型四 正多邊形與圓綜合 40
題型五 圓中求陰影部分面積綜合 54
題型六 圓與相似三角形綜合 72
題型七 圓與三角函數(shù)問題綜合 72
題型八 圓中最值問題（含隱圓、阿氏圓） 88
題型九 圓的材料閱讀理解型問題（新定義） 104
題型一 垂徑定理及其應(yīng)用綜合
1．（24-25江蘇無錫·模擬檢測(cè)）如圖， 、 是 的兩條弦， ，，、 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) ， 若， 則的半徑是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知得出是等腰直角三角形，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，得出，在中，勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，作，過點(diǎn)作于點(diǎn)
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，則，
∴是等腰直角三角形，
如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
∴
∴,
∴，則
同理可得
∴，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴即的半徑為
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（23-24江蘇鎮(zhèn)江·模擬檢測(cè)）如圖，中，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑畫分別交于，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時(shí)，直徑最短，如圖所示，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，由為等腰直角三角形，則，即此時(shí)圓的直徑為，再根據(jù)圓周角定理可得到，則在中，利用銳角三角函數(shù)可計(jì)算出，然后根據(jù)垂徑定理即可得到．
【詳解】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時(shí)，直徑最短，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：

在中，，，
，即此時(shí)圓的直徑為，
，而，
，
在中，，
，
，
，即線段長(zhǎng)度的最小值為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了垂線段最短和解直角三角形．
3．（23-24江蘇南京·模擬檢測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，，垂足為，，．則的長(zhǎng)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，連接，過點(diǎn)作于，于，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，求出，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，過點(diǎn)作于，于，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，， ，
∴四邊形為矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故選：．
4．（24-25江蘇宿遷·模擬檢測(cè)）如圖，是的直徑，的弦在直線的上方，且，以為直徑向下作半圓（圓心為M）交于E、F兩點(diǎn)，若則 ．
【答案】10
【分析】本題考查了垂徑定理及其推論，勾股定理等知識(shí)，應(yīng)用好垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵；
設(shè)，則得，，；連接，過點(diǎn)M作于N；由垂徑定理得，從而；由M是的中點(diǎn)，則得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得k的值，即可求得結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，則，
∴，；
如圖，連接，過點(diǎn)M作于N；
∴，；
∵為的一條弦，且，
∴，
∴；
由題意知，M是的中點(diǎn)，且為的直徑，
∴，
由垂徑定理推論知：；
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案為：10．
5．（24-25江蘇無錫·模擬檢測(cè)）“等弦”的探究．
(1)如圖①，在中，， 是弦，且．由此，你能發(fā)現(xiàn)什么？小明發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O到，的距離相等．小紅發(fā)現(xiàn)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)P，則．從小明、小紅兩位同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中，選擇一個(gè)完成證明．
(2)如圖②，已知，與各邊都相交且所形成的弦的長(zhǎng)度均相等．在圖②中，用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)滿足條件的．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）若，，，的半徑為r，則r的取值范圍是_______．
【答案】(1)證明見解析
(2)作圖和文字說明見解析；
【分析】（1）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，先根據(jù)垂徑定理可得，從而可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得證；證明小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：連接，先證出，再根據(jù)圓周角定理可得，然后證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）分別作的角平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)；過點(diǎn)作的垂線，垂直為點(diǎn)；在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，則即為所求．作的內(nèi)切圓，與邊分別相切于點(diǎn)，連接，利用圓的切線的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)，由此即可得．
【詳解】（1）證明：①小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：點(diǎn)到，的距離相等．
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即點(diǎn)到，的距離相等．
②小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：．
如圖，連接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
由圓周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如圖，分別作的角平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)；過點(diǎn)作的垂線，垂直為點(diǎn)；在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，則即為所求．
如圖，作的內(nèi)切圓，與邊分別相切于點(diǎn)，連接，
∴，，
∵，，，
∴，
解得，
設(shè)，
又∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
即，
解得，
即，
∴，，，
∵與各邊都相交且所形成的弦的長(zhǎng)度均相等，且的半徑為，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理與勾股定理的逆定理、角平分線的尺規(guī)作圖等知識(shí)，較難的是題（2），正確找出兩個(gè)臨界位置是解題關(guān)鍵．
題型二 圓中切線的判定與性質(zhì)綜合
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造三角形用等面積法是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，當(dāng)這個(gè)圓是的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積最大，構(gòu)造三角形，通過等面積法求解即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于
，，
，
，即，
解得，
，
在中，，
，
設(shè)這個(gè)圓的圓心為，與分別相切于，
，
，
，
，
，
即，
解得，
故選：B．
7．（23-24江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與，，相切于點(diǎn)，，，已知，，，，則的長(zhǎng)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，再根據(jù)求出，接下來設(shè)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出，，，求出，再根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合，可知是的垂直平分線，然后根據(jù)求出，進(jìn)而得出答案．
【詳解】連接，，，，，．
根據(jù)題意可知，且，，，
∵，
即，
解得．
設(shè)，
則，，，得
，
解得，
∴．
在中，，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴．
∵，
即，
解得，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)切三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，切線長(zhǎng)定理等，根據(jù)面積相等求出半徑是解題的關(guān)鍵．
8．（24-25江蘇無錫·模擬檢測(cè)）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、，則的半徑為 ；連接、，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及解直角三角形；通過設(shè)邊長(zhǎng)，表示其他邊長(zhǎng)關(guān)系再利用直角三角形求解等常規(guī)考查點(diǎn)，其中掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，等面積法求得半徑，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，解，進(jìn)而得出是等邊三角形，進(jìn)而及誒，得出的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
依題意，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、，
∴，
設(shè)，則，
在中，
即
解得：
∴
設(shè)的半徑為，
∴
∴
如圖所示，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴
在中，
故答案為：；．
9．（24-25江蘇宿遷·模擬檢測(cè)）在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：
(1)如圖1，幾秒后，的面積等于？
(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，若以P為圓心、為半徑的與相切（如圖1），求t值；
(3)若以Q為圓心，為半徑作．
①如圖2，以Q為圓心，為半徑作．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t值，使正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②如圖3，若與四邊形的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，則t的取值范圍為______．（直接寫出結(jié)果，不需說理）
【答案】(1)2秒或4秒
(2)
(3)①0或或；②
【分析】（1）由題意可知，，從而得到，，然后根據(jù)的面積為列方程求解即可；
（2）如圖1所示：連接．依據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，然后依據(jù)切線長(zhǎng)定理可知，從而可求得的長(zhǎng)，由圓的半徑相等可知，然后在中依據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（3）①先判斷不與，相切，然后分與相切；與相切，根據(jù)半徑等于構(gòu)建方程求解即可．
②先求得與四邊形有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值，然后可確定出t的取值范圍．
【詳解】（1）解：由題意知，，，則，
∵
∴，
解得或，
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或4秒時(shí)，的面積為；
（2）解：如圖1，設(shè)切點(diǎn)為，連接．
∵，
∴與相切，
∴分別與，相切，
∴．
∵與相切，
∴，
在中，依據(jù)勾股定理可得．
∴．
∵，
∴，．
在中，依據(jù)勾股定理可得，，
解得；
（3）解∶①由題意知不與，相切，
當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接，
則，，
則四邊形是矩形，
∴，
∴，
解得或；
當(dāng)與相切時(shí)，
則，
∴，
解得，（舍去），
綜上，當(dāng)t的值為0或或時(shí)，正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切；
②解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如圖4所示：
與四邊形有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖5所示：
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，與四邊形有兩個(gè)公共點(diǎn)，則，
得方程，
解得： （舍），，
∴當(dāng)，與四邊形有三個(gè)公共點(diǎn)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了三角形的面積公式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、圓的性質(zhì)，依據(jù)題意列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．
10．（23-24江蘇蘇州·階段練習(xí)）閱讀材料：
已知，如圖①，在面積為的中，，內(nèi)切圓的半徑為．連接被劃分為三個(gè)小三角形．

．
．
(1)類比推理：若面積為的四邊形存在內(nèi)切圓（與各邊都相切），如圖②，各邊長(zhǎng)分別為，求四邊形的內(nèi)切圓半徑；
(2)理解應(yīng)用：如圖③，在四邊形中，與分別為與的內(nèi)切圓，與切點(diǎn)分別為，設(shè)它們的半徑分別為和，若，，，，，求的值．
【答案】(1)；
(2)2．
【分析】（1）已知給出示例，我們仿照例子，連接，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過程，r易得．
（2）（1）中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，進(jìn)一步易得的長(zhǎng)，但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理及勾股定理，先求的長(zhǎng)，三角形各邊長(zhǎng)可知，則的值易得．
【詳解】（1）解：如圖2，連接．
，
；
（2），
，
，
．
是的內(nèi)切圓，
，，，
，
∴設(shè)，則，
，
，即（，
解得，
，
，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，同時(shí)涉及到切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理等相關(guān)知識(shí)．這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)以及學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識(shí)的能力的培養(yǎng)，
題型三 圓心角、圓周角綜合
11．（24-25江蘇揚(yáng)州·模擬檢測(cè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，， ，E為上一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，作的外接圓，圓心為F，連接，，，過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，先求出，，進(jìn)而得優(yōu)弧的度數(shù)為，則劣弧的度數(shù)為，故，由此得出為等腰直角三角形，進(jìn)而可求出，，證四邊形為正方形，得，繼而得，由勾股定理求得，再由，可得出當(dāng)點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，為最短，其長(zhǎng)度為，據(jù)此可得出答案．
【詳解】解∶連接，作的外接圓，圓心為F，連接，，，過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，如圖所示：
，，
為直徑，，
，
，
，
點(diǎn)為的外接圓的圓心，
，
，
優(yōu)弧的度數(shù)為，
劣弧的度數(shù)為：，
圓心角，
為等腰直角三角形，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
又，，
四邊形為矩形，
，
矩形為正方形，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
當(dāng)在同一條直線上時(shí)，為最短，
其長(zhǎng)度為，
∴的最小值為，
故答案為：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造的外接圓，利用圓的相關(guān)性質(zhì)確定最短時(shí)的位置是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角三角形頂點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，連接．，，，則的最小值為( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由，推出、、、四點(diǎn)共圓，再證為定值，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，然后求出與，即可解決問題．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示：
，
、、、四點(diǎn)共圓，
，
，，
，
，
，
點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)時(shí)，的值最小，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
即 ，
，
在中，由勾股定理得： ，
的最小值 ．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，利用垂線段最短解決最值問題是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)P在射線上，過P分別作所在的直線于點(diǎn)F，作所在的直線于點(diǎn)H，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查圓周角定理，解直角三角形，添加合適的輔助線，構(gòu)造四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．連接，結(jié)合題意可知、、、四點(diǎn)共圓，為直徑，取中點(diǎn)為，即點(diǎn)為圓心，進(jìn)而可知，由垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，則取得最小值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴、、、四點(diǎn)共圓，為直徑，取中點(diǎn)為，即點(diǎn)為圓心，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)最小時(shí)，取得最小值，
由垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，則取得最小值，
此時(shí)，
∴的最小值為，
故答案為：．
15．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，過，，的交于點(diǎn)．
(1)求證；
(2)連接，當(dāng)時(shí)，判斷直線與的位置關(guān)系，并直接寫出的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）通過圓周角定理可知，利用特殊的平行四邊形——正方形的性質(zhì)可得，證明即可求證；
（2）連接，．結(jié)合題意即可得，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)——對(duì)角線互相平分可得，利用平行的判定和性質(zhì)即可得，即與相切；連接，過點(diǎn)作，垂足為，先證得，利用角平分線的性質(zhì)得，即可證得，設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，即可通過勾股定理得
，解得，即可求解．
【詳解】（1）證明：在中，，
，
，
，
四邊形是正方形，
，，且，
，
．
在和中，
，
，
，
．
（2）解：如圖，連接，，，過點(diǎn)作，垂足為．
在和中，
，
，，
由（1）得，
，
，
，
，
，
與相切．
，
，
，
由（1）得，，
，
，，
，，
在和中，
，
．
設(shè)，，
，，，
在中，，
，解得，
由（1）得，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、兩直線平行的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握各種性質(zhì)、定理，作好輔助線是解題關(guān)鍵．
題型四 正多邊形與圓綜合
16．（2024·江蘇南京·二模）如圖，O是正六邊形的中心，圖中可以通過一次旋轉(zhuǎn)與重合的三角形（自身除外）的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形和圓，理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：將，即將①繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，就與重合；
將，即將②繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，就與重合；
將，即將③繞著的中點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與重合；
將，即將④繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，就與重合；
將，即將⑤繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，就與重合；
即圖中①，②，③，④，⑤可以通過1次旋轉(zhuǎn)與重合，
故選：D．
17．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，有一張正八邊形紙片缺了一個(gè)角A，連接，點(diǎn)O在上．若以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑所畫的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則下列結(jié)論：①點(diǎn)O也在上；②點(diǎn)O也在上；③連接，則；④，其中正確的是 （填寫序號(hào)）．

【答案】①③/③①
【分析】補(bǔ)全缺失的A角，連接、、、，根據(jù)正八邊形可得，，先得出點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，結(jié)合對(duì)稱可得垂直平分線段，可得①正確；故有②錯(cuò)誤；先根據(jù)對(duì)稱性得出與在同一條直線上，由四邊形、四邊形是等腰梯形，可得，進(jìn)而有，則判斷③正確，根據(jù)等腰直角三角形可得，再證明，即有，進(jìn)而可判斷故④錯(cuò)誤，問題得解．
【詳解】如圖，補(bǔ)全缺失的A角，連接、、、，

∵多邊形是正八邊形，
∴正八邊形是稱軸圖形，且，，
∴四邊形、四邊形是等腰梯形，
∵以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑所畫的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，
∴，
∴點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，
∵在正八邊形中，所在直線是正八邊形的對(duì)稱軸，
∴垂直平分線段，
∴點(diǎn)O在上，故①正確；
∴點(diǎn)O不在上，故②錯(cuò)誤；
∴點(diǎn)O為與的交點(diǎn)，
∵正八邊形是關(guān)于對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)O、點(diǎn)D三點(diǎn)共線，
∴與在同一條直線上，
∵四邊形、四邊形是等腰梯形，，
∴，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且，故③正確，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④錯(cuò)誤，
綜上正確的有①③，
故答案為：①③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，充分利用正八邊形是軸對(duì)稱圖形，是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2023·江蘇南京·一模）如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則 °．

【答案】105
【分析】連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，是等邊三角形，再證明四邊形是菱形，以及是等腰三角形，分別求出，從而可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴
∵四邊形是正方形，
∴
連接，，如圖，

則是等邊三角形，
∴
∴
∴四邊形是菱形，，
∴
∴，
故答案為：105．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2021·湖北隨州·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為______；
（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由．
【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②見解析．
【分析】（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；
（2）①先求得邊長(zhǎng)為的正的面積，再根據(jù)解題即可；②設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，過作于，先由正切定義，解得的長(zhǎng)，由①中結(jié)論知，，繼而得到，據(jù)此解題；
（3）①由切線性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)，據(jù)此解題．
【詳解】解：（1）直角三角形的面積為：，
直角三角形斜邊為：，
設(shè)直角三角形斜邊上的高為，則
設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為，則
，
故答案為：，1；
（2）①邊長(zhǎng)為的正底邊的高為，面積為：
，
故答案為：；
②類比①中方法可知，
設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，
由①得，
過作于，，
故，，
故，從而得到：
．
（3）①是的切線，
過點(diǎn)作
，
是的高，
故答案為：；
②如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，
連接，∵，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的知識(shí)，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
20．（23-24江蘇無錫·階段練習(xí)）已知某種月餅形狀的俯視圖如圖1所示，該形狀由1個(gè)正六邊形和6個(gè)半圓組成，半圓直徑與正六邊形的邊長(zhǎng)相等．
現(xiàn)商家設(shè)計(jì)了2種棱柱體包裝盒，其底面分別為矩形和正六邊形(如圖2和圖3)我們可從底面的利用率來記算整個(gè)包裝盒的利用情況．(底面利用率=×100%)
（1）請(qǐng)分別計(jì)算出圖2與圖3中的底面利用率(結(jié)果保留到0.1%)；
（2）考慮到節(jié)約成本，商家希望底面利用率能夠不低于80%，且底面圖形仍然采用最基本的幾何形狀，請(qǐng)問商家的要求是否能夠滿足，若可以滿足，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，并直接寫出此時(shí)的利用率；若不能滿足，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）圖2、3的底面利用率分別約為72.5%、76.6%；（2）設(shè)計(jì)底面為圓形的包裝盒，利用率約為84.5%.
【分析】（1）設(shè)半圓直徑與正六邊形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)正多邊形和圓的知識(shí)，算出月餅面積，再算出圖2長(zhǎng)與寬，即可求出圖2的面積，和圖2底面的利用率；圖3的包裝盒正六邊形和月餅中的正六邊形相似，利用面積比等于相似比的平方，求出圖3包裝盒的底面積，即可求出圖3的底面利用率；
（2）設(shè)計(jì)底面為圓形的包裝盒，求出其半徑、面積、底面利用率，滿足底面利用率不低于80%.
【詳解】解：（1）設(shè)半圓直徑與正六邊形的邊長(zhǎng)a，連接正六邊形的中心和兩相鄰的頂點(diǎn)，則,,
∴是等邊三角形，
∴=a,
如下圖，過點(diǎn)作于C，延長(zhǎng)OC與其中一個(gè)半圓交于點(diǎn)D，
∴，,
∴，
∴=，
則，
如下圖２，G、H分別為兩個(gè)半圓的圓心，為兩個(gè)切點(diǎn)，連S、R，連S、Q，與GH交于點(diǎn)T，
則，
又∵由，
∴共線，
同理：共線，
∴共線，
∴＝，
∵，
∴∽，
∴，即，
同理，
∴，
∴，
∴,
72.5%，
，
∴=，
∴=76.6%，
答：圖2、3的底面利用率分別約為72.5%、76.6%；
（2）商家的要求是否能夠滿足，設(shè)計(jì)如圖所示底面為圓的包裝盒，半徑為，
=，
答：設(shè)計(jì)底面為圓形的包裝盒，利用率約為84.5%.
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟悉正多邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).
題型五 圓中求陰影部分面積綜合
21．（2020·湖北黃岡·二模）如圖，在中，，，是的平分線，經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點(diǎn)、．若圓半徑為2．則陰影部分面積（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接OD，OF．首先證明OD∥AC，推出S陰＝S扇形OFA，再證明△AOF是等邊三角形即可解決問題．
【詳解】解：連接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S陰＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S陰＝S扇形OFA＝.
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
22．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，D是的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，作圓心角為的扇形，點(diǎn)C恰好在上（點(diǎn)E，F(xiàn)不與點(diǎn)C重合），半徑，分別與，相交于點(diǎn)G，H，則陰影部分的面積為 ．
【答案】/
【分析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解問題的關(guān)鍵．
連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，先證明是正方形，然后證明，最后運(yùn)用解題即可．
【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，
則
∵，
∴，，四邊形是矩形
∵，D是的中點(diǎn)，
∴
∴
同理
∴四邊形是正方形
∴，
由題可知，，
∴
在與中，
，
∴
∴
∵
∴
故答案為
23．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，是⊙O的弦，，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則⊙O的半徑是 ，圖中陰影部分面積的最大值是 ．
【答案】 2
【分析】連接OA，OB，連接OM，設(shè)OM=x，則AO=2x，在Rt△AOM中，可求；陰影面積由弓形ADB面積加上△MNB的面積，而弓形面積不變，因此只需要求出△MNB的最大面積，由M，N為AB，BC的中點(diǎn)，所以MN是△ABC的中位線，所以△BMN∽△BAC，所以S△BMN=S△ABC，求出△ABC的最大面積即可，而AB邊為定值，當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大，三角形面積最大，當(dāng)CM⊥AB時(shí)，三角形面積最大，即可求出陰影面積最大值．
【詳解】解：連接OA，OB，連接OM，如圖
∵ ，
∴，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴OM⊥AB，，
∴，
設(shè)OM=x，則AO=2x，在Rt△AOM中
即
，
解得x=1，
即 ，
S弓形ADB=S扇形OADB=，
∵M(jìn)，N為邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴∥AC，
∴，
∴，
當(dāng)C，O，M在同一直線上時(shí)，△ABC的面積最大，
由垂徑定理可知，AC=BC，
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴ ，
在Rt△ACM中，
，
∴的最大值為： ，
∴，
∴陰影面積的最大值為：．
故答案：2，．
【點(diǎn)睛】本題考查弓形面積，扇形面積，圓心角與圓周角關(guān)系，三角形的中位線，相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是將不規(guī)則面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
24．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，、是的切線，A、B是切點(diǎn)，是的直徑，連接，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．
(1)若E恰好是的中點(diǎn)，且四邊形的面積是，求陰影部分的面積；
(2)若，且，求切線的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先證明，設(shè)，則，，，根據(jù)四邊形的面積是，構(gòu)建方程求出m，求出，，，再根據(jù)，求解即可；
（2）在中，，可以假設(shè)，則，，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程求出x，再證明，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，是的切線，
∴，
∵，
∴，
∵E恰好是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴
設(shè)，則，，，
∵四邊形的面積是，
∴，
∴，
∴或（舍棄），
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴設(shè)，則，，，
在中，，
∴，
∴或（舍棄），
∴，，，
∵是切線，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線長(zhǎng)定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
25．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在中，，，在上取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以為半徑作圓，與相切于點(diǎn)D，并分別與，相交于E，F(xiàn)（異于點(diǎn)B）．

(1)求證：平分；
(2)若點(diǎn)E恰好是的中點(diǎn)，求扇形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，以此可得，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行得，進(jìn)而得到，由可得，即可證明；
（2）連接、，易得，根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)的，因此為等邊三角形，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，于是可證明為等邊三角形，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可；
本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形的中線性質(zhì)、扇形的面積公式根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：連接、，如圖，

∵是的中點(diǎn)，
，
在中，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
．
題型六 圓與相似三角形綜合
26．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，，與邊、對(duì)角線均相切，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則切線長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．設(shè)與、分別相切于點(diǎn)G、H，連接、、、，連接并延長(zhǎng)交于E，過點(diǎn)E作于F，過點(diǎn)O作于K，設(shè)，則，可證得，得出，即，求得，再運(yùn)用勾股定理可得，故當(dāng)時(shí)，．
【詳解】設(shè)與、分別相切于點(diǎn)G、H，連接、、、，連接并延長(zhǎng)交于E，過點(diǎn)E作于F，過點(diǎn)O作于K，如圖，
則，，
，，，
平分，
，
四邊形是矩形，
，，，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，，
，
，即，
，
，，
，
設(shè)的半徑為r，則，
，，
，
，即，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
是的切線，
，
，
當(dāng)時(shí)，．
故選：D．
27．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（　　）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接，根據(jù)菱形及等邊三角形得性質(zhì)可得，，可得出，可得必經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上，根據(jù)的速度及菱形性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)，，可得點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得，利用弧長(zhǎng)公式即可得答案．
【詳解】解：如下圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接，
∵菱形的邊長(zhǎng)為12，，
∴，是等邊三角形，
∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
∴，，，
∵點(diǎn)的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴必經(jīng)過點(diǎn)，
∵，，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，且四點(diǎn)共圓，
∵當(dāng)點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)，，
∴點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是的長(zhǎng)，
∵，，
∴，
∴，即點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的證明、相似三角的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理及弧長(zhǎng)公式，正確得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．
28．（2024·江蘇南通·三模）如圖，已知半圓 的直徑為 ，點(diǎn) 在半徑 上，為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在弧 上，以、為鄰邊作矩形 ，邊 交于點(diǎn) ，連接，并延長(zhǎng)交 于點(diǎn) ，若，則 的值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解題關(guān)鍵.
先證明為的垂直平分線，是的垂直平分線，為的垂直平分線，設(shè).再利用射影定理得故再計(jì)算即可.
【詳解】過作延長(zhǎng)線交于，過作延長(zhǎng)線交于， 連.
，
∴為的垂直平分線.
∵矩形，
∴是的垂直平分線，
，
，
，
，
，
∴為的垂直平分線，設(shè)，
，
∵為 的中點(diǎn)，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
故答案為： ．
29．（2025·江蘇宿遷·一模）在梯形中，，點(diǎn)在邊上，且．
(1)如圖1所示，點(diǎn)在邊上，且，連接，求證：；
(2)已知．
①如圖2所示，如果點(diǎn)在邊上，且，連接、、，與交于．求的值；
②如圖3所示，連接，如果外接圓的圓心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于P，證明，得出，結(jié)合已知可得出，，證明，得出，則可證明，即可證明；
（2）①連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于P，證明，求出，，證明四邊形是平行四邊形，得出，，證明，求出，即可求解；
②設(shè)的外接圓的圓心為O，連接，，，，過O作于F，證明，得出，由角平分線定義得出，結(jié)合平行線的性質(zhì)可求出，然后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于P，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：①連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于P，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②如圖，設(shè)的外接圓的圓心為O，連接，，，，過O作于F，
∵，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
30．（24-25江蘇鎮(zhèn)江·模擬檢測(cè)）[模型建立]
如圖①、②，點(diǎn)分別在外、在內(nèi)，直線分別交于點(diǎn)、，則是點(diǎn)到上的點(diǎn)的最短距離，是點(diǎn)到上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離．

[問題解決]
請(qǐng)就圖①中為何最長(zhǎng)進(jìn)行證明．
[初步應(yīng)用]
（1）已知點(diǎn)到上的點(diǎn)的最短距離為，最長(zhǎng)距離為．則的半徑為　　．
（2）如圖③，在中，，，．點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在半徑為的上，則的最小值是　　．
[拓展延伸]
如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，其中，，為上的動(dòng)點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為　　．
【答案】[問題解決]證明見解析；[初步應(yīng)用]（1）或；（2）；[拓展延伸]
【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理，一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題；
[初步應(yīng)用]（1）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊即可得解；
（2）分兩種情況討論：①點(diǎn)在外，②點(diǎn)在內(nèi)，根據(jù)線段的和差即可求解；
連接，交于點(diǎn)，則的最小值是的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，即可解答；
[拓展延伸] 取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作，可得是的中位線，則點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．在中，得出，進(jìn)而可得的最大值為．
【詳解】解：[問題解決]
如圖，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，
∵在中，，
又，
∴，即，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
∴綜上可得，，
∵點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，
∴的長(zhǎng)是點(diǎn)到上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離．
[初步應(yīng)用]
（1）若點(diǎn)在外，如圖①，
則，，
∴，
∴的半徑為；
若點(diǎn)在內(nèi)，如圖②，
則，，
∴，
∴的半徑為；
綜上所述，的半徑為或．
故答案為：或
（2）連接，交于點(diǎn)，由[模型建立]可得的長(zhǎng)是點(diǎn)到上的點(diǎn)的最短距離，
的最小值是的長(zhǎng)
∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
[拓展延伸]如圖所示，
取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作
∵點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)在上，線段取得最大值，
∵
∴，
∴，
在中，
∴的最大值為
故答案為：．
題型七 圓與三角函數(shù)問題綜合
31．（2022·江蘇無錫·二模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，點(diǎn)N是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接MN，將△CMN沿MN翻折得△EMN，連接BE，CE，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)取最大值時(shí)，sin∠NCE的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由翻折可知：NC=NE，所以點(diǎn)E在以N為圓心，NC長(zhǎng)為半徑的圓上，點(diǎn)B，N，E共線時(shí)，如圖所示：此時(shí)BE最大，由翻折可知：MN是CE的垂直平分線，延長(zhǎng)GN交AB于點(diǎn)D，可得DN平分∠ANB，過點(diǎn)D作DH⊥BN，然后證明Rt△AND≌Rt△HND（HL），可得AN=HN=6，根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：如圖，由翻折可知：NC=NE，
所以點(diǎn)E在以N為圓心，NC長(zhǎng)為半徑的圓上，點(diǎn)B，N，E共線時(shí)，如圖所示：此時(shí)BE最大，
在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵AB=8，tan∠ABC=，
∴AC=12，
∵點(diǎn)N是邊AC的中點(diǎn)，
∴AN=CN=6，
∴NE=6，
由翻折可知：MN是CE的垂直平分線，
∴∠ENG=∠CNG，
延長(zhǎng)GN交AB于點(diǎn)D，
∴∠BND=∠AND，
∴DN平分∠ANB，
∵DA⊥AN，
過點(diǎn)D作DH⊥BN，
∴DA=DH，
∴DB=AB-AD=8-DH，
在Rt△AND和Rt△HND中，
，
∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），
∴AN=HN=6，
在Rt△ABN中，AB=8，AN=6，
∴BN==10，
∴BH=BN-HN=10-6=4，
在Rt△DBH中，DB=8-DH，根據(jù)勾股定理得：
DB2=DH2+BH2，
∴（8-DH）2=DH2+42，
解得DH=3，
在Rt△ADN中，DH=DA=3，AN=6，根據(jù)勾股定理得：
DN2=AD2+AN2，
∴DN2=32+62=45，
∴DN=3，
∵∠A=∠NGC=90°，∠AND=∠GNC，
∴∠ADN=∠NCG，
∵sin∠ADN=，
∴sin∠NCG=sin∠NCE=．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
32．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在上，且，若直徑為的半圓恰好經(jīng)過D，F(xiàn)兩點(diǎn)，則 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)E作于M，交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于H，連接，首先可證四邊形是矩形，從而得；其次由得其正切值相等，從而得；由勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得的長(zhǎng)，則得，，由正切函數(shù)定義即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于M，交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于H，連接；
在正方形中，，
，
，
；
，
；
是直徑，
，
，
即四邊形是矩形，
，，，；
；
，
，
，
；
由勾股定理得，；
在中，由勾股定理，
則（負(fù)值已舍去），
，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直徑對(duì)的圓周角是直角，同弧對(duì)的圓周角相等，正切函數(shù)等知識(shí)，作出輔助線是關(guān)鍵．
33．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，與x軸交于點(diǎn)，，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．若，則的值為 ．
【答案】
【分析】連接，，，過點(diǎn)作于，于，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由垂徑定理得到，解直角三角形得到，，根據(jù)勾股定理得到的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義求解即可．
【詳解】解：連接，，，過點(diǎn)作于，于，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
在中，，即
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
34．（2024·江蘇泰州·三模）如圖1，四邊形內(nèi)接于，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，，是的切線且平分，求的半徑．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，，由此可得，根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)解方程，三角形外角的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)，結(jié)合（1）中的證明可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)可算出的值，作，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理可得的值，連接，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的值，在直角中根據(jù)勾股定理可求出的值，由此即可求解．
【詳解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴得，，
∵四邊形是內(nèi)接四邊形，
∴，且，
∴，
得，，
解得，，
在中，是外角，即，
∴，
∴的度數(shù)為；
（2）解：∵四邊形是內(nèi)接四邊形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，則，
在中，，
如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∵，即，
∴是直徑，
∵是切線，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形，三角形內(nèi)角和定理，外角和定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握?qǐng)A的綜合知識(shí)的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
35．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，連接，，過點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為，，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，由，，得，則，所以，即可證明是的切線；
（2）由是的直徑，的半徑為，得，，由，得，則，同理可得，再證明，得，求得．
【詳解】（1）證明：連接，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，且，
∴是的切線．
（2）解：∵是的直徑，的半徑為，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴線段的長(zhǎng)是．
題型八 圓中最值問題（含隱圓、阿氏圓）
36．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC=2，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2，
∴C在⊙B上，且半徑為2，
取OD=OA=3，連接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM==CD，
當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，
∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，
∴OM=CD=，即OM的最大值為；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．
37．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的最小值為（　　）

A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3
【答案】B
【分析】如圖，連接BO′、BC．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴，O′E＝2，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE≥O′B，
∴當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E＝﹣2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，屬于中考選擇題中的壓軸題．
38．（2024·江蘇宿遷·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別、．以為斜邊在右上方作．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最大值為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解直角三角形，直線與圓的位置關(guān)系，求的最大值，就是求的最大值是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意先求出長(zhǎng)，為直徑的圓的變徑長(zhǎng)，分析發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以為直徑，上方的圓弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線，，整理得：，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取到最大值，畫出相切時(shí)的示意圖，利用得到，解出值即可．
【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，
把、代入，得
，解得：，
∴直線的解析式為，
、，
，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
以為斜邊在右上方作，點(diǎn)，
點(diǎn)的軌跡是以為直徑，上方的圓弧上運(yùn)動(dòng)，
∵以為斜邊在右上方作．
∴點(diǎn)C在第一象限，
，，
設(shè)直線，，
整理得：，
求的最大值，就是求的最大值，
直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取到最大值，此時(shí)t取得最大值，如圖所示，過點(diǎn)B作，
∵直線的解析式為，
∴
∵直線與圓相切
∴
∵
∴，
∴四邊形為矩形，
∴
∴
∵，
∴，
，
∵，
∴，，
∴
，，
，
解得，
的最大值是9．
故答案為：9．
39．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，直線與相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作，垂足為B，已知的半徑為，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】過點(diǎn)A作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)N，且，則即，從而把轉(zhuǎn)化為，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，結(jié)合，設(shè)，則，得到，繼而得到，即，把的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)解答即可．
【詳解】過點(diǎn)A作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)N，且，
則即，
∴，
過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，
∵，設(shè)，則，
∴，
∴，
即，
∵直徑是圓中最大的弦，
∴經(jīng)過圓心O時(shí)，的值是最大的，
∵直線與相切于點(diǎn)A，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半徑為，
∴，
∴，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑是圓中最大的弦，解直角三角形的應(yīng)用計(jì)算，切線性質(zhì)，熟練掌握直徑是圓中最大的弦，解直角三角形的應(yīng)用計(jì)算，切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
40．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，E、F分別為上的動(dòng)點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)P，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】證明，則，，如圖，記的中點(diǎn)為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點(diǎn)使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖，記的中點(diǎn)為，則在以為圓心，為直徑的圓上，
如圖，連接，
由勾股定理得，，
如圖，在上取點(diǎn)使，則，連接，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為，
如圖，作于，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對(duì)的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識(shí)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對(duì)的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．
41．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖，矩形中，，，與邊、對(duì)角線均相切，過點(diǎn)B作的切線，切點(diǎn)為P，則切線長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)與、分別相切于點(diǎn)G、H，連接、、、，連接并延長(zhǎng)交于E，過點(diǎn)E作于F，過點(diǎn)O作于K，設(shè)，則，可證得，得出，即，求得，再運(yùn)用勾股定理可得，故當(dāng)時(shí)，．
【詳解】解：設(shè)與、分別相切于點(diǎn)G、H，連接、、、，連接并延長(zhǎng)交于E，過點(diǎn)E作于F，過點(diǎn)O作于K，如圖，
則，，
，，，
平分，
，
四邊形是矩形，
，，，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，，
，
，即，
，
，，
，
設(shè)的半徑為r，則，
，，
，
，即，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
是的切線，
，
，
當(dāng)時(shí)，．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
42．（23-24江蘇徐州·模擬檢測(cè)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，G為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且．點(diǎn)P是邊上另一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了軸對(duì)稱求最短線段，矩形和正方形的性質(zhì)，圓的定義，勾股定理等知識(shí)，利用對(duì)稱的性質(zhì)作線段的等量轉(zhuǎn)移是解題關(guān)鍵．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，、與交于點(diǎn)、，則，，，當(dāng)點(diǎn)、在、位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、、、四點(diǎn)共線，有最小值為長(zhǎng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，即可求解．
【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，
，，，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，與與交于點(diǎn)、，
則，，，
，
當(dāng)點(diǎn)、在、位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、、、四點(diǎn)共線，有最小值為長(zhǎng)，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，
，，
，
，
的最小值為，
的最小值為，即，
故答案為：．
43．（2022浙江·專題練習(xí)）如圖所示，，半徑為的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為 ．

【答案】
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形；方法一，，作，，確定的最大值和最小值．方法二，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求得，得到，，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：方法一，作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，
如圖，

連接，，，
可得：四邊形是正方形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
如圖，

由上知：，，
，
，
，
．
故答案為：．
方法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，，、分別垂直于的兩邊，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，
連接，作，
可得：四邊形是正方形，
，
在中，，，
，
∴的最大值為，
同理，的最小值為．
．
故答案為：．
44．（23-24山東青島·模擬檢測(cè)）幾何模型：
條件：如圖1，A、B是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使的值最小，
方法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)P，則的值最小．
直接應(yīng)用：
(1)如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
變式練習(xí)：
(2)如圖3，點(diǎn)A是半圓上（半徑為1）的三等分點(diǎn)，B是的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
深化拓展：
(3)如圖4，在銳角中，，，的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
(4)如圖5，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使．（要求：保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)述作法．）
【答案】(1)10
(2)的最小值為
(3)的最小值為4
(4)見解析
【分析】（1）連接BN，根據(jù)AC是對(duì)角線為對(duì)稱軸，得出BN=DN，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離得出DN+NM=BN+NM≥BM，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接PB′，OB′，可得PB=PB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，當(dāng)A、P、B′，三點(diǎn)共線時(shí)PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′=即可；
（3）作BE⊥AC于E，作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′根據(jù)AD平分∠CAB，點(diǎn)N在AB上，得出點(diǎn)N′在AC上，根據(jù)對(duì)稱性得出MN=MN′，，當(dāng)點(diǎn)M，N′在BE上時(shí)最小=BE，可證△AEB為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出即可；
（4）作點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)B′，作射線DB′交AC與P，連接BP，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于AC對(duì)稱，得出PB=PB′，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出PE平分∠BPB′即可．
【詳解】（1）解：連接BN，
∵四邊形ABCD為正方形，AC是對(duì)角線為對(duì)稱軸，
∴BN=DN，
∴DN+NM=BN+NM≥BM
∴當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)DN+NM最短=BM，
∵DM=2，DC=BC=8，
∴CM=DC-DM=8-2=6，
在Rt△BCM中，BM=，
∴DN+NM最小=10；
故答案為10；
（2）解：作點(diǎn)B關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接PB′，OB′，
則PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴當(dāng)A、P、B′，三點(diǎn)共線時(shí)PA+PB最小=AB′
∵點(diǎn)A是半圓上（半徑為1）的三等分點(diǎn)，
∴的度數(shù)為60°，
∵B是的中點(diǎn)，
∴的度數(shù)為30°，
∴的度數(shù)為60°+30°=90°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=OB′=1，
∴AB′=，
∴PA+PB最小=；
（3）解：作BE⊥AC于E，作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′
∵AD平分∠CAB，點(diǎn)N在AB上，
∴點(diǎn)N′在AC上，
MN=MN′，，
∴當(dāng)點(diǎn)M，N′在BE上時(shí)最小=BE，
∵∠CAB=45°，BE⊥AC
∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴最小=4；
（4）作點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)B′，作射線DB′交AC與P，連接BP，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PB=PB′，
∵PE⊥BB′
∴PE平分∠BPB′，
∴∠APB=∠APD．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形性質(zhì)，勾股定理，圓心角，圓周角弧弦的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形性質(zhì)，勾股定理，圓心角，圓周角弧弦的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
45．（2024·江蘇徐州·三模）【問題情境】
如圖，是外的一點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)、．
小明認(rèn)為線段是點(diǎn)到上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，連接、，則有，即，由得，即，從而得出線段是點(diǎn)到上各點(diǎn)的距離中最短的線段．
小紅認(rèn)為在圖中，線段是點(diǎn)到上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段，你認(rèn)為小紅的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．
【直接運(yùn)用】
如圖，在中，，，以為直徑的半圓交于，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是______；
【構(gòu)造運(yùn)用】
如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接，請(qǐng)求出長(zhǎng)度的最小值．
【深度運(yùn)用】
如圖，已知點(diǎn)在以為直徑，為圓心的半圓上，，以為邊作等邊，則的最大值是________．
【答案】問題情境：正確，理由見解析；直接運(yùn)用：；構(gòu)造運(yùn)用：；深度運(yùn)用：
【分析】問題情境∶根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊即可得解；
直接運(yùn)用∶取半圓的圓心，連接交半圓于點(diǎn)，則當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，由勾股定理得，從而即得解；
構(gòu)造運(yùn)用：由折疊知，進(jìn)而得點(diǎn)，，都在以為直徑的圓上．如圖，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫，連接．當(dāng)長(zhǎng)度取最小值時(shí)，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理即可得解；
深度運(yùn)用：如圖，在的上方作等邊，連接，取的中點(diǎn)連接，證明，得，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，進(jìn)而利用
勾股定理及三角形的兩邊之和大于第三邊即可得解．
【詳解】解：?jiǎn)栴}情境∶小紅的說法正確，
在圓О上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，連接、，
∵在中，>，
∴>，即>．
∴線段是點(diǎn)Р到圓О上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段．
∴小紅的說法正確；
直接運(yùn)用∶取半圓的圓心，連接交半圓于點(diǎn)，則當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值為
故答案為：．
構(gòu)造運(yùn)用：由折疊知，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)，，都在以為直徑的圓上．如圖，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫，連接．
當(dāng)長(zhǎng)度取最小值時(shí)，點(diǎn)在上，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵在邊長(zhǎng)為的菱形中，
，為中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴，
；
深度運(yùn)用：如圖，在的上方作等邊，連接，取的中點(diǎn)連接，
∵是半圓的直徑，
∴，
∵和都是等邊三角形，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在以為直徑的半圓上，
∵是的中點(diǎn)，，
∴，，
∴，
∴根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可得的最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論以及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型九 圓的材料閱讀理解型問題（新定義）
46．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）【閱讀材料】
教材習(xí)題 如圖，、相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，求證：是中點(diǎn)．
問題分析 由條件易證，從而得到，即點(diǎn)是的中點(diǎn)
方法提取 構(gòu)造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
【靈活應(yīng)用】如圖3，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為______，掃過的面積為______．
【答案】(1)見解析；(2)；【靈活應(yīng)用】，
【分析】（1）過點(diǎn)作，證，即可得點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)作，可證，得，由，，得，再證，可得，由平行線分線段成比例得，由，可得，，即可得出；
[靈活應(yīng)用]：由題意可得，過點(diǎn)作，則，可得，進(jìn)而可得，證，可知，過點(diǎn)作，則，，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可求得運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度，過點(diǎn)作，則，，則點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可知掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即可求得答案．
【詳解】解：（1）證明：，，
，
過點(diǎn)作，則，，
是等腰直角三角形，則，
，
，
，
，
又，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)作，則，

，，則，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
則，
，
；
[靈活應(yīng)用]：
是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，
，
過點(diǎn)作，則，
，
，
，
，
，
又，
，
，
過點(diǎn)作，則，，
，
，，
，則，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：
過點(diǎn)作，則，，

，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
則掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，
即：掃過的面積為
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．
47．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）定義：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，把的值叫做點(diǎn)在射線上的射影值；當(dāng)點(diǎn)不在射線上時(shí)，把射線上與點(diǎn)最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)在射線上的射影值．例如：如圖（1），三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是邊上的高，則點(diǎn)和點(diǎn)在射線上的射影值均為．
(1)在中，下列說法：
①點(diǎn)在射線上的射影值小于1時(shí)，則是銳角三角形；
②點(diǎn)在射線上的射影值等于1時(shí)，則是直角三角形；
③點(diǎn)在射線上的射影值大于1時(shí)，則是鈍角三角形．
其中，正確說法的序號(hào)是___________．
(2)是射線上一點(diǎn)，，以為圓心，為半徑畫圓，是上任意點(diǎn)．
①如圖（2），點(diǎn)在射線上的射影值為，求證：直線是的切線．
②如圖（3），已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在射線上的射影值為，點(diǎn)在射線上的射影值為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)②③
(2)①見解析；②（）
【分析】（1）根據(jù)射影值的定義一一判斷即可．
（2）①根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得，由相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)切線的判定定理可得答案；②圖形是上下對(duì)稱的，只考慮B在直線上及上方部分的情形．分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，得，根據(jù)，得，得；當(dāng)時(shí)，y不存在．
【詳解】（1）解：①錯(cuò)誤．點(diǎn)B在射線上的射影值小于1時(shí)，可以是鈍角，故不一定是銳角三角形；
②正確．點(diǎn)B在射線上的射影值等于1時(shí)，，是直角三角形；
③正確．點(diǎn)B在射線上的射影值大于1時(shí)，是鈍角，故是鈍角三角形；
故答案為：②③．
（2）解：①如圖1，作于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)B在射線上的射影值為，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直線是的切線；
②圖形是上下對(duì)稱的，只考慮B在直線上及上方部分的情形．
過點(diǎn)D作，作，

當(dāng)時(shí)，如圖2，
設(shè)，
∵D為線段的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴①，
∵，
∴②，
①②消去h，得；
如圖3，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，點(diǎn)D在中點(diǎn)，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，不存在，
∴y不存在．
綜上所述，（）．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義——射影值．熟練掌握射影值的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓切線判定，勾股定理，面積法求三角形高，分類討論的思想思考問題，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．
48．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．
(1)如圖1，在對(duì)角互余四邊形中，，且．若，求四邊形的面積和周長(zhǎng)．
(2)如圖2，在四邊形中，連接，點(diǎn)O是外接圓的圓心，連接，求證：四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；
(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)四邊形的面積為，周長(zhǎng)為；
(2)見解析；
(3)線段的長(zhǎng)是．
【分析】（1）由四邊形是對(duì)角互余四邊形，，得，則，可求得， ，于是可求得，；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，由是的直徑，得，而，則，即可證明四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；
（3）作于點(diǎn)F，使點(diǎn)F與點(diǎn)A在直線的異側(cè)，由，根據(jù)勾股定理得，可證明，得，，所以，由，得，而，則，因?yàn)椋裕B接，證明，可求得．
【詳解】（1）解：如圖1，
∵四邊形是對(duì)角互余四邊形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為，周長(zhǎng)為；
（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；
（3）解：如圖3，作于點(diǎn)F，使點(diǎn)F與點(diǎn)A在直線的異側(cè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴線段的長(zhǎng)是．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、新定義問題的求解等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
49．（2024·江蘇鹽城·一模）鹿鳴學(xué)堂數(shù)學(xué)興趣小組在研究角平分線時(shí)進(jìn)行了總結(jié)：角平分線的定義；角平分線的性質(zhì)和判定；角平分線的作圖以及與角平分線有關(guān)的構(gòu)造…
【問題提出】①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，三角形中的角平分線還有其他的結(jié)論：
如圖①，是的角平分線，則有．
小麗同學(xué)的思路；如圖①，過點(diǎn)分別作的垂線…；
小明同學(xué)的思路：如圖②，過點(diǎn)B作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)…
請(qǐng)你任選一種方法對(duì)小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行證明．
【結(jié)論應(yīng)用】②如圖，是的弦，在上作出一點(diǎn)，使得；（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖的痕跡，不寫作圖步驟．）
【拓展延伸】③在中，平分，若，請(qǐng)求出面積的最大值．
【答案】[問題提出]證明見解析；[結(jié)論應(yīng)用]見解析；[拓展延伸]3
【分析】[問題提出]用小麗的方法：如圖①，過點(diǎn) C 分別作，垂足為 D，E，過 P 作，垂足為 H. 則，根據(jù)，，可得；用小明的方法：如圖②，過 B 作交延長(zhǎng)線于點(diǎn) D．證明，則，即．
[結(jié)論應(yīng)用]由，可知為上靠近的四等分點(diǎn)，如圖③（④），作的垂直平分線，交于，交于，作的垂直平分線，交于，連接交于，根據(jù)圓周角定理可判斷平分，則點(diǎn)即為所作；
[拓展延伸] 如圖⑤，延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取，作的角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，連接， 則，證明，則，平分，由（1）得，由平分，可得，則，由，可得，可求，，由，可知點(diǎn) P 在以為直徑的圓上，根據(jù)，求解作答即可．
【詳解】[問題提出]解：用小麗的方法：
如圖①，過點(diǎn) C 分別作，垂足為 D，E，過 P 作，垂足為 H.
∵平分，
∴，
∵，，
∴；
用小明的方法：
如圖②，過 B 作交延長(zhǎng)線于點(diǎn) D．
②
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
[結(jié)論應(yīng)用]解：∵，
∴為上靠近的四等分點(diǎn)，
如圖③（④），作的垂直平分線，交于，交于，作的垂直平分線，交于，連接交于，點(diǎn)即為所作；
[拓展延伸] 解：如圖⑤，延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取，作的角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，連接，
⑤
∵分別平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 平分，
∴由（1）得，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴點(diǎn) P 在以為直徑的圓上，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，面積最大，
∴，
∴的面積的最大值為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作垂線，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，的圓周角所對(duì)的弦為直徑等知識(shí)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作垂線，全等三角形的判定與性質(zhì)，的圓周角所對(duì)的弦為直徑是解題的關(guān)鍵．
50．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使得放大或縮小的圖形與原圖形的線段比為k，再沿多邊形一條邊a平移x個(gè)單位長(zhǎng)度，稱這種變換為自位似平移變換，記作例：如圖1，，以C為位似中心將原邊長(zhǎng)縮小為原圖形的0.5倍，得到變換后的圖形為，在沿著平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到最終圖形，記作；或沿著平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到最終圖形，記作．
(1)如圖1，求證．
(2)如圖2，當(dāng)為直角三角形時(shí)，經(jīng)過變換后得到，經(jīng)過變換后得到，求證：四邊形為菱形．
(3)如圖3，為等腰直角三角形，，分別經(jīng)過變換得到，J、L、N、R分別為的內(nèi)心，O、P、Q分別為的中點(diǎn)，①求證：四邊形為正方形；②求證：Z、W分別為的中點(diǎn)；③若，則__________．
(4)如圖3，是否有可能使？如果能，請(qǐng)寫出初始圖形以及變換過程，如果不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)①見解析；②見解析；③4
(4)能，初始圖形以及變換過程見解析
【分析】（1）根據(jù)位似變換證明，且位似比為，即與的相似比為，根據(jù)三角形相似比的性質(zhì)可得，設(shè)，則，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得，由，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)位似變換證明，且相似比為，得到，由平移的性質(zhì)推出，進(jìn)而得到，得到，從而得到，即，由，推出，證明四邊形是平行四邊形，再證明，得到，進(jìn)而得到，即可證明四邊形為菱形；
（3）①由平移的性質(zhì)得：，得到，由，得到，由位似變換得到，推出，即可證明四邊形是平行四邊形，得到，；由是等腰直角三角形，得到是等腰直角三角形，即，推出，結(jié)合證明，得到，結(jié)合，得到，推出，由，求出，易證平行四邊形是矩形，再根據(jù)，求出，得到是等腰直角三角形，推出，進(jìn)而得到，即可證明矩形是正方形；②連接，設(shè)交于點(diǎn)X，交于點(diǎn)U，交于點(diǎn)Y，交于點(diǎn)M，證明四邊形是矩形，根據(jù)是等腰直角三角形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，可得，進(jìn)而得到，由①知，即，進(jìn)而得到，易證四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，得到，，根據(jù)，進(jìn)而得到，由，推出，得到，同理得，推出，即可證明結(jié)論；③由②知，由，可得，在根據(jù)L、N、R分別為的內(nèi)心，得到分別為的半徑，即可求出結(jié)果；
（4）分別經(jīng)過變換得到，此時(shí)點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，連接，根據(jù)位似變換及平移的性質(zhì)得到，且都是等腰直角三角形，根據(jù)J、L、N分別為的內(nèi)心，可得點(diǎn)三點(diǎn)共線，點(diǎn)三點(diǎn)共線，且，再根據(jù)P、Q分別為的中點(diǎn)，得到，推出，易證四邊形，四邊形為平行四邊形，得到，同理（3）②可證四邊形是矩形，得到，再根據(jù)結(jié)合，得到，進(jìn)而得到，即可證明，推出，由，得到，，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：以C為位似中心將原邊長(zhǎng)縮小為原圖形的0.5倍，得到變換后的圖形為，
，且相似比為，
，
設(shè)，則，
由平移的性質(zhì)可得，
，
；
（2）證明：根據(jù)題意得：，且相似比為，
，
由平移的性質(zhì)得到，
，
，
，即，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，為直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四邊形為菱形；
（3）證明：①O、P、Q分別為的中點(diǎn)，
由平移的性質(zhì)得：，
，
，
，
，
，
由位似變換得到，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，；
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，即，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
平行四邊形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
矩形是正方形；
②如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)X，交于點(diǎn)U，交于點(diǎn)Y，交于點(diǎn)M，
L、N分別為的內(nèi)心，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
是等腰直角三角形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，
，
，
由①知，即，
，
，
四邊形是矩形，
同理：四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)；
同理：，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)；
③由②知，
，
，
L、N、R分別為的內(nèi)心，
分別為的半徑，
；
（4）解：能，
如圖，分別經(jīng)過變換得到，此時(shí)點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，連接，
由位似變換及平移的性質(zhì)得到，且都是等腰直角三角形，
J、L、N分別為的內(nèi)心，
點(diǎn)三點(diǎn)共線，點(diǎn)三點(diǎn)共線，且，
P、Q分別為的中點(diǎn)，
，
，
四邊形，四邊形為平行四邊形，
，
同理（3）②可證四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了位似、平移的性質(zhì)、相似三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，四邊形綜合問題等知識(shí)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是易錯(cuò)點(diǎn)．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)熱點(diǎn)必刷題04 圓的綜合壓軸題
題型一 垂徑定理及其應(yīng)用綜合 1
題型二 圓中切線的判定與性質(zhì)綜合 15
題型三 圓心角、圓周角相關(guān)綜合 28
題型四 正多邊形與圓綜合 40
題型五 圓中求陰影部分面積綜合 54
題型六 圓與相似三角形綜合 72
題型七 圓與三角函數(shù)問題綜合 72
題型八 圓中最值問題（含隱圓、阿氏圓） 88
題型九 圓的材料閱讀理解型問題（新定義） 104
題型一 垂徑定理及其應(yīng)用綜合
1．（24-25江蘇無錫·模擬檢測(cè)）如圖， 、 是 的兩條弦， ，，、 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) ， 若， 則的半徑是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24江蘇鎮(zhèn)江·模擬檢測(cè)）如圖，中，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑畫分別交于，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為（　　）

A． B． C． D．
3．（23-24江蘇南京·模擬檢測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，，垂足為，，．則的長(zhǎng)（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25江蘇宿遷·模擬檢測(cè)）如圖，是的直徑，的弦在直線的上方，且，以為直徑向下作半圓（圓心為M）交于E、F兩點(diǎn)，若則 ．
5．（24-25江蘇無錫·模擬檢測(cè)）“等弦”的探究．
(1)如圖①，在中，， 是弦，且．由此，你能發(fā)現(xiàn)什么？小明發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O到，的距離相等．小紅發(fā)現(xiàn)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)P，則．從小明、小紅兩位同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中，選擇一個(gè)完成證明．
(2)如圖②，已知，與各邊都相交且所形成的弦的長(zhǎng)度均相等．在圖②中，用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)滿足條件的．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）若，，，的半徑為r，則r的取值范圍是_______．
題型二 圓中切線的判定與性質(zhì)綜合
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）

A． B． C． D．
7．（23-24江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與，，相切于點(diǎn)，，，已知，，，，則的長(zhǎng)是（　　）
A． B． C． D．
8．（24-25江蘇無錫·模擬檢測(cè)）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、，則的半徑為 ；連接、，則的值為 ．
9．（24-25江蘇宿遷·模擬檢測(cè)）在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：
(1)如圖1，幾秒后，的面積等于？
(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，若以P為圓心、為半徑的與相切（如圖1），求t值；
(3)若以Q為圓心，為半徑作．
①如圖2，以Q為圓心，為半徑作．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t值，使正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②如圖3，若與四邊形的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，則t的取值范圍為______．（直接寫出結(jié)果，不需說理）
10．（23-24江蘇蘇州·階段練習(xí)）閱讀材料：
已知，如圖①，在面積為的中，，內(nèi)切圓的半徑為．連接被劃分為三個(gè)小三角形．

．
．
(1)類比推理：若面積為的四邊形存在內(nèi)切圓（與各邊都相切），如圖②，各邊長(zhǎng)分別為，求四邊形的內(nèi)切圓半徑；
(2)理解應(yīng)用：如圖③，在四邊形中，與分別為與的內(nèi)切圓，與切點(diǎn)分別為，設(shè)它們的半徑分別為和，若，，，，，求的值．
題型三 圓心角、圓周角綜合
11．（24-25江蘇揚(yáng)州·模擬檢測(cè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，， ，E為上一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
13．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角三角形頂點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，連接．，，，則的最小值為( )．
A． B． C． D．
14．（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)P在射線上，過P分別作所在的直線于點(diǎn)F，作所在的直線于點(diǎn)H，連接，則的最小值為 ．
15．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，過，，的交于點(diǎn)．
(1)求證；
(2)連接，當(dāng)時(shí)，判斷直線與的位置關(guān)系，并直接寫出的值．
題型四 正多邊形與圓綜合
16．（2024·江蘇南京·二模）如圖，O是正六邊形的中心，圖中可以通過一次旋轉(zhuǎn)與重合的三角形（自身除外）的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，有一張正八邊形紙片缺了一個(gè)角A，連接，點(diǎn)O在上．若以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑所畫的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則下列結(jié)論：①點(diǎn)O也在上；②點(diǎn)O也在上；③連接，則；④，其中正確的是 （填寫序號(hào)）．

18．（2023·江蘇南京·一模）如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則 °．

19．（2021·湖北隨州·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為______；
（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由．
20．（23-24江蘇無錫·階段練習(xí)）已知某種月餅形狀的俯視圖如圖1所示，該形狀由1個(gè)正六邊形和6個(gè)半圓組成，半圓直徑與正六邊形的邊長(zhǎng)相等．
現(xiàn)商家設(shè)計(jì)了2種棱柱體包裝盒，其底面分別為矩形和正六邊形(如圖2和圖3)我們可從底面的利用率來記算整個(gè)包裝盒的利用情況．(底面利用率=×100%)
（1）請(qǐng)分別計(jì)算出圖2與圖3中的底面利用率(結(jié)果保留到0.1%)；
（2）考慮到節(jié)約成本，商家希望底面利用率能夠不低于80%，且底面圖形仍然采用最基本的幾何形狀，請(qǐng)問商家的要求是否能夠滿足，若可以滿足，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，并直接寫出此時(shí)的利用率；若不能滿足，請(qǐng)說明理由．
題型五 圓中求陰影部分面積綜合
21．（2020·湖北黃岡·二模）如圖，在中，，，是的平分線，經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點(diǎn)、．若圓半徑為2．則陰影部分面積（ ）．
A． B． C． D．
22．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，D是的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，作圓心角為的扇形，點(diǎn)C恰好在上（點(diǎn)E，F(xiàn)不與點(diǎn)C重合），半徑，分別與，相交于點(diǎn)G，H，則陰影部分的面積為 ．
23．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，是⊙O的弦，，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則⊙O的半徑是 ，圖中陰影部分面積的最大值是 ．
24．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，、是的切線，A、B是切點(diǎn)，是的直徑，連接，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．
(1)若E恰好是的中點(diǎn)，且四邊形的面積是，求陰影部分的面積；
(2)若，且，求切線的長(zhǎng)．
25．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在中，，，在上取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以為半徑作圓，與相切于點(diǎn)D，并分別與，相交于E，F(xiàn)（異于點(diǎn)B）．

(1)求證：平分；
(2)若點(diǎn)E恰好是的中點(diǎn)，求扇形的面積．
題型六 圓與相似三角形綜合
26．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，，與邊、對(duì)角線均相切，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則切線長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．6 B．7 C． D．
27．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（　　）
A． B．12 C． D．
28．（2024·江蘇南通·三模）如圖，已知半圓 的直徑為 ，點(diǎn) 在半徑 上，為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在弧 上，以、為鄰邊作矩形 ，邊 交于點(diǎn) ，連接，并延長(zhǎng)交 于點(diǎn) ，若，則 的值為 ．
29．（2025·江蘇宿遷·一模）在梯形中，，點(diǎn)在邊上，且．
(1)如圖1所示，點(diǎn)在邊上，且，連接，求證：；
(2)已知．
①如圖2所示，如果點(diǎn)在邊上，且，連接、、，與交于．求的值；
②如圖3所示，連接，如果外接圓的圓心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長(zhǎng)．
30．（24-25江蘇鎮(zhèn)江·模擬檢測(cè)）[模型建立]
如圖①、②，點(diǎn)分別在外、在內(nèi)，直線分別交于點(diǎn)、，則是點(diǎn)到上的點(diǎn)的最短距離，是點(diǎn)到上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離．

[問題解決]
請(qǐng)就圖①中為何最長(zhǎng)進(jìn)行證明．
[初步應(yīng)用]
（1）已知點(diǎn)到上的點(diǎn)的最短距離為，最長(zhǎng)距離為．則的半徑為　　．
（2）如圖③，在中，，，．點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在半徑為的上，則的最小值是　　．
[拓展延伸]
如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，其中，，為上的動(dòng)點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為　　．
題型七 圓與三角函數(shù)問題綜合
31．（2022·江蘇無錫·二模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，點(diǎn)N是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接MN，將△CMN沿MN翻折得△EMN，連接BE，CE，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)取最大值時(shí)，sin∠NCE的值為（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在上，且，若直徑為的半圓恰好經(jīng)過D，F(xiàn)兩點(diǎn)，則 ．
33．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，與x軸交于點(diǎn)，，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．若，則的值為 ．
34．（2024·江蘇泰州·三模）如圖1，四邊形內(nèi)接于，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，，是的切線且平分，求的半徑．
35．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，連接，，過點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為，，求線段的長(zhǎng)．
題型八 圓中最值問題（含隱圓、阿氏圓）
36．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC=2，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
37．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的最小值為（　　）

A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3
38．（2024·江蘇宿遷·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別、．以為斜邊在右上方作．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最大值為 ．
39．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，直線與相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作，垂足為B，已知的半徑為，則的最大值為 ．
40．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，E、F分別為上的動(dòng)點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)P，則的最小值為 ．
41．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖，矩形中，，，與邊、對(duì)角線均相切，過點(diǎn)B作的切線，切點(diǎn)為P，則切線長(zhǎng)的最小值為 ．
42．（23-24江蘇徐州·模擬檢測(cè)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，G為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且．點(diǎn)P是邊上另一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為 ．
43．（2022浙江·專題練習(xí)）如圖所示，，半徑為的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為 ．

44．（23-24山東青島·模擬檢測(cè)）幾何模型：
條件：如圖1，A、B是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使的值最小，
方法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)P，則的值最小．
直接應(yīng)用：
(1)如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
變式練習(xí)：
(2)如圖3，點(diǎn)A是半圓上（半徑為1）的三等分點(diǎn)，B是的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
深化拓展：
(3)如圖4，在銳角中，，，的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
(4)如圖5，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使．（要求：保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)述作法．）
45．（2024·江蘇徐州·三模）【問題情境】
如圖，是外的一點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)、．
小明認(rèn)為線段是點(diǎn)到上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，連接、，則有，即，由得，即，從而得出線段是點(diǎn)到上各點(diǎn)的距離中最短的線段．
小紅認(rèn)為在圖中，線段是點(diǎn)到上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線段，你認(rèn)為小紅的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．
【直接運(yùn)用】
如圖，在中，，，以為直徑的半圓交于，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是______；
【構(gòu)造運(yùn)用】
如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接，請(qǐng)求出長(zhǎng)度的最小值．
【深度運(yùn)用】
如圖，已知點(diǎn)在以為直徑，為圓心的半圓上，，以為邊作等邊，則的最大值是________．
題型九 圓的材料閱讀理解型問題（新定義）
46．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）【閱讀材料】
教材習(xí)題 如圖，、相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，求證：是中點(diǎn)．
問題分析 由條件易證，從而得到，即點(diǎn)是的中點(diǎn)
方法提取 構(gòu)造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
【靈活應(yīng)用】如圖3，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為______，掃過的面積為______．
47．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）定義：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，把的值叫做點(diǎn)在射線上的射影值；當(dāng)點(diǎn)不在射線上時(shí)，把射線上與點(diǎn)最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)在射線上的射影值．例如：如圖（1），三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是邊上的高，則點(diǎn)和點(diǎn)在射線上的射影值均為．
(1)在中，下列說法：
①點(diǎn)在射線上的射影值小于1時(shí)，則是銳角三角形；
②點(diǎn)在射線上的射影值等于1時(shí)，則是直角三角形；
③點(diǎn)在射線上的射影值大于1時(shí)，則是鈍角三角形．
其中，正確說法的序號(hào)是___________．
(2)是射線上一點(diǎn)，，以為圓心，為半徑畫圓，是上任意點(diǎn)．
①如圖（2），點(diǎn)在射線上的射影值為，求證：直線是的切線．
②如圖（3），已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在射線上的射影值為，點(diǎn)在射線上的射影值為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．
48．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．
(1)如圖1，在對(duì)角互余四邊形中，，且．若，求四邊形的面積和周長(zhǎng)．
(2)如圖2，在四邊形中，連接，點(diǎn)O是外接圓的圓心，連接，求證：四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；
(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求線段的長(zhǎng)．
49．（2024·江蘇鹽城·一模）鹿鳴學(xué)堂數(shù)學(xué)興趣小組在研究角平分線時(shí)進(jìn)行了總結(jié)：角平分線的定義；角平分線的性質(zhì)和判定；角平分線的作圖以及與角平分線有關(guān)的構(gòu)造…
【問題提出】①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，三角形中的角平分線還有其他的結(jié)論：
如圖①，是的角平分線，則有．
小麗同學(xué)的思路；如圖①，過點(diǎn)分別作的垂線…；
小明同學(xué)的思路：如圖②，過點(diǎn)B作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)…
請(qǐng)你任選一種方法對(duì)小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行證明．
【結(jié)論應(yīng)用】②如圖，是的弦，在上作出一點(diǎn)，使得；（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖的痕跡，不寫作圖步驟．）
【拓展延伸】③在中，平分，若，請(qǐng)求出面積的最大值．
50．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使得放大或縮小的圖形與原圖形的線段比為k，再沿多邊形一條邊a平移x個(gè)單位長(zhǎng)度，稱這種變換為自位似平移變換，記作例：如圖1，，以C為位似中心將原邊長(zhǎng)縮小為原圖形的0.5倍，得到變換后的圖形為，在沿著平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到最終圖形，記作；或沿著平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到最終圖形，記作．
(1)如圖1，求證．
(2)如圖2，當(dāng)為直角三角形時(shí)，經(jīng)過變換后得到，經(jīng)過變換后得到，求證：四邊形為菱形．
(3)如圖3，為等腰直角三角形，，分別經(jīng)過變換得到，J、L、N、R分別為的內(nèi)心，O、P、Q分別為的中點(diǎn)，①求證：四邊形為正方形；②求證：Z、W分別為的中點(diǎn)；③若，則__________．
(4)如圖3，是否有可能使？如果能，請(qǐng)寫出初始圖形以及變換過程，如果不能，請(qǐng)說明理由．
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